高中数学2021年《考前练一本通》(通用版)
2021年高考数学一轮复习 基础快速练2 北师大版
2021年高考数学一轮复习 基础快速练2 北师大版1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为 ( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1解析 由⎩⎨⎧x 2－1＝0，x －1≠0，⇒x ＝－1，故选A.答案 A2．已知集合M ＝{x |－5＜x ＜2}，N ＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}, 则M ∩N ＝( )．A ．{－4，－3，－2，－1,0,1}B ．{－4，－3，－2，－1,0,1,2}C ．{－5，－4，－3，－2，－1,0,1}D ．{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2} 答案 A3．设α表示平面，a ，b 表示直线，给定下列四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B4．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ( )．A.115 B ．35 C.815D ．1415解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ( )．A ．y ＝±32xB ．y ＝±32x C ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝c a＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23，∵双曲线的焦点在x 轴，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选D. 答案 D6．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 cos α的值为 ( )．A.4－3310 B ．4＋3310C.43－310D ．43＋310解析 已知α为锐角，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310.故选D.答案 D7．若如图所示的算法框图输出的S 是62，则在判断框中①表示的“条件”应该是 ( )．A ．n ≤7B ．n ≤6C ．n ≤5D ．n ≤4解析 ∵S ＝21＋22＋23＋24＋25＝62，所以判断框中①表示的“条件”应为n ≤5，故选C. 答案 C8．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其主视图是边长为2的正方形，则此三棱柱左视图的面积为( )．A ．2 2B ．4C ． 3D ．2 3解析 由图可得，该三棱柱的左视图是长为2，宽为2×32＝3的长方形，其面积为2×3＝23，故应选D. 答案 D9．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 ( )．A ．3B ．5C ．2D ．4解析 由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4. 答案 D10．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )，若存在x ∈R 使得(x －a )(x ＋a )＞1成立，则实数a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵存在x 使得(x －a )(x ＋a )＞1⇒(x －a )(1－x －a )＞1，即存在x 使得x 2－x －a 2＋a ＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12，故选A. 答案 A11．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：y 2＝8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x 0的取值范围是 ( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 由抛物线定义可得R ＝|MF |＝x 0＋p2＝x 0＋2，又抛物线准线x ＝－2与圆相交，故有2＋2＜R ＝x 0＋2，解得x 0＞2，故选C. 答案 C12．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．92D ．112解析 因为2xy ＝x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，所以，原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案 B13．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均值是9，则这组数据的方差是________．解析 根据平均数为9，得x ＝8，根据方差公式，得s 2＝14[(10－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝1. 答案 114．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为________．解析 ∵(a －b )⊥c ，a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，∴(a －b )·c ＝(x －1，－x ＋2)·(1,2)＝x －1－2x ＋4＝3－x ＝0，解得x ＝3. 答案 315．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．解析 根据题设条件，画出可行域，如图所示．由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为可行域上的点到圆心(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝0＋12＋－2－02－1＝5－1. 答案5－116．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13；③S n ＝na n －n n －12d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________．解析 对于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 2＋a 122＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n n －12d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n n －12d ＝na n －n n －12d ，因此③正确．对于④，S n ＝na 1＋n n －12d ，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③N 1G`In38660 9704 霄24541 5FDD 忝25880 6518 攘22586 583A 堺32131 7D83 綃Cl。
2021年高三数学考前练习13
2021年高三数学考前练习13参考公式：列联表随机变量，其中为样本容量一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
1．若复数，则在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是 （ ）A.2+iB.2－iC.－1+iD.－1－i 3．用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 （ ） A ．增函数的定义B ．函数满足增函数的定义C ．若，则D．若，则4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （ ）A ．B ．C ．D ．5．若复数z 满足为虚数单位)，则为A.3+5iB.3－5iC.－3+5i D.－3－5i 6．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中第100项的值是 （ ）A.10B.13C.14D.1007．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）…①②③A. B. C. D.8．用反证法证明：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，正确顺序的序号为（）A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①。
9．在独立性检验中，统计量有两个临界值：3.841和6.635；当＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了xx人，经计算的=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（）A．有95%的把握认为两者有关B．约有95%的打鼾者患心脏病C．有99%的把握认为两者有关D．约有99%的打鼾者患心脏病10．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．若定义运算：，例如，则下列等式不能成立．．．．的是（）A．B．C．D．（）12．已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设为虚数单位，则复数。
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第7课时 棱柱
知识整合
• （4）特殊的四棱柱：一些特殊的四棱 柱是本节研究的一个重点，为便于理 解与掌握，我们把四棱柱与平行六面 体及特殊的平行六面体之间的关系图 示如下 四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体
正四棱柱
正方体
知识整合
• （5）长方体的对角线有下面的性质 • ①长方体一条对角线的长的平方等于 一个顶点上三条棱的长的 ________ • ②长方体一条对角线与过同一个端点 的三条棱成角为 、， 2 2 2 则 cos cos cos ＝_____ • ③长方体一条对角线与过同一端点的 三个面所成角 1 , 2 , 3 , 则 cos2 1 cos2 2 cos2 3 ＝_____
知识整合
棱柱的体积、侧面积公式 1. 设直棱柱的底面周长为 c ，高是 h ，侧面积为 S柱，则S柱=ch 2. 设斜棱柱的直截面的周长为 c ，侧棱长为 l ， 侧面积为S斜，则S斜=cl 3.设棱柱底面积为S，高为h• • 1、设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六 面体是直平行六面体； • ④对角线相等的平行六面体是直平行六面 体。 • 以上四个命题中，真命题的个数是（A ） • A：1 B：2 C： 3 D：4
例题精析
[解题回顾]利用直线与平面所成的角的定义， 二面角的平面角的定义找出所要求的角，用 面的平行线把要求的点到面的距离转化到平 面的垂面上的点到平面的距离，是求点到面 距离的常用方法，利用三棱锥的体积代换也 是求点面距离的常用方法。
延伸·拓展
6. 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 ， AB=AC ， F 为 BB1上一点，BF=BC=2a，FB1=a. (1) 若 D 为 BC 中点， E 为 AD 上不同于 A 、 D 的任 意一点，求证：EF⊥FC1； (2) 若 A1B1=3a ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角的 大小. 【说明】本例(1)中，由于E在AD上的任意性， 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意，将会 发现EF⊥FC1与E点位置是无关的. 返回
2021届高考数学考前冲刺天天练 (12)
