数学模型第九章灰色系统方法建模--9.1灰色关联度与优势分析
灰色系统分析讲义(精)
数学建模讲稿-------灰色系统分析五步建模思想研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。
这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。
系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。
第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。
第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图１）。
(a) (b)图１一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。
一个系统包含许多这样的环节。
有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图２所示），即为网络模型。
图１第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。
第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。
动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。
第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。
这样得到的模型，称之为优化模型。
五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：网络模型优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。
数学建模讲稿-------灰色系统分析灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：1科学实验数据；○2经验数据；○3生产数据；○4决策数据。
（1）建立模型常用的数据有以下几种：○（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。
灰色系统建模_-PPT精品文档53页
x (1) (t ) 1 ( x (1) (k ) x (1) (k 1)) 2
X 0 k
1
a
1 2
(
x
(1)
(
k
)
x (1) (k
1)
)
31
设 ˆ
为待估参数向量，ˆ
a
，可利用
最小二乘法求解。解得：
ˆBTB1BTYn
13
第二步：求序列差
2 0 ,0 .1 1 6 ,0 .1 9 9 ,0 .2 3 3
3 0 ,0 .0 2 3 ,0 .1 0 6 ,0 .1 1 5 4 0 ,0 .0 6 7 ,0 .1 1 8 ,0 .2 1 3
第三步：求两极差
Mmaxmaxi k0.233 mminmini k0
6
二、灰色关联分析
• 灰色关联分析根据因素间发展态势的相似 或相异程度，来衡量因素之间的关联程度 的一种系统分析方法。
• 其基本思想是根据序列曲线几何形状的相 似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接 近，相应序列之间的关联度就越大，反之 就越小。
7
8
关联度
灰色关联分析通过计算系统内各因素间的关联度进 行系统分析，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
14
第四步：计算关联系数 取ρ=0.5，有：
1ikik0.1 01 .16 17 6 ,i 5 72,3 5,4
从而：
12111220.501 1230.370 1240.334
13111320.836 1330.525 1340.505
灰色关联度分析
灰色关联度分析一、 灰色关联分析及理论对于两系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性的大小的量度，称为关联度。
在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即变化程度较高，即可谓二者的关联度较高；反之，则较低。
因此，灰色关联度分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，即“灰色关联度”作为衡量因素之间关联程度的一种方法。
灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定方法，去寻求系统各子系统（或因素）之间数值的关系。
因此，灰色关联度分析对于一个系统的发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。
灰色关联度分析方法模型灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略）)(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。
根据R 的数值，进行排序。
（1）确定最优指标集设],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。
此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。
选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略）式中ikj 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。
（2）指标的规范化处理由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。
设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈ikC 。
ikk k i ki k j j j j C --=21，m i,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略）（3）计算综合评判结果 根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C=作为参考数列，将],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即i kkkii kki k k k ii k k kiCC C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。
《数学建模灰色模型》PPT课件
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
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35
灰建模实例： 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号 年份
Leq 序号
年份
Leq
1
1986
71.1 5
1990
71.4
2
1987
72.4 6
1991
72.0
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6
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
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Байду номын сангаас
树高在20米至30米
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表1.1 三种不确定性方法的比较
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统
概率统计
模糊数学
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
灰色朦胧集 康托集
模糊集
信息覆盖
映射
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二、灰色系统模型
通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分 预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描 述，是模糊预测领域中理论、方法较为完善的预 测学分支之一。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定 幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机 过程看成灰色过程。
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14
灰色模型的优点:
映射
灰序列生成 频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律 认知表达
小样本
大样本
凭借经验
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灰色系统分析方法.精选优秀PPT
〔2〕初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除 后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化 数列。
一、灰色关联度分析
〔此处不做详细讲解：本人还没有掌握，实用性不强〕 而灰色数列GM〔2,1〕模型为单序列二阶线形动态模型，它改进了这种局限性，不仅可以预测，还可以进行动态分析。
一、灰色关联度分析
设 x1,x2, ,xN为N个因素，反响各因素变化特性
的数据列分别为 x 1 t , x 2 t , , x N t ,t 1 , 2 , ,M
因素 x j 对 x i 的关联系数定义为
i(k ) m i m x 0 k k i x n x 0 ik ik n x i k m m m iam x 0 k x a k a x x 0 x ix k a k x ix k
主要内容
一、灰色关联度分析 二、灰色GM〔1,1〕模型 三、灰色GM〔2，1〕模型 四、灰色GM〔1，N〕模型
一、灰色关联度分析
关联度是对两个系统或两个因素之间关联性大小 的度量。灰色关联度分析法是建立在灰色系统理 论根底上的一种对系统开展变化态势的定量描述。 它根据评价因素间开展态势的相似和相异程度来 确定评价因素的关联程度。 关联度分析的核心是计算关联系数和关联度。
二、灰色GM〔1,1〕模型 如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 为两级最大差； 灰色关联度分析法是建立在灰色系统理论根底上的一种对系统开展变化态势的定量描述。 第二步：在“其他〞菜单栏中找到“灰色系统方法〞，在其箭头里找到“灰色系统分析〞 例如，时间序列〔1，3，4，7，5，9〕变化趋势不明显，对其元素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列〔1，2，8，15，20，29〕。 原始数据变换方法如下： 〔3〕标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标准差，得到的数据即为标准化序列。 x(t+1)=1989033.
