福州一中2019-2020学年第一学期数学期中考试
2019-2020学年福建省福州九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析
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2019-2020学年福建省福州九年级上学期期中考试数学试卷
一．选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）在平面直角坐标系中，若点A 在第一象限，则点A 关于原点的中心对称点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（4分）方程x 2＝4的解是（ ）
A ．x ＝2
B ．x ＝﹣2
C ．x ＝0
D ．x ＝2或x ＝﹣2
3．（4分）抛物线y ＝﹣x 2+2019的对称轴是（ ）
A ．直线x ＝2019
B ．直线x ＝﹣2019
C ．x ＝﹣1
D ．y 轴
4．（4分）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于（ ）
A ．8
B ．4
C ．10
D ．5
5．（4分）袋子中有2019个黑球、1个白球，他们除颜色外无其它差别．随机从袋子中摸出
一个球，则（ ）
A ．摸到黑球、白球的可能性大小一样
B ．这个球一定是黑球
C ．事先能确定摸到什么颜色的球
D ．这个球可能是白球
6．（4分）如图，一支反比例函数y =k x 的图象经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，若
S △AOB ＝3，则k 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣6
D ．6
7．（4分）国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的
面积为（ ）。
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；{5}Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．32．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈<D ．{|0}x Z x ∈ 3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 34．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．326．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C．D．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．111．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =；14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有个；1523x +<的解集为．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．19．已知函数31()log 1xf x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42xtf x +对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：元素与集合之间不能用包含关系，故2{1⊆，2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈“，故{0}∅∈错误；Q ，∴Q ⊆错误；空集是任何非空集合的真子集，故{0}∅Ü正确．故选：B ．2．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈< D ．{|0}x Z x ∈ 【解答】解：{|4}U x Z x =∈ ，{|23}{0A x N x =∈-<= ，1，2，3}，{|0}{4}U A x Z x ∴=∈< ð．故选：C ．3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 3【解答】解：根据题意，函数()32x f x =-，若()320x f x =-=，解可得3log 2x =，即函数()f x 的零点为3log 2x =，故选：A ．4．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞【解答】解：函数1()(2)4f x ln x x =-+-中，令2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且4x ≠；所以函数()f x 的定义域是(2，4)(4⋃，)+∞．故选：D ．5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．32【解答】解：根据题意，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则f （3）0=，(f f （3）)(0)1f ==，同时有11,02()226,23x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪-+<⎩ ，则((f f f （3）))f =（1）32=；故选：D ．6．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩ ，在1(1,2--上为增函数，不符合题意；故选：A ．7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<【解答】解：5log 2(0,1)a =∈，0.9log 1.10b =<，0.921c =>．b a c ∴<<．故选：B ．8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞【解答】解：()f x 为定义在实数集上的偶函数，f ∴（3）(3)0f =-=，又()f x 在[0，)+∞上是增函数，则由(36)0x f -<可得，3363x -<-<，解可得，12x <<，故选：A ．9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，33()[()2()]||(2)||()f x x x ln x x x ln x f x -=-+--=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x →+∞，()f x →+∞，排除D ，故选：C ．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：函数()25x f x e x -=--是连续减函数，2(2)10f e -=->，(1)30f e -=-<，(2)(1)0f f ∴--< ，函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(2,1)--即(,1)m m +上，所以2m =-．故选：A ．11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【解答】解：设经过n 年后的投入资金为y 万元，则5000(120%)5000 1.2n n y =+=⨯，令5000 1.212800n ⨯>，即1.2 2.56n >，两边取对数可得81.2 2.56228220.408nlg lg lg lg >=-=-=，0.4085.160.079n ∴>≈，故第6年即2025年的投资开始超过12800万元．故选：C ．12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ 的图象如图：若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．由图象可知：122x x +=-；所以①不正确；341x x =所以②正确；由图象412x <<所以③正确；121x -<<-，221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈，所以123401x x x x <<④正确．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =16；【解答】解：由幂函数()a f x x =的图象过点(64,2)，则642a =，解得16a =．故答案为：16．14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个；【解答】解：{0M ⋃ ，2}{0=，2}，{0M ∴⊆，2}，又集合{0，2}的子集共有224=个，∴满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个．