新高考数学考前天天练（12）1．(多选题)存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（ ）A ．()2f x x =B ．()f x x =C ．()sin cos2f x x =D ．()cos sin 2f x x =2．(多选题)如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ，则下列说法正确的是（ ）A ．142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 C ．()()4f x f x π+-=D ．()f x 图象的对称轴是2x π=3.(多选题)如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值4．(多选题)在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+5．(多选题)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 6．(多选题)已知函数()sin 2f x x h =-，()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M ，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．()f x 最小正周期为2π B ．M 有最大值C ．M 有最小值D ．()f x 图象的对称轴是直线：()24k x k Z ππ=+∈新高考数学考前天天练（12）——参考答案1.【答案】AC【详解】根据函数的定义可知，A 选项：由()2f x x =得()2f x x =符合函数的定义，A 正确；B 选项：当4x =±时，()44f =±，因此不符合函数的定义，B 错误；C 选项：由()2sin cos212sin f x x x ==-，符合函数的定义，C 正确； D 选项：当4πx =-时，212f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭；当4x π=时212f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因此不符合函数的定义，D 错误. 故选：AC2.【答案】AC【详解】对于A 选项，当0tan 2x <≤时，设OP 交AB 于点E ，tan tan AE x AOE AE OA =∠==，所以，()11tan 22f x OA AE x =⋅=， 0tan 24π<≤，11tan 4242f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误； 对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，设射线OP 与正方形的边的交点为E ，作点E 关于直线OG 的对称点F ，则FOD x ∠=，所以，AOF x π∠=-，将射线OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =，因为()4S f x π+-=，即()()4f x f x π+-=，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，()()4f x fx π+-=，则3444f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，3744424f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线2x π=对称，D 选项错误.故选：AC.3.【答案】BD【详解】由题意30BCA ∠=，2,90BC A =∠=，所以3,1AC AB ==，设OCB α∠=， 则ABO ∠的补角即AB 与x 轴正半轴的夹角()30,090ABx αα∠=+<<， 所以()3sin(30),sin(30)A αα++，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，()2sin ,2cos BC αα=-， 所以()3sin(30),sin(30)2cos OA OC ααα+=+++， ()()2223sin(30)sin(30)2cos OA OC ααα+=++++ 224sin (30)4cos 4sin(30)cos αααα=++++54sin(230)α=++，由于090α<<，所以30230210α<+<，当23090α+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为1，无最小值， 2OA OC +有最大值为459+=，无最小值，故||OA OC +有最大值3无最小值，即A 错误；所以12cos sin(30)sin(230)2OA OC ααα⋅=+=++， 由于090α<<，所以30230210α<+<，当23090α+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为1，无最小值， 1sin(230)2α++的最大值为13122+=，无最小值， 故OA OC ⋅有最大值32无最小值，故B 正确； ()()22230)2sin sin(30)2cos OA BC αααα+=+-+++ 22223sin (30)4sin 43sin(30)sin sin (30)4cos 4sin(30)cos αααααααα=++-++++++24sin (30)443sin(30)sin 4sin(30)cos ααααα=++-+++460)α=++，由于090α<<，所以60260240α<+<，当26090α+=得15α=时，sin(260)α+取最大值1，无最小值，此时2OA BC +有最大值4+即||OA BC +有最大值1C 错误； 2sin(30)2cos sin(30)OA BC αααα+⋅-=++11cos 2cos cos 22αααααα⎫⎫-+++⎪⎪⎪⎝=⎪⎝⎭⎭22223sin cos sin cos 3sin cos αααααααα-+=-+=214sin α=-，由于090α<<，所以0sin 1α<<，所以2314sin 1α-<-<，OA BC ⋅既无最大值也无最小值，D 正确.故选：BD.4.【答案】ACD【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确； 对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2AB π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B =+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确.故选：ACD5.【答案】ACD【详解】对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc A S A b c a bc b c bc A bc A c b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）. 令sin A y =，cos A x =，故21242S y a bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2y z x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值故可得2y z x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S y x bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确；对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =， 由正弦定理得，sin sin b c B C =，即()2sin π3sin c c C C =-，所以sin 32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos 2C =，则1sin 2C =， 所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，3b =，所以ABC 的周长为2+C 正确；对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，c =，b =所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛=+-=- ⎝⎭，所以ABC 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭，所以选项D 正确， 故选：ACD6.【答案】CD【详解】函数()sin 2f x x h =-，对于A ：()sin 2f x x h =-，()sin 2sin 2sin 222f x x h x h x h πππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0h =，()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0h ≠，()f x 与2f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭不一定相同，故A 错误； 对于B 和C ：()sin 2f x x h =-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上递增，则()1h f x h -≤≤-， 当0h -≥，即0h ≤，则()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为1M h =-，1M h =-在(],0-∞上递减，则min 1M =；当10h -≤，即1h ≥，则()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M h =，M h =在[)1,+∞上递增，则min 1M =； 当01h h -<<-，即01h <<， 当1h h =-，即12h =，则()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为112M h h ==-=； 当1h h >-，即112h >>，则()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M h =，M h =在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则1,12M ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当1h h <-，即102h <<，则()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为1M h =-，1M h =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则1,12M ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 综上：M 有最小值为12，无最大值，故C 正确；对于D ：()sin 2f x x h =-，()()sin 2sin 22sin 2sin 222f k x k x h k x h x h x h πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+--=+--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()224k f x f x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 图象的对称轴是直线()24k x k Z ππ=+∈，故D 正确. 故选：CD。
【一本通】高考数学一轮复习 第9章 第54讲 抛物线课件 理
4.过抛物线y 4x的焦点作直线交抛物线
2
于A( x1，y1 )、B( x2，y2 )两点．若x1 x2 6， 则 AB . 8
解析：由抛物线的定义知 AB x1 x2 p 6 2 8.
5.抛物线y x 2上的点到直线4x 3y 8 0的
所以直线AB过定点 2p, 0
(3)因为y 2 px1 , y 2 px2
2 1 2 2
所以y y ＝2p( x1＋x2 )，
2 1 2 2
设M ( x，y )，则y1＋y2＝2y，x1＋x2＝2x， 所以4y 2＋8p 2＝4px y 2＝px－2p 2 y 2＝p( x－2p)．
2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2
2 2 2 证明：因为 y y 1 2＝( y1－y2 )( y1＋y2 )
＝2px1－2px2＝2p ( x1－x2 )， y2 y1 2p 又x1 x2，所以 ＝ x2 x1 y1 y2 y12 2p 2p 所以AB的方程为：y－y1＝ ( x－x1 )＝ ( x－ )， y1 y2 y1 y2 2p y12 y1 y2 2p 2p 所以y＝ x y1＝ x＋ y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2 2p 4 p2 2p x ＝ ( x－2 p) y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2
解析：焦点为 2, 0 或(0， 2)， p 若焦点为 2, 0 ，则 2, 2p 8， 2 2 所以抛物线方程为y 8x； p 若焦点为(0， 2)，则 2, 2p 8， 2 所以抛物线的方程为x 2 8y. 故所求抛物线方程为y 8x或x 8y.
