湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
19-20学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=1−i2+i(i为虚数单位)的虚部为()A. 15B. 35C. −35D. 35i2.已知两个向量a⃗=(2,−1,3),b⃗ =(4,m,n)，且a⃗//b⃗ ，则m+n的值为()A. 8B. 4C. 2D. 13.椭圆x2m +y29=1的焦距是2，那么实数m的值为()A. 5B. 5或13C. 8或10D. 104.曲线y=13x3−2在点(−1,−73)处的切线的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 135°D. −45°5.已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是()A. 若m//α，α∩β=n，则m//nB. 若m⊥α，m⊥β，则α//βC. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD. 若m//n，m⊥α，则n⊥α6.已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn(a,b∈R)，且S25=100，则a12+a14=()A. 16B. 8C. 4D. 不确定7.平面内到定点M(2,2)与到定直线x+y−4=0的距离相等的点的轨迹是()A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线8.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为()A. (x−4)2+(y−2)2=20B. (x−2)2+(y−1)2=5C. (x+4)2+(y+2)2=20D. (x+2)2+(y+1)2=59.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M(2,y0)在抛物线C上，⊙M与直线l相切于点E，且∠EMF=π3，则⊙M的半径为()A. 23B. 43C. 83D. 16310.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将▵ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C−AB−D的平面角的大小为θ，则sinθ的值等()A. 34B. √74C. 3√77D. 4511.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足cosB=ca，则A为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°12.已知P(1,√3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是()A. 2B. √2C. √5D. √52二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，已知PA⊥平面ABCD，则当PC⊥________时，AC⊥BD．14.已知数列{a n}满足a1=−2，a n+1=2+2a n1−a n，则a4=______ ．15.已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y−10=0上的动点，则|PQ|的最小值为______ ．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32,A、B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知定点A(−2,0)，点B是圆x2+y2−8x+12=0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．18.己知向量a⃗=(sinθ,cosθ−2sinθ)，b⃗ =(1,2)．(1)若a⃗//b⃗ ，求sinθ⋅cosθ1+3cosθ的值；(2)若|a⃗|=|b⃗ |，0<θ<π，求θ的值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√6=0相切，过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分别为AD，PA的中点．(Ⅰ)证明：平面BMN//平面PCD；(Ⅱ)若AD=6，CD=√3，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值．21.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n，(n∈N∗)a n+3(1)求数列{a n}的通项公式a n，a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式(−1)nλ<T n对一切(2)若数列{b n}满足b n=(3n−1)n2nn∈N∗恒成立，求λ的取值范围．22.已知抛物线y2=−2px(p>0)的焦点为F，x轴上方的点M(−2,m)在抛物线上，且|MF|=5，直2线l与抛物线交于A，B两点(点A，B与M不重合)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当k1+k2=−2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：化简可得z=1−i2+i =(1−i)(2−i) (2+i)(2−i)=2−i−2i+i222−i2=1−3i5=15−35i，∴复数的虚部为：−35故选：C．化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．2.答案：B解析：本题考查了向量共线定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．a⃗//b⃗ ，则存在实数k使得a⃗=k b⃗ ，即可得出．解：∵a⃗//b⃗ ，∴存在实数k使得a⃗=k b⃗ ，∴{2=4k−1=km3=kn，解得k=12，m=−2，n=6．则m+n=4．故选B．3.答案：C解析：本题给出含有字母参数m的方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．分椭圆的焦点在x轴或y轴两种情况，根据椭圆基本量的关系建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解：①当椭圆焦点在x轴上时，a2=m，b2=9，得c=√m−9，∴焦距2c=2√m−9=2，解之得m=10．②椭圆焦点在y轴上时，a2=9，b2=m，得c=√9−m，焦距2c=2√9−m=2，解之得m=8．综上所述，得m=10或8．故选C．4.答案：B解析：x3−2的导数为y′=x2，解：y=13)处的切线的斜率为1，在点(−1,−73由tanθ=1，可得倾斜角为45°，故选B．求出导数，求得切线的斜率，由斜率和倾斜角的关系，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α//β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；在D中，由线面垂直的判定定理得n⊥α．解：由α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，知：在A中，∵m//α，α∩β=n，∴m与n平行或异面，故A错误；在B中，∵m⊥α，m⊥β，∴由面面垂直的判定定理得α//β，故B正确；在C中，∵m⊥α，m⊂β，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，∵m//n，m⊥α，∴由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．6.答案：B解析：由S n可知数列是等差数列，这样可以用等差数列前n项和表示S25，根据等差数列性质，很容易就得到结果．解：由数列{a n}的前n项和S n=a n2+b n(a、b∈R)，可得数列{a n}是等差数列，=100，S25=(a1+a25)⋅252解得a1+a25=8，∴a1+a25=a12+a14=8．故选B．7.答案：D解析：解：因为点A(2,2)位于直线x+y−4=0上，所以动点的轨迹为过A点与直线x+y−4=0垂直的直线．故选D．判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹．本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力．注意本题与抛物线定义的区别，易错选A．8.答案：B解析：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为(2,1)，OP=2√5，∴四边形AOBP的外接圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，∴△AOB外接圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．9.答案：C解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义，设圆的半径为r，r=|ME|=|MF|=2+p2，过M作MA⊥x轴交于A，|AF|=|MF|2，则2−p2=12(2+p2)，得出p的值，即可得出圆M的半径．解：设圆的半径为r，r=|ME|=|MF|=2+p2，过M作MA⊥x轴交于A，则|AF|=2−p2∵∠EMF=π3，∴∠AMF=π6，则|AF|=|MF|2，即2−p2=12(2+p2)，得p=43，∴r=2+p2=2+23=83，故选C．解析：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本题的关键．根据已知中矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C−AB−D的平面角大小为θ，我们可以得到∠CAD是二面角C−AB−D的平面角，解三角形CAD即可得到答案．解：由AO⊥平面BCD，CD在平面BCD内，知AO⊥CD又CD⊥BC，且AO交BC于O，故CD⊥平面ABC又AB在平面ABC内，故CD⊥AB，又DA⊥AB，且CD交DA于D，故AB⊥平面ACD，又AC在平面ACD内，故AB⊥AC，又AB⊥AD故∠CAD是二面角C−AB−D的平面角在△CAD中，由CD⊥平面ABC，AC在平面ABC内，可知CD⊥AC又CD=3，AD=4，故sin∠CAD=CDAD =34故选A．11.答案：C解析：解：∵cosB=ca，∴由余弦定理可得：ca =a2+c2−b22ac，整理可得：a2=c2+b2，∴可得A=90°．故选：C．由已知利用余弦定理可得a2=c2+b2，根据勾股定理即可得解．本题主要考查了余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，属于基础题．12.答案：A解析：本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．根据双曲线线方程求出渐近线方程，将点P坐标代入，结合双曲线的性质即可求解．解：∵P(1,√3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，∴ba=√3，∴c2−a2a2=e2−1=3，解得e=2．故选A．13.答案：BD解析：本题考查线面垂直的判定定理和性质，属于基础题．根据PA⊥面ABCD，得到PA⊥BD，当PC⊥BD时，由线面垂直的判定定理，有BD⊥面PAC，从而可得答案．解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，若当PC⊥BD时，由线面垂直的判定定理，有BD⊥面PAC，∴AC⊥BD．故答案为BD．14.答案：−25解析：解：由a1=−2，a n+1=2+2a n1−a n，得a2=2+2a11−a1=2+−41−(−2)=23，a3=2+2a21−a2=2+2×231−23=6，a4=2+2a31−a3=2+2×61−6=−25．故答案为：−25．在已知递推式中分别取n=1，2，3即可求得a4的值．本题考查了数列递推式，考查了学生的计算能力，是基础题．15.答案：1解析：求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．解：圆心(0,0)到直线3x+4y−10=0的距离d=|−10|5=2．