人教版九年级上册数学随堂练习题：21.2解一元二次方程
解一元二次方程一、填空题1．a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．2．一元二次方程的解是__ ．3．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣x+1=0有实数根，则a 的取值范围为________．4．对于实数,a b ，定义运算“◎”如下：a ◎b 22()()a b a b =+--．若()2m +◎()3m -24=，则m =_____． 5．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____． 6．关于x 的方程mx 2+x ﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．二、选择题7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b =（ ）A ．2-B ．3-C ．4D ．6-9．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-10．当x 满足时，方程-2x-5=0的根是（ ） A ．1± B ．﹣1 C ．1﹣ D ．1+11．下列命题：①若a ＜1，则（a ﹣1）；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是3；④如果方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a ＜1．其中正确的命题个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．方程有两个实数根，则m 的取值范围（ ） A ． B ．且 C ． D ．且13．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 三、解答题14．解方程（1）2250x x --= （2）1421x x =-+15．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.16．已知于x 的元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求a 的取值范围；（2）若22121230x x x x +-…，且a 为整数，求a 的值．17．已知关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两不相等的实数根．①求m 的取值范围．②设x 1，x 2是方程的两根且221212170x x x x ++-=，求m 的值．18．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =.⑴求线段CE 的长；⑵若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG =.20．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6,0），点B 在y 轴的正半轴上，ABO 30∠︒=．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD=2.．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C O D E ''''，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C O D E ，，，''''．设OO t '=，矩形C O D E ''''与ΔABO 重叠部分的面积为S ．①如图②，当矩形C O D E ''''与ΔABO 重叠部分为五边形时，C E ''，E D ''分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②当3≤t ≤53时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．答案：1．8 2．x 1＝3，x 2＝﹣3． 3．a≤且a≠1． 4．-3或4 5．4 6．①③ 7．B 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B 13．A14．（1）1216,16x x ==-（2）3x =是方程的解.解：(1)x 2-2x=5，x 2-2x+1=5+1，(x-1)2=6， x-1=±6，∴1216,16x x ==(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得x+1=4(x-2)，解得：x=3，检验：当x=3时，(x-2)(x+1)≠0，所以x=3是原方程的解.15．（1）134m ≤；（2）1. 解：（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+ ∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．16．（1）a<2；（2）－1，0，1解：（1）Q 关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ， 0∴∆>，即2(6)4(25)0a --+>，解得2a <；（2）由根与系数的关系知：12126,25x x x x a +==+，12,x x Q 满足221212x x x x 30+-„，()21212330x x x x ∴+-„，363(25)30a ∴-+„， 3,2a ∴-… a Q 为整数，a ∴的值为1,0,1-．17．①54m >-，②m 的值为53． 解：①根据题意得：()22(21)410m m ∆=+-->， 解得：54m >-， ②根据题意得：12(21)x x m +=-+，2121x x m =-，22121217x x x x ++-()21212x x 17x x =+--()22(21)117m m =+--- 0=， 解得：153m =，23m =-（不合题意，舍去），∴m 的值为53． 18．(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1． 解：（1）△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0，∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，可整理为： 2ax 2+2ax=0，∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1．19．（1）；（2）见解析. 解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°. （1）设CE=x （0<x<1），则DE=1－x ，因为S 1=S 2，所以x 2=1－x ，解得（负根舍去），即 （2）因为点H 为BC 边的中点，所以CH=12，所以，因为，点H ，C ，G 在同一直线上，所以HG=HC+CG=12，所以HD=HG20．（Ⅰ）E 的坐标为；（Ⅱ）①2S =+，02t <<；②562t ≤≤-解：（Ⅰ）由点(6,0)A ，得6OA =．又2OD =，得4AD OA OD =-=．在矩形CODE 中，有//ED CO ，得30AED ABO ︒∠=∠=． ∴在Rt AED ∆中，28AE AD ==．∴由勾股定理，得ED ==CO =．∴点E 的坐标为．（Ⅱ）①由平移知，2O D ''=，E D ''=ME OO t ''==． 由//E D BO ''，得30E FM ABO ︒'∠=∠=．∴在Rt MFE '∆中，22MF ME t '==．∴由勾股定理，得FE '==．∴21122MFE S ME FE t '∆''=⋅=⋅=．∵C O D E S O D E D ''''''''=⋅=矩形∴2MFE C O D E S S S '∆''''=-=-矩形．∴2S =+，其中t 的取值范围是02t <<．②当02t <<时，2S =+当时，2+=2>当S=时，2+=，解得2>当2t 4≤<时，如图，t -,D '4t -）∴S=136t 34t 2231032t ⎡⎤-+-⨯=-+⎣⎦（） 当S=3时，23103t -+=3；解得t=4.54> 当S=53时，23103t -+=53；解得t=52；当4t 6≤≤时，如图，D '36t -，D 'A=6t - ∴36-t ）（6-t ）236t -（） 当3236t -（） 3t=626+> 或t=62当S=53236t -（） =53；解得t=6106> 或t=6104< ∴3t ≤53时，5622t ≤≤-。
2021--2022学年人教版九年级上册：21.2 解一元二次方程 同步练习 含答案