招生国统一考试高考数学临考冲刺卷十理试题
普通高等2021年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日理科数学考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．集合{}2,1,0,1,2A =--，2{|4}B x x =≥，那么以下图中阴影局部所表示的集合为〔 〕A ．{}2,1,0,1--B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】求解二次不等式可得：{}|22B x x x =-≥或≤，那么{}|22B x x =-<<R ，由Venn 图可知图中阴影局部为：(){}1,0,1RA B =-．此题选择D 选项． 2．函数()f x =，那么满足()4log f a =a 的值是〔 〕A ．13 B ．14C ．12D ．2【答案】B【解析】()4log f a ===，即11212,4,4aa a --===．3．向量()2,1=a ,(),1x =b ，假设+a b 与-a b 一共线,那么实数x 的值是〔 〕 A ．2- B ．２C ．2±D ．４【答案】B【解析】由()2,1=a ，(),1x =b ，那么()2,2x +=+a b ，()2,0x -=-a b ， 因为+a b 与-a b 一共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，应选B ．42倍〔纵坐标不变〕，再向右〕 ABCD【答案】B【解析】函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭经伸长变换得1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，应选：B ．5．?孙子算经?是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，一共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？〞其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．〞根据这个问题，有以下3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是〔 〕 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：a ，3a +，6a +，9a +，12a +，其和为60，故6a =，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，应选C ．6．一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为〔 〕A ．32316+33πB ．16833π+C ．32363+π D ．836+π【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为11223238363⨯⨯+π⨯=+π，应选D ．7．如下图的程序框图，假设输出的结果为4，那么输入的实数x 的取值范围是〔 〕A ．18,279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．81,927⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．12,9⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,29⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】1n =，12x ≥，否，31x x =+；2n =，否，()313194x x x =+⨯+=+； 3n =，否，()94312713x x x =+⨯+=+； 4n =，12x ≥，是，即271312x +≥；解不等式271x -≥，127x -≥，且满足9412x +<，89x <， 综上所述，假设输出的结果为4，那么输入的实数x 的取值范围是18279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，应选A ． 8．F 为抛物线23y=的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，假设3AF FB =，那么以AB 为直径的圆的HY 方程为( )A ．()225364233x y ⎛+-= ⎝ B ．()(22642233x y -+-=C ．(()2253264x y -+-= D ．(()2223264x y -+-=【答案】A【解析】设AB方程为x my=2120y--=，那么，解得6Ay=，2By=-2B⎫-⎪⎪⎭，圆心坐标为A，B中点坐标2⎫⎪⎭，AB==，圆半径为∴以AB为直径的圆方程为()226423x y⎛+-=⎝，应选A．9．定义在R上的函数()f x是奇函数，且满足()()3f x f x-=，()13f-=，数列{}n a满足11a=且()1n n na n a a+=-()*n∈N，那么()()3637f a f a+=〔〕A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】A【解析】∵函数()f x是奇函数，∴()()f x f x-=-，又∵()()3f x f x-=，∴()()3f x f x-=--，∴()()3f x f x+=-，即()()6f x f x+=，∴()f x是以6为周期的周期函数，∵()1n n na n a a+=-，11a=，∴11nna na n++=，∴1221123113211241n n nnn n na a a a n n na a na a a a n n n-------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=---，即n a n=，∴3636a=，3737a=，又∵()13f-=，()00f=，∴()()()()()()363701113f a f a f f f f+=+==--=-．应选A．10．某企业消费甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，消费一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；消费一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A、B两种设备每月可使用时间是数分别为480小时、960小时，假设消费的产品都能及时售出，那么该企业每月利润的最大值为〔 〕 A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B【解析】设消费甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值为z ，由题意可得约束条件：234806960 0,0,x y x y x y x y ++∈⎧⎨⎪⎩∈⎪⎪⎪N N≤≤≥≥， 原问题等价于在上述约束条件下求解目的函数2z x y =+的最大值． 目的函数表示的平面区域如下图，结合目的函数的几何意义可知： 目的函数在点()150,60B处获得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元．此题选择B 选项．11．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“〞，27可表示为“〞．问现有8根算筹可以表示三位数的个数〔算筹不能剩余〕为〔 〕 A ．48 B ．60C ．96D ．120【答案】C【解析】设8根算筹的组合为(){}()123,,1,2,3,4,5,1,2,3i a a a a i ∈=，不考虑先后顺序，那么可能的组合为：()1,2,5，()1,3,4，()2,2,4，()2,3,3， 对于()1,2,5，组合出的可能的算筹为：()1,2,5，()1,6,9，()1,2,9，()1,6,5一共4种，可以组成的三位数的个数为：43!⨯种，同理()1,3,4可以组成的三位数的个数为：43!⨯种， 对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()2,2,4，()6,6,4，()2,2,8，()6,6,8，()2,6,4，()2,6,8一共6种，可以组成的三位数的个数为：3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为：3!23!42⨯+⨯种，利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数〔算筹不能剩余〕为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=． 此题选择C 选项．12．偶函数()f x 定义域为00,22ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其导函数是()'f x ．当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +<，那么关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫⎪⎝⎭＞的解集为〔 〕A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】令()()cos f x F x x=，那么()()()2cos sin cos f x x f x xF x x'+'=，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，那么()0F x '<， 又()()()()()cos cos f x f x F x F x x x--===-，∴()F x 为偶函数，()F x ∴在02π⎛⎫-⎪⎝⎭，上单调递增，在02π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减， 那么()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭，当00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，cos 0x >，即()4cos cos4f f x x π⎛⎫⎪⎝⎭>π， 4x π<且0x ≠，故04x π-<<或者04x π<<，应选C ． 第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．设a ∈R ，假设复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，那么a =__________． 【答案】-1【解析】复数(1i)(+i)=(1)+(+1)i a a a +-，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以10a +=．故1a =-．14．随机变量()21,N ξσ~，假设(3)0.2P ξ>=，那么()1P ξ≥-=__________． 【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线1x =对称，那么：()()130.2P P ξξ≤-=≥=，那么：()()1110.8P P ξξ≥-=-≤-=．15．记()f x n ，且()f x 在[]m n ππ，〔m n <〕上单调递增，那么实数m 的最小值是__________． 【答案】2312所以266k θππ⨯+-=π，又0θ-π<<，得6θπ=-， 2n =，又222232k x k πππ-+π-+π≤≤，得单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦， 由题意，当2k =时，2312m =． 16．点1F ，2F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 4PF F ∠≥，那么双曲线C 的离心率的取值范围为__________．【答案】⎛ ⎝【解析】由122F F OP =，可得OP c =，故12PF F △为直角三角形，且12PF PF ⊥， ∴2221212||||PF PF F F +=． 由双曲线定义可得122PF PF a -=． ∵1212tan 4PF PF F PF ∠=≥，∴124PF PF ≥，可得223aPF ≤． 又()222222||4a PF PF c ++=，整理得()22222PF a c a +=-．∴()222222225239a a PF ac a a ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭≤．又1e >，∴1e <≤即双曲线C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝．答案：⎛⎝三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23为选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：60分，每个试题12分． 17．ABC △的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-． 〔1〕求角A ；〔2〕假设ABC △的外接圆半径为1，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】【解析】〔1〕设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-， 可得222a b c b a b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，·········3分所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A <<π，所以3A π=．·········6分〔2〕22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===，·········8分所以2232b c bc bc bc bc =+--=≥，·········10分所以11sin 322S bc A =⨯=≤〔b c =时取等号〕．·········12分 18．某商场为了理解顾客的购物信息，随机在商场搜集了100位顾客购物的相关数据如下表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品． 〔1〕试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；〔2〕现有4人前去该商场购物，求获得纪念品的数量ξ的分布列与数学期望．【答案】(1)2400；(2)见解析．【解析】〔1〕由，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有2010030%b +=⨯，10b =；()1002030201020a =-+++=．·········2分该商场每日应准备纪念品的数量大约为6040002400100⨯=．