再由d−r=2−1=1，知最小距离为1．故答案为1．16.答案：1±√22解析：本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线的斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．由椭圆的离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2=√32，求得a=2b，椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，整理得：y2 x−a =−14，则tanα=yx+a，tanβ=yx−a，tanα⋅tanβ=yx+a⋅yx−a=y2x−a=−14，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2−x−14=0的两个根，x=1±√22，则tanα=1±√22，即可求得直线PA的斜率．解：由题意可知：A(−a,0)，B(a,0)，P(x,y)，椭圆的离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2=√32，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，∴y2=a2−x24，则y2x2−a2=−14，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA =tanα=y x+a，k PB =tanβ=yx−a ， ∴tanα⋅tanβ=yx+a ⋅yx−a =y 2x 2−a 2=−14，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1， ∴tanα，tanβ是方程x 2−x −14=0的两个根， 解得：x =1±√22， ∴直线PA 的斜率k PA =tanα=1±√22， 故答案为：1±√22． 17.答案：解：设点M(x,y)，点B(x 0,y 0).因为M 为AB 的中点，所以x =x 0−22，y =y 0+02.所以x 0=2x +2，y 0=2y.将点B(x 0,y 0)代入圆x 2+y 2−8x +12=0得(2x −2)2+4y 2=4，化简得(x −1)2+y 2=1.即点M 的轨迹方程为(x −1)2+y 2=1．解析：本题考查中点坐标公式、圆的方程、轨迹方程的求解，考查运算求解能力、化归与转化思想． 设出点M 的坐标，以及点B 的坐标，利用M 为线段AB 的中点建立关系式，求得涉及点B 的坐标参数的关系式，再代入圆的方程即可确定对应的点M 的轨迹方程． 18.答案：解：(1)∵a ⃗ //b ⃗ ，∴2sinθ=cosθ−2sinθ，∴4sinθ=cosθ， ∵cosθ≠0，∴tanθ=14，∴sinθ⋅cosθ1+3cos 2θ=sinθ⋅cosθsin 2θ+4cos 2θ=tanθtan 2θ+4=465(2)∵|a ⃗ |=|b ⃗ |，∴sin 2θ+(cosθ−2sinθ)2=5， ∴1−4sinθcosθ+4sin 2θ=5， ∴−2sin2θ+2(1−cos2θ)=4， ∴sin2θ+cos2θ=−1，∴sin(2θ+π4)=−√22∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，∴θ=π2或θ=3π4．解析：(1)由共线定理结合齐次式弦化切可求；(2)由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2θ+π4)=−√22，再结合三角函数的性质可得到结果．本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由e =c a =12，得a 2−b 2a 2=14，可得a 2=43b 2，又b =√6√1+1=√3，∴b 2=3，a 2=4．故椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意知直线l 方程为y =k(x −4)． 联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0． 由△=(−32k 2)2−4(4k 2+3)(64k 2−12)>0， 得k 2<14.①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3．∴y 1y 2=k(x 1−4)⋅k(x 2−4)=k 2x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2． ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆内，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2 =(1+k 2)⋅64k 2−124k 2+3−4k 2⋅32k 24k 2+3+16k 2 =25−874k 2+3<0，② 由①②，解得−√35<k <√35．∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，直线l 的斜率k ∈(−√35,√35).解析：本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．(1)由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可； (2)联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围．20.答案：(Ⅰ)证明：连接BD ．∵AB =AD ，∠BAD =60°，∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD ． 又∵AD ⊥CD ，CD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM//CD ，又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM//平面PCD ．∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN//PD ．又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN//平面PCD ． 又BM ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN =M ， ∴平面BMN//平面PCD ； (Ⅱ)解：连接PM ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD =AD ，PM ⊂平面PAD ，又PM ⊥AD ， ∴PM ⊥平面ABCD ．又BM ⊥AD ，∴MB ，MD ，MP 两两互相垂直．以M 为坐标原点，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz ． ∵AD =6，CD =√3，∴M(0,0，0)，P(0,0，3)，A(0,−3,0)，N(0,−32,32)，B(3√3,0,0)，C(√3,3,0)． 设平面BMN 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面BCP 的一个法向量n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． ∵MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,0,0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−32,32)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{3√3x 1=0−32y 1+32z 1=0，取m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)． ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,0,3)，由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2√3x 2+3y 2=0−3√3x 2+3z 2=0，取n⃗ =(√3,2,3)． ．∴平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值为5√28．解析：本题主要考查面面平行的判定，以及二面角，关键是建立坐标系，求平面的法向量． (I)连接BD ，利用条件证明BM//平面PCD 以及MN//平面PCD ，再根据面面平行的判定定理可证； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角求平面BMN 与平面BCP 所成的锐二面角大小的余弦值．21.答案：解：(1)∵数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a na n +3，(n ∈N ∗)∴1a n+1=a n +3a n =3a n+1，∴1a n+1+12=3(1a n+12)，∴1an+1+12=(1a 1+12)⋅3n−1=3n 2．∴a n =23n −1.(4分)(2)∵a n =23−1，b n =(3n −1)n2n a n ， ∴b n =(3n −1)⋅n 2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1，∴T n =1⋅1+2⋅(12)+3⋅(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1，①12T n=1⋅12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n ⋅(12)n ，② ①−②，得12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n2n =1−(12)n1−12−n2n =2−n+22n，∴T n =4−n+22n−1.(8分)，∵T n+1−T n =(4−n+32n)−(4−n+22n−1)=n+12n>0，∴{T n }为单调递增数列，∵不等式(−1)n λ<T n 对一切n ∈N ∗恒成立， ∴①当n 为正奇数时，−λ<T n 对一切正奇数成立， ∴(T n )min =T 1=1，∴−λ<1，∴λ>−1； ②当n 为正偶数时，λ<T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min =T 2=2，∴λ<2． 综上知−1<λ<2.(12分)解析：(1)由已知条件推导出1a n+1+12=3(1a n+12)，从而得到1a n+1+12=(1a 1+12)⋅3n−1=3n 2.由此能求出结果．(2)由b n =(3n −1)⋅n2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1，利用裂项求和法求出T n =4−n+22n−1，从而得到{T n }为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出λ的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的定义可以|MF|=p 2−(−2)=52，∴p =1，抛物线的方程为y 2=−2x ；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，点M 的坐标为(−2,2)， 当直线l 斜率不存在时，设A(x 0,y 0)，B(x 0,−y 0)，又k 1+k 2=y 0−2x 0+2+−y 0−2x 0+2=−4x 0+2=−2，故x 0=0,y 0=0，此时A,B 重合，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b ， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立直线l 与抛物线{y =kx +by 2=−2x , 得k 2x 2+(2kb +2)x +b 2=0， Δ=8kb +4>0， x 1+x 2=−2kb−2k 2，x 1x 2=b 2k2，①又k1+k2=y1−2x1+2+y2−2x2+2=−2，即(kx1+b−2)(x2+2)+(kx2+b−2)(x1+2)=−2(x1+2)(x2+2)，即2kx1x2+(2k+b−2)(x1+x2)+4b−8=−2x1x2−4(x1+x2)−8，将①代入得，b2−b−2−2k(b+1)=0，即(b+1)(b−2−2k)=0，解得b=−1或b=2+2k，当b=−1时，直线l为y=kx−1，此时直线恒过(0,−1)，当b=2+2k时，直线l为y=kx+2k+2=k(x+2)+2，此时直线恒过(−2,2)(舍去)，∴直线l恒过定点(0,−1)．解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义以及直线与抛物线的关系，属于较难题．(Ⅰ)由抛物线的定义求出p，从而求出抛物线的方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知点M的坐标，当直线l斜率不存在时，此时A,B重合，舍去；当直线l斜率存在时，设直线l的方程，将直线l与抛物线联立得关系式，通过韦达定理得到x1+x2 ,x1x2的表达式，代入k1+k2=−2化简后的式子中，得到k和b关系，从而证出直线l恒过定点(0,−1)．。