灰关联分析与灰色系统建模
Step 3: 确定参考数据列：
{x0 } {9, 9, 9, 9, 8, 9, 9}
Step 4: 计算
编号 1 2 3 4 5 6 专业 1 2 0 3 1 1 外语 0 1 2 1 3 0
x0 (k ) xi (k )
教学量 科研 1 2 0 1 3 4 2 4 3 1 0 2
， 见下表
i (4)
0.636 0.467 0.538 0.778 1.000 0.636
i (5)
0.467 0.636 0.538 0.412 0.778 0.538
i (6)
0.333 0.368 0.412 0.368 0.368 0.412
i (7)
1.000 0.778 0.636 0.538 0.778 0.778
5.灰色关联分析的应用举例
例1：利用灰色关联分析对6位教师工作
状况进行综合评价 Step 1: 评价指标包括专业素质、外语 水平、教学工作量、科研成果、论文、 著作与出勤．
Step 2: 对原始数据经处理后得到以下数 值，见下表
编号 1 2 3 4 5 6 专业 8 7 9 6 8 8 外语 9 8 7 8 6 9 教学量 8 7 9 8 6 5 科研 7 5 6 8 9 7 论文 著作 5 7 6 4 8 6 2 3 4 3 3 4 出勤 9 8 7 6 8 8
Step 8: 如果不考虑各指标权重（认为各指 标同等重要），六个被评价对象由好到劣 依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号． 即 r01 r05 r03 r06 r02 r04
例2：工业、农业、运输业、商业各部门的 行为数据如下：
工业 农业 运输业 商业
X1 45.8,43.4, 42.3,41.9
数模选修灰色预测与灰色关联度分析详解
三种不确定性系统研究方法的比较分析
(灰色系统理论、概率统计、模糊数学)
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重点
目标 特色
灰色系统 贫信息不确定
灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列算子 任意分布
内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定
康托集 映射
频率统计 典型分布
内涵 历史统计规律
r 0 1 r 0 5 r 0 3 r 0 6 r 0 2 r 0 4
28
存在的问题及解决方法
29
《灰色预测与决策模型研究》 党耀国 刘思峰等著 科学出版社
本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对关联度，相对关联度等 等，并且针对各自的适 用范围进行了讨论。 所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。
＝0.5
1(1)1 0 0 0..5 5 7 70.778，1(2)0 0 0 0..5 5 7 71.000 1(3)＝ 0.778， 1(4)＝ 0.636， 1(5)＝ 0.467， 1(6)＝ 0.333 1(7)＝ 1.000，
26
同理得出其它各值，见下表
编号
i(1) i(2 ) i(3) i(4 ) i(5) i(6 ) i(7 )
33
令 x(0)为 原 始 序 列 ,x(0)[x(0)(1),x(0)(2), ,x(0)(n)],
记 生 成 数 为 x(1),x(1)[x(1)(1),x(1)(2), ,x(1)(n)],如 果
x(1)与 x(0)之 间 满 足 如 下 关 系 :
k
x (1 )(k ) x (0 )(i);k 1 ,2 , ,n i 1
例：x (0) =(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8) 求 x(1)(k) 解：
数学建模方法之灰色系统模型
,L
,
0
x0
n n
0, 0.0002, 0.00228, 0.0002 @ 1,2,3, 4
• 平均相对误差
1 4
4
k
k 1
0.00067
0.067%
0.01
• 模拟误差4 0.0002 0.01，精度为一级。
• 计算 X 与x$ 的灰色绝对关联度 ：
s
3
xk x1
k 2
1 2
x$1 k 1 313834e0.089995k 286574
x$
k
1
x$1
k
1
x$1
k
• 得模拟序列
µX x$1, x$2,L , x$4 27260, 29533,32337,35381
• 残差序列 0 0, 6,74,7
• 相对误差序列
V
0 1 x0 1
, 0
x0
2 2
进行预测。
练习3：预测第五届会议参会人数 已知1、以往四届会议代表回执和与会代表情况如下表
第一届 第二届 第三届 第四届
发来回执的代表数量 315
356 408
711