·········4分 〔2〕由〔1〕可知1人购物获得纪念品的频率即为概率6031005p ==，·········5分故4人购物获得纪念品的数量服从二项分布3~4,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，·········6分()040432160C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131432961C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322162C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134322163C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()44432814C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，·········11分 ξ的分布列为：P166259662521662521662581625ξ数学期望为312455E ξ=⨯=．·········12分19．梯形BFEC 如图〔1〕所示，其中5EC =，4BF=，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进展折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图〔2〕所示的几何体． 〔1〕求证：平面AEC ⊥平面BDE ；〔2〕点H 在线段BD 上，且AH ∥平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值．【答案】(1)见解析；〔2〕FH 与平面BEF 所成角的正弦值为147． 【解析】〔1〕证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，·········2分由ABCD 为正方形得AC BD ⊥，·········3分 又BDDE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ，·········4分又∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDE ．·········5分 〔2〕由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，那么()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,3E ，()2,0,2F ，····6分 设DH DB λ=，那么()2,2,0H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，由()2,2,3BE =--，()2,0,1EF =-，BE EF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，得2230 20x y z x z --+=-=⎧⎨⎩，取1x =，得()1,2,2=n ，·········9分∵AH ∥平面BEF ，()22,2,0AH λλ=-， ∴2240λλ-+=，13λ=， ∴22,,033H ⎛⎫⎪⎝⎭，42,,233FH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········11分 设FH 与平面BEF 所成的角为θ，那么sin cos<,FH θ>=n 4214FH FH⋅==n n 147=， ∴FH 与平面BEF 所成角的正弦值为147．·········12分 20．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为椭圆的上顶点，12BF F △为等边三角形，且其面积为3，A 为椭圆的右顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点〔M ，N 不是左、右顶点〕，且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？假设过定点，求出该定点的坐标，否那么说明理由．【答案】(1)22143x y +=；〔2〕直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】〔1〕由()12233 312c 34BF F b cb c S ∆⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩， ∴2224a b c =+=，∴椭圆的HY 方程为22143x y +=．·········4分〔2〕设()11M x y ，，()22N x y ，，()()222348430k x mkx m +++-=，()()222264163430m k k m ∆=-+->，22340k m +->即，分 又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()2,0A ， ∴1MA NA k k =-⋅，即1212·122y yx x =---，·········7分 ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k mmkk k k--+++=+++， ∴2271640m mk k ++=．·········10分 解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->，·········11分 当12m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．·········12分21．函数()22e 321xf x x x b =+-++，x ∈R 的图象在0x =处的切线方程为2y ax =+．〔1〕求函数()f x 的单调区间与极值；〔2〕假设存在实数x ，使得()223220f x x x k =----≤成立，求整数k 的最小值．【答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞),所以函数()f x 在0x =处获得极小值()02f =；(2)k 的最小值为0．【解析】〔1〕()2e 62xf x x ='＋－，因为()0f a '=，所以0a =，易得切点(0,2)，所以1b =－． 易知函数()f x '在R 上单调递增，且()00f '=． 那么当0x <时，()0f x '＜；当0x ＞时，()0f x '＞．所以函数()f x 的单调递减区间为(),0∞－；单调递增区间为()0,+∞． 所以函数()f x 在0x =处获得极小值()02f =．·········5分 〔2〕2215()23220e 1022x f x x x k x x k ----⇔+---≤≤215e 122x x x ⇔+--，(*) 令215()e 122x h x x x =+--， 假设存在实数x ，使得不等式(*)成立，那么min ()k h x ≥，·········6分5()e 2x h x x '=+-，易知()h x '在R 上单调递增， 又3(0)02h '=-<，3(1)e 02h '=->，121()e 202h '=-<，3334423777771()e 2.56 1.6204444444h '=->-=-=->-=>， 〔或者由e 1xx +≥当0x =时取等号，得334473e e (1)044-=-+>〕所以存在唯一的013,24x ∈⎛⎫⎪⎝⎭，使得()00h x '＝，·········8分 且当0()x x ∈∞－，时，()0h x '<；当0(,+)x x ∈∞时，()0h x '＞． 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，2min 000015()()e 122h x h x x x x ==+--，·········9分 又()00h x '=，即005e 02x x +-=，所以005e 2x x =-．·········10分 所以()200005151222h x x x x =-+--()2001732x x =-+，因为x 0∈13,24⎛⎫⎪⎝⎭，所以()0271,328h x ⎛--∈⎫ ⎪⎝⎭， 那么()0k h x ≥，又k ∈Z ．所以k 的最小值为0．·········12分〔二〕选考题〔一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题．假如多做，那么按所做第一题计分〕22．在直角坐标系xOy 中，曲线Cα为参数〕，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0m θρθ-+=．〔1〕写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且1PA PB =，务实数m 的值． 【答案】〔1〕曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)y x m =-；〔2〕1m =0m =或者2m =． 【解析】〔1故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=． 直线l)x m y x m -+⇒=-．·········5分 〔2〕直线lt 为参数〕．设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=，可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--=2211m m ⇒--=2220m m ⇒-==或者220m m -=，解得1m =±0m =或者2m =．·········10分 23．0a >，0b >，且222a b +=． 〔1〕假设2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； 〔2【答案】〔1〔2〕见解析． 【解析】〔1〕设,1121132, 1 21,2x x y x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=---=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≥≤，由222a b +=，得()22112a b +=． 故当x <分〔2〕()5511a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭5544b a a ba b =+++()55222222b a a b a b a b=+++-另解：由柯西不等式，可得··10分。
高考数学”一本“培养优选练 中档大题规范练3 文-人教版高三全册数学试题
中档大题规X 练(三)(建议用时：60分钟)(教师备选)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cosA .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ， ∵sin B ＞0，故cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)由b ＝2，B ＝π3，由余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4，由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 面积的最大值为 3.1．已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，S 7＝35，且a 2，a 5，a 11成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，某某数λ的取值X 围．[解] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝35，a 1＋4d 2＝a 1＋da 1＋10d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝5，2d 2＝a 1d .又∵d ≠0，∴a 1＝2，d ＝1，∴a n ＝n ＋1. (2)∵1a n a n ＋1＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2， ∵∃n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立， ∴∃n ∈N *，使得n2n ＋2－λ(n ＋2)≥0成立， 即∃n ∈N *，使得λ≤n2n ＋22成立，又n2n ＋22＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n＋4≤1224＋4＝116(当且仅当n ＝2时取等号)， ∴λ≤116，即实数λ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，116. (教师备选)在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合于B ，构成一个三棱锥(如图所示)．(1)在三棱锥上标注出M 、N 点，并判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； (2)G 是线段AB 上一点，且AG →＝λAB →，问是否存在点G 使得AB ⊥平面EGF ，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3)求多面体E AFNM 的体积．[解] (1)因翻折后B ，C ，D 重合，所以MN 应是△ABF 的一条中位线，如图所示． 则MN ∥平面AEF . 证明如下：⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥AFMN ⊄平面AEF AF ⊂平面AEF ⇒MN ∥平面AEF . (2)存在点G 使得AB ⊥平面EGF ，此时λ＝1，因为⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BEAB ⊥BF BE ∩BF ＝B ⇒AB ⊥平面EBF . 又G 是线段AB 上一点，且AG →＝λAB →，∴当点G 与点B 重合时，AB ⊥平面EGF ，此时λ＝1. (3)因为AB ⊥平面BEF ，且AB ＝6，BE ＝BF ＝3， ∴V A BEF ＝13·AB ·S △BEF ＝9，又V E AFNM V E ABF ＝S AFNM S △ABF ＝34，∴V E AFNM ＝274. 2．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近期前期广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据．对这些数据作了初步处理，得到了如图的散点图(共21个数据点)及一些统计量的值．为了进一步了解广告投入量x 对收益y 的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：表中u i ＝ln x i ，v i ＝x i ，参考数据：2≈1.41，10≈3.16.(1)根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述x 与y 之间的关系？