湖北省沙市中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题无答案202002160271
湖北省沙市中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（无答案）考试时间：2020年1月13日一、单选题（每小题5分，共60分） 1．复数11iz i-=+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2-B ．12（0,-）C ．1(0,)8-D ．1(,0)8- 3．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ） A ．23x > B ．2x >C ．2x ≥D ．3x >4. 党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观。
现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）A ．13 B ．16C ．56 D ．23 5. 已知数列{}n a 满足1(1)1n n a a +-=，且112a =-，则2020a =（ ）A ．3B ．12-C ．23D ．134526．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之， 上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？A ．581B ．778C ．439D ．7768. 若直线(1)20x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1 或2-D ．23-9. 记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为21S ，“98，99，100，102，x ”这组数据的方差为22S ，若2212S S =，则x 为（ ）A ．97B ．101C ．101或98.5D ．103 10．空间四点(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、（，，）、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．411. 平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =( )A ．31- B ．21- C ．32- D ．32-12. 椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点为P ，且 123F PF π∠= .若椭圆的离心率为 32，则双曲线的离心率为（ ）A ．1336B ．324 C ．3D ．2二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知数列{}n a 的前n 项和2,n S n n =+则n a =14. 对任意的实数k ，直线2(1)20k x ky +--=被圆222240x y x y +---=截得的最短弦长为15. 若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是（结果要求化简）16. 12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于三、解答题17．（10分）某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率； （2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数； （3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数。
湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
【详解】解：∵直线 x 1 m y 2 m 和直线 mx 2 y 8 0 平行,
∴1 2 1 m m 0 ,解得 m 1或 2 ,
当 m 2 时,两直线重合
故选 A
【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若 l1 为 A1x B1 y C1 0 , l2 为
写在同一张卡片的两面），从中任意抽取 1 张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）
1
A.
3
1
B.
6
5
C.
6
2
D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知，基本事件有 6 个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有 2 个基本事件，根据古典
概型概率公式计算即可.
【详解】由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；
3a3 4 a3 d 4a3 4d ,
a3 4d an a3 (n 3) d 4d (n 3)d
(n 7)d
a7 0 ,
故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题. 7. 《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先
【详解】设第十等人得金 a1 斤，第九等人得金 a2 斤，以此类推，第一等人得金 a10 斤，则数列{an}构成等差
数列，设公差为 d，则每一等人比下一等人多得 d 斤金，
由题意得
a1 a8
a2 a9
a3 a4 a10 4
3
,即
4a1 3a1
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学复习卷2 (解析版)
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学复习卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x|2x −1>0}，则A ∩B =( )A. (12,+∞)B. (12,3]C. (12,2]∪[3,+∞)D. [2,3] 2. 直线xcosα−y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A. [π4,3π4]B. [0,π4]∪[3π4,π) C. [−π4,π4] D. [π4,π2)∪(π2,3π4] 3. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4y ≤x +1y ≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 164. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β下面命题正确的是( )A. 若l//β，则α//βB. 若α⊥β，则l ⊥mC. 若l ⊥β，则α⊥βD. 若α//β，则l//m5. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f(x)={x +1,x ≥0,−12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12 6. 已知命题p ：“”的否定是“”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A. p 且qB. p 或¬qC. ¬p 且¬qD. p 或q7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是√3，则正视图中的x 的值是( )A. 2B. 2√3C. √3D. 38.已知圆C:(x−2)2+y2=4，直线l1:y=√3x，l2:y=kx−1，若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1:2，则k的值为()A. √3B. √33C. 12D. 19.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S>100?”改为关于n的不等式“”，且要求输出的结果不变，则正整数n0的取值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知F1,F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，以P为圆心，|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，12|F1F2|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. 3D. 411.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+52，a11成等比数列，若m−n=8，则a m−a n=()A. 12B. 13C. 14D. 1512.已知两点M(−1,0)，N(1,0)，若直线y=k(x−2)上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是()A. [−13,0)∪(0,13] B. [−√33,0)∪(0,√33]C. [−13,13] D. [−5,5]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为______ ．14.函数y=x2+2(x>1)的最小值为________．x−115.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为______．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A−D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P−AD1−C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是______.(写出所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知√3a⋅sinC=c⋅sin2A．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，b=2√3，求△ABC的面积．18.已知以点C为圆心的圆经过点A(−2,0)和B(2,4)，线段AB的垂直平分线交圆C于点P和Q，且PQ=8．(1)求直线PQ的方程；(2)求圆C的方程．19.某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的众数以及平均分；(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．20.已知命题p：∀x∈[−1,0]，log2(x+2)<2m；命题q：关于x的方程x2−2x+m2=0有两个不同的实数根．(I)若(¬p)∧q为真命题，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，，AD=2，AM=1，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：AN//平面MEC；(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P，使二面角P−EC−D的大小为π？若存在，求出AP的长h；若3不存在，请说明理由．22.已知椭圆C的方程为x24+y22=l，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于−l的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．(Ⅰ)证明：直线BD的斜率为定值；(Ⅱ)求△ABD面积的最大值．。