故答案为：4．1523x +<的解集为[0，1)．【解答】解：由于函数2x y =+的定义域为[0，)+∞，且是增函数，当0x =23x +<成立，当1x =时，23x y =+=，23x >的的解集为[0，1)，故答案为：[0，1)．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是1(,)2-∞-．【解答】解：由题意作出函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 的图象，关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根等价于函数()y f x =与2y m =-有两个不同的公共点，f （1）1=，由图象可知当21m ->，解得1(,2m ∈-∞-时，满足题意，故答案为：1(,2-∞-．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）当2m =时，{|23}B x x =-<<．∴{|2U C B x x =- 或3}x ，{|04}A x x =<< ，(){|34}U A C B x x ∴=< ．（2）由A B A = ，得B A ⊆，①当B =∅时，1m m -+ ，解得12m - ．②当B ≠∅时，由B A ⊆，得：0141m m m m -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩，解得102m -< ，综上，m 的取值范围是(-∞，0]．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．【解答】解：（1）原式3(0.25)40.25x x x ---===．（2）原式22362324224532()16183399log log log ⨯=-+-=-+-=-．19．已知函数31()log 1x f x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．【解答】解：（1） 31()log 1x f x x +=-，3311()log ()11x x f x log f x x x-+∴-==-=-+-，()f x ∴在(1,1)-上为奇函数；（2）()f x 在14[,25-上的单调递增，1()(12min f x f ∴=-=-，4()()25max f x f ==，()f x ∴在14[,25-上的值域[1-，2]．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩ ，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【解答】解：（1）()1000800G x x =+，24003200800,05()()()10004600,510x x x f x R x G x x x ⎧-+-∴=-=⎨-<⎩．（2）当05x 时，2()400(4)5600f x x =--+，故当4x =时，()f x 取得最大值5600；当510x < 时，()10004600f x x =-为增函数，故当10x =时，()f x 取得最大值10001046005400⨯-=．综上，当产量为4万台时，公司利润最大，最大利润为5600万元．21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42x t f x + 对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由00(0)2214f k k =+=+= ，得3k =；（2）由（1）得()232x x f x -=+ ，3()log 2ax g x ∴=，∴不等式()0g x >即3()log 02a x g x =>当1a >时，由3log 0log 12a a x >=，∴31232x x >∴<，2log 3x ∴<；当01a <<时，由3log 0log 12aa x >=，∴31232x x <∴>，2log 3x ∴>；故当1a >时，不等式()0g x >的解集2(,log 3)-∞；当01a <<时，不等式()0g x >的解集2(log 3，)+∞；（3）由（1）及()42x t f x + 得23242x x x t -++ ，2(2)423x x t ∴-⨯+ ，而22(2)423(22)1x x x -⨯+=--，∴当1x =时，2(2)423x x -⨯+取得最小值1-，1t ∴- ，∴()42x t f x + 对x R ∈恒成立时，t 的取值范围是(-∞，1]-．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>开口向上，对称轴方程为1x =；()f x ∴在[2，3]上单调递增；则f （2）441a a b =-+=，f （3）964a a b =-+=；所以3a =，1b =；（2）()1()36f x g x x x x==--；存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立；设2log t x =，[2x ∈，4]，则[1t ∈，2]；即1362t kt t-- 在[1t ∈，2]上有解；21123k t t∴-- ；设211()3h t t t =--，当[1t ∈，2]时，()h t 的最大值为14-；所以18k - ；故k 的取值范围：18k - ；。
2019-2020学年福建省福州市八县(市)一中高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)
则向量 t
t
ᦙ
． 故选：C．
10．函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，若其图象向左平移 个
单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ）
A．关于点（ ， ）对称
B．关于直线 x 对称
C．关于点（ ， ）对称
D．关于直线 x 对称
【解答】解：函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π， 则：ω＝2， 若其图象向左平移 个单位后得到：
∴当 x＜﹣1 时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
则 g（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，
∵函数 f（x）的定义域为 R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，
∴函数 f（x﹣1）的图象关于点（0，0）中心对称，
则函数 f（x﹣1）是奇函数，
-9-
令 h（x）＝g（x﹣1）＝xf（x﹣1）， ∴h（x）是 R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）递增， 由偶函数的性质得：函数 h（x）在（0，+∞）上递减， ∵h（1）＝f（0），∴不等式 xf（x﹣1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1）， 即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1， ∴不等式的解集是（﹣1，1）， 故选：C． 二、填空题：每小题各 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置上． 13．函数 f（x）＝xlnx+x 的单调递增区间是 （e﹣2，+∞） ． 【解答】解：函数 f（x）＝xlnx+x 的导数为 f′（x）＝2+lnx， 由 f′（x）＞0，即 2+lnx＞0，可得 x＞e﹣2， 可得 f（x）的递增区间为（e﹣2，+∞）， 故答案为：（e﹣2，+∞）． 14．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2+a7+a12＝12，则 S13＝ 52 ． 【解答】解：依题意，a2+a7+a12＝3a7＝12， 所以 a7＝4，
福州2019-2020八年级上学期期中数学试卷及答案
是.
三、解答题（共 86 分）
第 13 题
第 16 题
17．（8 分）如图， 等边三角形 ABC中，AD⊥ BC，垂足为 D，点 E在线段 AD上，∠ EBC=45°，
求∠ ACE的度数．
18．（ 8 分）（ 1）计算 4xy2 .( 2x2 yz3) (2xyz)3
（ 2）因式分解 x3﹣9x
19（ 8 分）如图， AB=CD ， DE⊥ AC ，BF ⊥AC ， E， F 是垂足， AE=CF ，求证： AB ∥CD．
八年级数学试卷第 2页（共 4 页）
20．（ 8 分）尺规作图：如图，已知直线 l 及其同侧两点 A，B. (1) 在直线 l 上求一点 O，使点 O到 A， B 两点距离之和最短； (2) 在直线 l 上求一点 P，使 PA＝ PB. ( 不写作图步骤 , 保留作图痕迹 ).
