基本不等式简单题
基本不等式练习(最值问题)
基本不等式—最值问题1．已知1x >，则41x x +-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 2．设,x y R +∈,且191x y +=,则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．12 C ．14D ．16 3．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则3x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．10D ．84．若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-5．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值是( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8 6．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（ ）A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定7．已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( )A. B. C. D.8．若0,0a b >>，223ab a b ++=，则2a b +的最小值是( )A ．1B ．32 C D ． 29．若实数x,y 满足x 2y 2+x 2+y 2=8，则x 2+y 2的取值范围为________.10．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_________.11．函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为________. 12．已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24a b +的最小值为_________.13．已知0,0,2=32,x y x y xy >>+-，则2x y +的最小值为_________.14．已知不等式240x mx ++>对一切[]1,3x ∈恒成立，则实数m 的取值范围为________．15．若对任意0x >，都有241x a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 16．若,0a b >，且3ab a b =++，求（1）ab 的取值范围；（2）a b +的取值范围.再接再厉题组17．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为_________. 18．设0,1a b >>，若4121a b a b +=+-，则的最小值为_________. 19．ABC ∆中， ()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，若4b c +=，则a 的取值范围是_______.20．2241sin cos x x+的最小值为_________. 21．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111a b c ++的最小值是________． 22．在ABC △中，π3B =，若ABC △3，则ABC △周长的最小值为_________． 23．△ABC 三边a,b,c ，满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，则三角形ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 勇攀高峰题组25．若0x >，0y >，21x y +=，则2xy x y+的最大值为_________. 26．已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为_________. 27．设01x <<，a ，b 都为大于零的常数，则221a b x x+-的最小值为（ ）。
基本不等式练习题(基础、经典、好用)
基本不等式一、选择题1．若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．42．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．(2013·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．2 2 C．4 D．54．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的()A．充分条件不必要条件B．必要条件不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4 C.92 D.112二、填空题6．(2013·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．三、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 （x －2）·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时等号成立， ∴a ＝3.【答案】 C2．【解析】 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 【答案】 B 3．【解析】 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥441ab ·ab ＝4. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立， 因此1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.【答案】 C4．【解析】 1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc ，当abc ＝1时， ∴bc ＋ca ＋ab abc≤12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )] ＝a ＋b ＋c .故abc ＝1⇒1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c . 反过来，取a ＝b ＝1，c ＝4有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1， ∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 【答案】 A5．【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x 2x ＋2>0， ∴0<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2 （x ＋1）·9x ＋1－2＝4， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1. 【答案】 B二、填空题 6．【解析】 因为|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥8ab ＝20，当且仅当a 2＝4b 2时取等号，所以|a ＋2b |的最小值是20.【答案】 207．