不定积分的第一类换元积分法精编版
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不定积分之第一换元法
第二类换元积分法 分部积分法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
08-不定积分的第一类换元法课件
2 cos 2x d x ．
u ( x )
cos x d x sin x C
解 2cos 2x d x cos 2x(2x)d x
cosu d u
sin u |u2x C
u2 x
sin 2x C ．
例
求积分
1 3 2x
d
x
．
f
[ ( x )] ( x) d x f (u) d u
例如
3
1 2x
d
x
1 2
1 3 2x
d(3
2x)
1 2
ln
|
3
2x
|
C
．
凑微分法
例 求积分 2x ex22 d x ． 解 2x ex2 d x ex2 d(x2 )
ex2 C ．
例 求积分 x 1 x2 d x ．
解
x 1 x2 d x
1
(1
x
2
)
1 2
d(1 x2 )
1 x2 1 x2
所以
2 1 x2 ，
2 1 x2 d x x 1 x2 arcsin x C ．
定理 设函数 f (x) 有原函数 F(x)，且 u (x)可导，
则
f [(x)](x) d x F[(x)] C f (u) d u ． u ( x )
f (u)d u F(u) C
例
求积分
x2
1
a2
d
x
(a
0)
．
解
因为
1 x2 a2
1 1 2a x a
x
1
a
，
所以
x2
1
a2
d
x
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
第一节 不定积分(之二)
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
不定积分的第一类换元法演示精品PPT课件
2
类似可得
sec xdx ln | sec x tan x | c
27
小结
1. 第一换元法（凑微分法） 令φ(x)=u , 最后换回原变量 x
28
2. 三个常用公式
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
x x
a a
|
c
csc xdx ln | csc x cot x | c
sec xdx ln | sec x tan x | c
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1
2 x2 2x 2
(x2 1)2 1
1 ln(x 2x 2) arctan(x 1) c 2
12
例7
dx x(1 2 ln
x)
1
1 2 ln
d x
ln
x
1 2
1
1 2 ln
d x
2
ln
x
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
1 ln |1 2 ln x | c 2
13
例9
e3 x
5
例2 e2xdx
1 e2xd 2x
2
1 d (e2x )
2 1 e2x c
2
6
例3
1
2
x x
2
dx
1
1 x
2
dx
2
1
1 x
2
d
(1
x
2
)
d ln(1 x2 )
类似可得
sec xdx ln | sec x tan x | c
27
小结
1. 第一换元法（凑微分法） 令φ(x)=u , 最后换回原变量 x
28
2. 三个常用公式
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
x x
a a
|
c
csc xdx ln | csc x cot x | c
sec xdx ln | sec x tan x | c
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1
2 x2 2x 2
(x2 1)2 1
1 ln(x 2x 2) arctan(x 1) c 2
12
例7
dx x(1 2 ln
x)
1
1 2 ln
d x
ln
x
1 2
1
1 2 ln
d x
2
ln
x
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
1 ln |1 2 ln x | c 2
13
例9
e3 x
5
例2 e2xdx
1 e2xd 2x
2
1 d (e2x )
2 1 e2x c
2
6
例3
1
2
x x
2
dx
1
1 x
2
dx
2
1
1 x
2
d
(1
x
2
)
d ln(1 x2 )
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
第一类换元积分法
u2 C 2
ln 2 x C 2
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
例9、 sin2x cosxdx
例10、 2
sin x cos
x
dx
解：原式
u sin x
sin2xd sin x 解：原式
u 2du
1 (sin x)dx 2 cos x
1 u3 C 3
2
1 ( cos u) C 2
（4）u还原为x
1 cos(2x 3) C 2
1 4
sin
udu
1 ( cosu) C 4
1 cos(4x 5) C 4
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
凑微分公式1：dx 1 d(ax b) a
例4、e5x3dx
练习2： e6x2dx
（1）凑微分
第二节 换元积分法
凑微分公式2：xdx 1 d(x2 b) 2
例6、xex2 2dx
凑微分公式 2：xdx 1 d (a x2 b) 2a
例7： xe3x2 2dx
（1）凑微分
解：原式 1 ex22d (x2 2) 2 （2）换元
1 2
eu du
（3）查积分公式写结果
解：原式 1 e3x2 2d (3x2 2) 6
2、利用微分公式凑微分
exdx dex
1 x2
dx
d
1 x
sin xdx d cos x
1 dx d x
cos xdx d sin x 2 x
1 dx d ln x x
2xdx dx2
第四章 不定积分
二、小结与布置作业 第一类换元积分法
熟背不定积分的基本公式， 勤做题，善积累，练就一双 火眼金睛，找出相应公式。
ln 2 x C 2
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
