系统动力学第2讲
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汽车系统动力学第二章 车辆动力学建模方法及基础理论
第二章车辆动力学建模方法及基础理论§2-1 动力学方程的建立方法在车辆动力学研究中，建立系统运动微分方程的传统方法主要有两种：一是利用牛顿矢量力学体系的动量定理及动量矩定理，二是利用拉格朗日的分析力学体系。
本节将对这两种体系作一简单回顾，并介绍几个新的原理。
一牛顿矢量力学体系(1)质点系动量定理质点系动量矢p对时间的导数等于作用于质点系的所有外力F i的矢量和(即主矢),其表达式为:二、分析力学体系分析力学是用分析的方法来讨论力学问题，较适合处理受约束的质点系。
(1)动力学普遍方程动力学普遍方程由拉格朗日(Lagrange)于1760年给出的，方程建立的基本依据是虚位移原理，表示如下：(2-6)(2)拉格朗日方程拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能和总势能均以系统变量的形式表示，然后将其代入拉格朗日方程，再对其求偏导数，即可得到系统的运动方程。
拉格朗日方程形式如下：利用此方程推导车辆动力学方程时，因采用广义坐标，从而使描述系统位移的坐标数量大大减少，并可以自动消去无功内力。
但也存在下述问题：①应用拉格朗日方程时，有赖于广义坐标选取得是否得当，而适当地选择广义坐标有时要靠经验；②拉格朗日能量函数对于刚体系统的表达式可能非常复杂，代人拉格朗日方程后要作大量运算。
而对于复杂的车辆系统，写出能量函数的表达式就更加困难。
三、虚功率原理若丹(Jourdain)于1908年推导出另一种形式的动力学普遍方程，其所依据的原理称之为虚功率原理。
虚功率形式的动力学普遍方程为：四、高斯原理1829年，高斯(Gauss)提出动力学普遍方程的又一形式，称为高斯原理，其表达式为：§2-2 非完整系统动力学一、非完整系统动力学简介1894年，德国学者Henz第一次将约束系统分成“完整”和“非完整”两大类，从此开辟了非完整系统动力学(Nonholonomie System)的新领域，如今它已成为分析力学的一个重要分支。
系统动力学课程PPT共五章全
2．3 计算机模拟是系统动力学模拟的基本工具
思维模型－－因果回路图－－ 流图－－ DYNAMO－－计算机模型
17
第三章 系统动力学的建模基础
3.1 思维模拟与决策陷阱 系统问题： 直觉对策： 环境污染严重 关闭工厂 乘车难 增加公共车辆 犯罪率增长 加强警力 货币供求矛盾增加 增印纸币 水产品供应不足 扩大捕捞量 知识贬值 紧缩教育投资 产品质量低下 增加广告 住房紧张 占田建房
x 指数增长 有极限增长
38
t
(1)基本正反馈模块 现象:谣言传播、企业产值增长、通货膨胀、 知识积累等 特点：非稳定、自增长、自循环
知识积累的正反馈关系
基本正反馈模块流图
39
动力学方程：
dx/dt=RT， RT =k1x， x（0）=x0， k1>0
解得：
x(t)=x0eK1t = x0et/T1
3)积分表达: LEV(t)=∫ [IR(t)-OR(t)]dt （2）速率变量（流率，Rate Variable R）
R LEV
k A
R=f(k,H,LEV,A)
27
（3）辅助变量（auxiliary variable， A)
LEV
k A
A=k*(H-LEV)
H
（4）源（Source、汇Sink)
LEV RATE
或 L(t) → R(t) → R(L)
L,R R
L(t)
R(t) 0 (a) t 0 (b) L*
33
L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图解法的基本特点： （1）既可用于分析过程有可用于综合过程 三张图象中任意给定一张可画出另外两张。 （2）求解过程的规范性 （3）轮廓性求解（精度不高） （4）难于应用于两阶以上的高阶系统。
思维模型－－因果回路图－－ 流图－－ DYNAMO－－计算机模型
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第三章 系统动力学的建模基础