发来回执但未与会的 89 代表数量
未发回执而与会的代 57 表数量
115 121 213
三、数列预测举例
• 数列预测是对系统变量的未来行为进行预 测，灰色系统基本模型GM（1，1）是较常 用的数列预测模型。根据实际情况，也可 以考虑采用其他灰色模型，在定性分析的 基础上，定义适当的算子，对算子作用后 的序列建立GM模型，通过精度检验后，即 可用于预测。
• 例1河南省长葛县乡镇企业产值（数据来源于 长葛县统计局）。
• 定义2.3设 X 0 为原始序列，X$0 为相应的模拟序
(完整版)灰色关联度优点
(完整版)灰色关联度优点灰色关联分析法优势：灰关联分析是按发展趋势做分析，因此对样本量的多少没有过多的要求，也不需要典型的分布规律，而且计算量比较小,其结果与定性分析结果会比较吻合。
因此，灰关联分析是系统分析中比较简单、可靠的一种分析方法。
缺点：灰色关联分析法是借助于灰色关联度模型来完成计算分析工作的，目前已经建立起来的一些计算灰色关联度的量化模型都有各自的优点和适用范围，随着灰色关联分析理论应用领域的不断扩大，现有的一些模型存在的不足之处使得其不能很好地解决某些方面的实际问题，也使得灰色关联分析整个理论体系目前还不是很完善，其应用受到了某些限制。
所以灰色关联分析模型及其应用的研究工作者不断地对灰色关联分析模型进行改进和完善。
本文针对其中的几个量化模型做进一步的改进工作，使其尽量地克服自身存在的不足，以期扩大灰色关联理论与方法的适用范围，使之更加适合于现实问题的分析。
限制：其实，要利用该方法，这个系统必须是灰色系统。
灰色系统中灰的主要含义是信息不完全性（部分性) 和非唯一性，其中的“非唯一性”是灰色系统的重要特征，非唯一性原理在决策上的体现是灰靶思想，即体现的是决策多目标、方法多途径,处理态度灵活机动；在分析上体现的是关联序:关联度的大小并不重要，重要的是关联序；在求解过程中体现的是定性与定量相结合，面对许可能的解,需要通过信息补充，定性分析，以确定一个或几个满意解［2]. 因此灰关联分析模型不是函数模型，是序关系模型，其技术内涵为：获取序列间的差异信息，建立差异信息空间；建立和计算差异信息比较测度;建立因子间的序关系 .灰色关联空间涉及到灰关联因子空间、灰关联差异信息空间等。
灰色关联因子空间是灰关联分析的基础，其是由具备“可比性”、“可接近性”、“极性一致性”的序列构成,灰关联差异信息空间则是灰关联分析的依据[4］.。
灰色关联度方法介绍
灰色关联度方法介绍一、什么是灰色关联度方法1.1 灰色关联度方法的定义灰色关联度方法是一种用于分析、预测和决策的数学方法，由我国科学家陈彦斌于1988年提出。
它是一种相对较新的分析方法，可以应用于各种具有不确定性和模糊性的问题，特别在工程和管理领域得到广泛应用。
1.2 灰色关联度方法的特点灰色关联度方法的特点主要包括以下几个方面：1.适用范围广：灰色关联度方法可以用于处理不确定性、模糊性较强的问题，适用于各种实际情况。
2.简单易懂：灰色关联度方法基于数学模型，计算过程相对简单，容易理解和操作。
3.较强的应用性：灰色关联度方法可以广泛应用于决策分析、预测和优化等领域，并取得不错的效果。
二、灰色关联度方法的步骤2.1 确定比较对象与指标在应用灰色关联度方法进行分析前，首先需要明确比较的对象和相关指标。
比较对象可以是不同的产品、项目、方案等，指标可以是性能指标、经济指标、质量指标等。
2.2 数据标准化处理为了消除指标之间的量纲不同和取值范围不同的影响，需要对原始数据进行标准化处理。
常用的方法包括极差标准化法和零一标准化法。
2.3 计算关联系数和关联度通过计算比较对象之间指标的关联系数，可以得到相对于参考对象的关联度。
关联系数的计算公式为：R i=minmj=1|x i(j)−x0(j)|+ρ⋅maxmj=1|x i(j)−x0(j)||xi(j)−x(j)|+ρ⋅maxmj=1|xi(j)−x(j)|其中，R i表示第i个比较对象相对于参考对象的关联系数，x i(j)表示第i个比较对象的第j个指标值，x0(j)表示参考对象的第j个指标值，m表示指标的个数，ρ是一个平衡系数。
然后，可以通过计算关联系数的加权平均值得到关联度，关联度的计算公式为：R i‾=1m∑w jmj=1⋅R i(j)其中，R i‾表示第i个比较对象的关联度，w j表示第j个指标的权重。
2.4 确定排名根据计算得到的关联度，可以确定比较对象的排名。
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n
k
k 1
n
2
( k )2 / n
k 1
j n
sign
sign
，则 X
，则 X
数学建模
i
和 X j 为正关联； 和 X j 为负关联。
j n
i
三、优势分析 当参考数列不止一个，被比较的因素也不止一个 时，则需要进行优势分析。 假设有 m 个参考因素， 记为 Y 比较数列， 记为 X
数学建模
i 15 ,16