2019-2020学年湖北省荆州高二上学期期末考试数学试题
荆州中学、宜昌一中2019年秋季学期高二期末联考数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1． 复数231iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．52D ．52i2． )0,,2(m =，)1,3,1(-=n ，若//,则=+n m （ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 93． 椭圆2218x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ） A ．12B ．4C ．12或4D ．10或64． 曲线32313+-=x x y 在点（1，34）处的切线的倾斜角为（ ） A ．4π B ． 3πC ．π32D ．π435． 已知,αβ是两相异平面，,m n 是两相异直线，则下列结论错误的是（ ） A ．若m ∥n ，α⊥m ，则n α⊥ B ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β C ．若α⊥m ，β⊂m ，则αβ⊥D ．若m ∥α，n =⋂βα，则m ∥n6．数列{}n a 满足112+-+=n n n a a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，20192,a a 是函数56)(2+-=x x x f 的两个零点，则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2020D ．60607．平面直角坐标系内，到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别B A ,,O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程为（ ）CADBA ．222+1=5x y --（）（） B ．22+2++1=20x y （）（） C ．224+2=5x y --（）（）D ．22+4++2=2x y （）（） 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ，点0(2,)M y 在抛物线C 上，M 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M 的半径为( )A ．23B ．43C ．83D ．16310．如图，正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为( )A ．2B ．12C ．3D ．511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足C B acb cos cos +=+，8sin =Abc，则ABC ∆的周长的最小值为( ) A ． 3B ．332+C ． 4D ．442+12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，,P Q 均位于第一象限，且2QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．15-B ．15+C ．110-D ．110+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分;把答案填在对应题号的横线上.） 13. 如图，已知平行四边形ABCD 中，060,3,4=∠==D CD AD ,⊥PA 平面ABCD ，且6=PA ，则=PC .14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，且55=a ，则2123a a +的最小值为 .15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点，且4=AB ，点D 为线段AB 的中点，对于直线l :)1(-=x k y 上任-点P ，都有1>PD ，则实数k 的取值范围是__________.16.若点P 是椭圆22:12516x y C +=上任意一点，点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，若直线 PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则=+-)cos()cos(βαβα .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）若圆M 的方程为4)4()1(22=-+-y x ，△ABC 中，已知)2,7(A ,)6,4(B ,点C 为圆M 上的动点．（Ⅰ）求AC 中点D 的轨迹方程； （Ⅱ）求△ABC 面积的最小值．18.（本小题满分12分）设向量()2,sin a θ=，(1,cos )b θ=，其中θ为锐角. （Ⅰ）若94a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （Ⅱ）若a ∥b ，求θθθθ22cos cos sin sin -+的值.19. （本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别是21,F F ,点P 在椭圆C 上，421=+PF PF ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线32+=x y 相切.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA =，AD AB =,PD PA ⊥，CD AD ⊥，060=∠BAD ，N M ,分别为PA AD ,的中点.（Ⅰ）证明：平面BMN ∥平面PCD ； （Ⅱ）若3,4==CD AD ，（1）求平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值； （2）求点M 到平面BCP 的距离.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*,292N n a S n n n ∈-=,nn n a b 23-=. （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，对任意,m n N *∈，不等式m nS b λ>恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．22．（本小题满分12分）如图，已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k 、2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点． （Ⅰ）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．2018级高二上学期期末考试数学试卷答案一、选择题二、填空题 13．7 14．524 15．43->k 16．419 三、解答题17.解：（Ⅰ）设00(,),(,)D x y C x y 有000072722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩， 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=， 即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.（Ⅱ）计算得5AB =, 直线AB 为03434=-+y x , 点(1,4)到直线AB 的距离412341855d +-==, 118()min 5(2)425ABC S ∆∴=⨯⨯-=.18. 解：（Ⅰ）由92sin cos 4a b θθ⋅=+⋅=, 得1sincos 4θθ=, 213(sin cos )12sin cos 122θθθθ+=+=+=, sin cos θθ+=（Ⅱ）由//a b 得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=,原式=222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθ+-+-=++22221121+-==+. 19.解（Ⅰ）点(0,0)30y -+=的距离为d ==,得b =由1242PF PF a +==得2a =,椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）联立22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，设1122(,)(,)A x y B x y ,得22(43)40k x ++-=,12243x x k k +=-+ ,122443x x k -=+, 由题意可知：0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=,即12123)0x x +++=,得12123)90x x x x +++=,代入解得21,66k k ==±即为所求.20.（1）连接,,60,BD AB AD BAD ABD =∠=︒∴为等边三角形，M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥,,,AD CD CD BM ⊥⊂平面ABCD ，BM CD ,又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，BM∴平面PCD ,,M N 分别为,AD PA 的中点，MN PD ∴,又MN ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ，MN ∴平面PCD .又,BM MN ⊂平面,BMN BMMN M =，∴平面BMN 平面PCD .（2）连接PM ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面PAD AD =，PM ⊂平面PAD ，,PM AD PM ⊥∴⊥平面ABCD .又,,,BM AD MB MD MP ⊥∴两两互相垂直.以M 为坐标原点，,,MB MD MP 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -.4,3AD CD ==，则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1,1),(23,0,0),(3,2,0)M P A N B C --，设平面BMN 的一个法向量为111(,,)m x y z =，平面BCP 的一个法向量为222(,,)n x y z =，(23,0,0),(0,1,1)MB MN ==-∴由00m MB m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1112300x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴取(0,1,1)m =,(3,2,0),(23,0,2)BC BP =-=-，∴由00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22223202320x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴取(2,3,23)n =，3233114cos 38219m n m n m n ⋅+∴<⋅>===⋅ ∴平面BMN 与平面BCP 成锐二的余弦值为3114. （Ⅱ）（2）面BCP 的法向量为(2,3,23)n =,(0,0,2)MP =,243457192312MP n d n⋅===++. 21.解：（Ⅰ）当2n ≥时,111992(2)22n n n n n n n a S S a a ---=-=--- , ∴1922n n na a -=-， 11111393222223622n n n n n n n n n n n a a b b a a --------===--.∴数列{}nb 为公比为2的等比数列. 当1n =时，111992,22s a a =-=，11332b a =-=,13322n n n n b a -∴=⋅=- ,13322n n n a -∴=+⋅.（Ⅱ）011121113()3(222)222m m m S -=⋅+++++++011(1)2(12)3223332112212m m m m --=⋅+⋅=⋅---,假设存在实数λ，对任意*,,m nm n N S b λ∈>函数3322m m m S =⋅-，有min 19()2m S S ==， 132n n b -=⋅ , min 1()3n b b ==， min27()2m n S b λ∴<⋅=即为所求 22.解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2112y x =，2222y x =即有121212()()2()y y y y x x +-=-， 又(1,1)P 是线段AB 中点，得122y y +=，12121221AB y y K x x y y -===-+，直线AB 为11(1)y x -=⋅-，即y x =.（Ⅱ）设(,)M M M x y ，直线AB 为11(1)y k x -=-, 即1111y k x k =+-， 又121k k +=，直线AB 为12y k x k =+，代入22y x =有2221122(22)0k x k k x k +-+=，得1221111(,)k k M k k -，同理1222211(,)k k N k k -， 易知120k k ≠，直线MN 斜率为12121M N M N y y k kk x x k k -==--，直线MN 为12122112111()1k k k k y x k k k k --=--， 化简得121211k k y x k k =--, 直线过定点（0，1）即为所求.。