简要说明理由；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益y 关于投入量x 的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型(即更适宜作为收益y 关于投入量x 的回归方程)？说明理由；附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：其中r 越接近于1，说明变量x 与y 的线性相关程度越好．[解] (1)由散点图可以判断员工①提出的模型不适合．因为散点图中x 与y 之间不是线性关系．(2)令v ＝x ，先建立y 关于v 的线性回归方程．由于所以y 关于v 的线性回归方程为y ^＝24.2＋6v ，因此模型②为y ^2＝24.2＋6x . 同理，令u ＝ln x ，先建立y 关于u 的线性回归方程．由于所以y 关于u 的线性回归方程为y ^＝－10＋20u ，因此模型③为y ^3＝－10＋20ln x . 模型②中，相关系数×3.16＝0.948.模型③中，相关系数0.7×1.41＝0.987，可得1＞r 3＞r 2，说明变量u 与y 的线性相关程度更好，即模型③为y ^3＝－10＋20ln x 更为准确，即模型③为最优模型．3．如图64，四棱锥E ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝AE ＝12BC ＝1且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点．图64(1)求证：直线DM ⊥平面CBE ；(2)当四面体D ABE 的体积最大时，求四棱锥E ABCD 的体积．[解] (1)因为AE ＝AB ，设N 为EB 的中点，连接AN ，MN .(图略)所以AN ⊥EB ，又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC ⊥AN ，又BC ∩BE ＝B ，所以AN ⊥平面BCE ，易知MN 綊DA ，四边形MNAD 为平行四边形，所以DM ∥AN ，所以DM ⊥平面BCE .(2)因为AD ∥BC ，BC ⊥底面ABE ，所以AD ⊥平面ABE .设∠EAB ＝θ， 因为AD ＝AB ＝AE ＝1，则四面体D ABE 的体积V ＝13×12×AE ·AB ·sin θ·AD ＝16sin θ，当θ＝90°，即AE ⊥AB 时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE ⊥BC ，因为BC ∩AB ＝B ， 所以AE ⊥平面ABC ，V E ABCD ＝13×12×(1＋2)×1×1＝12.4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t y ＝2t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点、x 正半轴为极轴的极坐标系中：(1)求C 1和l 的极坐标方程；(2)设曲线C 2：ρ＝4sin θ.曲线θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，π4＜α＜π2，分别与C 1、C 2交于A 、B 两点，若AB 的中点在直线l 上，求|AB |.[解] (1)消去θ可得C 1：(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 化为极坐标：ρ＝4cos θ，消去t 可得l ：2x ＋y －4＝0，化为极坐标：2ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. (2)AB 中点的极径为ρA ＋ρB2＝2(sin α＋cos α)，将(2sin α＋2cos α，α)代入2ρcos θ＋ρsin θ－4＝0中， 化简得：3sin αcos α－sin 2α＝0，故tan α＝3， 故sin α＝31010，cos α＝1010，|AB |＝|ρA －ρB |＝4|sin α－cos α|＝4105.[选修4－5：不等式选讲]设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )＜－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，某某数a 的取值X 围．[解] (1)函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.故由不等式f (x )＜－1可得，x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＜－1，－1≤x ≤3.解得x ＞32.(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值X围为[－4,0]．。
全品高考数学考前专题限时训练含答案作业手册
全品高考数学考前专题限时训练含答案(基础+提升)作业手册(共75页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-专题限时集训(一)[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知全集U ＝{x ∈Z |1≤x ≤5}，集合A ＝{1，2，3}，∁U B ＝{1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{3}D ．{1，2，3}2．命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是( )A ．存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2B ．不存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2C ．存在x 0∈R ，使得x 30≤x 2D ．对任意x ∈R ，都有x 3≤x 23．若p ：(x －3)(x －4)＝0，q ：x －3＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合M ＝{x |x ≥x 2}，N ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．(0，1) B ．[0，1] C ．[0，1) D ．(0，1]5．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，则集合A ∩B 的子集个数是________．提升训练6．已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，3，4}，则图11中阴影部分表示的集合为( )图11A ．{1，2}B ．{1，2，6}C ．{1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，6}7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＝0，x ∈R ，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．98．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列9．已知集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)}，N ＝{x |4x＜4}，则M ∩N 等于( ) A ．[0，＋∞) B ．[0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，1]10．已知集合M ＝{x |x 2－3x ＝0}，集合N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0，3} D ．{－3}11．若a ，b 为实数，则“ab ＜1”是“0＜a ＜1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．给出如下四个判断： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0；②∀x ∈R ＋，2x ＞x 2；③设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2＜0，a ≥0}，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的必要不充分条件；④a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |＞1，则π3＜θ≤π．其中正确判断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．413．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________________________________________________________________________．14．若集合P ＝{0，1，2}，Q ＝(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x －y －2＜0，x ，y ∈P ，则集合Q 中元素的个数是__________．15．命题“存在实数x ，使得不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．专题限时集训(二)[第2讲 平面向量与复数](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．复数5i1＋2i的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则在复平面内z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．向量a ＝(3，－4)，向量|b|＝2，若a·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π6C ．2π3D ．3π45．已知平面向量a ，b ，若|a |＝3，|a －b |＝13，a ·b ＝6，则|b |＝________，向量a ，b 夹角的大小为________．提升训练6．复数5i －2的共轭复数是( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．－2－iD ．2－i7．在复平面内，复数z ＝(1＋2i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R )．若复数z 2＝kz 1(k ∈R )，则a ＝( )A ．32B ．1C ．2D ．139．如果复数2－b i1＋2i(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ． 2B ．23C ．－23D ．210．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为( )A ．8B ．9C ．12D ．1511．已知向量a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b|＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4C ．5＋1D ．3＋112．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若（1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ，则a ＋b i ＝________．13．在△ABC 中，AB ＝2，D 为BC 的中点．若AD →·BC →＝－32，则AC ＝________．14．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE →＝2EC →，CF →＝2FB →，则AE →·AF →的值为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a )，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →|·|OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．专题限时集训(三)[第3讲 不等式与线性规划](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋1)＞0}，则A ∩B ＝ ( ) A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．已知全集U ＝R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则集合M ，N 的关系用图示法可以表示为( )图313．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －2y 的最大值为( )A ．32 B ．1 C ．－12D ．－24．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立的是( )A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 25．若x ＞0，y ＞0，则x ＋yx ＋y 的最小值为( )A ． 2B ．1C ．22D ．12提升训练6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x |2x ＋1＞1}，则∁B A ＝( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．[1，2) C ．[1，5] D ．(2，5]8．已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0．若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( )A ．2 2B ．3＋22C ．4 2D ．3＋29．已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域内的动点，则(x ＋1)2＋(y＋1)2的最大值是( )A ．10B ．495C ．13D ．1310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2＋b 2＝3c 2，则cos C 的最小值为( )A ．12B ．14C ．32 D ．2311．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________．12．已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________．13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋2y －6x －4的最大值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．专题限时集训(四)[第4讲 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．