依照问题的要求，我们自然选取铅球运动员专项 成绩作为参考数列，将上表中的各个数列的初始化数 列代入（1）（2） 、 ，易计算出各数列的关联度，如下表 所示。
r
1
r
2
r
3
r
4
r
5
r
6
r
7
r
8
0.588 0.633 0.854 0.776 0.855 0.502 0.659 0.582
第九章 灰色系统方法建模
2012-9-2
数学建模
客观世界的很多实际问题，其内部 的结构、参数以及特征并未被人们全部 了解，人们不可能象研究白箱问题那样 将其内部机理研究清楚，只能依据某种 思维逻辑与推断来构造模型。对这类部 分信息已知而部分信息未知的系统，我 们称之为灰色系统。本章介绍的方法是 从灰色系统的本征灰色出发，研究在信 息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实 际问题进行分析和解决。
数学建模
1982 346 205 15.1 29.2 23.5 216.4 80.7 99.83 18.9 5.06 11.98
1983 367 222.7 14.57 30 27.66 235.8 89.85 103.4 22.8 5.78 13.95
308.58 195.4 24.6 20 18.89 170 57.55 88.56 11.19 4.03 13.7
指 铅球专项成绩 4 公斤前抛 4 公斤后抛 4 公斤原地 立定跳远 高翻 抓举 卧推 3 公斤前抛 3 公斤后抛 3 公斤原地 3 公斤滑步 立定三级跳远 全蹲 挺举 30 米起跑 100 米
标
X 0 X 1
1982 13.60 11.50 13.76 12.21 2.48 85 55 65 12.80 15.30 12.71 14.78 7.64 120 80 4"20 13"10
i k i 数学建模 k
X 0 (k ) X i (k )
X 0 ( k ) X i ( k ) max max
X 0 (k ) X i (k )
（1）
为比较数列 X 对参考数列 X 在 k 时刻的关联系数，其
i 0
中 [ 0 , ) 为分辨系数。一般来讲，分辨系数 [ 0 ,1] ， 由（1）容易看出， 越大，分辩率越大； 越小，分 辩率越小。 式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数 列在某时刻关联程度的一种指标， 由于各个时刻都有一 个关联系数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为 此我们给出
2012-9-2 数学建模
§1 灰色关联度与优势分析
大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁 多。我们经常要对系统进行因素分析，这些因素中哪 些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发 展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。 一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上， 因素间关联性如何、 关联程度如何量化等问题是系统 分析的关键。
2012-9-2 数学建模
例如人们关心的人口问题构成一个系统， 影响人 口发展变化的因素有社会方面的诸如计划生育、 社会 治安、 社会生活方式等； 有经济方面的诸如国民收入、 社会福利、社会保险等；还有医疗方面的诸如医疗条 件、医疗水平等……也就是说，人口是多种因素互相 关联、互相制约的系统，对这些因素进行分析将有助 于人们对人口的未来预测及人口控制工作。
X X X X
Y Y
Y Y Y
Y
2012-9-2
根据表中的数据,易计算出各个子因素对母因素的关联 度，从而得到关联矩阵为
0 . 811 0 . 641 0 . 839 R 0 . 563 0 . 819 0 . 795 0 . 770 0 . 624 0 . 828 0 . 552 0 . 780 0 . 812 0 . 648 0 . 578 0 . 720 0 . 542 0 . 649 0 . 714 0 . 743 0 . 809 0 . 588 0 . 616 0 . 707 0 . 584 0 . 920 0 . 680 0 . 735 0 . 535 0 . 875 0 . 613
从关联矩阵 R 可以看出
2012-9-2 数学建模
1、第 4 行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影 响不大，即商业是一个不太需要依赖外资而能自行发 展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资 多收入的观点看，这是优势； 2、 r 15=0.920 最大，表明交通投资的多少对国民收入 的影响最大； 3、 r 55=0.875 仅次于 r 15，表明交通收入主要取决于交 通投资，这是很自然的；