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）1．（5分）已知i是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知点P（﹣1，1）为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，若k PQ的极限为﹣2，则在点P处的切线方程为（）A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣1C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣2 3．（5分）若a，4，3a为等差数列的连续三项，则a0+a1+a2+…+a9的值为（）A．2047B．1062C．1023D．5314．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线l过椭圆的左焦点，F2是椭圆的右焦点，则△PQF2的周长为（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝1，则数列{a n}的前10项和为（）A．48B．49C．50D．517．（5分）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，点G在线段MN上，且＝2，，表示向量，设＝x+z，则x、y、z的值分别是（）A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝8．（5分）设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）左支上一点＝0，tan∠PF2F1＝，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）设z＝a+bi（a，b∈R），则下列命题为真命题的是（）A．若z•∈R，则z∈RB．若b＝0，则C．若z2为纯虚数，则a＝b≠0D．若z+i与都是实数，则10．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，，则有（）A．B．{S n}为等比数列C．D．a n＝11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．B1的坐标为（2，2，3）B．＝（﹣2，0，3）C．平面A1BC1的一个法向量为（﹣3，3，﹣2）D．二面角B﹣A1C1﹣B1的余弦值为12．（5分）下列结论正确的是（）A．方程表示的曲线是双曲线的右支B．若动圆M过点（3，2）且与直线3x﹣2y﹣1＝0相切，则点M的轨迹是抛物线C．两焦点坐标分别为（2，0）和（﹣2，0），且经过点（5，0）的椭圆的标准方程为D．椭圆上一点P到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年湖北省荆州高二上学期期末考试数学试题（解析版
2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数231iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．52D ．52i 【答案】C【解析】根据复数的除法运算以及复数的概念即可求解. 【详解】()()()()231231511122i i i z i i i i +++===-+--+，故复数的虚部为52，故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的概念，属于基础题. 2．(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-，若a //b ,则m n +=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】根据向量共线定理即可求解. 【详解】由a //b ,且(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-， 则存在非零实数λ使得λab ，即()2301m n λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得6m =，1n =， 所以7m n +=. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量共线定理，需掌握向量共线定理的内容，属于基础题.3．椭圆2218x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ）A ．12B ．4C ．12或4D ．10或6【答案】C【解析】由椭圆的标准方程222a b c =+即可求解. 【详解】因为双曲线的焦距为24c =，则2c =， 由222a b c =+，当焦点在x 轴上时， 即28212m =+=，解得12m = 当焦点在y 轴上时，即282m =+，解得4m =. 故4m =或12. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，需熟记,,a b c 之间的关系，属于基础题. 4．曲线31233y x x =-+在点（1，43）处的切线的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π【答案】D【解析】首先对函数31233y x x =-+求导，求出()1f '的值，根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】 由31233y x x =-+，则22y x '=-， 所以21121x y ==-=-'，所以切线的斜率为1-，由tan 1k α==-，所以34πα=， 故选：D 【点睛】本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 5．已知α，β是相异两平面；,m n 是相异两直线，则下列命题中假命题的是 （ ）A ．若m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥C ．若m α，n αβ=，则m nD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 【答案】C【解析】在A 中，由直线与平面垂直的判定定理可得真假； 在B 中，由平面与平面平行的判定定理可得真假； 在C 中，m 与n 平行或异面；在D 中，由平面与平面垂直的判定定理可得真假． 【详解】解：在A 中：若m n ，m α⊥，则由直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，故A 正确；在B 中：若m α⊥，m β⊥，则由平面与平面平行的判定定理得αβ∥，故B 正确； 在C 中：若m α，n αβ=，则m 与n 平行或异面，故C 错误；在D 中：若m α⊥，m β⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2020D ．6060【答案】D【解析】根据题意判断数列{}n a 为等差数列，由函数的零点与方程根的关系可得220196a a +=，再由等差数列的性质以及等差数列的前n 和的公式即可求解. 【详解】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，∴数列{}n a 为等差数列，又22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，即22019,a a 是方程2650x x -+=的两个根，220196a a ∴+=，()()1202022019202020202020606022a a a a S +⋅+⋅∴===，故选：D 【点睛】本题主要考查了等差中项、函数与方程的关系、等差数列的性质以及前n 和的公式，属于基本知识的考查，属于基础题.7．平面直角坐标系内，到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】A【解析】根据已知判断点A 是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项，据此解答此题，此题属于基础题. 【详解】由题意，点(2,3)A 在直线:280l x y +-=， 即动点到点A 的距离与动点到直线l 的距离相等， 点(2,3)A 满足直线:280l x y +-=方程， 所以动点的轨迹是一条过A 与直线垂直的直线. 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题.8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别,A B ,O 为坐标原点，则OAB∆的外接圆方程为（ ） A ．()()222+1=5x y -- B ．()()22+2++1=20x y C ．()()224+2=5x y -- D ．()()22+4++2=2x y【答案】A【解析】由题意知OA PA ⊥，BO PB ⊥，四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP ，AOB ∆外接圆就是四边形AOBP 的外接圆. 【详解】由题意知，OA PA ⊥，BO PB ⊥，∴四边形AOBP 有一组对角都等于90，∴四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP ，OP 的中点为()2,1，25OP =，∴四边形AOBP 的外接圆方程为()()222+1=5x y --，∴AOB ∆外接圆的方程为()()222+1=5x y --.故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点0(2,)M y 在抛物线C 上，M 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M 的半径为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C【解析】依据图像运用抛物线的定义及直线与圆相切，可得22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求出p ，进而得到M 的半径．【详解】如图所示，连接ME ，依题意ME l ⊥，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ， 在Rt MFH ∆中，||2||MF FH =， 由抛物线定义可得||||ME MF =，则22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得43p =， 故M 的半径为8223p +=， 故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与圆相切，考查逻辑推理，数学运算的核心素养，属于中档题．