21．（ 8 分）已知：如图，△ ABC为等腰三角形， AB＝ AC，∠ ACE＝∠ ABD， BD＝ CE， 求证： (1) AD=AE； (2) 若∠ BAC＝ 60°△ ADE是等边三角形 . ,
2019/2020 学年第一学期期中考试
初二 数学试卷
【完卷时间： 120 分钟 总分： 150 分】
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．以下微信图标中不是轴对称图形的是 ( )
2．下列运算正确的是（
）
A ． a a3 a3 B ． (2a)3 6a3 C ． a6 a3 a9 D ． (a2 )3 ( a3) 2 0
八年级数学试卷第 3页（共 4 页）
24（ 10 分）下面是某同学对多项式 ( x 2 4 x 2)( x 2 4x 6) 4 进行因式分解的过程 . 解：设 x 2 4x y ， 原式 ( y 2)( y 6) 4 ( 第一步 )
2019-2020学年福建省福州市八县(市、区)一中高二(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知命题0:1p x ∃>，使得00lgx …，则p ⌝为( ) A ．1x ∀…，总有0lgx > B ．1x ∀>，总有0lgx > C ．01x ∃>，使得00lgx >D ．01x ∃…，使得00lgx >2．已知中心在原点的等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为，则双曲线C的焦距等于( )A ．2B ．C ．4D ．3．不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是( ) A ．61x -<<B ．132x -<<C ．30x -<<D ．132x -<<4．下列命题中正确的是(( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”B ．命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题C ．命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题D ．命题“若4a b +…，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题是真命题． 5．已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是( ) A ．221364x y+=B ．221364x y +=或221436x y +=C ．2213632x y +=D ．2213632x y +=或2213632y x +=6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =．用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．4345105a b c +-7．空间四边形ABCD 中若AB BD ⊥，CD BD ⊥，2AC =，1BD =，则(AC BD = )A ．12B ．1CD ．08．已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则||||PA PH +的最小值是( ) A ．13B ．12C ．11D ．109．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是( )A ．{}2πB ．{|}62ππαα剟 C ．{|}42ππαα剟 D ．{|}32ππαα剟10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线22(0)y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为( )A BC ．1+D ．1+11．已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△12PF F 的面积为( )A ．112B ．212C ．D ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．1) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13．命题“x R ∀∈，2210mx mx -+>”是真命题，则实数m 的取值范围为 ． 14．双曲线2244x y -=的一条弦恰被点(8,1)P 平分，则这条弦所在的直线方程是 ． 15．已知M 、N 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点，O 是坐标原点，且满足3MF FN =，|OMN S MN ∆=，则p 的值为 ．16．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒且1AA AB =，M 为侧棱1AA 的中点，E ，F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BE C F =，当E ，F 运动时，下列结论中正确的序号是 ．①在MEF ∆内总存在与平面ABCD 平行的线段； ②平面MEF ⊥平面11BCC B ； ③三棱锥1A MEF -的体积为定值； ④MEF ∆可能为直角三角形．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若命题p ：实数x 满足240x x -…，命题q ：实数x 满足(1)(1)0(0)x a x a a -+-->…． （Ⅰ）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C 的焦点坐标为，(0,，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）在圆223x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点．（Ⅰ）求证//AM 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小．20．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，C 上一3(,)2M m 点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=，QB PB μ=，求证：λμ+是定值．21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面)ABCE ． （Ⅰ）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）若PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1x =所得线段的长度C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知命题0:1p x ∃>，使得00lgx …，则p ⌝为( ) A ．1x ∀…，总有0lgx > B ．1x ∀>，总有0lgx > C ．01x ∃>，使得00lgx >D ．01x ∃…，使得00lgx >【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题0:1p x ∃>，使得00lgx …，则p ⌝为：1x ∀>，总有0lgx >．故选：B ．2．已知中心在原点的等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为，则双曲线C的焦距等于( )A ．2B ．C ．4D ．【解答】解：中心在原点的等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为，可得a b ==，则2c ==， 可得双曲线C 的焦距为24c =． 故选：C ．3．不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是( ) A ．61x -<<B ．132x -<<C ．30x -<<D ．132x -<<【解答】解：由22530x x +-<，解得132x -<<． (3-，1)(62-Ü，1)，∴不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是61x -<<．故选：A ．4．下列命题中正确的是(( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”B ．