3.1 思维模拟与决策陷阱 系统问题： 直觉对策： 环境污染严重 关闭工厂 乘车难 增加公共车辆 犯罪率增长 加强警力 货币供求矛盾增加 增印纸币 水产品供应不足 扩大捕捞量 知识贬值 紧缩教育投资 产品质量低下 增加广告 住房紧张 占田建房
x 指数增长 有极限增长
38
t
(1)基本正反馈模块 现象:谣言传播、企业产值增长、通货膨胀、 知识积累等 特点：非稳定、自增长、自循环
知识积累的正反馈关系
基本正反馈模块流图
39
动力学方程：
dx/dt=RT， RT =k1x， x（0）=x0， k1>0
解得：
x(t)=x0eK1t = x0et/T1
3)积分表达: LEV(t)=∫ [IR(t)-OR(t)]dt （2）速率变量（流率，Rate Variable R）
R LEV
k A
R=f(k,H,LEV,A)
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（3）辅助变量（auxiliary variable， A)
LEV
k A
A=k*(H-LEV)
H
（4）源（Source、汇Sink)
LEV RATE
或 L(t) → R(t) → R(L)
L,R R
L(t)
R(t) 0 (a) t 0 (b) L*
33
L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图解法的基本特点： （1）既可用于分析过程有可用于综合过程 三张图象中任意给定一张可画出另外两张。 （2）求解过程的规范性 （3）轮廓性求解（精度不高） （4）难于应用于两阶以上的高阶系统。
第4章 系统仿真模型-系统动力学
§4-5 DYNAMO仿真计算
一、 一阶正反馈回路 二、 一阶负反馈回路 三、 两阶负反馈回路
§4-6 系统动力学建模步骤
一、系统动力学模型的建模步骤 二、 DYNAMO仿真流程框图 三、系统动力学模型的评价 课后作业
第六章 系统仿真模型——系统动力学
§6-1 系统仿真的基本概念及其实质 一、基本概念 系统仿真——（Systems simulation）是对真 实过程或系统在整个时间内运行的模仿。 ◆依系统的分析目的进行构思 ◆建立系统模型 ◆建立描述系统结构和行为、具有逻辑和数学性 质的仿真模型 ◆依仿真模型对系统进行试验和分析 ◆获得决策所需信息
第六章 系统仿真模型——系统动力学
§6-2 系统动力学概述 一、系统动力学及其发展
（二）国内外系统动力学（Systems dynamics, SD）发展
1 国外学者SD研究现状
系统动力学在国外的应用非常广泛，其应用几乎遍及 各类系统，深入到各类领域。在商业上模拟复杂竞争 环境中的商业模型；在经济学上解释了SamuelsonHicks模型；在医学研究上模拟不同药物效用对病人的 生理学反映，如测试经过胰岛素治疗后糖尿病病人血 液葡萄糖水平的医学模型；在生物学上模拟并推导了 捕食者——被捕食者问题；还有模拟地区经济模型， 模拟生态系统模型等研究。
一、基本概念 二、系统仿真的实质 三、系统仿真的作用
§4-2 系统动力学概述
一、系统动力学及其发展 二、反馈系统
§4-3 系统动力学结构模型
一、信息反馈系统的动力学特征 二、反馈系统 三、流程图（结构模型）
第六章 系统仿真模型——系统动力学
目 录
§4-4 系统动力学数学模型（结构方程式）
一、基本概念 二、 DYNAMO方程
系统仿真及系统动力学方法PPT课件
41
系统仿真及系统动力学方法
42
系统仿真及系统动力学方法
负反馈系统实例
对服务质量 的重视程度
-
+
（-）
有效的读
者意见
+
读者意见
偏见
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系统仿真及系统动力学方法
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系统仿真及系统动力学方法
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系统仿真及系统动力学方法
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系统仿真及系统动力学方法