例9、 sin2x cosxdx
例10、 2
sin x cos
x
dx
解：原式
u sin x
sin2xd sin x 解：原式
u 2du
1 (sin x)dx 2 cos x
1 u3 C 3
2
1 ( cos u) C 2
（4）u还原为x
1 cos(2x 3) C 2
1 4
sin
udu
1 ( cosu) C 4
1 cos(4x 5) C 4
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
凑微分公式1：dx 1 d(ax b) a
例4、e5x3dx
练习2： e6x2dx
（1）凑微分
第二节 换元积分法
凑微分公式2：xdx 1 d(x2 b) 2
例6、xex2 2dx
凑微分公式 2：xdx 1 d (a x2 b) 2a
例7： xe3x2 2dx
（1）凑微分
解：原式 1 ex22d (x2 2) 2 （2）换元
1 2
eu du
（3）查积分公式写结果
解：原式 1 e3x2 2d (3x2 2) 6
2、利用微分公式凑微分
exdx dex
1 x2
dx
d
1 x
sin xdx d cos x
1 dx d x
cos xdx d sin x 2 x
1 dx d ln x x
2xdx dx2
第四章 不定积分
二、小结与布置作业 第一类换元积分法
熟背不定积分的基本公式， 勤做题，善积累，练就一双 火眼金睛，找出相应公式。
微积分不定积分__换元积分法(第一类)
例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结 常用简化技巧 常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求 解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C
20-不定积分的第一类换元积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例例43.
x
1
x2
dx
1 2
d u1dx(21(1xx22))dx(1
12x2u)'1dx1x2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
原式
2
cos
u
1 2
du
du d(2x) (2x)'dx 2dx. 1
cccooossusuuddduuussisinninuuuCCCssisinnin222xxxCCC
dx du, 2
例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2 ,
原式
2
11(1ax(1ax)2)d2 daxaxa
a
a
例13
求
1 dx (a 0)
a2 x2
解
a2a121x2xd2 xdx1a1a
111( 1ax( a)x2)2dxdx
11 11( x(
a
a)x2)2d
daxaxaracrscisninaxax
111(1ax( ax)2)2dxdx
111( 1ax( ax)2)2ddaxaxaracrscisninax
x
f
f (cos x) sin xdx f (cos x)dcosx f (tan x) sec2xdx f (tan x)d tan x
f (sec x) sec x tan x dx f (sec x)d sec x
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ex2d(x2) eudu eu C ex22 C
5
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u 2x.
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铃
f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
如何确定u=j(x)？ 有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例例43.
解
法一
1
1 ex dx
1
1
e
x
ex
e
x
dx
1
ex 1 ex
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d(1
e
x
)
u = ex
exdx d(ex )
x ln(1 ex ) C
12
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例12
例7
求
sin
tan x dx. x cos x
解
sin
tan x x cos
x
dx
tan
tan x x cos2
x
dx
1 d(tan x) tan x
u tan x, d(tan x) sec2 xdx,
d(tan
x)
1 cos2
x
dx.
2 tan x C.
9
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10定积分应用举例
11定积分及其应用习题课
12二重积分的概念与性质
13二重积分的计算(1)
14二重积分的计算(2)
15多元函数积分学习题课
16微分方程基本概念、可分离变量微分方程
17一阶线性微分方程，齐次方程
2
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第四章 不定积分
不定积分是求导的逆运算，难度高于求导， 我们陆续介绍一些算法， 其共同点是将较复杂的积分化为较简单的积分， 最终化为p143的简单积分形式并得结果。算法需要从算例中体会。
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铃
f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
如何确定u=j(x)？
有时可通过凑微分确定 u＝j(x)
例8
ln x x
dx
ln x d(ln x)
1 ln 2 x C. 2
例9
x 1 x4
dx
1
2
1
1 (x2 )2
1)
ln
u
ln(u
1)
C
ln
ex ex 1
C
13
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铃
例12
求
1 1 ex dx
法三
1
1 ex dx
ex
ex
dx 1
e
1 x
1
d(e
x
)
1 ex 1
d(ex
1)
ln(ex 1) C.