【解析】 由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)． 又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.故当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.【答案】 18 8．【解析】 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立． 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．【答案】 20三、解答题9．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64.故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.10．【证明】 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2 b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴1a ＋1b ＋1c ≥9.11.【解】 (1)设每件定价为x 元，依题意得(8－x －251×0.2)x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1 000≤0，解得25≤x ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
高一数学基本不等式试题
高一数学基本不等式试题1.设且,则的最小值为________．【答案】4【解析】由，当且仅当时等号成立．故答案为4．【考点】均值不等式的应用．2.当时，函数的最小值为 .【答案】6【解析】由于，所以函数【考点】基本不等式的应用.3.已知，，则的最小值为．【答案】4【解析】,由基本不等式得【考点】基本不等式的应用．4.设二次函数的值域为[0，+∞），则的最大值是（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为，则,且,即. 欲求的最大值，利用前面关系，建立，由，故选C.【考点】（1）二次函数性质；（2）函数最值；（3）基本不等式.5.已知，则x + y的最小值为．【答案】【解析】，，由，可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为.【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用.6.若，则下列不等式正确的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由基本不等式得，则；又，.【考点】基本不等式.7.若,则的最小值是( )A．B．1C．2D．4【答案】C【解析】．【考点】基本不等式．8.已知等比数列，，则其前三项和的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，当公比时，；当公比时，，.【考点】利用基本不等式求最值。
9.（1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当时，等号成立．②结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）①若，只有当__________时，有最小值__________．②若，只有当__________时，有最小值__________．（3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。
问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
【答案】（2）①1 ，2：②3，10（3）游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648【解析】（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得，整理运用所给结论，可求面积的最值．（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得，整理．当且仅当即取“=”．此时所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648【考点】基本不等式在最值问题中的应用；进行简单的合情推理10.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，化简后可得：，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式．11.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。
高中基本不等式练习
高中基本不等式练习1．若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 （ ） A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】试题分析：因为，直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆228210x y x y ++++=的周长，所以圆心（-4，-1）在直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>上，从而，4a+b=1，所以，14a b +1416(4)()88816b a a b a b a b =++=++≥+=，故选C 。
考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。
点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。
应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。
2．已知正数,x y ，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为( )A ．1B ．3241C ．161D ．321【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于正数,x y ，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，而可知y x z )21(4⋅=-=22x y --，可知当过点(1,2)时函数z=2x+y 最大，此时22x y --最小，且为116，故选C. 考点：均值不等式点评：解决的关键是根据不等式的表示的平面区域，来结合均值不等式来求解，属于基础题。
3．若a>1, 则 112-+-a a a 的最小值是 ( )A ．2 B.4 C.1 D.3【答案】D【解析】试题分析：根据题意，一正二定三相等可知，a>1, 则221(1)(1)11113111a-1a a a a a a a -+-+-+==++≥=---,当且仅当a-1=1,a=2取得等号，故答案为D. 考点：均值不等式点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题。
高二数学基本不等式试题