人教版2021年九年级上册同步练习：21.2 解一元二次方程一．选择题1．下列x的各组取值是方程x2﹣2x＝0的根的是（）A．x＝0或x＝2B．x＝1或x＝2C．x＝2或x＝3D．x＝3或x＝4 2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11 4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣92 5．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．56．已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（）A．方程一定有实数根B．当m取某些值时，方程没有实数根C．方程一定有两个实数根D．方程一定有两个不相等的实数根7．若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（）A．16B．8C．4D．08．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad ﹣bc．例如＝8×5﹣9×3＝40﹣27＝13．则方程＝﹣9的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根9．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣110．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12二．填空题11．方程3x（x﹣1）＝6（x﹣1）的根为．12．关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，则这个方程的另一根为．13．将方程3x2﹣6x﹣8＝0配方为a（x﹣h）2＝k，其结果是．14．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的判别式的值为．15．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是．16．若a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2﹣3a﹣b的值是．17．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是．三．解答题18．解方程：（1）x2+2x＝0．（2）．19．解方程：（1）（x+1）2＝4；（2）3x（x﹣1）＝1．20．解方程（1）2x2+3x﹣3＝0；（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．21．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．22．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．24．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝；（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：A．2．解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．3．解：∵x2﹣8x＝﹣5，∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，故选：D．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝6，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．6．解：∵a※b＝ab+a+b，∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx2+（m+1）x＝﹣1，由mx2+（m+1）x＝﹣1得mx2+（m+1）x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，∴方程一定有实数根．故选：A．7．解：∵x2＝16，∴x1＝4，x2＝﹣4，则x1+x2＝0，故选：D．8．解：∵方程＝﹣9，∴x2﹣6x＝﹣9，∴x2﹣6x+9＝0，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，∴方程＝﹣9有两个相等的实数根，故选：B．9．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．10．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，∴m2+3m﹣9＝0，∴m2+3m＝9，∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．故选：C．二．填空题11．解：原方程变形整理后得：3（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，故答案为：x1＝1，x2＝2．12．解：设关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的另一个实数根是x＝α，∵关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，∴1×α＝﹣，∴α＝﹣．故答案为．13．解：3x2﹣6x﹣8＝0，∴3（x2﹣2x+1）＝8+3，∴3（x﹣1）2＝11，故答案为：3（x﹣1）2＝11．14．解：∵a＝1，b＝2，c＝2，∴△＝22﹣4×1×2＝﹣4，故答案为：﹣4．15．解：∵方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2021，x1x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1x2＝2021+1＝2022．故答案是：2022．16．解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，∴a+b＝2，a2﹣2a﹣5＝0，即a2﹣2a＝5，∴a2﹣3a﹣b＝（a2﹣2a）﹣（a+b）＝5﹣2＝3．故答案为：3．17．解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，∴x2﹣3x﹣4＝0，∴（x﹣4）（x+1）＝0，∴x＝4或x＝﹣1．故答案为：4或﹣1．三．解答题18．解：（1）x（x+2）＝0，x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2；（2）方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝4×22，∴x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．19．解：（1）方程（x+1）2＝4，开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣3；（2）方程整理得：3x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，∵△＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．20．解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴△＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x，x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0，（2x﹣5）（x+2）＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．21．解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．22．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．23．解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．24．解：（1）4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2；故答案为：（2a﹣1）2；（2）x2﹣10x﹣1＝x2﹣10x+52﹣52﹣1＝（x﹣5）2﹣26∴h＝﹣5，k＝﹣26，∴h+k＝﹣31；（3）△ABC为等边三角形．理由如下：∵a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，∴a2+3b2+c2﹣2ab﹣4b﹣2c+3＝0，∴a2﹣2ab+b2+2b2﹣4b+2+c2﹣2c+1＝0，∴（a﹣b）2+2（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，即a＝b＝c＝1，∴△ABC为等边三角形．。
人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
人教版九年级21.2 降次解一元二次方程同步练习