14
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的正弦函数sin =对边/斜边；
的余弦函数cos =邻边/斜边；
的正切函数tan =对边/邻边；
的余切函数cot =邻边/对边；
的正割函数sec =斜边/邻边；
的余割函数csc =斜边/对边；
这六个三角函数之间的关系
请复习高中课本
tan xdx ln |cosx|C , cotxdx ln |sin x|C
宏 武 徐 敏
朝 坤 陈 昊
铭 杰 黄 裕
琪 赖 其
颖 曾 子
楠 王 丽
总评成绩构成： 期末闭卷笔试60分； 考勤15分;书面作业20分;课堂表现5分
宏 侯 倩 慧
安 肖 建 昌
玲 陈 斌
曾梁罗
巧曾焯
铭铭文
黄彭郑
嘉俊永 贤秋杰
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讲台
刘张 梦小 君花 苏陈 敏钧 涵荣 张周 晓国 敏鹏 符黄 敏滢 贞 练方 水捷 香 黎崔 捷金
第二节 不定积分的换元积分法
第一类换元法.
第一类换元法.
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一、第一类换元法
❖定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f [j(x)]j(x)dx [ f (u)du]uj(x)
(1)
证 因 [F(j(x))] F(j(x)) j(x)
锦晓诗
旋琳健
张朱黄 门
泽明德 口
锦煜发
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经济数学(MM1009,UE)
禤啟沃(Xuan QiWo):周五(1,2)A101
为经济学等课程打基础，形成连续与 离散、无穷与有限对立统一方法体系
课件: ftp:\\172.16.3.240 国贸系-启沃-经济数学
内容:不定积分;定积分;多元微积分 邮箱:xqwwork@ 答疑:周四(3~6)国贸系办公室
f (j(x)) j(x),
故 f [j(x)]j(x)dx F[j(x)] C
[ f (u)du]uj(x)
(1)可将较复杂的积分化为较简单的积分。
关键是确定中间变量u=j(x)。
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
du
1 ln 1 u C 2 1u
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
x x
a a
|C
1 ln 1 cosx C 2 1 cosx
见例15
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一些三角函数的积分
例1188
sec
1
a2
dx
1 2a
ln
|
x x
a a
|C
16
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一些三角函数的积分
例16 求 tan xdx.
解
原式=
sin xdx c os x
d cosx c os x
ln cos x C
积分公式：
高中三角函数：
斜边
对 边
邻边
直角三角形
锐角的三角函数
返回
exdx d(ex )
u = e -x
三种方法所得结果 容易看出是一致的。
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例例163.
a2
1
x2
dx
1 a2
1
1 (x
)2
dx
1 aຫໍສະໝຸດ 11 (x)2d
x a
a
a
1 arctan x C
a
a
例14 当a0时,
aa2121xx22ddxx1a1a
总评成绩构成： 期末闭卷笔试60分； 考勤15分;书面作业20分;课堂表现5分
周 内容
教学进度表
1 不定积分的概念及性质
2 不定积分的第一换元积分法
3 不定积分的第二换元积分法
4 不定积分的分部积分法
5 不定积分的应用，习题课
6 定积分的概念及性质
7 微积分基本公式
8 定积分换元积分法
9 定积分分部积分法，广义积分
茂 陈赵 泓铮 锋洁 刘王 思嘉 婷辉
刘王 炳蔚 湘琳 陆沈 宏育 发伦 黄陈 丽秀 清莹 李余 晓术
涌 梁黄 伟广 杰俊 黄李 妙海 洁明 覃刘 思雅 敏丽 邓何 秋满 菊根
刘江陈
树沛雯
材杰倩 门
陈许陈 口
安舒锐
岱婷敏
程刘严
国远伟
尚凌亮
廖李吴
俊政佩
豪玲
赖赵廖
健丹绮
谢 璇
妮 曾 淑
琦 孙 国
颖政
吴麦古
u 2.
ccoossuudduussiinnuuCCssiinn 22xxCC 例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2,
22xxeexx22ddxxeexx22((xx22))ddxxeexx22dd((xx22))eeuudduu
经济数学(MM1009,UE)
禤啟沃(Xuan QiWo):周五(1,2)A101
李林谢 灿树敏
灿
为经济学等课程打基础，形成连续与 离散、无穷与有限对立统一方法体系
莫 智 斌 刘
黄 卓 君 谢
谢 毅 君 杨
课件: ftp:\\172.16.3.240 国贸系-启沃-经济数学
内容:不定积分;定积分;多元微积分 邮箱:xqwwork@ 答疑:周四(3~6)国贸系办公室
例4
e3
x
dx
2
e3 x (3
x )dx
x3
2 e3 xd(3 x ) 2 e3 x C.
3
3
例5
1 x2
(1
1 )9dx x
(1