哈密顿算符不同坐标下的表示
物理学中的哈密顿算符
物理学中的哈密顿算符在物理学中，哈密顿算符是最基本且最重要的运算符之一，具有十分重要的意义。
在物理学中，哈密顿算符可以用来描述物理系统的能量和动力学演化，因此它在量子力学、统计力学等领域都有着广泛的应用。
哈密顿算符是由英国物理学家威廉·哈密顿提出的。
它的数学表达式一般是H = T + V，其中T表示动能，V表示势能。
哈密顿算符描述了物理系统的总能量，它在物理学中扮演着与牛顿第二定律相同的作用，指出了物理系统如何随时间演化。
量子力学中的哈密顿算符在量子力学中，哈密顿算符则更加重要，因为在量子力学中，物理量是用算符来描述的。
哈密顿算符可以用来描述一个量子系统的总能量和动力学演化。
在量子力学中，哈密顿算符的数学表达式形式为H = T + V，其中T表示动能算符，V表示势能算符。
动能算符一般可以表示为T = -（h²/2m）∇²，其中h是普朗克常数，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符。
势能算符则取决于具体的系统，可以是电势能、核势能、磁场势能等。
通过哈密顿算符，我们可以求出量子系统的能级和相应的能量。
哈密顿算符对应的本征值即为该量子系统的能级，而相应的本征函数则是描述该系统的波函数。
哈密顿算符在量子力学中的运用非常广泛，它可以用来描述氢原子、粒子在势场中的运动、等离子体物理、表面物理、量子电子学等领域。
统计力学中的哈密顿算符除了量子力学中，哈密顿算符在统计力学中也有着广泛的运用。
在统计力学中，哈密顿算符可以用来描述分子、原子等微观粒子的动力学演化。
当然，在统计力学中，哈密顿算符的表达式形式和量子力学中有所不同。
在统计力学中，哈密顿算符的数学表达式通常写作H = Σp²/2m + ΣV(q)，其中p是动量，m是质量，q是广义坐标，V(q)是势能函数。
分子、原子等微观物体的运动状态可以通过哈密顿算符描述，可以利用哈密顿算符求得统计力学中的配分函数、自由能等热力学量。
哈密顿算符的运算规则
哈密顿算符的运算规则在描述哈密顿算符的运算规则之前，我们先来回顾一下哈密顿算符的定义。
哈密顿算符（或哈密顿量）通常用符号H表示，它是一个作用在波函数上的算符，用于确定波函数随时间演化的规律。
波函数Ψ(t)在哈密顿算符作用下的演化满足薛定谔方程：iħ∂Ψ/∂t=HΨ其中ħ是约化普朗克常数。
下面我们来探讨哈密顿算符的一些重要的运算规则：1.哈密顿算符的和与差：如果H1和H2是两个哈密顿算符，那么它们的和与差也是一个哈密顿算符。
即H=H1±H22.哈密顿算符的乘法：哈密顿算符的乘积可以通过两种方法定义。
首先，对于相同的哈密顿算符H，我们可以对它进行多次乘法，即H^n=H×H×...×H。
其次，对于不同的哈密顿算符H1和H2，它们的乘积H=H1×H2不再是一个厄米算符。
3.哈密顿算符的幂：哈密顿算符的幂满足如下规则：(H^n)†=(H†)^n其中n为任意实数。
4.哈密顿算符的对易子：对于两个哈密顿算符H1和H2，它们的对易子定义为：[H1,H2]=H1×H2-H2×H1对易子的性质很重要，它可以用于判断两个算符是否可同时测量，以及确定它们的共有本征态。
5.哈密顿算符的坐标表象：在量子力学中，我们通常使用坐标表象进行描述。
在坐标表象下，哈密顿算符的形式为：H=-ħ²/2mΔ+V(x,t)其中Δ是拉普拉斯算符，m是粒子的质量，V(x,t)是位势能。
6.哈密顿算符的本征值问题：哈密顿算符的本征值问题是量子力学中一个重要的问题。
假设H是一个哈密顿算符，它的本征值问题可以表示为：HΨ=EΨ其中E是本征值，Ψ是对应的本征态（波函数）。
本征值问题可以通过求解定态薛定谔方程来得到哈密顿量的本征值和本征态。
以上是哈密顿算符的一些重要的运算规则。
哈密顿算符在量子力学中具有重要的地位，它的运算规则对于理解量子力学的基本原理和物理系统的演化至关重要。
哈密顿算符的本征函数
哈密顿算符的本征函数在量子力学中，哈密顿算符（Hamiltonian operator）是描述系统总能量的算符。
它是一个线性厄米（Hermitian）算符，通常表示为H。
哈密顿算符的本征函数（eigenfunctions）是指满足以下方程的函数：Hψ = Eψ其中，H是哈密顿算符，ψ是本征函数，E是对应的本征值（eigenvalue）。
在这个方程中，哈密顿算符作用于本征函数得到一个常数倍的结果。
1. 定义和用途哈密顿算符的本征函数描述了量子力学体系中粒子的可能状态。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，我们可以得到体系的能级和相应的波函数。
这些能级和波函数提供了关于体系性质和行为的重要信息。
具体来说，哈密顿算符的本征函数用于：1.描述粒子在不同能级上可能存在的状态：每个本征函数对应一个特定能级，并且描述了粒子在该能级上可能存在的概率分布。
通过求解哈密顿算符本征值问题，我们可以得到一系列不同能级上的本征函数。
2.计算物理量：根据量子力学原理，物理量的期望值可以通过对本征函数进行适当的数学操作得到。
例如，对于可观测量A，其期望值可以表示为：⟨A⟨= ∫ψ* A ψ dV其中，ψ*是本征函数的复共轭，A是可观测量算符。
3.描述波函数演化：哈密顿算符的本征函数可以用来描述体系随时间演化的波函数。
根据薛定谔方程（Schrodinger equation），波函数随时间的演化可以由如下形式表示：ψ(t) = Σ C_n ψ_n e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n是哈密顿算符的本征函数，E_n是对应的能量本征值。
2. 哈密顿算符的工作方式哈密顿算符作用于本征函数时，会得到一个常数倍的结果。
这个常数就是对应的能量本征值。