《21.2 降次——解一元二次方程》一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥19．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x210．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=012．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是______（写出一个即可）．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=______．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是______．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．28．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．29．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．《21.2 降次——解一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x 2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b 2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2【考点】根的判别式．【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．【解答】解：A、x2﹣8=0，这里a=1，b=0，c=﹣8，∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x2﹣4x+3=0，这里a=2，b=﹣4，c=3，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；C、9x2+6x+1=0，这里a=9，b=6，c=1，∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0，这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、∵△=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；B、∵△=1﹣4×2＜0，∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；C、∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；D、∵△=36＞0，∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．【解答】解：解不等式组得a＜﹣3，∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，∵a＜﹣3，∴△=2a+5＜0，∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，故选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0【考点】根的判别式．【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【考点】根的判别式．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a ＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是m＜．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a＞0 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为：a＞0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为﹣3 ．【考点】根的判别式．【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，又5x 1+2x 2=2求出函数实数根，代入m=x 1x 2，即可得到结果．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m 2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2mx+m 2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．29．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m 的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m 2﹣4×m ×（m ﹣1）=0，且m ≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x 2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x 1=x 2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
2022年人教版九年级数学上册第二十一章练习题及答案 因式分解法
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根,则k的值为．2. 解方程:2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程:（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时,只得出一个根 x＝1,则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程:(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案:1.-32.解:2（x﹣3）=3x（x﹣3）,移项得 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0, 因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0, x﹣3=0或2﹣3x=0,解得:x1=3,x2=32．3.解:⑴x2+2x+2=0, (x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x 1=6,x2=-2.4.D5.解:答案不唯一．若选择①,①适合公式法,x2－3x＋1＝0,∵a＝1,b＝－3,c＝1,∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±52.∴x1＝3＋52,x2＝3－52.若选择②,②适合直接开平方法,∵(x－1)2＝3,x－1＝±3,∴x1＝1＋3,x2＝1－ 3. 若选择③ ,③适合因式分解法,x2－3x＝0,因式分解,得 x(x－3)＝0.解得 x1＝0,x2＝3.若选择④,④适合配方法,x2－2x＝4,x2－2x＋1＝4＋1＝5,即(x－1)2＝5.开方,得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5,x2＝1－ 5.5.提示:把(x2＋3)看作一个整体来提公因式,再利用平方差公式,因式分解. 解:设 x2＋3＝y,则原方程化为 y2－4y＝0.分解因式,得 y(y－4)＝0,解得 y＝0,或 y＝4.①当 y＝0 时,x2＋3＝0,原方程无解；②当 y＝4 时,x2＋3＝4,即 x2＝1.解得 x＝±1.所以原方程的解为 x1＝1,x2＝－1.。
人教版九年级上册数学公式法同步习题