10．如图，正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为( )A ．2B ．12C ．3 D ．5 【答案】C【解析】设正方形边长为a ，AC 和BD 的交点为O ，过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E ,则二面角B CD A --就是BEO ∠，由平面BAC ⊥平面DAC ，在BEO ∆中即可求解. 【详解】设正方形边长为a ，AC 和BD 的交点为O ， 过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E , 则二面角B CD A --的平面角就是BEO ∠， 因2AO =，12OE a =，且平面BAC ⊥平面DAC ，BO AC ⊥，所以BO OE ⊥，所以222234BE BO OE a =+=，即3BE =，所以32cos 3aOE BEO BE a∠===， 故选： C 【点睛】本题主要考查面面角，解题的关键是作出二面角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos b cB C a+=+，8sin bcA=，则ABC ∆的周长的最小值为( ) A ．3 B ．332+C ．4D ．442+【答案】D【解析】根据正弦定理边化角求出角90A =，从而可求出8bc =，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为cos cos b c B C a +=+，根据正弦定理可得sin sin cos cos sin B CB C A+=+， 所以()()sin sin sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+， 所以cos sin cos sin 0A C A B +=，即()cos sin sin 0A C B +=， 在ABC ∆中，sin sin 0C B +≠，故cos 0A =，90A ∴=sin 1A =，则8bc =，所以2222442a b c b c b c bc bc ++=+++≥+=+， 当且仅当b c =时取等号，综上ABC ∆的周长的最小值为442+. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理以及基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设，则，由题设可得，解之得，故，又由可知点是中点，则，代入双曲线方程可得，即，所以，应选答案A 。
湖北省荆州市沙市中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020—2021学年度上学期2019级期末考试数学试卷命题人：叶世安 审题人：冷劲松考试时间：2021年1月31日一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知i 是虚数单位，20172i i 2iz -=-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】()2223939255555i iz i i i z i i --=-=-=-⇒=++故z 在复平面内对应的点在第一象限 2. 已知点()1,1P -为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当0x ∆→时，若PQ k 的极限为2-，则在点P 处的切线方程为（ ） A. 21y x =-+ B. 21y x =-- C. 23y x =+- D. 22y x =--【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义，可求得在点P 处切线的斜率，代入公式，即可求得答案. 【详解】根据导数的定义可得0(1)(1)lim(1)2x f x f f x∆→-+∆--'=-=-∆，即在点P 处切线的斜率为-2，所以在点P 处的切线方程为12(1)y x -=-+，整理可得21y x =--. 故选：B3. 若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋯+的值为（） A. 2047 B. 1062C. 1023D. 531【答案】C【解析】 【分析】【详解】∵ a ，4，3a 为等差数列的连续三项 ∴a+3a=4a=2×4， 解得a=2，故0129a a a a +++⋯+=20+21+22+…+29=1012102312-=-．选C ．4. 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5. 已知抛物线22y px =(0)p >的准线l 过椭圆22213x y p +=的左焦点，且l 与椭圆交于P 、Q 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2PQF 的周长为（ ） A. 16 B. 8C. 4D. 2【答案】B 【解析】 分析】由抛物线准线过椭圆左焦点可得2p-=求解p ,则可得到椭圆的标准方程,再根据2PQF 的周长为4a 计算即可【详解】因为抛物线的准线为2p x =-,椭圆的左焦点为(),所以2p -=即2p =,则椭圆方程为22143x y +=,即2a =,所以2PQF 的周长为4428a =⨯=, 故选：B【点睛】本题考查抛物线与椭圆的几何性质的应用,考查椭圆定义的应用6. 已知数列{}n a 满足10a =，21a =，222,,2,,n n n a n a a n --+⎧=⎨⨯⎩为奇数为偶数则数列{}n a 的前10项和为（ ） A. 48 B. 49C. 50D. 51【答案】D 【解析】 【分析】依次求出数列{}n a 的前10项，再求其前10项和.【详解】依题意10a =，21a =，222,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⨯⎩为奇数为偶数，所以3153759722,24,26,28a a a a a a a a =+==+==+==+=，42648610822,24,28,216a a a a a a a a ========，所以前10项和为0122446881651+++++++++=. 故选：D【点睛】本小题主要考查和根据递推关系求数列的项，属于基础题.7. 如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A. 111333x y z ===，，B. 111336x y z ===，，C. 111363x y z ===，，D. 111633x y z ===，，【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果. 【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN=+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z =故选：D【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.8. 已知点P 是以F 1、F 2为左、右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支上一点，且满足122120,tan 3PF PF PF F ⋅=∠=，则此双曲线的离心率为 （ ） A.3 B.13 C.5 D. 13【答案】D 【解析】因为点P 是以12,F F 为左右焦点的双曲线22221x y a b -=左支上一点，所以21122,2PF PF a F F c -==．因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥．在12Rt PF F ∆中，12122tan |3PF PF F PF ∠==，所以有124,6PF a PF a ==．因为2221212||||PF PF F F +=，所以222(4)(6)(2)a a c +=，即c ，所以ce a==，故选D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 设(,)z a bi a b R =+∈，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若z z R ⋅∈，则z R ∈ B. 若0b =，则z zC. 若2z 为纯虚数，则0a b =≠D. 若z i +与2zi+都是实数，则z = 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算、复数为纯虚数和实数的条件、共轭复数的定义及复数模的运算公式逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于选项A ：因为(,)z a bi a b R =+∈，所以(,)z a bi a b R =-∈， 所以2222()()()z z a bi a bi a bi a b ⋅=+⋅-=-=+，所以z z R ⋅∈.故A 选项错. 对于选项B ：当0b =时，()z a a R =∈，所以()z a a R =∈，所以zz .故B 选项正确.对于选项C ：因为(,)z a bi a b R =+∈，所以222()()2a bi a bi z a b abi =++=-+.因为2z 为纯虚数，所以220a b -=且20ab ≠，解得：0a b =≠或0a b =-≠.故C 选项错误. 对于选项D ：因为(1)z i a b i +=++为实数，所以10b +=，所以1b =-.因为()()()()()()22222222555a bi i ab b a i z a b b a i i i i +-++-+-===+++-为实数， 所以205b a-=，又因为1b =-，所以2a =-.所以2z i =--，所以z ==故D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数为纯虚数的和实数的条件以及复数模的公式，考查学生的计算能力，属于基础题.10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ）A. 13n n S -=B. {}n S 为等比数列C. 123n n a -=⋅D. 21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【解析】 【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式， 所以数列{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，13AA =，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 1B 的坐标为(2，2，3)B. 1BC =(-2，0，3)C. 平面11A BC 的一个法向量为(-3，3，-2)D. 二面角111B AC B --【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，根据空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】因为2AB AD ==，13AA =，所以()12,0,3A ，()2,2,0B ，()12,2,3B ，()10,2,3C ，所以()1=2,0,3BC -，()10,2,3A B =-,即A ，B 正确；设平面11A BC 的法向量(),,m x y z =， 所以1100m A B m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即230230y z x z -=⎧⎨-+=⎩，令3x =-，则3y =-，2z =-，即平面11A BC 的一个法向量为()3,3,2---，故C 错误； 由几何体易得面111A B C 的一个法向量为()0,0,1n =，由于cos ,119m n m n m n⋅===-+⋅，结合图形可知二面角111B AC B --的余弦值为11，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之法向量的求法以及在面面角中的应用，属于基础题.12. 下列结论正确的是（ ）A. 2222(4)(4)6x y x y ++-+=表示的曲线是双曲线的右支；B. 