47
系统仿真及系统动力学方法
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系统仿真及系统动力学方法
(4)可处理高阶次、多回路、非线性的时变复杂系统 问题。
20
系统仿真及系统动力学方法
4、工作程序
认识 界定 要素及其因 问题 系统 果关系分析
建立结 建立数 仿真 比较与 政策 构模型 学模型 分析 评价 分析
（流图）（DYNAMO方程）
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21
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+
期望 库存
速率变量
水准变量
53
辅助变量
系统仿真及系统动力学方法
周订
目标库
货量
存量
R
D
库存 差
I
实际库 存量
– 库存系统动力学流程图
54
系统仿真及系统动力学方法
+
利息
(元/年)
(+)
银行 货币
16
系统仿真及系统动力学方法
三、系统动力学的发展及特点
1、由来与发展
▪系统动力学(System Dynamics,简称SD)是美国麻 省理工学院福雷斯特(J．W．Forrester)教授提出来 的研究系统动态行为的一种计算机仿真技术。
系统动力学第二章2
2.5 系统描述
1、系统的一般描述
设x1(t),…, xm(t)为坐标轴所张成的欧式空间称为状态空间。 状态空间中的每一点都表示一个状态变量，即系统的一个 特定状态。 各瞬间系统的状态则构成状态空间的一条轨线。这条轨线 完全由系统在t0时刻的初始状态与t>t0时的输入以及系统固 有的动力学特性所唯一地确定。
14
2.6 SD理论的基本观点及与其他学 科的关系
2、SD理论的基本观点 （5）开放复杂系统的其他重要性质
①在非平衡状态下运动、发展、进化是开放复杂系统的一 个重要行为特性； ②开放系统在不断与外界进行信息流、物质流、能量流的 交换过程中，获得外部动力；同时，在系统内部各组成部 分相互作用、相互协调，产生内部动力。在内外动力共同 作用下推动系统内的组成部分朝向共同目标发展； ③当系统进入远离平衡态的非线性区域阶段，系统与外界 进行物质、能量、信息交流显著增大，这时系统吸收的物 质与能量不足以补偿系统的耗散，系统从原来的混乱状态 变为一种新的有序结构。 15
17
2.7 系统动力学的主要步骤
用SD解决问题可以大致分为5步 明确要解决的问题，具体包括： ①调查收集有关系统的信息与统计数据； ②了解用户提出的要求、目的与明确所要解决的问题； ③分析系统的基本问题与主要问题、基本矛盾与主要矛盾、 变量与主要变量； ④初步划定系统的边界，并确定内生变量、外生变量； ⑤确定系统行为的参考模式。
2、SD理论的基本观点 （1）前提条件 SD对系统进行分析与建模的前提条件是该系统必须是远离 平衡的有序的耗散结构。 （2）系统及其主要特性 ①社会、经济、生态系统都是具有自组织耗散结构性质的 开放系统； ②复杂系统是一类具有多变量、高阶次、多回路和强非线 性的反馈系统； ③系统的基本特性如整体性、层次性、集合性、相关性、 目的性等 。 13
1、系统的一般描述
设x1(t),…, xm(t)为坐标轴所张成的欧式空间称为状态空间。 状态空间中的每一点都表示一个状态变量，即系统的一个 特定状态。 各瞬间系统的状态则构成状态空间的一条轨线。这条轨线 完全由系统在t0时刻的初始状态与t>t0时的输入以及系统固 有的动力学特性所唯一地确定。
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2.6 SD理论的基本观点及与其他学 科的关系
2、SD理论的基本观点 （5）开放复杂系统的其他重要性质
①在非平衡状态下运动、发展、进化是开放复杂系统的一 个重要行为特性； ②开放系统在不断与外界进行信息流、物质流、能量流的 交换过程中，获得外部动力；同时，在系统内部各组成部 分相互作用、相互协调，产生内部动力。在内外动力共同 作用下推动系统内的组成部分朝向共同目标发展； ③当系统进入远离平衡态的非线性区域阶段，系统与外界 进行物质、能量、信息交流显著增大，这时系统吸收的物 质与能量不足以补偿系统的耗散，系统从原来的混乱状态 变为一种新的有序结构。 15