21．2 解一元二次方程21.2.2 公式法1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝－b±b2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x的方程有实数根的是( C )A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝02．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B ) A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥03．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)9x2－6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x2＋4x＝－3；解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x2－1)＋5x＝0.解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B ) A ．1－ 5 B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程：(1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A．m＞94B．m＜94C．m＝94D．m＜－9410．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是( C )A．k＞－1 B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠011．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___．13．用公式法解下列方程：(1)x(2x－4)＝5－8x；解：x1＝－2＋142，x2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a＝12，另一个根为x＝－32(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7 (2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a ＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题-带答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题-带答案一、单选题1．已知关于x 的一元二次方程250x x +=的一个根是0，则另一个根是（ ） A ．5- B ．5 C ．1- D ．1 2．方程221x =的根是（ ）A ．112x = 212x =- B ．12x 22x =C ．1212x x == D ．122x x =3．一元二次方程2350x x +-=的两根为1x 和2x ，则12x x +的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5-4．若方程()29240x k x +++=的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( ) A ．10-或14 B ．14- C ．10 D ．10或14- 5．若关于x 的方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k ≥-且0k ≠ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．1k >-且0k ≠ 6．在平面直角坐标系中，若直线2y x m -＝不经过第四象限，则关于x 的方程2210mx x +-=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 7．已知关于x 的一元二次方程20x mx m ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．0或4 8．解方程()()2531231x x ---=0，最合适的方法是（ ）A ．直接开平方法B ．公式法C ．因式分解法D ．配方法 9．若m ，n 为方程2220160x x +-=的两个实数根，则23m m n ++=（ ） A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．201710．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-则给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．1-或3-D ．1或3-二、填空题11．方程2680x x -+=的两个根为a b ，，则a b += ．12．将方程2670x x ++=配方成()2x m n +=的形式，则n m = ． 13．关于方程27160x x -+=有如下判断：（1）该方程的两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有 个．14．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ． 15．（1）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为12x x 、，则211252x x x --的值为 ． （2）若m 、n 是方程2220x x --=的两个实数根，则222442022m n n +-+的值为 ．三、解答题16．解方程：(1)22410x x --=；(2)()5454x x x +=+．17．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=有两个相等的实数根，求k 的值．18．已知关于x 的一元二次方程()22210m x x --+=．(1)若方程的一个根是1-，求方程的另一个根；(2)若该一元二次方程的两个根分别为1x 和2x ，当121213x x x x +=-时，求m 的值． 19．关于x 的一元二次方程()()2212210a x bx c x --++=中，a ，b ，c 是Rt ABC △的三条边，其中90C ∠=︒． (1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是1x 和2x ，且221212x x +=，求::a b c ．参考答案1．A2．B3．B4．D5．B6．D7．D8．C9．A10．C11．612．913．014．1115． 7- 204216．(1)122626x x +-==(2)1241,5x x == 17．8k18．(1)方程的另一个根为13； (2)3m =．19． (2)1:223。
人教版九年级数学上册21.2.2用公式法解一元二次方程
无实数根．
归
纳 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式.通常用希腊字母 ∆表示它，即∆= b2-4ac.
当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当∆=0 时，方程有两个相等的实数根；
当∆＜0时，方程无实数根.
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
不等的实数根吗？给出答案并说明理由.
例4 已知关于x的方程 x2(m1)x1m20. 4
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2) 若方程有两个相等的实数根，求m的值； (3) 若方程有两个实数根，求m的取值范围； (4) 若方程无实数根，求m的取值范围.
练习 关于x的一元二次方程 x22xm0有两个实数
0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
例2 用公式法解方程：
(1) x2-4x-7=0；
(2) 6x2-7x+1=0.
解a 1, b 4, c 7
b 2 4 a ( c 4 )2 4 ( 7 ) 4 0 4
ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
ห้องสมุดไป่ตู้
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
21.2.2+用配方法解一元二次方程+习题课件+2024—2025学年人教版数学九年级上册
∴x1＝－32＋ 229，x2＝－32－ 229.
课堂讲练
(2)x(x＋2)＝11x＋10.
【解】原方程变形为 x2－9x＝10， 配方，得 x2－9x＋922＝10＋922， ∴x－922＝1241， ∴x－92＝±121， ∴x1＝10，x2＝－1.
课堂讲练
变式3 用配方法解方程： (1)x2－5x＋4＝0；
【解】x2－5x＋4＝0，x2－5x＝－4， 配方，得 x2－5x＋522＝－4＋522， ∴x－522＝94， ∴x－52＝±32， ∴x1＝4，x2＝1.
课堂讲练
(2)x(x－7)＝6. 【解】原方程变形为 x2－7x＝6， 配方，得 x2－7x＋722＝6＋722，
(m－n)2 025的值为( D )
A. 1
B. －2 025
C. 2 025 D. －1
【点拨】 ∵2y2－2＝4y，∴2y2－4y＝2，y2－2y＝1， y2－2y＋1＝1＋1，(y－1)2＝2， ∴m＝1，n＝2，∴(m－n)2 025＝(1－2)2 025＝－1.
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当堂小练
5. [2023南宁模拟]解方程： (1)x(x－2)－3＝0； 【解】方程整理得x2－2x－3＝0， ∴x2－2x＝3，∴x2－2x＋1＝3＋1， ∴(x－1)2＝4，解得x1＝3，x2＝－1.