命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题C ．命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题D ．命题“若4a b +…，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题是真命题． 【解答】解：A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”，故A 错误；B ．因为“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同或相反或至少有一个零向量”故原命题为假命题，逆否命题也是假命题，B 正确；C ．命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”的逆否命题是：若5a b +=，则3a =且2b =，是假命题，故C 错误；D ．命题“若4a b +…，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题为：“若a 、b 中至少有一个大等于2，则4a b +…”逆命题是假命题，故D 错误． 故选：B ．5．已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是( ) A ．221364x y+=B ．221364x y +=或221436x y +=C ．2213632x y +=D ．2213632x y +=或2213632y x +=【解答】解：根据题意，要求椭圆的长轴长为12，则212a =，即6a =， 又由两个焦点恰好将长轴三等分，则24c =，则2c =，则b ==若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为2213632x y +=， 若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为2213632y x +=， 则要求椭圆的标准方程为2213632x y +=或2213632y x +=， 故选：D ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =．用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．4345105a b c +-【解答】解：连接MN ，在△1A MN 中，11MN MA A N =+， M 是11A D 的中点，∴1111222A D AD MA b =-=-=-， 点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =． ∴111111144()55A N A C A A AB A D ==++ 144()()55AA AB AD c a b =-++=-++ ∴1114434()255105MN MA A N b c a b a b c =+=-+-++=+-，故选：D ．7．空间四边形ABCD 中若AB BD ⊥，CD BD ⊥，2AC =，1BD =，则(AC BD = )A ．12B ．1CD ．0【解答】解：因为AB BD ⊥，CD BD ⊥，所以0AB BD =，0CD BD =，则(AC BD AB BC =+ )(BD AB BD BC BD BC BD BD CD =+==+ 2)1BD BD ==． 故选：B ．8．已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则||||PA PH +的最小值是( ) A ．13B ．12C ．11D ．10【解答】解：化抛物线214y x =为标准形式24x y =， 得它的焦点为(0,1)F ，准线为:1l y =-，延长PH 交准线于G ，连接PF ，根据抛物线的定义，得： ||||||||1||||1PA PH PA PG PA PF +=+-=+-， ||||||PA PF AF +…，∴当且仅当P 、A 、F 三点共线时，||||||PA PF AF +=为最小值．||1213AF ==，||||PA PH ∴+的最小值为13112-=．故选：B ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是( )A ．{}2πB ．{|}62ππαα剟 C ．{|}42ππαα剟 D ．{|}32ππαα剟【解答】解：如图，分别以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，(P x ，0，0)(01)x 剟，并能确定以下几点坐标： 1(1,,1)2M ，1(0D ，0，1)，(0N ，1，1)2；∴111(1,,1),(0,1,)22PM x D N =-=-；∴10PM D N =； ∴1PM D N ⊥，∴2πα=．故选：A ．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线22(0)y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为( )A BC ．1+D ．1+ 【解答】解：双曲线的焦点坐标为(,0)c ，抛物线的焦点坐标为(2p，0)． 由题意得，2p c =，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴， 将x c =代入双曲线方程得到：2(,)b A c a，将A 的坐标代入抛物线方程得到422b pc a=，即4224440a a b b +-=．解得ba =，∴222222b c a a a -==+解得：1ca =+．故选：C ．11．已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△12PF F 的面积为( )A ．112B ．212C ．D ．【解答】解：由题意，12||||2||PF PF m -=，12||||2||PF PF a +=， 1||||||PF m a ∴=+，2||||||PF a m =-，椭圆222116x y a +=与双曲线22215x y m -=有共同的焦点，22165a m ∴-=+， 2221a m ∴-=，2222221222224(16)24224(16)11cos 2()4221m a a a a a F PF a m +---+--∴∠===-．12sin F PF ∴∠=∴△12PF F 的面积为121211||||sin 2122PF PF F PF ∠=⨯= 故选：C ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．1) 【解答】解：由题意可设(0,)B b ，(,0)F c ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 线段AB 中点为K ，且2CF FK =，可得F 为ABC ∆的重心，设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=，即有AB 的中点M 坐标，可得 12322x x c x +==，1222y y by +==-，由题意可得中点在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有0e <<．故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13．命题“x R ∀∈，2210mx mx -+>”是真命题，则实数m 的取值范围为 ：[0，1) ． 【解答】解：因为命题“x R ∀∈，2210mx mx -+>”是真命题，所以分两种情况讨论： ①当0m =时：不等式化简为10>，对x R ∀∈恒成立，符合题意． ②当0m ≠时：200,0440m m m m >>⎧⎧⎨⎨<-<⎩⎩即， 解得：01m <<． 综上所求：01m <…． 故答案为：[0，1)．14．双曲线2244x y -=的一条弦恰被点(8,1)P 平分，则这条弦所在的直线方程是 2150x y --= ．【解答】解：设所求弦的两个端点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则221144x y -=，222244x y -=，两式作差可得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=-+， ∴121212122824()421y y x x x x y y -+⨯===-+⨯⨯， 即AB 所在直线的斜率2k =．