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2.7 系统动力学的主要步骤
用SD解决问题可以大致分为5步 明确要解决的问题，具体包括： ①调查收集有关系统的信息与统计数据； ②了解用户提出的要求、目的与明确所要解决的问题； ③分析系统的基本问题与主要问题、基本矛盾与主要矛盾、 变量与主要变量； ④初步划定系统的边界，并确定内生变量、外生变量； ⑤确定系统行为的参考模式。
2、SD理论的基本观点 （1）前提条件 SD对系统进行分析与建模的前提条件是该系统必须是远离 平衡的有序的耗散结构。 （2）系统及其主要特性 ①社会、经济、生态系统都是具有自组织耗散结构性质的 开放系统； ②复杂系统是一类具有多变量、高阶次、多回路和强非线 性的反馈系统； ③系统的基本特性如整体性、层次性、集合性、相关性、 目的性等 。 13
系统动力学ppt课件
速率变量：又称变化率，随着时间的推移，使水平变量的 值增加或减少。速率变量表示某个水平变量变化的快慢。
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17
3、 基本概念
水平变量和速率变量的符号标识：
水平变量用矩形表示，具体符号中应包括有描述输入与输 出流速率的流线、变量名称等。
速率变量用阀门符号表示，应包括变量名称、速率变量控 制的流的流线和其所依赖的信息输入量。
注意：(1)常量方程中不能出现时间下标 (2)常量可以依赖于其他常量。
⑸初值方程
初值方程是给状态变量方程或者是某些需要计 算的常数赋予最初的值。
Li=Mi
Li：初始值名称
Mi：初始的数值
注意：(1)赋值方程中不能出现时间下标 (2)模型中每一个状态变量方程都必须赋予初始值， 因此每个L方程后都必须跟随一个N方程
边界优化是指系统边界及边界条件发生变化时引起系统结 构变化来获得较优的系统行为。
系统动力学就是通过计算机仿真技术来对系统结构进行 仿真，寻找系统的较优结构，以求得较优的系统行为。
可编辑课件
10
2.系统动力学的原理
系统动力学把系统的行为模式看成是由系统内部的信息反 馈机制决定的。通过建立系统动力学模型，利用 DYNAMO仿真语言和Vensim软件在计算机上实现对真实 系统的仿真，可以研究系统的结构、功能和行为之间的动 态关系，以便寻求较优的系统结构和功能。
可编辑课件
28
可编辑课件
29
Contents
1 2 3 4 5
系统动力学发展历程 系统动力学的原理 系统动力学基本概念 系统动力学分析问题的步骤 系统动力学实际案例
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30
4、系统动力学建模流程
任务调研 问题定义 划定界限
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17
3、 基本概念
水平变量和速率变量的符号标识：
水平变量用矩形表示，具体符号中应包括有描述输入与输 出流速率的流线、变量名称等。
速率变量用阀门符号表示，应包括变量名称、速率变量控 制的流的流线和其所依赖的信息输入量。
注意：(1)常量方程中不能出现时间下标 (2)常量可以依赖于其他常量。
⑸初值方程
初值方程是给状态变量方程或者是某些需要计 算的常数赋予最初的值。
Li=Mi
Li：初始值名称
Mi：初始的数值
注意：(1)赋值方程中不能出现时间下标 (2)模型中每一个状态变量方程都必须赋予初始值， 因此每个L方程后都必须跟随一个N方程
边界优化是指系统边界及边界条件发生变化时引起系统结 构变化来获得较优的系统行为。
系统动力学就是通过计算机仿真技术来对系统结构进行 仿真，寻找系统的较优结构，以求得较优的系统行为。
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10
2.系统动力学的原理