配方，得 x2＋2x＋12＝13＋12，即(x＋1)2＝43，
开方，得 x＋1＝±2 3 3，
解得
x1＝－1＋2
3
3，x2＝－1－2
3
3 .
课堂讲练
(2)7x2－23x＋6＝0. 【解】原方程变形为 x2－273x＝－67，
配方，得 x2－273x＋21342＝316916，即x－21342＝316916， 开方，得 x－2134＝±1194， 解得 x1＝3，x2＝27.
人教版九年级上《21.2解一元二次方程》测试题(含答案解析)
解一元二次方程测试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 方程x 2=4的解是( )A. x =2B. x =−2C. x 1=1，x 2=4D. x 1=2，x 2=−2 2. 一元二次方程x 2−81=0的解是( )A. x =−9B. x =9C. x 1=9，x 2=−9D. x =813. 关于x 的方程m(x +ℎ)2+k =0(m,h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1=−3，x 2=2，则方程m(x +ℎ−3)2+k =0的解是( ) A. x 1=−6，x 2=−1B. x 1=0，x 2=5C. x 1=−3，x 2=5D. x 1=−6，x 2=24. 把方程13x 2−x −4=0左边配成一个完全平方式，得到的方程是( )A. (x −32)2=384 B. (x −32)2=384 C. (x +32)2=574 D. (x −32)2=5745. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −5=0，此方程可化为( )A. (x −3)2=4B. (x −3)2=14C. (x −9)2=4D. (x −9)2=14 6. 一元二次方程x 2−6x −6=0配方后化为( )A. (x −3)2=15B. (x −3)2=3C. (x +3)2=15D. (x +3)2=3 7. 用公式法解方程x 2−x =2时，求根公式中的a ，b ，c 的值分别是( )A. a =1，b =1，c =2B. a =1，b =−1，c =−2C. a =1，b =1，c =−2D. a =1，b =−1，c =2 8. 一元二次方程x 2−x −1=0的两个实数根中较大的根是( )A. 1+√5B.1+√52C.1−√52D.−1+√529. 已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +4=0有两个正整数根，则m 可能取的值为( ) A. m >0 B. m >4 C. −4，−5 D. 4，510. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2−4x +3=0的根，则该三角形的周长可以是( ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2−8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 12. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2−13x +40=0的根，则该三角形的周长为______．13. −1是方程x 2+bx −5=0的一个根，则b =______，另一个根是______． 14. 方程3x(x −1)=2(x −1)的根为______． 15. 方程x 2−16=0的解为______．16.方程(x−1)2−2=14的较小的根为______．17.一元二次方程x2−6x+9=0的实数根是______．18.如果a2+ma+14=(a−12)2，那么m= ______ ．19.一元二次方程12x2+x=3中，a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，则方程的根是______ ．20.如果关于x的方程x2+2(a+1)x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.用适当的方法解下列一元二次方程(1)4(x−1)2−36=0(直接开平方法)(2)x2+2x−3=0(配方法)(3)x(x−4)=8−2x(因式分解法)(4)(x+1)(x−2)=4(公式法)22.解方程(1)3x(x−1)=2x−2．(2)x2−7x+6=0．23.解下列方程(1)2x2+3x+1=0(2)4(x+3)2−9(x−3)2=0．24.解方程：(x−1)2=2(1−x)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.已知a是一元二次方程x2−4x+1=0的两个实数根中较小的根，①不解方程，求a+1a的值；②根据①的结果，求√a−√a的值；③先化简，再求值1−2a+a2a−1−√a2−2a+1a2−a−1a．26.已知关于x的一元二次方程x2+2x−(m−2)=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若方程有一个根为x=1，求m的值及另一个根．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. D5. B6. A7. B8. B9. C10. B11. 19或21或2312. 1213. −4；514. x=1或x=2315. x=±416. −1217. x1=x2=318. −119. 1；1；−3；x1=−1+√7，x2=−1−√7220. −1<a<−1221. 解：(1)方程整理得：(x−1)2=9，开方得：x−1=3或x−1=−3，解得：x1=4，x2=−2；(2)方程整理得：x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=4，即(x+1)2=4，开方得：x+1=2或x+1=−2，解得：x1=1，x2=−3；(3)方程整理得：x(x−4)+2(x−4)=0，分解因式得：(x−4)(x+2)=0，解得：x1=4，x2=−2；(4)方程整理得：x2−x−6=0，这里a=1，b=−1，c=−6，∵△=1+24=25，∴x=1±5，2解得：x1=3，x2=−2．22. 解：(1)3x(x−1)−2(x−1)=0，(x−1)(3x−2)=0，x−1=0或3x−2=0，所以x1=1，x2=2；3(2)(x−6)(x−1)=0，x−6=0或x−1=0，所以x1=6，x2=1．23. 