给出下面类比推理的命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”，类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”，类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比正确的为( ) A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③④2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2403．执行如图41所示的程序框图，其输出结果是( )A ．－54B ．12C ．54D ．－124．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位女生和任何两位男生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是( )A ．20B ．40C ．60D ．805．观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…．根据上述规律，第n 个等式为____________．提升训练6．阅读如图42所示的程序框图，若输入n 的值为1，则输出的S 的值为( ) A ．176 B ．160 C ．145 D ．1177．已知a n ＝3n ＋2，n ∈N *，如果执行如图43所示的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．B ．37C ．185 D8．阅读如图44所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A ．12 B ．32C ．－ 3D ．39．6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为( )A ．12B ．18C ．24D ．3610．⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 的展开式中各项系数之和为A ，所有偶数项的二项式系数和为B ．若A ＋B ＝96，则展开式中含有x 2的项的系数为 ( )A ．－540B ．－180C ．540D ．18011．对任意实数x ，都有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2＝________． 12．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，且最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)13．观察下列等式： 121＝1，12＋221＋2＝53，12＋22＋321＋2＋3＝73，12＋22＋32＋421＋2＋3＋4＝93，则第n 个等式为__________________．14．阅读如图45所示的程序框图，若输入i ＝5，则输出的k 的值为________．图4515．有n个球(n≥2，n∈N*)，任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为S n．例如，对于4个球有如下两种分法：(4)→(1，3)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2，2)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝2×2＋1×1＋1×1＝6．于是发现S4为定值6，则S5的值为________．专题限时集训(五)A[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1－i ）x ，x ∉R ，则f (1＋i)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．2＋i2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．y ＝sin x C ．y ＝x 3D ．y ＝log 12x3．已知a ＝，b ＝，c ＝log 23则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b4．已知函数y ＝f (2x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4 x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________．提升训练6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x，则f (－3)＝( )A ．18B ．－18C ．8D ．－87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (x )＞1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减，且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2x9．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 125，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a10．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1．若函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为( )A ．152B ．154C ．3D ．3411．设函数f (x )＝2C 图5112．已知函数f (x )对定义域内的任意x ，都有f (x ＋2)＋f (x )＜2f (x ＋1)，则函数f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝x sin x13．函数f (x )＝16－x －x2的定义域是________． 14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (m )＜f (1) 的实数m 的取值范围是________．15．设函数f (x )＝a ln x ＋b lg x ＋1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝________．专题限时集训(五)B[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x 2D ．y ＝log 22－x 2＋x3．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A ．12B ．45C ．2D ．95．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．提升训练6．函数y ＝1x －sin x的大致图像是( )AC 图527．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f （x ），则f (2014)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋3C ．2－ 3D ．2＋38．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x ，则f (2014)＝( )A ．0B ．2010C ．－2010D ．201410．已知函数y ＝f (x )，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 3(x ＋3)C ．y ＝x 3D ．y ＝－x 2＋4x －611．若a ＞2，b ＞2，且12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b2，则log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝( )A ．2B ．1C ．12D ．0 12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1＜a ，x 2＞a ，且|x 1－a |＜|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)＞f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)＜f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)13．若x ，y ∈R ，设M ＝x 2－2xy ＋3y 2－x ＋y ，则M 的最小值为________．14．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的“l 高调函数”．如果定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，那么实数m 的取值范围是________． 15．函数f (x )＝2sin πx 与函数g (x )＝3x －1的图像的所有交点的橫坐标之和为________．专题限时集训(六)[第6讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝2x＋4x －3的零点所在的区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 3．函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由下表知方程f (x )＝g (x )的实数解所在的区间是( )A ．(－1C ．(1，2) D ．(2，3)5．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是x ＝0和x ＝________．提升训练6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f (x )＝4－a x ，g (x )＝4－log b x ，h (x )＝4－x c的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，若函数f (x )，g (x )，h (x )的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝( )A ．76B ．65C ．54D ．329．若直角坐标平面内的两个不同的点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对10．若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －kx －1＝0有五个互不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫18，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 11．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．12．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，且对任意x ∈(0，＋∞)，有f [f (x )－log 2x ]＝1恒成立，则函数f (x )的零点为________．13．已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，若函数f (x )＝2x ·g (ln x )＋1－x 2，则函数f (x )的零点个数为________．14．已知函数f (x )＝2x，x ∈R ．(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 分别有一个解、两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图61所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式．(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？16．如图62所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径r＝310 mm，滴管内液体忽略不计．(1)如果瓶内的药液恰好156 min滴完，问每分钟滴下多少滴？(2)在条件(1)下，设开始输液x min后，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13，试将h表示为x的函数．(注：1 cm3＝1000 mm3)专题限时集训(七)[第7讲 导数及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．22．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4)3．如图71所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图像与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是( )A ．1B ．2C ．π2 D ．π4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A ．12B ．1C ．－2D ．3 5．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．提升训练6．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1B ．12C ．0D ．－17．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )D图728．如图73所示，长方形的四个顶点为O (0，0)，A (4，0)，B (4，2)，C (0，2)，曲线y ＝x 经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A ．512B ．12C ．23D ．349．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34B ．12＜a ＜34C ．a ≥34D ．0＜a ＜1210．方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”．如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln (x ＋1)，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ11．已知定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )·tan x 成立，则( )A ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 12．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．13．