若动圆M 过点(3,2)且与直线3210x y --=相切，则点M 的轨迹是抛物线；C. 两焦点坐标分别为(2,0)和(2,0)-，且经过点(5,0) 的椭圆的标准方程为2212516x y +=；D. 椭圆221259x y +=上一点P 到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6.【答案】AB 【解析】 【分析】,A 方程化简得221(0)97x y x -=>，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该选项正确；,B 由题得满足抛物线的定义，所以点M 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；,C 由题得椭圆的标准方程为2212521x y +=，所以该选项错误；,D 点P 到右焦点的距离的最大值为9，最小值为1,所以该选项错误.【详解】,A 2222(4)(4)6x y x y ++-+=化简得221(0)97x y x -=>，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该选项正确；,B 由题得点(3,2)P 不在直线3210x y --=上，点M 到定点P 和定直线3210x y --=的距离相等，满足抛物线的定义，所以点M 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；,C 由题得椭圆的2,5c a ==，所以225421b =-=，所以椭圆的标准方程为2212521x y +=，所以该选项错误；,D 椭圆221259x y +=上一点P 到右焦点的距离的最大值为549a c +=+=，最小值为541a c -=-=,所以该选项错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查圆锥曲线的方程的求法，考查圆锥曲线的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算：()273451234i i i i i +--++-+-=____________ . 【答案】16i 【解析】 由题意可得：()()()2734512342751334253137416.i i i i ii i i i i +--++-+-=+-++-=-+++-=14. 已知4，a ，b ，25成等差数列，4，c ，d ，25成等比数列，则a b cd ++=______． 【答案】129 【解析】 【分析】由等差性质425a b +=+，由等比数列定义可知425100cd =⨯=，即可得出结果. 【详解】解：4，a ，b ，25成等差数列，则42529a b +=+=； 4，c ，d ，25成等比数列，则425100cd =⨯=， 从而29+100129a b cd ++==． 故答案为：129.【点睛】本题考查等差数列性质和等比数列的性，属于基础题.15. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.【答案】3 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-，则11111132cos ,||||13114BD AMBD AM BD AM -+⋅<>===⋅++，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为3. 故答案为：3【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.16. 已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________． 【答案】433+ 【解析】 【分析】 根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22max max 3MN NF DN NF +=++，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果.【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可， 由余弦定理，可得 ()22222112121221221424cos 22PF PF c PF PF PF PF cF PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =， 即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大；如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率sin 22c e a θ⎫==∈⎪⎪⎣⎭，因此当椭圆C 的离心率取得最小值2时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22max max MN NF DN NF +=+， 所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，211444DN NF DN NF DF +=+-≤+=+当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号，所以2DN NF +的最大值为 4+，因此2MN NF +的最大值是4+故答案为：4+【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解. 四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =-；（2）1(31)2n - 【解析】【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；（2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ，因为1124351,10,a b a a b a ==+==，所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴=因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n 项和131(31)132n n n S -==-- 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点．（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离．【答案】（16；（2）33． 【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求； （2）利用PB 在平面PCD 的法向量上的投影计算求解.【详解】解：（1）在PAD △中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．在PAD △中，PA PD ⊥，2PA PD ==2AD =．在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以1OA BC ==，所以OC AD ⊥．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0P A B C D --，所以()1,1,1PB =--．因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，所以OA ⊥平面POC ．所以()0,1,0OA =-为平面POC 的一个法向量， 3cos ,3||PB OA PB OA PB OA ⋅〈〉==∣， 所以PB 与平面POC 所成角的余弦值为63． （2）因为()1,1,1PB =--，()1,0,1CP =-，()0,1,1PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩．取1z =，得()1,1,1u =．则B 点到平面PCD 的距离33PB ud u ⋅==．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法.19. 已知O 为原点，抛物线()2:208C x py p =<<的准线与y 轴的交点为H ，P 为抛物线C 上横坐标为4的点，已知点P 到准线的距离为5.（1）求C 的方程；（2）过C 焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AH 为直径的圆过B ，求AF BF -的值.【答案】（1）24x y =；（2）4.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得852p p +=，求得p 后即可得解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，联立方程组结合韦达定理可得124x x =-，由圆的性质、直线垂直的性质可得1212111y y x x -+⋅=-，进而可得221216x x -=，再由抛物线的性质即可得解.【详解】（1）由题意点84,P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，抛物线的准线方程为2p y =-， 则852p p +=，解得2p =或8p =（舍）， ∴抛物线方程为24x y =；（2）由题意抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，()0,1H -， 由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，代入抛物线方程可得2440x kx --=，0∆>，∴124x x k +=，124x x =-，① 又111AF y k k x -==，221HB y k x +=， 由AH BH ⊥可得1HBk k ⋅=-，∴1212111y y x x -+⋅=-， 整理得()()1212110y y x x -++=，即22121211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，② 把①代入②得221216x x -=， 则()()22121211144AF BF y y x x -=+-+=-=. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用及方程的求解，考查了直线与抛物线的综合问题，关键是对题目条件合理转化，属于中档题.20. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 的通项公式为3411142,2,11n n b b a a S b ==-=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}221n n a b -的前n 项和()*n T n N ∈．【答案】（Ⅰ）32n a n =-，*n N ∈；（Ⅱ）1328433n n n T +-=⋅+，*n N ∈. 【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，结合已知条件求1a 、d ，进而得到通项公式；（Ⅱ）由已知有221(31)4n n n a b n -=-⋅，利用错位相减法，求前n 项和()*n T n N ∈.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3412b a a =-，可得138d a -=．①由11411S b =，可得1516a d +=．②联立①②，解得11a =，3d =，等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，*n N ∈．（Ⅱ）由122162,24n n n a n b --=-=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⋅，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅， 上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅()112144(31)414n n n +-=---⋅-1(32)48n n +=--⋅-． ∴1328433n n n T +-=⋅+． 【点睛】本题考查了数列，利用已知条件求通项公式基本量，进而求得通项公式，应用错位相减法求前n 项和，属于基础题.21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，4PA AD ==，//BC AD ，AB AD ⊥，2AB BC ==，()01PE PC λλ=≤＜．