解：(1)(2x+1)(x+1)=0，2x+1=0或x+1=0，，x2=−1；所以x1=−12(2)[2(x+3)−3(x−3)][2(x+3)+3(x−3)]=0，2(x+3)−3(x−3)=0或2(x+3)+3(x−3)=0，所以x1=15，x2=35．24. 解：(x−1)2+2(x−1)=0，(x−1)(x−1+2)=0，x−1=0或x−1+2=0，所以x1=1，x2=−1．25. 解：(1)∵a是一元二次方程x2−4x+1=0的两个实数根中较小的根，∴a2−4a+1=0，即a2+1=4a，则a+1a =a2+1a=4aa=4；(2)(√a−√a )2=a+1a−2=4−2=2．∵一元二次方程x2−4x+1=0的两个根的和是4，两根的积是1，则0<a<1，∴√a−√a=−√2；(3)解方程x2−4x+1=0，得：x=2±√3，则a=2−√3，∴a−1<0∴原式=(1−a)2a−1−√(a−1)2a(a−1)−1a=a−1+1a −1a=a−1=1−√3．26. 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x−(m−2)=0有实数根，∴∆=b2−4ac=22−4×1×[−(m−2)]=4m−4≥0，解得：m≥1．(2)将x=1代入原方程，1+2−(m−2)=0，解得：m=5，∴原方程为x2+2x−3=(x−1)(x+3)=0，解得：x1=1,x2=−3．∴m的值为5，方程的另一个根为x=−3．【解析】1. 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的知识点，形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次程．利用直接开平方法求解，即可解答．【解答】解：∵x2=4，∴x1=2,x2=−2．故选D．移项得：x2=81，两边直接开平方得：x=±9，到x1=9，x2=−9，故选：C．首先移项，把−81移到等号右边，再两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．3. 解：解方程m(x+ℎ)2+k=0(m,h，k均为常数，m≠0)得x=−ℎ±√−km，而关于x的方程m(x+ℎ)2+k=0(m,h，k均为常数，m≠0)的解是x1=−3，x2=2，所以−ℎ−√−km =−3，−ℎ+√−km=2，方程m(x+ℎ−3)2+k=0的解为x=3−ℎ±√−km，所以x1=3−3=0，x2=3+2=5．故选：B．利用直接开平方法得方程m(x+ℎ)2+k=0的解x=−ℎ±√−km，则−ℎ−√−km =−3，−ℎ+√−km=2，再解方程m(x+ℎ−3)2+k=0得x=3−ℎ±√−km，所以x1=0，x2=5．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2= p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±√p；如果方程能化成(nx+m)2= p(p≥0)的形式，那么nx+m=±√p．4. 解：∵13x2−x=4，即x2−3x=12，∴x2−3x+94=12+94，即(x−32)2=574，故选：D．将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤和完全平方公式是解题的关键．5. 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键.常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】∴x2−6x+9=5+9，即(x−3)2=14．故选B．6. 解：方程整理得：x2−6x=6，配方得：x2−6x+9=15，即(x−3)2=15，故选A方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7. 解：将方程整理得：x2−x−2=0，这里a=1，b=−1，c=−2，故选B方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．8. 解：∵一元二次方程x2−x−1=0中，a=1，b=−1，c=−1，∴x=−b±√b2−4ac2a =1±√52，∴一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根中较大的根是1+√52．故选：B．利用求根公式x=−b±√b2−4ac2a求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．本题考查了解一元二次方程−公式法，熟记求根公式即可解答该题．9. 解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，∴△=b2−4ac≥0，即m2−4×1×4≥0，∴m2≥16，解得m≥4或m≤−4，∵方程的根是x=−m±√m2−162，又因为是两个正整数根，则m<0则m≤−4故A、B、D一定错误．C，把m=−4和−5代入方程的根是x=−m±√m2−162，检验都满足条件．∴m可能取的值为−4，−5．故选C．方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b2−4ac≥0，即m2−4×1×4≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键．10. 解：解方程x2−4x+3=0，(x−1)(x−3)=0解得x1=3，x2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3>1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选：B．先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．此题考查用因式分解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．11. 解：由方程x2−8x+15=0得：(x−3)(x−5)=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3<9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．12. 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=8，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长．