高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
A B
O
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
A A1
B1 B
注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据.
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方 差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
为了不让生活留下遗憾和后悔，我们 应该尽可能抓住一切改变生活的机会. Nhomakorabeag
m
n
D
D
6．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB ＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝ 60°，求OA与BC夹角的余弦值．
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解 决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直. 2.求两点之间的距离或线段长度. 3.证明线面垂直. 4.求两直线所成角的余弦值等.
3.1.3 空间向量的数量积运算
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量 积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用 ,它能解决有关长度和角度的问题.
1．了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点） 3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点）
分析：用向量来证明 两直线垂直，只需证 明两直线的方向向量 的数量积为零即可！
逆命题成立吗?
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 g
m
知,就是要证明这条直线与平面内
n
的任意一条直线都垂直.
取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方
向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件? 要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向 量的条件与向量的目标的联系?
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高二数学 人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
探究点 4 空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴ (a) b (a b).
rr rr ⑵ a b b a (交换律).
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律).
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
是
r b
在
r a
方向上
的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
rr 显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
r r rr ①a b ab 0;
r2 r r
r
r2
② a a a ，也就是说 a a .
注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据.
面的充要条件知,存在惟一的有序实数对
r rr
(x,y),使g = xm + yn,
l
将上式两边与向量l作数量积，得
rr rr rr l×g = xl×m + yl×n.
rr rr 因为l×m = 0,l×n = 0,
rr
rr
所以l×g = 0,即l⊥g.所以l⊥g,
r
gl
m
ur
n
r n
ur m g
即l垂直于平面α内任一直线.所以l⊥α.
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
rr rr ⑵ a, b＝b, a.
r
a
rA
a
r
O
r
B
b
b
rr ⑶如果 a, b
,那么向量 ar
r ,b
r 互相垂直,记作 a
高中数学人教A版选修2-1配套课件：3.1.3空间向量的数量积运算
第三章 3.1 第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
3 ．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直． 的_________________ 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个 这条斜线在平面内的射影 平面的一条斜线垂直，那么它也和 _______________________
第三章
空间向量与立体几何成Fra bibliotek之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
第三章
3.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
自主预习学案
第三章
3.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
垂直．
即与斜线垂直⇔与射影垂直．
第三章
3.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
4．设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b时，θ＝_____ 时，a与b同向； 0 或π，θ＝_____0 π 时，a与b反向． θ＝_______ π ②a⊥b⇔θ＝__________ ⇔a·b＝0. 2 0 θ为 > ，但a·b>0时，θ可能为____； ③θ为锐角时，a·b____0 < 钝角时，a·b_____0 ，但a·b<0时，θ可能为____. π
)
[答案] A
[解析] ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b， |a－b|2＝a2＋b2－2a·b， ∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2 ＝2×(132＋192)－242＝484，
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
3 ．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直． 的_________________ 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个 这条斜线在平面内的射影 平面的一条斜线垂直，那么它也和 _______________________
第三章
空间向量与立体几何成Fra bibliotek之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
第三章
3.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
自主预习学案
第三章
3.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
垂直．
即与斜线垂直⇔与射影垂直．
第三章
3.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
4．设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b时，θ＝_____ 时，a与b同向； 0 或π，θ＝_____0 π 时，a与b反向． θ＝_______ π ②a⊥b⇔θ＝__________ ⇔a·b＝0. 2 0 θ为 > ，但a·b>0时，θ可能为____； ③θ为锐角时，a·b____0 < 钝角时，a·b_____0 ，但a·b<0时，θ可能为____. π
)
[答案] A
[解析] ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b， |a－b|2＝a2＋b2－2a·b， ∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2 ＝2×(132＋192)－242＝484，
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.3空间向量的数量积运算 (共99张PPT)
世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 没有热忱，世间便无进步。 只有不想做的，没有做不到的。 目标再远大，终离不开信念去支撑。 最好的投资就是投资自己，因为这是你唯一能确定只赚不赔的投资。 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 一个今天胜过两个明天。 你既认准这条路，又何必在意要走多久。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越 来越多，人生也就越来越好！ 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。 用最少的浪费面对现在。
以解决自己的问题为目标，这是一个实实在在的道理，正视自己的问题，设法解决它，这是成功的捷径。谁能塌下心来把目光凝集在一个个 小漏洞、小障碍上，谁就先迈出了一大步。 那些尝试去做某事却失败的的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.1.3空间向量的数量积运算
• 即与斜线垂直⇔与射影垂直．
• 4．设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
• ①a∥b时，θ＝_0____或π，θ0＝_____时，a 与b同向π ；
• θ＝_______时π2 ，a与b反向．
>
0
• ②a⊥b⇔θ＝<__________⇔a·b＝0π.
• ③θ为锐角时，a·b____0，但a·b>0时，θ可 能为____；θ为钝角时，a·b_____0，但 a·b<0时，θ可能为____.
• [答案] D • [解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，
故A不对； • (a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故
B错； • (a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错． • |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于( )
• 2．空间两个非零向量a、b，|a|a|b|·cobs〈＝a，b〉 ______________
• 叫做向量a、b的数量积(或内积)．
• 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是 一个实数，a·空b＝0间两个向量的数量积也具有如 下性质： a·a
• (1)a⊥b⇔__________；
• (2)|a|2＝__________；
≠
• ⑥不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝ a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c， (a·b)c_______a(b·c)，因为a·b是一个实数 ，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a
• 牛刀小试 • 1．下列式子中正确的是( ) • A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 • C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b|
• 4．设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
• ①a∥b时，θ＝_0____或π，θ0＝_____时，a 与b同向π ；
• θ＝_______时π2 ，a与b反向．
>
0
• ②a⊥b⇔θ＝<__________⇔a·b＝0π.