（1）若12λ=，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角B AE C --的大小为θ，若234cos 17θ=，求λ的值． 【答案】（1470；（2）13λ=． 【解析】【分析】 （1）首先证明PA ⊥平面ABCD ，再以点A 为原点，{},,AB AD AP 为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面ABE 的法向量，再求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）首先求平面ABE 和平面AEC 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，求λ的值．【详解】解：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， PA ⊂平面P AB ，所以PA ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥．又AB AD ⊥，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．因为4PA AD ==，2AB BC ==，所以()0,0,0A ,()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，（1）若12λ=，即E 为PC 中点，则()1,1,2E ， 所以()1,3,2DE =-，()2,0,0AB =，()1,1,2AE =．设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AB m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111120,20.x x y z =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得12y =-，所以平面ABE 的一个法向量为()0,2,1m =-．设直线DE 与平面ABE 所成角为α， 则62470sin cos ,145DE m α+===⨯ （2）因为()01PE PC λλ=≤<，则()2,2,44E λλλ-．设平面ABE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()222220,22440.x x y z λλλ=⎧⎨++-=⎩ 令22y =，得21z λλ=-，所以平面ABE 的一个法向量为0,2,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．设平面AEC 的一个法向量为()333,,l x y z =，则00l AC l AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即333220,40.x y z +=⎧⎨=⎩令31x =，得31y =-，所以平面AEC 的一个向量为()1,1,0l =-．（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD 为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B AE C --的大小为θ，且234cos 17θ=，得22234cos ,17421n l λλ-==⎛⎫+⨯ ⎪-⎝⎭， 整理得23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍）．所以13λ=． 【点睛】方法点睛：本题考查线线，线面，面面关系中的垂直问题，空间直角坐标法解决线面，面面角，一般求线面角和二面角有如下公式：1.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解.2.建立空间直角坐标系，设两个平面的法向量为m 和n ，利用公式cos cos ,m n θ=<>,22. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）6.【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为222,c e a b c a==+,列方程组求得,a b 的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）点()4,M t ，直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，利用韦达定理解出P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.【详解】（Ⅰ）由题设知，2,2a c ab ==又222a b c =+，解得2,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >.将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=， 由22410827A P t x x t-⋅=+，2A x =-得2225427P t x t -=+，则21827P t y t =+. 再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t x t x t +---=， 由224123B Q t x x t -⋅=+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t -=+. 故四边形APBQ 的面积为122P Q P Q S AB y y y y =⋅-=-= 221862273t t tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t t t t t t t t ++===+++++++. 由于296t tλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥， 从而，有48612S λλ=≤+.当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ 恒过椭圆的右焦点()0,1F ”,再将直线PQ 的方程1x ty =+ (这里t R ∈)代入椭圆方程22143x y +=,整理得()2234690t y ty ++-=,然后给出面积表达式2P Q S y y =-= =,令211m t =+≥,则S ==当且仅当6λ=即3t =时, max 6S =.。
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2019—2020学年上学期2018级
期末考试数学试卷
一、单选题（每小题5分，共60分）
1.复数11i z i -=
+的虚部是（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1-
2.抛物线22y x =-的焦点坐标为( )
A. (12-,0)
B. (0,12-)
C. (1
8-,0) D. (0,1
8
-) 3.24x >成立的一个充分非必要条件是（ ）
A. 23x >
B. 2x >
C. 2x ≥
D. 3x > 4.党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次．．
写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ） A. 13 B. 16 C. 56 D. 23
5.已知数列{}n a 满足1(1)1n n a a +⋅-=，且112a =-
，则2020a =（ ） A. 3 B. 12- C. 23 D. 13452
6.已知等差数列{}n a 满足3
434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ） A. 6a B. 7a
C. 8a
D. 9a 7.《张丘建算经》有一道题大意：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？ A. 581 B. 778 C. 439 D. 776
8.直线x +（1+m ）y =2-m 和直线mx +2y +8=0平行，则m 的值为（ ）
A. 1
B. 2-
C. 1或2-
D. 23
- 9.记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为21S ，“98，99，100，102，x ”这组数据的方差为22S ，若2212S S =，
则x 为（ ）
A. 97
B. 101
C. 101或98.5
D. 103
10.空间四点()(1,0,0)010
(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ） A. 4- B. 1- C. 1 D. 4
11.平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且
1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）
A. 1
B. 1
C.
D.
12.椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点为P ，且123F PF π∠=
.
离心率为（ ）
A.
B.
C. D. 2
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n ，则a n ＝_____．
14.对任意实数k ，直线2(1)20k x ky +--=被圆22
2240x y x y +---=截得的最短弦长为____________ 15.若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）
16.12F F 、分别为椭圆2214
x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________
三、解答题
17.某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这
40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，
；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． 的
（1）求每个学生成绩被抽中的概率；
（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；
（3）估计这次地理考试全年级80分以上
人数. 18.已知等差数列{a n }满足a 1+a 4+a 7＝0，a 3+a 6+a 9＝﹣18，前n 项和
S n ．
（1）求S 9
（2）记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前9项和T 9．
19.已知圆C ：()()22
1+11x y --= （1）求过点A ()24，
且与圆C 相切的直线方程. （2）若(),P x y 为圆C 上的任意一点，求()()22
23x y +++的取值范围. 20. 在四棱锥P ABCD -中，
底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PA PB ⊥
,PA PB ==且平面PAB ⊥
平面ABCD ，M 为CD 中点. （1）求证AP PM ⊥；
（2）求二面角B PC D --的正弦值的大小.
21.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，虚轴长为4，且与双曲线22143
x y -=有相同渐近线. （1）求双曲线C 的方程.
（2）过点()20M ，的直线l 与双曲线的异支相交于A B 、
两点，若AOB S ∆=l 的方程.
的
22.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>经过点12⎫⎪⎭且离心率为2
. （1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线y kx 2(k 0)=-≠，使椭圆C 上存在不同两点A B 、关于该直线对称？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由.。