不定积分的第一换元积分法

不定积分的第一换元积分法

不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。

一、第一换元积分法运用的前提条件

由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为

f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。

二、第一换元积分法的基本解题思路

首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。

三、第一换元积分法的具体求解步骤

被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。

其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。

将题中的g(x)写成ku′(x)，即

∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的

公式求出积分：

k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c

四、举例

例1、∫x(1-3x2)10dx

解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10，

其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分，

∫x(1-3x2)10dx

=-■∫(1-3x2)10(-6xdx)

=-■∫u10du

=-■·■u10+1+C

=-■u11+C=-■(1-3x2)11+C

例2、∫■dx

解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x

其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx

=■dx，然后就需要在题中凑这个微分，

∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx

=■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C

例3：∫tanxdx

解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。其中■是复合函数，中间变量u(x)=cosx，求中间变量的微分d(cosx)

=(cosx)′dx=-sinxdx。

∫tanxdx=∫■dx=-∫■(-sinxdx)=-∫■d(cosx)=-∫■du=-ln|u|+C

=-ln|cosx|+C

例4：∫■dx (a>0)

解：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元。

设x=asint(-■

■=■=acost，dx=acostdt,于是有：

∫■dx=∫acost·acostdt

=a2∫cos2tdt=a2∫■dt=a2(■+■)+C

=■arcsin■+■x■+C

求不定积分不象求导那样有规则可依，根据复合函数求导法则变化而来的不定积分第一换元法，只是其中一种常用技巧。在使用这种方法求积分时，只有熟悉公式，多练习、多解题，打下基础扎实，才能加以灵活运用。