具体来说，哈密顿算符H作用于本征函数ψ后得到：Hψ = Eψ其中E就是能量本征值。
求解哈密顿算符的本征值问题通常需要使用一些数学工具和技巧。
一种常见的方法是使用分离变量法（separation of variables）。
哈密顿算子
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
坐标算符与哈密顿算符的对易关系
坐标算符与哈密顿算符的对易关系1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面入手：坐标算符与哈密顿算符是量子力学中常用的算符，它们在描述微观粒子的位置和能量方面起到了关键作用。
本文将就坐标算符与哈密顿算符的定义、性质以及它们之间的对易关系展开讨论。
首先，我们将介绍坐标算符的定义与性质。
坐标算符是用来描述粒子在空间中位置的算符，它对应于粒子在各个坐标轴上的位置变量。
我们将探讨坐标算符的定义以及其在量子力学中的重要性，同时介绍一些相关的性质，如坐标算符在不同坐标系下的表示等。
接着，我们将介绍哈密顿算符的定义与性质。
哈密顿算符是用来描述系统的能量的算符，它对应于量子力学中的总能量算符。
我们将探讨哈密顿算符的定义以及其在量子力学中的基本作用，同时介绍一些相关的性质，如哈密顿算符的本征值问题以及与系统的物理性质之间的关联等。
最后，我们将详细讨论坐标算符与哈密顿算符之间的对易关系。
对易关系是量子力学中非常重要的概念，它描述了两个算符之间的相互作用方式。
我们将推导和分析坐标算符与哈密顿算符的对易关系，并讨论其物理意义和应用。
在这部分中，我们将特别关注对易关系对量子力学基本原理的启示，以及对问题求解和实验预测的重要性。
通过本文的研究，我们将进一步深入了解和探索坐标算符与哈密顿算符在量子力学中的重要性和应用。
它们的定义与性质的研究，以及它们之间的对易关系的分析，将有助于我们对微观粒子行为的理解和预测，以及对量子力学基本原理的理解。
此外，这些研究也有助于我们在实际问题中应用量子力学的知识，从而推动科学技术的进步和应用的拓展。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
以下是对每个部分的详细介绍：引言部分首先对研究的背景和意义进行概述。
我们将介绍坐标算符和哈密顿算符，以及它们在量子力学中的重要性。
接下来，我们将简要介绍文章的结构，以便读者能够更好地理解文章的内容。
正文部分将着重介绍坐标算符和哈密顿算符的定义与性质。
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式
F ( x, y , z ) 1 r sin F F F ex ey ez x y z
F F F 2 sin cos cos sin r sin cos sin cos er cos cos e sin e r
由（1‐12）可以得到：
F 1 F F cos sin x F F F 1 sin cos （1‐13） y F F z z
接下来我们将求在球坐标系下，空间某点 F ( x, y, z ) 分别对 r , , 求偏导数：
F F x F y F z r x r y r z r F F x F y F z （2‐13） x y z F F x F y F z x y z
因为这个矢量为单位矢量，且指向 方向，其向量一定为 e ，即：
e sin ex cos ey 0 ez （2‐10）
因为， 我们得到： e e er ， e cos sin ex cos sin ey sin ez （2‐11） 联立式（2‐6） 、 （2‐10）和（2‐11）我们可以得到：
ex sin cos er cos cos e sin e e y sin sin er cos sin e cos e （2‐12） ez cos er sin e
哈密顿算子极坐标形式
哈密顿算子极坐标形式引言哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，描述了粒子的总能量。
在量子力学中，可通过哈密顿算子来计算物理系统的能量本征值和能量本征态。
本文将重点介绍哈密顿算子的极坐标形式。
首先，我们将讨论极坐标和哈密顿算子的基本概念。
然后，我们将推导哈密顿算子的极坐标形式，并详细解释其中的数学推导。
最后，我们将探讨极坐标形式在量子力学中的应用。
极坐标和哈密顿算子的基本概念极坐标极坐标是一种用半径和角度来描述点的坐标系统。
在平面直角坐标系中，点的坐标用(x, y)表示，而在极坐标系中，点的坐标用(r, θ)表示。
其中，r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
极坐标系可以帮助我们更方便地描述和计算与圆相关的问题。
哈密顿算子哈密顿算子是量子力学中描述系统总能量的算符。
它由动能算符和势能算符组成。
在三维空间中，哈密顿算子的一般形式为：其中，m是粒子的质量，r、θ和z分别是粒子的径向、角向和轴向坐标，V(r, θ, z)是系统的势能函数。
哈密顿算子的极坐标形式极坐标下的动能算符在极坐标下，拉普拉斯算符的形式发生了变化。
而动能算符可由拉普拉斯算符表示。
根据极坐标下拉普拉斯算符的定义，动能算符的表达式如下：哈密顿算子的极坐标形式根据哈密顿算子的定义，并将动能算符的极坐标形式代入，我们可以得到哈密顿算子的极坐标形式如下：这个极坐标形式的哈密顿算子可以用于计算粒子在极坐标系中的能量本征值和能量本征态。
极坐标形式的应用在量子力学中，哈密顿算子是一个重要的工具。
它不仅可以用于计算粒子的能谱，还可以描述多个粒子组成的复杂系统的总能量。
应用极坐标形式的哈密顿算子时，我们可以将体系的势能函数V(r, θ, z)写为极坐标形式，然后代入哈密顿算子，通过求解哈密顿算子的本征值问题，得到体系的能量本征值和能量本征态。