由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x ＝1围成的封闭图形的面积为________．14．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝x e x． (1)求f (x )－g (x )的极值；(2)当x ∈(－2，0)时，f (x )＋1≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f(x)＝x ln x．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，且x1≠x2，证明：f（x2）－f（x1）x2－x1＜f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22．16．设函数f(x)＝e x－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立，求k的最大值．专题限时集训(八)[第8讲 三角函数的图像与性质](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得的函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12(x ∈R ) B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12(x ∈R ) C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12(x ∈R ) D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π24(x ∈R ) 3．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移5π6 B ．向右平移 5π6C ．向左平移 5π12D ．向右平移5π124．已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(2，－3)，且a ∥b ，则tan θ＝________．5．若点P (cos α，sin α) 在直线y ＝－2x 上，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________． 提升训练6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)的部分图像如图81所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )7． 已知P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若|OP |＝d ，则函数d ＝f (θ)的大致图像是( )A B图82 8．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．329．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值与最小值之和为( )A ．3－1B ．3－2C ．23－1D ．210．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像向左平移m 个单位⎝⎛⎭⎪⎫m ＞－π2，若所得的图像关于直线x ＝π6对称，则m 的最小值为( )A ．－π6B ．－π3C ．0D ．π1211．如图83所示，直角三角形POB 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点，若AB 等分△OPB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________．12．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最小值为 ________ ．13．已知α∈R ，sin α＋3cos α＝5，则tan 2α＝________．14．已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1，且π4≤x ≤π2．(1)求f (x )的最大值及最小值；(2)求f (x )在定义域上的单调递减区间．15．已知函数f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2x ．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；(2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．专题限时集训(九)[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．在钝角三角形ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．14 B ．32C ．34 D ．122．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，A ＝45°，B ＝105°，则c ＝ ( )A ．32B ．1C ． 3D ．6＋223．函数f (x )＝sin 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－ 2 D ．－24．若cos 2θ＝13，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．1318B ．1118 C ．59D ．1 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sinC ，则B ＝________．提升训练6．已知sin 2α＝13，则cos 2 ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．13 B ．－13 C ．23 D ．－237．已知△ABC 的外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，C ＝π3．从圆O 内随机取一点M ，若点M 在△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形8．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，其对边分别为a ，b ，c ．若(sin A ＋sin B )(sinA －sinB )＝sinC (2sin A －sin C )，则B ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π39．在△ABC 中，若AB →·AC →＝7，||AB →－AC →＝6，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．24B ．16C ．12D ．810．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A 等于( )A ． π6B ．π4C ． π3D ．π211．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，则tan 2α＝______ ． 12．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________．13．已知∠MON ＝60°，由此角内一点A 向角的两边引垂线，垂足分别为B ，C ，AB ＝a ，AC ＝b ，若a ＋b ＝2，则△ABC 外接圆的直径的最小值是________．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1．(1)若A ＝5π12，求c ；(2)若a ＝2c ，求△ABC 的面积．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ．(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．16．如图91所示，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点(不与P ，Q 重合)，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x )．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及相应的x 值．专题限时集训(十)[第10讲数列、等差数列、等比数列](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝( ) A．8 B．12C．16 D．242．等比数列{a n}中，a2＝1，a8＝64，则a5＝( )A．8 B．12C．8或－8 D．12或－123．已知等差数列{a n}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝( )A．8 B．21C．28 D．354．已知数列{a n}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则tan(a2＋a12)的值为( )A． 3 B．－ 3C．33D．－335．等比数列{a n}满足对任意n∈N*，2(a n＋2－a n)＝3a n＋1，a n＋1＞a n，则数列{a n}的公比q ＝________．提升训练6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝ ( )A．36 B．72C．144 D．707．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝( ) A．5 B．6C．7 D．88．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3＋a4＝16，则a5＝( ) A．4 B．8C．16 D．329．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1(n＝2，3，4，…)”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a m＋1a m－1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n，若T2k－1＝512(k∈N*)，则k的值为( )A．4 B．5C．6 D．711．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝11，S11＝9，则S20＝________．12．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a3a4a8＝8，则T9＝________．13．已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝⎠⎛24－x2dx，则a6(a2＋2a6＋a10)＝________．14．已知数列{a n }的首项为1，其前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列．(1)求证：数列{S n ＋n ＋2}为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．16．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若{b n－(－1)n a n}是等比数列，且b2＝7，b5＝71，求数列{b n}的前2n项和．专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( )A ．70B ．75C ．100D ．1202．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ． 8D ．2＋log 3 53．等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时， a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 16C ．S 15D ．S 144．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋2），则S 10等于( )A ．1112B ．1124C ．175132D ．1752645．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________．提升训练6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 35＝S 3992 ，a ＝(1，a n )，b ＝(2014，a 2014)，则a ·b 的值为( )A ． 2014B ． －2014C ． 1D ．07．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图像经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值为( )A ．24B ．25C ．23D ．268．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则当S n ＝10时，n 的值是( )A ． 110B ． 120C ． 130D ． 1409．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x(n∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A ．－3B ．－4C ．3D ．410．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和可以表示为( )A ．B ．C ．D ．11．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2014＝________ ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________．13．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－1）nsin πx 2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋1），（－1）n ＋1sin πx 2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋2）(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2(m ∈N *)，且{a m }的前m 项和为S m ，则S 2014－S 2006＝________．14．已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3，且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2, 数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n ．