• ③θ为锐角时，a·b____0，但a·b>0时，θ可 能为____；θ为钝角时，a·b_____0，但 a·b<0时，θ可能为____.
• [答案] D • [解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，
故A不对； • (a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故
B错； • (a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错． • |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于( )
• 2．空间两个非零向量a、b，|a|a|b|·cobs〈＝a，b〉 ______________
• 叫做向量a、b的数量积(或内积)．
• 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是 一个实数，a·空b＝0间两个向量的数量积也具有如 下性质： a·a
• (1)a⊥b⇔__________；
• (2)|a|2＝__________；
≠
• ⑥不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝ a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c， (a·b)c_______a(b·c)，因为a·b是一个实数 ，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a
• 牛刀小试 • 1．下列式子中正确的是( ) • A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 • C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b|
高中数学选修2-1精品课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
【训练2】 如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分 别 是 AB ， CD 的 中 点 ， 求 证 ：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故 〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向 量 A→B 与 A→C 的 夹 角 和 向 量 B→A 与 C→A 的 夹 角 互 为 对 顶 角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14， 所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.
高中数学(人教A版选修2-1)课件：3-1-3 空间向量的数量积运算
第一章
三角函数
→ ||AD → |cos〈AB → ，AD → 〉－|AB → ||AC → |cos〈AB → ，AC → 〉＝cos 60° ＝|AB －cos 60° ＝0.
栏目 导引
第一章
三角函数
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式 a· b＝|a||b|cos空间向量的夹角 阅读教材 P90 第 1～3 自然段内容，完成下列问题.
栏目 导引
第一章
三角函数
1.夹角的定义
图 3114 → → 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉.
栏目 导引
第一章
栏目 导引
第一章
三角函数
教材整理 2 空间向量的数量积及其性质 阅读教材 P90 第 4 自然段～“思考”以上部分内容，完成下列问题. 1.已知两个非零向量 a，b，则________叫做 a，b 的数量积，记作________. 规定：零向量与任何向量的数量积为________，即 0· a＝________.
栏目 导引
第一章
三角函数
→ → 1 ∴OG· BC＝4(a＋b＋c)· (c－b) 1 ＝4(a· c－a· b＋b· c－b2＋c2－b· c) 1 2 ＝4(|a| · cos θ－|a|2· cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. → → ∴OG⊥BC，即 OG⊥BC.
栏目 导引
第一章
三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)〈a，b〉与(a，b)都表示直角坐标系下的点.( → → (2)在△ABC 中， 〈AB，BC〉＝∠B.( ) ) )
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-3 空间向量的数量积运算
2 2
(2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������) = (������������ + ������������) ·(������������ − ������������ + ������������ − ������������ ) =(������������ + ������������) ·(������������ + ������������ − 2������������ ) = (������������ + ������������) ·(������������ + ������������) − (������������ + ������������) ·2������������ =|������������|2 + 2������������ ·������������ + |������������|2 − 2������������ ·������������ − 2������������ ·������������ 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.
2 2 2
(3)|������������ + ������������ + ������������ | =
(������������ + ������������ + ������������ )2 =
栏目 导引
|OA|2 + |OB|2 + |OC|2 + 2OA· OB + 2OA· OC + 2OB· OC = 3 + 3 = 6.
(2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������) = (������������ + ������������) ·(������������ − ������������ + ������������ − ������������ ) =(������������ + ������������) ·(������������ + ������������ − 2������������ ) = (������������ + ������������) ·(������������ + ������������) − (������������ + ������������) ·2������������ =|������������|2 + 2������������ ·������������ + |������������|2 − 2������������ ·������������ − 2������������ ·������������ 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.
2 2 2
(3)|������������ + ������������ + ������������ | =
(������������ + ������������ + ������������ )2 =
栏目 导引
|OA|2 + |OB|2 + |OC|2 + 2OA· OB + 2OA· OC + 2OB· OC = 3 + 3 = 6.
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
人教A版高中数学选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
（1）
b
ab ab
b
a
a
当 a,b (0, ] 时 a b a b
2
b
当
a,b
(
,
)
a
时
a
b
a
b
2
（2）上面三个图形若为菱形，则
a ＋ b 与 a － b 垂直
第九页，编辑于星期日：六点 十五分。
• 解法2：
2
ab
2
ab
2
2
a b 2a b
(1)
2
2
2
2
a b a b a b 2a b (2)
第一页，编辑于星期日：六点 十五分。
引入
1. 复习平面向量数量积定义； 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积， 与其类似，空间两个向量也有数量积.
第二页，编辑于星期日：六点 十五分。
新课
1.两个非零向量夹角的概念：
已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，
作OA＝a,OB＝b,则∠AOB叫做向量a 与b的夹角,
记作＜a,b＞．
a
A a
b
bB
O
a b
A
a
b
O
B
说明(1) 0≤<a,b >≤180°
当＜a, b＞＝０时，a 与b同向；
当＜a, b＞＝π时，a 与b反向； 当＜a, b＞＝ 时π2 ，称a 与b垂直，记a⊥b．
第三页，编辑于星期日：六点 十五分。
⑵两个向量的夹角唯一确定且
＜a,b＞＝＜b, a＞. ⑶ ①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点 的；②＜a,b＞≠(a,b) .
第十五页，编辑于星期日：六点 十五分。
2019年高中人教A版数学选修2-1课件 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(16张)
a 对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就