极坐标形式的哈密顿算子也有助于简化一些问题的求解过程。
对于具有旋转对称性的体系，极坐标形式能够更好地反映体系的特征，简化数学推导，并提供更直观的物理图像。
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哈密顿算符不同形式下的表达式胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。
本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。
另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用1.引言在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：V m p V T H+=+=2/ˆˆˆˆ2 如果我们从波函数)ˆ(rψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =ˆ 它的分量是 x x=ˆ ，y y =ˆ ， z z =ˆ 动量算符表示为 ∇-= i pˆ 它的分量是 x i p x ∂∂-=ˆ ，yi p y ∂∂-= ˆ ，z i p z ∂∂-= ˆ 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则∇-→ i p 得到V mH +∇-=222ˆ在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。
接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。
2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中独立变量ρ、ϕ与直角坐标中独立变量x 、y 之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x arctan22ϕρ图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂sin cos x x x ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂cos sin y y y哈密顿算子∇在直角坐标中的表达式为：y x e y e x ∂∂+∂∂=∇据上述坐标之间的微分关系为：222222)1()()cos (sin )sin (cos )()(ϕρρϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂y x 所以哈密顿算子∇在极坐标中的表达式为：ϕρϕρρe e ∂∂+∂∂=∇1据哈密顿算子2∇的计算过程有：)sin )(cos sin (cos )(22ϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂-∂∂∂∂-∂∂=∂∂∂∂=∂∂x x x 222222222sin cos sin 2cos sin 2sin cos ϕρϕϕρρϕϕϕρϕϕρρϕρθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂= 222222222222cos cos sin 2cos sin 2cos sin ϕρϕϕρρϕϕθρϕϕρρϕρϕ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂y 所以拉普拉斯算子2∇在极坐标中的表达式[5]为：22222211ϕρρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 或 22221)(1ϕρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=∇ 所以极坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V m H +∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ2222ϕρρρρρ （1.1） 在极坐标下的动能表达式为：)(21222ϕρρ +=mT 正则动量为： ρρρ m Tp =∂∂=和 22ϕρϕϕ m T p =∂∂= 得到哈密顿量为： V m p m p H ++=22222ˆρϕρ （1.2） 在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足ij j i i p qδ =]ˆ,ˆ[的要求，如果仍将相应的算符表示为： ρρ∂∂-= i pˆ ， ϕϕ∂∂-= i p ˆ得到 V m H +∂∂+∂∂-=)1(2ˆ222222ϕρρ （1.3） 通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是ρρ∂∂-=i p ˆ并非厄密算符，一个算符F 满足F F =+，才是厄密算符。
量子力学中表示力学量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。
所以ρρ∂∂-= i pˆ不能作为动量算符的分量表示。
通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为ρρρρρρ∂∂-=+∂∂-=1)21(ˆ i i p （1.4）现在把（1.4）式，ϕϕ∂∂-= i pˆ带入（1.2）式得到 V m m H++∂∂+∂∂+∂∂-=222222228)11(2ˆρϕρρρρ （1.5） 比较（1.5）与（1.1），发现多了228ρm 项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。