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ．15． 已知函数f (x )＝4x，数列{a n }中，2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0，a 1＝1，且a n ≠0, 数列{b n }中， b 1＝2，b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．16． 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0．5万，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2013年为第一年)．(2)若新政策实施后2013年到2032年的人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问2032年后是否需要调整政策？＝(1－10≈专题限时集训(十二)A[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某几何体的三视图如图121所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A ．13 cm 3B ．23 cm 3C ．43 cm 3D ．83cm 3 1 1222．图122是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．7π B ．8π C ．9π D ．11π3． 一只蚂蚁从正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )图12A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④4． 某四棱锥的三视图如图125所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )图125A ．2∈A ，且4∈AB ．2∈A ，且4∈AC ． 2∈A ，且25∈AD ．2∈A ，且17∈A提升训练5．如图126所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长和底边长均为2，且侧棱 AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．43图12 127 6．某几何体的三视图如图127所示，则它的体积是( )A ．8＋433B ．8＋423C ．8＋233D ．3237．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图128所示，则该棱锥的体积等于( )A ．10 cm 3B ．3． 30 cm 3 D ．40 cm 398．一个简单组合体的三视图及尺寸如图129所示，则该组合体的体积为( ) A ．42 B ．48 C ．56 D ．449． 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1210所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形， 则该几何体的侧面积为( )A ．12＋103πB ．6＋103π C ． 12＋2π D ．6＋4π图1210 图121110． 如图1211所示，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′．若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A． 2 B．62C．112D．5211．边长是22的正三角形ABC内接于体积为43π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．专题限时集训(十二)B[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某空间几何体的三视图如图1212所示，则该几何体的体积为( ) A ．83 B ．8 C ．323D ．1612 图12132．一个几何体的三视图如图1213所示，则该几何体的体积为( ) A ．13 B ．23C ．2D ．1 3． 图1214 ( )14A ．3＋π6B ． 3＋43πC ．33＋43πD ．33＋π64． 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(1，2，0)，(0，2，2)，(3，0，1)，则该四面体以yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )A ．3B ．52C ． 2D ．72提升训练5．一个几何体的三视图如图1215所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A ．32B ．1C ．52D ．1215 1216 6．一个几何体的三视图如图1216所示，则它的体积为( ) A ．203 B ．403C ．20D ．407． 已知某几何体的三视图如图1217所示，其中俯视图是圆，则该几何体的体积为( )A ．π3B ．2π3C ． 23D ．1317 18 8．图1218是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A ．54 B ．27 C ．18 D ．99． 用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图1219所示)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为___________．图1210． 直三棱柱ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积为________．11．如图1220所示，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________．专题限时集训(十三)[第13讲空间中的平行与垂直](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．能够得出平面α与平面β一定重合的条件是：它们的公共部分有( )A．两个公共点B．三个公共点C．无数个公共点D．共圆的四个公共点2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直3．a，b，c表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③a⊥c，b⊥c，则a∥b；④a⊥M，b⊥M，则a∥b．其中为真命题的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α5．已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个提升训练6．已知α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．在正方体中，二面角A1BDA的正切值是( )A． 2 B．22C． 2 D．129．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β．其中为真命题的是 ( )A ．①②B ．②③C ． ③④D ．①④10．如图131所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等图13211．如图132所示，已知三个平面α，β，γ互相平行，a ，b 是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A ，B ，C 三点，b 与α，β，γ分别交于D ，E ，F 三点，连接AF 交平面β于点G ，连接CD 交平面β于点H ，则四边形BGEH 必为________．12． 在三棱锥C ABD 中(如图133所示)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A BD C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④ cos ∠ADC ＝34；⑤四面体ABCD 的外接球的表面积为 32π．其中正确的是________．13． 已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且俯视图如图134所示．关于该四棱锥的下列说法中：①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面；④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形．其中，所有正确说法的序号是________________．14．如图135所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB ＝2，CE＝EF＝1．(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BD F．15．如图136所示，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE．16．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，CD＝3，点E是线段AB的中点，G为CD的中点，现沿ED将△AED折起到△PED位置，使PE⊥EB．(1)求证：平面PEG⊥平面PCD；(2)求点A到平面PDC的距离．专题限时集训(十四)[第14讲 空间向量与立体几何](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1． 直线l 1的方向向量s 1＝(1，0，－2)，直线l 2的方向向量s 2＝(－1，2，2)，则直线l 1，l 2所成角的余弦值是( )A ．53B ．－53C ． 23D ．－232．平面α，β的法向量分别是 n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，0，－1)，则平面α，β所成锐二面角的余弦值是( )A ．33B ．－33C ． 63D ．－633．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量是( )A ．±(1，1，1)B ．±⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22C ．±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33 D ．±⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 4．已知a ，b 是两个非零的向量，α，β是两个平面，下列命题中正确的是( )A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量B ．a ，b 是共面向量，则a ∥bC ．a ∥α，b ∥β，则α∥βD ．a ∥α，b ∥β，则a ，b 不是共面向量5．若a ⊥b ，a ⊥c ，l ＝αb ＋β c (α，β∈R )，m ∥a ，则m 与l 一定( ) A ．共线 B ．相交 C ． 垂直 D ．不共面提升训练6． 如图141所示，三棱锥A BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．36B ．32C ． 336D ．127． 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( )A ．120B ．1010C ． －1010D ．－1208． 对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →＝________．10．在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值是_________．11．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起到△A 1BD 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BCD ，连接A 1C ．(1)求证：A 1B ⊥DC ；(2)求二面角B A 1C D 的大小．图1412．如图143所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB ＝2AD ＝4，BD ＝23，PD ⊥底面ABCD ．(1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ；(2)若二面角P BC D 的大小为 π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．。
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第2课时 两直线的
精彩小结
4、计算异面直线的距离，在简单情况下可
先确定异面直线公垂线的位置，再计算公 垂线的长度，但通常情况下，确定异面直 线公垂线段位置比较困难，这时可采用 “转化法”转化为点面，点线距离或利用 等体积法来求。 5、说明：对于异面直线的距离，只要求会 计算给出公垂线时的情形，在高考中不常 考查，无需复杂化
知识整合
4、异面直线的性质与判定定理 异面直线性质：既不平行也不相交， 判定定理为：—————————— 符号语言为：——————————
知识整合
5、两条异面直线所成角 过空间任意一点分别引两条异面直线
的 ，那么，这两条 直线所成 的 角或 角叫做两条异面直线所 成角，记为 则 ，在定义 中空间一点O是任意选取的，所以异 面直线所成角有无数只，而与O点位 置无关，故O点常取特殊点，如中点、 分点、端点等
例题精析
（3）设O1是上底面A1B1C1D1的中心，G是
ΔAB1D1的重心。 求证：O1G是异面直线A1C与B1D1的公垂线段 并求B1D1与A1C之间的距离。
精彩小结
1、相交、平行、异面中两条直线异面是重
点，要正确理解异面直线定义。其特征是 既不相交也不平行 2、判定空间两直线是异面直线的方法常有： 定义法、判定定理与反证法，其中反证法 是重点
考点体为依托考 查空间异面直线的判定问题，以几何 体（棱柱、棱锥）为依托考查两条异 面直线所成角和距离，往往可能将角 与距离融合到同一道试题中，一个为 已知一个为所求。
知识整合
1、两条直线的位置关系 相交 ：有且仅有一个交点 共面 平行 无交点 异面直线：——————
例题精析
例2：如图所示，已知平面
高考数学知识点一本通【文理通用】
高考数学知识点一本通（文理通用）第一部分 集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注] ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）.3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ.（例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴ ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.简记为：小充分大必要。