∴弦AB 所在直线方程为12(8)y x -=-，即2150x y --=．故答案为：2150x y --=．15．已知M 、N 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点，O 是坐标原点，且满足3MF FN =，|OMN S MN ∆=，则p 的值为 8 ．【解答】解：不妨设直线MN 的斜率0k >，过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为G ，H ，过N 作NK MG ⊥于K ，由3MF FN =，得||3||MF FN =，||3||MG NH ∴=， 1||2||2||||2MK NH NF MN ∴===，|||NK MN ∴==， 由13||||||2OMN OMF ONF S S S NK OF p MN ∆∆∆=+==，又||OMN S MN ∆，∴|||p MN MN ，得8p =． 故答案为：8．16．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒且1AA AB =，M 为侧棱1AA 的中点，E ，F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BE C F =，当E ，F 运动时，下列结论中正确的序号是 ①②③ ．①在MEF ∆内总存在与平面ABCD 平行的线段； ②平面MEF ⊥平面11BCC B ； ③三棱锥1A MEF -的体积为定值； ④MEF ∆可能为直角三角形．【解答】解：如图，对于①，因为1BE C F =，所以1BC 过平面11BB C C 的中心O ，连接MO ，因为M 为侧棱1AA 的中点，所以//MO 平面ABCD ，又因为MO ⊂平面MEF ，所以在MEF ∆内总存在与平面ABCD 平行的线段，故①对； 对于②，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒且1AA AB =，连接11A C ，AC ，则三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，则MO ⊥平面11BB C C ，因为MO ⊂平面MEF ，所以平面MEF ⊥平面11BCC B ，故②对；对于③，因为△1A ME 面积始终不变，点F 到平面1A ME 的距离不变，所以三棱锥1F A ME -的体积不变，即三棱锥1A MEF -的体积不变，故③对；对于④，若MEF ∆为直角三角形，则必是以EMF ∠为直角的直角三角形，但EF 的最大值为1BC ，而此时DE ，DF 的长大于1BB ，所以MEF ∆不可能为直角三角形，故D 错， 故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若命题p ：实数x 满足240x x -…，命题q ：实数x 满足(1)(1)0(0)x a x a a -+-->…． （Ⅰ）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由:(4)0p x x -…，得04x 剟， 当2a =时，由:(12)(12)0q x x -+--…，得1x -…或3x …， :1q x ∴-…或3x …． p q ∧为真命题，p ∴真且q 真，则0413x x x ⎧⎨-⎩或剟剠，解得34x 剟． ∴实数x 的取值范围为34x 剟；（Ⅱ）0a >，由:(1)(1)0q x a x a ⌝-+--<，得11(0)a x a a -<<+>． 设{|04}A x x =剟，{|11B x a x a =-<<+，0}a >． p 是q ⌝的必要不充分条件，B A ∴Ü． ∴1014a a -⎧⎨+⎩……，解得1a …． 又0a >，01a ∴<…． ∴实数a 的取值范围为01a <…．18．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，(0,，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）在圆223x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程． 【解答】解：（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>，且c =①，双曲线的渐近线方程为y =，即ab =②．又222a b c +=⋯③，由①②③可得1a b ==．得双曲线方程为：2212y x -=； （Ⅱ）设轨迹上任一点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为0(x ，0)y ， 则依题意可知D 点坐标为0(0,)y ，PD 的中点为M ，∴002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩， 点P 在圆223x y +=上运动，22003x y +=，得2243x y +=， 经检验所求方程符合题意， ∴点M 的轨迹方程为221334x y +=． 19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点．（Ⅰ）求证//AM 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小．【解答】解：方法一（Ⅰ）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ， O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形，//AM OE ∴OE ⊂平面BDE ，AM ⊂/平面BDE ，//AM ∴平面BDE（Ⅱ）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ， AB AF ⊥，AB AD ⊥，AD AF A =，AB ∴⊥平面ADF ，AS ∴是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS DF ⊥BSA ∴∠是二面角A DF B --的平面角在Rt ASB ∆中，6AD AF AS DF ==，AB =∴tan 60ASB ASB ∠=∠=︒， ∴二面角A DF B --的大小为60︒方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 设ACBD N =，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是、(0，0，1)，∴(NE =-， 又点A 、M 的坐标分别是、∴(AM=-∴NE AM=且NE与AM不共线，//NE AM∴又NE⊂平面BDE，AM⊂/平面BDE，//AM∴平面BDF（Ⅱ）AF AB⊥，AB AD⊥，AF AD A=，AB∴⊥平面ADF∴(AB=为平面DAF的法向量22(,,1)(2,2,0)0 NE DB=---=，∴22(,,1)(2,2,0)0NE NF=--=得NE DB⊥，NE NF NE⊥∴为平面BDF的法向量1cos,2AB NE∴<>=∴,AB NE的夹角是60︒即所求二面角A DF B--的大小是60︒20．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，C 上一3(,)2M m 点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=，QB PB μ=，求证：λμ+是定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得抛物线的准线为2px =-， 抛物线上一点3(,)2M m 到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得3222p+=，1p ∴=，∴抛物线的方程为22y x =，2322m =⨯，∴m =∴3(,2M ， （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时不符合题意，故直线l 的斜率k 必存在且不为0． 直线l 过点(1,0)P ，∴设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 当0x =时y k =-，∴点Q 坐标为(0,)k -， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22y kx k y x =-⎧⎨=⎩得22y y k k =-，整理得22200ky y k k --=≠，∴△2480k =+>，∴12122,2y y y y k+==-， ∴11(,)QA x y k =+，11(1,)PA x y =-QA PA λ=，1(x ∴，11)(1y k x λ+=-，1)y ， 11y k y λ∴+=，即11y k y λ+=，同理可得22y ky μ+=，∴121212121222()212y k y k y y k y y k k y y y y λμ+++++=+==+=-． 