所以我们通过构造动量分量ρp ˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为p p•=ρρρ ˆ或ρρρ •=p p ˆ，过渡到量子力学，由于ρp ˆ和ρˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 ρρρρρρρ i i p p p -∂∂-=•+•=)(21ˆ 这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。
所以动量算符在球坐标系中的各分量为ρρρ i i p -∂∂-=ˆ，ϕϕ∂∂-= i pˆ。
2.2、柱坐标下的哈密顿算符柱坐标中独立变量r 、θ、z 与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z z x y y x r arctan 22θ图2直角坐标与柱坐标的关系 据上述关系有：222222)()cos (sin )sin (cos )()()(z r r r r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂θθθθθθ 222)()1()(z r r ∂∂+∂∂+∂∂=θ所以哈密顿算子∇在柱坐标中的表达式为：z r e ze r e r ∂∂+∂∂+∂∂=∇θθ1 据哈密顿算子2∇的计算过程有：22222222222sin cos sin 2cos sin 2sin cos θθθθθθθθθθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂r r r r r r r x 222222222222cos cos sin 2cos sin 2cos sin θθθθθθθθθθ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂r r r r r r r y 2222zz ∂∂=∂∂。
所以拉普拉斯算子2∇在柱坐标中的表达式为：2222222211z r r r r ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇θ 或 2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇θ 所以柱坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V z r r r r r m H +∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ222222θ （2.1）在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量r pˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为p r rp r •= ˆ或rr p p r •=ˆ，过渡到量子力学，由于r pˆ和rˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 ri r i r r p p r r pr-∂∂-=•+•=)(21ˆ 其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z 上的分量z pˆ。
所以动量算符在球坐标系中的各分量为r i r i p r -∂∂-=ˆ，θθ∂∂-=i p ˆ，z i p z ∂∂-= ˆ。
2.3、球坐标下的哈密顿算符球坐标中独立变量r 、θ、ϕ与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=x y z y x zy x r arctan arctan22222ϕθ图3直角坐标与球坐标的关系 根据上述关系有：ϕθϕθϕθϕθ∂∂-∂∂+∂∂-=∂∂sin sin cos cos cos sin r r r xϕθϕθϕθϕθ∂∂-∂∂+∂∂=∂∂sin cos sin cos sin sin r r r y ϕϕθ∂∂-∂∂=∂∂r r z sin cos 利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子∇在球坐标中的表达式ϕθϕθθe r e r e r r ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11 根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：22222222222sin 11sin cos 2ϕθθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r r r 或 2222222sin 1)(sin sin 11ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r 所以球坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V r r r r r r m H +∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 11[2ˆ2222222ϕθθθθθ然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到V p r p r p m H r +++=)ˆsin 1ˆ1ˆ(21ˆ222222ϕθθ在球坐标下，动量整体的算符[6]表示)ˆsin 1ˆ1ˆ(ˆϕθϕθθer e r e r i i p r ∂∂+∂∂+∂∂-=∇-= 但是r i ∂∂-和θ∂∂-r i 1 都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。