15=（4"20，4"25，4"10，4"06，
3"99）及数列 X 16=（13"10，13"42，12"85，12"72， 12"56）进行初始化处理时，采用以下公式
X
2012-9-2
i
X i (1) X i (1) X i (1) X i (1) 1, X ( 2 ) , X (3) , X ( 4 ) , X (5 ) i i i i
数学建模
其数据列于下表。
1979
X
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
1980 310 189.4 21 25.6 19 174 70.74 70 13.28 4.26 15.6
1981 295 187.2 12.2 23.3 22.3 197 76.8 85.38 16.82 4.34 13.77
其中 k 表示时刻。 假设有 m 个比较数列
X i { X i ( k ) k 1, 2 , , n } ( X i (1), X i ( 2 ), , X i ( n )) ( i 1, 2 , , m )
则称
i (k )
2012-9-2
min min
i k
X 0 ( k ) X i ( k ) max max
1
1
, Y2 , , Ym ， 再设有 n
个
, X 2 , , X
n
。 显然， 每个参考数列对 n 个
j
比较数列有 n 个关联度， rij 表示比较数列 X 对参考数 设 列 Y 的关联度，可构造关联矩阵 R
i
( rij ) m n 。根据矩阵 R
的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影 响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为
ri 1
n
n
i (k )
数学建模
0
k 1
（2）
为比较数列
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X
i
对参考数列 X 的关联度。
由式（2）容易看出，关联度是把各个时刻的关 联系数集中为一个平均值， 即把过于分散的信息集中 处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进 行因素分析。在利用（1）和（2）计算关联度之前， 我们还需要对各个数列做初始化处理。一般来讲，实 际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在 计算关联系数时，要求量纲要相同。因此要首先对各 种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求所 有数列有公共的交点。
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因素分析的基本方法过去主要是采用回归分析 等办法，但回归分析的办法有很多欠缺，如要求大量 数据、计算量大以及可能出现反常情况等。为克服以 上弊病， 本节采用灰色关联度分析的办法来做系统分 析。
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一、灰色关联度 选取参考数列
X 0 { X 0 ( k ) k 1, 2 , , n } ( X 0 (1), X 0 ( 2 ), , X 0 ( n ))
1983 14.01 13.00 16.36 12.70 2.49 85 65 70 15.30 18.40 14.50 15.54 7.56 125 85 4"25
1984 14.54 15.15 16.90 13.96 2.56 90 75 75 16.24 18.75 14.66 16.03 7.76 130 90 4"10 12"85
1985 15.64 15.30 16.56 14.04 2.64 100 80 85 16.40 17.95 15.88 16.87 7.54 140 90 4"06 12"72
1986 15.69 15.02 17.30 13.46 2.59 105 80 90 17.05 19.30 15.70 17.82 7.70 140 95 3"99 12"56
X 2 X 3
X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13
X 14 X 15 X 16
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13"42
我们对表中的 16 个数列进行初始化处理。 注意， 对于前 14 个数列，随着时间的增加，数值的增加意 味着运动水平的进步，而对后两个数列来讲， 随着时 间的增加，数值（秒数）的减少意味着运动水平的进 步。因此，在对数列 X
r
9