故λμ+是定值．21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面)ABCE ． （Ⅰ）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）若PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，∴四边形ABED 为菱形，BD AE ∴⊥，OB AE ∴⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OB OP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，AE ∴⊥平面POB ，又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知四边形ABED 为菱形，2AD DE ∴==， 在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，PAE ∴∆正三角形，∴OP =，同理OB =，PB =222OP OB PB ∴+=，OP OB ∴⊥，由（Ⅰ）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，由题意得，各点坐标为P ，(1A -，0，0)，B，C ，(1E ，0，0)，∴(0,3,3),(2,3,PB PC =-=，(2,0,0)AE =，设(01)PQ PB λλ=<<，)AQ AP PQ AP PB λ=+=+=， 设平面AEQ 的一个法向量为(n x =，y ，)z ， 则00n AE n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20)0x x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴(0n =，1，)1λλ-，设直线PC 与平面AEQ 所成角为,[0,]2πθθ∈，则||15sin |cos ,|5||||PC n PC n PC n θ=<>==，即=，化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ ．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1x =所得线段的长度C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．【解答】解：()I 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，b c ∴=，2a b =，当1x =时，22211(1)2y b a =-=，22a ∴=，21b =，∴椭圆的方程是2212x y +=． ()II 解法一：设0(P x ，0)y ，(0,)M m ，(0,)N n ， 由222212(1)1x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x =∴0[(0,22)x ∈-． 直线PM 的方程：00y m y m x x --=，化简得000()0y m x x y x m --+=． 又圆心(1,0)到直线PM 的距离为1，∴1=，22222000000()()2()y m x y m x m y m x m ∴-+=-+-+，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，同理有2000(2)20x n y n x -+-=．0022y m n x -∴+=-，002x mn x -=-，||||MN m n ∴=-==． 0(P x ，0)y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，||MN ∴===，∴()f x =[上单调递减，在(0,2-内也是单调递减， ∴()(0,1)(1,221)f x ∈-，当0x =时，||MN取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(，0)．解法二：由222212(1)1x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x =∴0[(0,22)x ∈-．设过点P 的圆的切线方程为y kx b =+，圆心(1,0)到直线PM 的距离为1，∴1=，化简得212b k b -=，212b y x b b -∴=+． 设0(p x ，0)y 则2000(2)20x b y b x --+=， 012022y b b x -∴+=-，01202x b b x -=-，12||||MN b b ∴=-==． 0(P x ，0)y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，||MN ∴∴===∴()f x =[0)上单调递减，在(0,2-内也是单调递减， ∴()(0,1)(1,221)f x ∈-，当0x =时，||MN取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(，0)．。
福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
福建省福州市八县一中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.3.已知幂函数的图象过（4，2）点，则（）A. B. C. D.4.设函数，若，则的值为（）A. 2B. 1C.D.5.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.6.已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则=（）A. 0B. 1C. 2D. 37.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A. B. C. D.8.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.9.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是( )A. B. C. D.11.已知，则下列各式一定．．正确的是（）A. B. C. D.12.已知函数，若且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.已知集合，则集合子集的个数为_______________14.计算：=_________________15.已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________16.如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：①函数存在“线性覆盖函数”；②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；③为函数的一个“线性覆盖函数”；④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则其中所有正确结论的序号是___________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合,(1)求；(2)若集合，且，求实数的取值范围．18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；（1）求函数在上的解析式并画出函数的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）（2）（ⅰ）写出函数的单调递增．．．．区间；（ⅱ）若方程在上有两个．．不同的实数根，求实数的取值范围。
福州名校2019-2020学年九年级上期期中考试数学试卷(含答案)