为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取ri r i r r p p r r pr-∂∂-=•+•=)(21ˆ 这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。
同理，可以构造θθθθθtan 211)ˆˆ(21ˆr i r i e p p e p -∂∂-=•+•=，ϕθϕ∂∂-=sin 1ˆr i p 是厄密算符，可以作为ϕpˆ的算符表示。
2.4、哈密顿算符的矩阵形式量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。
现在，我们对哈密顿算符Hˆ的矩阵表示作一简略的数学推导。
在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程： ψψE H=ˆ （4.1） 如果将波函数ψ看出是n 个线性无关的波函数),...2,1(n i i =ψ的线性组合，即：∑==+++=ni i i n n c c c c 12211...ψψψψψ （4.2）如果我们选取一组正交向量1ψ，2ψ，···，n ψ作为n 维空间的一个基底， 从而ψ可以用向量形式表示出来，即： ),...,,(21n c c c =ψ （4.3）再将哈密顿算符H ˆ看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。
不妨令：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a H..........................ˆ212222111211（4.4）矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。
因此，ψ经Hˆ变换后，可得一新的向量。
现令该新的向量为B：∑===n i i i n b b b b B 121),...,,(ψ也就是：∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i i i n n nn n n n n b B b b b c c c a a a a a a a a a H12121212222111211..........................ˆψψ （4.5）又因Hˆ是线性算符，故有： ∑==+++=+++=ni ii n n n n Hc H c H c H c c c c H H 122112211ˆˆ...ˆˆ)...(ˆˆψψψψψψψψ （4.6）根据矩阵代数可知，任一单位矢量i ψ经H ˆ变换后所得的新矢量iH ψˆ一定可写成1ψ，2ψ，···，n ψ的迭加形式，因此，可令：ini ij nnj j j d d d d H ψψψψψ∑==+++=12211ˆ ),...2,1(n j = （4.7）那么式（4.6）便成为： ∑∑===ni iij nj j d c H 11ˆψψ （4.8）对式（4.8）施以必要的代数运算： ∑∑∑∑======n i nj ij ij n j n i i ij j c d d c H 1111ˆψψψ 与式（4.5）进行比较，立即看出：∑==nj jij i cd b 1),...,2,1(n i =写成矩阵形式，即为： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n nn n c c c d d d d d d d d d b b b 2121222211121121..........................再与式（4.5）进行比较，就得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n d d d d d d d d d a a a a a a a a a ....................................................212222111211212222111211或： ij ij d a =若将式（4.6）两边左乘*i ψ并在整个空间积分，即得：τψψτψψτψψτψψd d d d d d d H n nj i j i j i j i ⎰⎰⎰⎰****+++=...ˆ2211τψψτψψd d d d r nr i rj r nr rj i∑⎰∑⎰=*=*==11（4.9）注意到i ψ，r ψ的正交、归一条件，即⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰*时当时当r i r i d ir ri 01δτψψ 那么式就变成： ij ij i i a d d H ==⎰*τψψˆ若积分τψψd H i i ⎰*ˆ用符号ij H 来代替，便有： ij ij a H =根据式（4.9），即得出哈密顿算符Hˆ的矩阵形式为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n H H H H H H H H H H ............................ˆ212222111211 3、哈密顿算符不同表达式的应用3.1、球坐标解法在中心力场中的应用自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。