系统动力学把系统的行为模式看成是由系统内部的信息反 馈机制决定的。通过建立系统动力学模型，利用 DYNAMO仿真语言和Vensim软件在计算机上实现对真实 系统的仿真，可以研究系统的结构、功能和行为之间的动 态关系，以便寻求较优的系统结构和功能。
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Contents
1 2 3 4 5
系统动力学发展历程 系统动力学的原理 系统动力学基本概念 系统动力学分析问题的步骤 系统动力学实际案例
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30
4、系统动力学建模流程
任务调研 问题定义 划定界限
车辆系统动力学讲义ppt课件
式计算：
NMV6 a9p5xa9p5ya9p5z
车辆系统动力学讲义
温馨性的等级 NMV<1
1<NMV<2 2<NMV<4 4<NMV<5 5<NMV
最正确温馨性 良好温馨性 中等温馨性 不好温馨性 极差温馨性
温馨性和平稳性目的的差别 1. 丈量点和丈量的加速度不同； 2. 计算方法不同； 3. 评价方法(有无纵向)和等级不同；
W 0 .8(9 [j3 6 F (f)/f]0 .1 )
车辆系统动力学讲义
平稳性等级 平稳性目的分横向和垂向，平稳性等级是一样的。
客车 W<2.5 优 W<2.75 良好 W<3.0 合格
货车 W<3.5 优 W<4.0 良好 W<4.25 合格
车辆系统动力学讲义
平稳性指标
2.5
2.4
2.3
车辆系统动力学讲义
1.1 车辆动力学的开展
车辆动力学系统是一个复杂的系统，其开展依托科学 技术和研讨手段的提高。至今仍有大量问题没有处理。
60年代以前的传统方法
轮轨蠕滑实际的提出和运用
计算机技术的大量采用
大系统方法和复杂动力学模型
车辆系统动力学讲义
1.2 车辆动力学的主要研讨内容
车辆动力学模型的建立和求解 车辆动力学模型的验证
车辆系统动力学讲义
2.2 铁道车辆模型
1〕铁道车辆系统是一个由多个部件组成的复杂系统，每 个部件有6个自在度，再加上各体之间有复杂的非线性 力和几何约束关系，故传统的方法仍是采用多刚体动 力学实际，简化影响较小的要素，根据研讨的目的不 同建立各种简化模型。
普通不思索各车间的耦合，只建立单车模型； 普通不思索车辆－轨道的耦合，以为轨道是刚性的； 普通不思索车辆与接触网的耦合振动，其对车辆影响较
NMV6 a9p5xa9p5ya9p5z
车辆系统动力学讲义
温馨性的等级 NMV<1
1<NMV<2 2<NMV<4 4<NMV<5 5<NMV
最正确温馨性 良好温馨性 中等温馨性 不好温馨性 极差温馨性
温馨性和平稳性目的的差别 1. 丈量点和丈量的加速度不同； 2. 计算方法不同； 3. 评价方法(有无纵向)和等级不同；
W 0 .8(9 [j3 6 F (f)/f]0 .1 )
车辆系统动力学讲义
平稳性等级 平稳性目的分横向和垂向，平稳性等级是一样的。
客车 W<2.5 优 W<2.75 良好 W<3.0 合格
货车 W<3.5 优 W<4.0 良好 W<4.25 合格
车辆系统动力学讲义
平稳性指标
2.5
2.4
2.3
车辆系统动力学讲义
1.1 车辆动力学的开展
车辆动力学系统是一个复杂的系统，其开展依托科学 技术和研讨手段的提高。至今仍有大量问题没有处理。
60年代以前的传统方法
轮轨蠕滑实际的提出和运用
计算机技术的大量采用
大系统方法和复杂动力学模型
车辆系统动力学讲义
1.2 车辆动力学的主要研讨内容
车辆动力学模型的建立和求解 车辆动力学模型的验证
车辆系统动力学讲义
2.2 铁道车辆模型
1〕铁道车辆系统是一个由多个部件组成的复杂系统，每 个部件有6个自在度，再加上各体之间有复杂的非线性 力和几何约束关系，故传统的方法仍是采用多刚体动 力学实际，简化影响较小的要素，根据研讨的目的不 同建立各种简化模型。
普通不思索各车间的耦合，只建立单车模型； 普通不思索车辆－轨道的耦合，以为轨道是刚性的； 普通不思索车辆与接触网的耦合振动，其对车辆影响较
系统动力学讲稿
系统动力学讲稿第一篇：系统动力学讲稿a.水准（L）变量是积累变量，可定义在任何时点；速率（R）变量只在一个时段才有意义。
b.决策者最为关注和需要输出的要素一般被处理成L变量。