福州一中2019-2020学年度上期九年级期中考试数学试卷1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆B．等腰三角形C．平行四边形D．菱形2．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．12B．13C．310D．153．已知圆锥的底面半径为50cm,母线长为80cm,则此圆锥的侧面积为( )A．4000πcm2B．3600πcm2C．2000 πcm2D．1000πcm24．如图，点P为圆O外一点，PA为圆的切线，PO交圆O于点B，∠P=30°，OB=4,则线段BP的长为（）A．6B．C．4D．85．若二次函数y=ax2+bx+a2-3（a、b为常数）的图象如图所示，则a的值为（）A．1B C．D．-36．若正方形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R ∶a ＝…（ ）A ．1:1:B ．2C ．D 2:47．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）C.2D.128．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人9．已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）．A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++10．正方形ABCD 的边长为8，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM⊥MN.则AN的最小值是（ ）A ．8B ．C ．10D ．第II 卷（非选择题)二、填空题 11．一元二次方程x 2+x=0的根是 ．12．二次函数22(2)3y x =+-的顶点坐标是__________.13．点A(O ，3)，点B(4，0)，则点O(0，0)在以AB 为直径的圆____（填内、上或外）.14．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将 Rt △ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt △ADE ，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_____．15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.估计这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为_______.三、解答题16．（1）计算：2cos60tan30︒︒+︒（2）如图所示,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.①画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1;②求旋转过程中动点B所经过的路径长 (结果保留π）17．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．18．如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东37°方向上的B处,求此时轮船所在的B结果精确到0.1). 处与灯塔P的距离(sin53°=0.8，sin37°=0.6， 1.719．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上一点，∠EAF=45°．将△ABE绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG，连接EF，求证EF=FG．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=ca．21．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价﹣成本）22．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若32FDEF，求证：A为EH的中点．(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．24．如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求： PD+DQ 的最大值；②PD.DQ的最大值.参考答案1．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有10个小球，其中白球有2个，∴摸出一个球是白球的概率是210=15，故选：D．【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．3．A【解析】【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积=π×50×80=4000πcm2．故选：A．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．4．C【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【详解】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=4，∴AO=4，则OP=8，故BP=8-4=4．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．5．C【解析】【分析】根据图象可以知道二次函数y=ax2+bx+a2-3经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．【详解】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2-3=0，解得∵函数开口向下，a ＜0，∴故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】经过圆心O 作正方形一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠O=45°．OC 是边心距r ，OA 即半径R ．根据三角函数即可求解．【详解】作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．在中心的直角三角形的角为3604245︒÷÷=︒，∴内切圆的半径为 2a ，外接圆的半径为2，∴r R a =：：．故选B ．【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来． 7．D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD ，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB ，∴tan ∠DEB= tan ∠DAB=12， 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键． 8．C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：x （x-1）=55，化简得：x 2-x-110=0，解得：x 1=11，x 2=-10（舍去），故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.9．B【解析】试题分析：抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，即可看作把抛物线向下、向左平移2个单位，再根据“左加右减，上加下减”的规律分析即可。
2019-2020学年福建省福州市八县(市、区)一中高二上学期期中联考数学答案
又 a2 b2 c2 ③，由①②③ a 2,b 1……………………………………5 分
得双曲线方程为： y2 x2 1…………………………………………………………6 分 2
（Ⅱ）设轨迹上任一点 M 的坐标为 x, y ，点 P 的坐标为 x0, y0 ， 则依题意可知 D 点坐标为 0, y0 ……………………………………………………8 分
3
20．（本小题满分 12 分=5 分+7 分）
解：（Ⅰ）依题意得抛物线的准线为 x p ，…………………………………………1 分 2
抛物线上一点
M
3 2
,
m
到焦点的距离为
2
，由抛物线的定义可得
3 2
p 2
2
，
p 1 ，……………………………………………………………………………………2 分
AE BC 2, PAE 正三角形OP 3，同理 OB 3 PB 6 ,OP2 OB2 PB2 ,∴OP⊥OB，…………………………………………6 分
由（Ⅰ）可知 OP AE,OB AE ，以 O 为原点， OE,OB,OP 分别为 x 轴， y 轴，为 z