【解答】解：x2−13x+40=0，(x−5)(x−8)=0，所以x1=5，x2=8，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为3+4+5=12．故答案为12．13. 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解.把x=−1代入方程得出关于b的方程1+b−2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵x=−1是方程x2+bx−5=0的一个实数根，∴把x=−1代入得：1−b−5=0，解得b=−4，即方程为x2−4x−5=0，(x+1)(x−5)=0，解得：x1=−1，x2=5，即b 的值是−4，另一个实数根式5． 故答案为−4，5．14. 解：3x(x −1)=2(x −1)， 移项得：3x(x −1)−2(x −1)=0， 即(x −1)(3x −2)=0， ∴x −1=0，3x −2=0， 解方程得：x 1=1，x 2=23． 故答案为：x =1或x =23．移项后分解因式得到(x −1)(3x −2)=0，推出方程x −1=0，3x −2=0，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 15. 解：方程x 2−16=0， 移项，得x 2=16， 开平方，得x =±4， 故答案为：x =±4．移项，再直接开平方求解．本题考查了直接开方法解一元二次方程.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a(a ≥0)；ax 2=b(a,b 同号且a ≠0)；(x +a)2=b(b ≥0)；a(x +b)2=c(a,c 同号且a ≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 16. 解：(x −1)2−2=14， (x −1)2=94， x −1=±32， x =1±32，解得x 1=52，x 2=−12． ∵52<−12，∴方程(x −1)2−2=14的较小的根为−12， 故答案是：−12．利于直接开平方法解方程后，找到最小的根即可．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法.形如x 2=p 或(nx +m)2=p(p ≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 17. 解：配方，得(x −3)2=0， 直接开平方，得x −3=0， ∴方程的解为x 1=x 2=3， 故答案为x 1=x 2=3．先把左边直接配方，得(x −3)2=0，直接开平方即可． 本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18. 解：∵a2+ma+14=(a−12)2=a2−a+14，∴m=−1．故答案为：−1．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．此题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19. 解：移项得，12x+x−3=0∴a=12，b=1，c=−3∴b2−4ac=7∴x1=−1+√7，x2=−1−√7．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．20. 解：根据方程的求根公式可得：x=[(−2(a+1)±√4(a+1)2−4(2a+1)]÷2=[(−2a−2)±2a]÷2 =−a−1±a,则方程的两根为−1或−2a−1，或(x+1)(x+2a+1)=0，解得x1=−1，x2=−2a−1，∵−1<0，∴小于1的正数根只能为−2a−1，即0<−2a−1<1，解得−1<a<−12．故填空答案为−1<a<−12．先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．也可用公式法把原方程进行因式分解，求出方程的根，再求a的取值范围．21. 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．(1)方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；(2)方程整理后，利用配方法求出解即可；(3)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；(4)方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．22. (1)先把方程变形得到3x(x−1)−2(x−1)=0，然后利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．23. 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．(1)利用因式分解法把原方程转化为2x+1=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可；(2)利用平方差公式把原方程转化为2(x+3)−3(x−3)=0或2(x+3)+3(x−3)=0，然后解两个一次方程即可．24. 先移项得到(x−1)2+2(x−1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25. (1)a是一元二次方程x2−4x+1=0的两个实数根中较小的根，则把x=a代入方程可以得到a2+1=4a，则所求的代数式即可化简；(2)首先求得√a−√a 的平方的值，然后确定a的范围，则√a−1a的值即可确定；(3)首先对分式以及二次根式进行化简，然后进行分式的加减即可求解．26. 本题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式的解法的知识点，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式∆=b2−4ac≥0”是解题的关键．(1)由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)将x=1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程的解，即可得出方程的另一个根．第11页，共11页。