c.在反馈控制回路中，两个L变量或两个R变量不能直接相连。
d.为降低系统的阶次，应尽可能减少回路中L变量的个数。
故在实际系统描述中，辅助（A）变量在数量上一般是较多的。
P1 我们在上次课共同学习了系统动力学方法特点和基本原理，了解了系统动力学方法首先通过建立系统的因果关系图，将因果关系图转化为其结构模型——流（程）图，进而使用DYNAMO仿真语言对真实系统进行仿真。
所以我们说它是一种定性和定量相结合的分析方法。
P2 上节课我们讲到商店库存模型的分析，系统要素界定为商店和工厂，又由于我们要研究的库存量是一个与时间有关的要素（随时间的变化关系），所以我们还必须把商店销售、商店订货，工厂生产过程的各个环节考虑在我们的系统中。
P3 如图所示，是商品库存问题的因果关系图。
图中有两个反馈回路：第一个，我们要考察的商品库存量，它的多少对商店订货产生影响，商店订货到了工厂以后，工厂会根据自己的“未供订货量”来预定自己的产量、调整它的生产能力、进行产品生产，产品生产出来后送到商店仓库，使得商店库存增加（也即库存量发生变化），库存量的变化又会引起商店订货量变化……，这是一个负的反馈回路；第二个，工厂生产出产品，供货给商店的同时，又会引起“工厂未供订货”的减少，也是一个负的反馈回路。
还有一个关系要说明，商店的销售会对商店的库存和商店的订货量产生作用。
P4 下面我们进行将这个因果关系图转化为我们的结构模型——流（程）图。
从刚才的分析，显然商店库存是我们最关注和要考察的量，我们将它定为水准变量，记为L2；商店订货是人们的决策过程，它在一个时间段内订货量的多少，决定了工厂未供订货的大小，即它为一个速率变量，记为R1；工厂未供订货量是一个可以定义在任意时刻的量，我们把它定义为水准变量，记为L1；预定产量和生产能力都对工厂生产产品速率产生影响，很容易理解工厂生产是个速率变量，即为R2；对于预定产量和生产能力，我们可以将它定义为辅助变量，分别即为A1、A2；商品销售过程，是引起商店库存量变化的量，我们把它定义为速率变量，记为R3。
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＝ 0 , = 0
MT MT dt 0 t 0 方程的解: J J t t MT 1 MT 2 dt (0 t )dt 0t t 0 0 0 J 2 J 旋转机械
动力学方程的求解
电磁铁机构
M a kl12 a b
e
e
+ 2u2(Sq2e1 Cq2 e2
( 0) ( 0)
2. 用广义坐标表达主动力和惯性力
( e20)
( 主动力：F1= m 1g e20,)
( F2= m 2g e20 ) ，
B
c1 A
MB c2
q2
F2
M1= M1 e3
( 0)
M2= M2 e3
( 0)
F1
q1
e1( 0)
MA e 惯性力： 将速度对时间微分后得出: 2 ( 2 ( F1* m11 (u1Sq1 u1 Cq1 )e1 0) m1 (u1Cq1 u1 Sq1 )e20)
B
MB c2
Vc2
广义坐标：q1
、
q2
q2
c1
e
( 0) 1
ur qr ,
x
r = 1,2
A
MA
q1
质心速度和构件角速度矢量表达式
e
( 0) 3
( 0) ( Vc1= 1u1Sq1 e1 Cq1 e20 ) ( 0) ( 0) Vc2=r1u1Sq1 1 Cq1 2
( 1 u1e30 ) ( 2 u2e30 )
机械动力学分析与设计
刚性机械系统动力学(1) ---单自由度系统
刚性机械系统
实际问题的简化：
1 不考虑弹性变形，认为构件是绝对刚体 2 不考虑运动副中的间隙，认为运动副中 密切接触 3 不考虑运动副中的摩擦力影响 4 不计构件尺寸的加工误差
单自由度系统
一个活动构件
多个构件
构件通过运 动副约束
自由度=1
机械动力学分析与设计
第二讲 刚性机械系统动力学分析(2)
---多自由度系统
刚性机械系统动力学
多自由度 系统
开式运动链
闭式运动链
运动学关系复杂
需和运动约束方 程一起求解
一、用达朗伯原理建立动力学方程
(例) 用离合器联 接的传动系统
不同步阶段－－同步阶段－－稳定运转 离合器
J1
Md Mj
J2
Mr
2自由度 系统
l2
l1
k
情况2.
