高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2053.8

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．

【热点题型】

题型一 三角函数式的化简与给角求值 【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：

（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α

2）

2＋2cos α＝________．

(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝______．

解析 (1)原式＝

⎝

⎛⎭⎫2cos2α2＋2sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎫

cos α2－sin α24cos2α

2

＝cos α2⎝⎛⎭⎫cos2α2－sin2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α

2cos α

⎪⎪⎪

⎪

cos α2

.

因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cos α

2＞0，所以原式＝cos α. (2)原式＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·

2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°

cos 10°)· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×3

2＝ 6. 答案 (1)cos α (2)6 【提分秘籍】

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．

【举一反三】

(1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.

2＋3

2

C. 3 D ．22－1

(2)(·临沂模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1

2cos 2αcos 2β＝________．

(2)法一 (从“角”入手，复角化单角)

原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1

2(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1

2(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－1

2 ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－1

2 ＝sin2β＋cos2β－1

2 ＝1－12＝12.

法二 (从“名”入手，异名化同名)

原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－1

2cos 2αcos 2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－1

2cos 2αcos 2β ＝cos2β－cos 2β(sin2α＋1

2cos 2α) ＝

1＋cos 2β2－12cos 2β＝1

2.

法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)

原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2

－1

2cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－1

2cos 2α·cos 2β ＝14＋14＝12.

题型二三角函数的给值求值、给值求角

【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭

⎫α2－β＝2

3，

求cos(α＋β)的值；

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7，求2α－β的值． 解 (1)∵0<β<π

2<α<π， ∴π4<α－β

2<π， －π4<α2－β<π2，

∴sin ⎝

⎛⎭

⎫α－β2＝

1－cos2⎝

⎛⎭

⎫α－β2＝45

9，

cos ⎝⎛⎭

⎫α2－β＝ 1－sin2⎝⎛⎭

⎫α2－β＝53，

∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β

＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2s in ⎝⎛⎭⎫α2－β

＝⎝⎛⎭

⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239

729.

【提分秘籍】

(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是

⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为

⎝⎛⎭

⎫－π2，π2，选正弦较好． 【举一反三】