∴ q : x 1或x 3 …………………………………………………………2 分 p q 为真命题， p 真且 q 真
0 x
x4 1或x
3 3
x
4
………………………………………………4 分
∴实数 x 的取值范围为 3 x 4 ……………………………………………5 分
（Ⅱ）因为 a 0 ，由 q : (x 1 a)(x 1 a) 0 得1 a x 1 a a 0 …7 分
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A．
B．
C．
D．
3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）
D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 C（3，﹣1）,则 C 关于 x 轴，y 轴的对称点的坐标分别为
（1）点 M 在 AC 的垂直平分线 a 上，且使得△BCM 的周长最小，在图中画出点 M 的位
置；
（2）P，Q 是两个动点，其中点 P 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 AOB 按照 A﹣O﹣
B 的路线运动，点 Q 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 BOA 按照 B﹣O﹣A 的路线运动，
运动过程中，点 P 和 Q 同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为 t
A．11cm
B．7.5cm
C．11cm 或 7.5cm D．以上都不
对
7．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12
B．（2a）2＝2a2 C．（a3）2＝a9 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106
8．图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
9．如图，∠AOB＝150°，OP 平分∠AOB，PD⊥OB 于点 D，PC∥OB 交 OA 于点 C，若
（1）用含 m 的式子表示点 D 的坐标，并说明理由； （2）在点 C 运动的过程中，判断 OF 的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明 理由； （3）过点 C 作 CG⊥BD，垂足为点 G，求讨论 BF,DF,CG 之间的数量关系式,并证明你的结 论．
附加题（本题 10 分）若你能做完仍有余力,请完成以下各题. 在平面直角坐标系中，已知点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO 与 x 轴正方向的夹角为 150°，且 a2﹣b2+a﹣b＝0．
秒．
①当 t＝4 时，△OPQ 的面积为
；
②直线 l 经过原点 O，且 l∥AB，过点 P，Q 分别作 l 的垂线段，垂足为 E，F．当△OPE
与△OQF 全等时，求 t 的值．
25．（本题 14 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A（0，4）与点 B 关 于 x 轴对称，点 C（m，0）为 x 轴的正半轴上一动点．以 AC 为边作等腰直角三角形 ACD， ∠ACD＝90°，点 D 在第一象限内．连接 BD，交 x 轴于点 F．
图1
图2
23．（本题 10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE 垂直平分 AB．
（1）若 AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE 的周长；
（2）若∠A＝40°，求∠EBC 的度数．
24．（本题 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（6，0），B（0，8），C（﹣2，0）．
（）
A．（3，1），（﹣3，﹣1）
B．（﹣3，1），（﹣3，﹣1）
C．（3，1），（1，3）
D．（﹣3，﹣1），（3，1）
5．如果关于 x 的二次三项式 x2+bx+9 是完全平方式，那么 b 的值为（ ）
A．3
B．±3
C．6
D．±6
6．若等腰三角形的周长为 26cm，一边为 11cm，则腰长为（ ）
（1）试判断△ABO 的形状,并说明理由； （2）如图 1，若 BC⊥BO，BC＝BO，点 D 为 CO 的中点，AC、BD 交于 E， 求证：AE＝BE+CE； （3）如图 2，若点 E 为 y 轴的正半轴上一动点，以 BE 为边作等边△BEG，延长 GA 交 x 轴于点 P，问：AP 与 AO 之间有何数量关系？试证明你的结论．
11．3mn2•(-2mn)=
；
3
23× +)的结果为
.
13．已知△ABC 中, AB=2, ∠C＝40°,请你添加一个适当的条件,使△ABC
的形状和大小都是确定的.你添加的条件是
.
14．若 a2+b2=6,ab=2,则(a-b)2=
.
15．已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，S△ABC= 3，对角线 BD 平
分∠ABC，E 是 BC 的中点，P 是对角线 BD 上的一个动点，则 PE+PC 的最小值为
.
16．阅读材料:
通过整式乘法的学习,我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的
方法,例如利用图甲可以对平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2 给予解释.图乙中的△ABC 是一个
直角三角形, ∠C＝90°,人们很早就发现直角三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2 的关系,我国
18．（每小题 4 分,共 8 分）因式分解： （1）x3﹣9x；
（2）（2a﹣b）2+8ab．
19．（本题 8 分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy3-2x2y2）÷xy，其中 x＝1，y＝2．
20．（本题 8 分）已知：如图，AB∥ED，点 F、C 在 AD 上，AB＝DE，AF＝DE， 求证：BC＝EF．
汉代“赵爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系.
请回答:下列几何图形中,可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 填写图序号）
（直接
三、解答题(共 86 分,请把答案写在答题卷上!)
17．（每小题 4 分,共 8 分）计算:
（1）（12x4﹣6x3）÷3x3
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
福州一中 2019-2020 学年度第一学期期中考试
初二数学试卷
(完卷 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分,请把答案写在答题卷上!)
1．下列哪个组条件不能判定三角形全等（ ）
A．AAS
B．SAS
C．AAA
D．SSS
2．中国传统服装历史悠久，下列服装图案中，为轴对称图形的是（ ）
PD＝3，则 OC 的长为（ ）
A．3
B．3 3
C．6
D．7.5
10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（2，0），B（0，2），若点 C 在 x 轴上方，CO＝CB，
且△AOC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题(每题 4 分,共 24 分,请把答案写在答题卷上!)
21．（本题 8 分）如果 x,y 满足等式 x2+y2-2x+4y+5=0,求 x+y 的值.
22．（本题 10 分）尺规作图（不写过程,保留做图痕迹）: 如图,福州森林公园景区内有一块三角形绿地 ABC, AB、AC 表示两条相交的小路. （1）如图 1,现在要在小路 AB 上建一个休息点 M,使它到 A、C 两个点的距离相等.请在图中 确定休息点 M 的位置; （2）如图 2，现要在三角形绿地 ABC 的内部建一个休息点 N.设计时要求该休息点 N 到两条 公路 AB，AC 的距离相等，且到小路交叉处 A 点的距离为 1000 米．若要以 1：50000 的比 例尺画设计图，①直接写出设计图纸中线段 AN 的长度;②在图中作出休息点 N 的位置.