Je=常数 Me=Me( )
1 1 2 dJ e d d J ( M e 2 d ) e d dt
动力学方程的求解
情况2. Je=常数 Me=Me( ) 电磁铁机构 动 力 学 方 程 k
dJ e 1 1 d (M e 2 ) d J e 2 d d dt
动力学方程的建立
用达朗伯原理
例：平面四杆机构： N=3 方程数: n=9 未知数：8个约束反 力＋1个角加速度 构件运动 主动力 约束反力 动力学方程 3N个方程
未知量中 有约束反 力
分为若干个隔离体，建立每一个构件的动力学方程 质心
xi , yi 转角 i
动力学方程的建立
用达朗伯原理
例：平面四杆机构： N=3 方程数: n=9 未知数：8个约束反 力＋1个角加速度 3N个方程 未知量中 有约束反 力
2 v 2 i 1 J e 12 mi i J i 2 dt J ( M e 2 d ) e d dt
d E E U ( . ) Qr dt q qr qr
r
r 1,2... N
此处 N=1
v 2 2 1 2 2 1 2 E mi vi J ii 1 mi i J i i 2 i 1 2 i 1 1 i 1 1
a Mr b aMj b
t
二. 用凯恩方法建立动力学方程 凯恩(Kane)方程:
F
p
(r) p
F
n
*( r ) n
0
r=1,2…
广义坐标中的达朗伯原理
惯性力和 外力平衡
(例) 两自由度机械臂
y
( e20)
几何尺寸和质量特性：
B
MB c2
q2
c1
e
( 0) 3
c1、c2—质心位置 AB= r Ac1= 1 1 x Bc2= 2 m1,m2—质量 J1, J2—绕质心转动惯量
( 0) 3
2 F2* [m2 r1 (u1Sq1 u12Cq1 ) m2 2 (u2 Sq2 u2 Cq2 )]e1( 0) 2 ( [m2 r1 (u1Cq1 u12 Sq1 ) m2 2 ( u2Cq2 u2 Sq2 )]e20)
惯性力矩:
n
广义力
n ri xi yi zi Qr Fi ( Fix Fiy Fiz ) qr i 1 qr qr qr i 1
n
ri ri qr qr
M e Fi (
i 1
p
1
Vi
) cos i M i (
( M 1* J c1u1e30)
* ( M 2 J c 2u2e30)
将主动力、惯性力转换到广义坐标中去
单自由度系统动力学方程
等效力矩（广义力）
M 1 1 FiVi cos i M ii
e
( 0) 1
A
MA
q1
系统坐标
1. 用广义坐标表示各构件速度
y
( e20)
Vc1
B c1
MB c2
Vc2
q2
选取构件1、2的转角为 广义坐标：q1 、 q2 x
e
( 0) 3
e
( 0) 1
A
MA
q1
取广义速率：
ur qr ,
r = 1,2
1. 用广义坐标表示各构件速度
y
( e20)
Vc1
转动构件为等效构件
1. Je=常数 Me= 常数 2 J =常数 M =M ( )
e e e
3. Je=常数 M e=M () 4.
J e J e ( ) M e M e ( , )
Je=Je( )
M e M e ( , t )
5.
动力学方程的求解
情况1. Je=常数
Me= 常数
n
n
n
可用一个构件等效— —动能不变原则
等效转动惯量—Je
用拉氏方程建立动力学方程
d E E U ( . ) Qr dt q qr qr
r
r 1,2... N
此处 N=1
•在动能相等的前提下，将系统的惯性参数等效为一个构件
2 v 2 i 1 2 J e 1 mi i J i 等效转动惯量—Je 2 i 1 1 1 n
可能情况:
J( Md ( ， ) , ) Mr( ) , M j( )
简单情况可得解析解
J1 Md 例如: Md=a-b1 Mj=常数 (摩擦力矩) Mr=常数 Mj 第 一 阶 段 J2
用达朗伯原理建 立动力学方程
Mr 不同步运转 动力学方程:
启动
Mj=常数,可分别求解 当 t=0,1 10 , 2 0 时,
dJ e 1 1 d (M e 2 ) d J e 2 d 或 d dt
常见的动力学 方程类型
1 2 dJ e d 1 dt J ( M e 2 d ) e d dt
单自由度机械系统动力学微分 方程的解法：取决于等效力 （矩）和等效转动惯量（等效 质量）的变化与否。 解法：解析法和数值法
b a t) J b
2 b 2 b 2a (a ) ( 2) J 2 J b
课外练习一：
D 已知: M =2000-0.36 -0.0201 2 Nm d Md
D=300 mm
Je
m
Je=0.1 kg-m2 m=1000 kg
1. 试写出启动过程(初始速度 0=0)的 动力学方程. 2. 计算速度达到稳定速度95%时所 需的时间.
d1 J1 Md M j dt d 2 J2 M j Mr dt
aMj 1 10 e b
b t J1
aMj , M j Mr 2 t b J2
J1 第二阶段 同步运转 Md 当 1 Mj
J2
Mr
2时, t t0 , 0
p
Vi
q
动力学方程
拉氏方程
E － E U d Qr ( . ) qr qr dt q r
M e Fi (
i 1 p
广义坐标
1
q
等效力矩（广义力）
1
Vi
) cos i M i (
i 1
i ) 1
1 E J e12 等效转动惯量 2
动力学方程：
Md
Mj
稳定运转
J1 t a M j e b
b
Mr
,
b
2
M j Mr J2
t
同步阶段:
0
a Mr J t a Mr 0 e b b J J1 J 2
2
不同步阶段－－同步阶段－－稳定运转
1
t0