高二数学基本不等式试题1.下列结论中正确的是A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．当时，无最大值【答案】B【解析】使函数有意义，则，当且仅当，即取到等号；对于可能小于0，对于当且仅当，即时取等号，但的最大值为1，错；对于在上为增函数，因此有最大值.【考点】基本不等式的应用.2.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.3.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ( )A．1B．5C．D．【答案】D【解析】由题可知直线进过圆心，即有.为求，可以利用前面的条件换掉,得,但考虑到不好求值，另寻它法.即将“1”.“2”换成,则有,故选D.【考点】巧用“1”和基本不等式证明不等式.4.已知，且，则的最小值是_______.【答案】9【解析】∵a+b=ab，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.【考点】基本不等式求最值.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围【答案】【解析】由题，则，则恒成立即恒成立，则【考点】基本不等式，恒成立问题6.已知x，y，z均为正数．求证：．【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。
【解析】证明：∵x，y，z都是为正数，∴． 4分同理，可得，． 6分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 8分【考点】均值不等式点评：主要是考查了均值不等式的求证不等式的运用，属于中档题。
7.已知，，，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，，，所以，=，当且仅当且时，的最小值为。
【考点】均值定理的应用点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。
8.已知函数在时取得最小值,则__________.【答案】36【解析】根据题意，由于函数在时取得，即时取得最小值故可知36，故答案为36.【考点】函数的最值点评：主要是考查了函数的最值的求解，属于基础题。
基本不等式题真题答案解析
基本不等式题真题答案解析在数学中，不等式是解决实际问题和证明数学定理的重要工具之一。
基本不等式是这一领域中最基础、最常见的类型之一。
本文将对几个典型的基本不等式题目进行真题答案解析，探讨解题思路和方法。
1. 题目：已知a > b > 0，证明a^2 > b^2。
解析：要证明a^2 > b^2，我们可以通过将不等式两边同时平方来达到目的。
由于a > b > 0，所以a和b都是正数。
当两个正数平方后，它们的大小关系仍然保持不变。
即a > b等价于a^2 > b^2。
因此，根据已知条件和等价性，我们可以得出结论a^2 > b^2。
2. 题目：证明(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 1 + ab + bc + ca，其中a，b，c > 0。
解析：首先，我们注意到等式右边的部分和它的左边十分相似。
通过观察可以发现，右边的部分是通过两两相乘/相加得到的。
因此，我们可以尝试将左边展开并与右边进行比较。
将左边展开得到(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (ab + ac + bc) + (a + b + c) + abc。
然后，我们将右边的1 + ab + bc + ca与展开后的左边进行比较。
可以看到右边的部分包含有ab + ac + bc，并且右边还有1，bc和ca分别是1和ac，1和ab相加得到。
因此，我们可以将右边的1 + ab + bc + ca拆分为1 + (ab + ac + bc) + (ac + ab)。
与左边展开后的式子进行比较，我们可以发现右边的式子是左边展开后的一部分。
根据等式左边的展开式和右边的式子，我们可以得出结论(1 + a)(1 + b)(1 + c)大于右边1 + ab + bc + ca。
3. 题目：已知x > 0，证明5x + 7/x ≥ 12。
解析：首先，我们注意到等式右边是一个固定的数值12。
高三数学基本不等式试题
高三数学基本不等式试题1.当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（）A．（－∞，3]B．[3，+∞）C．[，+∞）D．（－∞，]【答案】D【解析】因为当x>3时，不等式x+≥恒成立，所以有，记，设x-1=t，则在上是增函数，所以得，故选Ｄ．【考点】函数的恒成立．2.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【答案】6【解析】3x＋9y＝3x＋32y≥2考点:基本不等式3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．【答案】【解析】∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是5.若函数f(x)＝（b≠1)在x＝1处有极值，则ab的最大值等于。
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1
-
4 ab
+
1
≤
1 4
×
1 2
2
+
1
=
17 16
，
2a + b = 1
当且仅当
ab
=
1 64
时，取 “ = ”，
4. A
0
<
a
<
1 2
，故
1
-
2a
>
0，则
a1
-
2a
=
1 2
2a
1 - 2a
≤ 21 ·
2a+1-2a 2
2
=
1 8
，当
a
=
1 4
时取
“
=”
5. D
由
x
>
-1，即
x
+
1
>
0，所以
≥
2
+
2
x y
⋅
y x
=
4，当且仅当
x
=
y
=
1
时等号成立，而
x,y
∈
R+,x + y
1 x
+
1 y
≥ a 恒成立，故 a ≤ 4，也即 a 的最大值为 4.
8. C
x + y
2 x
+
1 y
=
2y x
+
x y
+
3
≥
2
2y x
×
x y
+ 3 = 2 2 + 3
, 故选 C.
9. C
解：因为 ab = 10，所以 a + 2b ≥ 2 2ab = 2 2 ⋅ ab = 4 5 ，当且仅当 a = 2 5 ,b = 5 时，等号成立，所
A. 3 5
B. 3 10
C. 4 5
(
)
D. 2 10
10. 若 a、b 都是正数，则
1
+
b a
1
+
4a b
的最小值为
A. 5
B. 7
C. 9
11.
直线
ax
+
by
+
1
=
0(a，b
>
0)
过点
(
-1,
-
1),
则
1 a
+
4 b
的最小值为
A. 9
B. 1
C. 4
12.
已知
x
>
5 4
，则函数
y
=
4x
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
7. 设 x,y ∈ R+,x + y
1 x
+
1 y
≥ a 恒成立，则实数 a 的最大值为
A. 2
B. 4
C. 8
8.
已知
x,y
都是正数,
且
2 x
+
1 y
=
1，则
x
+
y
的最小值等于
A. 6
B. 4 2
C. 3 + 2 2
(
)
D. 16
(
)
D. 4 + 2 2
9. 已知正数 a,b 满足 ab = 10，则 a + 2b 的最小值是
以 a + 2b 的最小值为 4 5 .
２
10. C
因为 a、b 都是正数，所以
1
+
b a
1
+
4a b
=
5
+
b a
+
4a b
≥
5
+
2
时取等号 )，故本题选 C.
b a
⋅
4a b
=
9，(
当且仅当
b
=
2a
>
0
11. A
将点的坐标代入直线方程：a + b = 1，
1 a
+
4 b
=
(a1
+
4b )
=
0
得
x
=
1
或
x
=
3 2
，
当
5 4
<
x
<
3 2
时
y'
<
0
函数单调递减，
当
x
>
3 2
时
y'
>
0
函数单调递增．
所以当
x
=
3 2
时函数取得最大值为：4
×
3 2
+
1
4
×
3 2
-
5
=
7.
３
解：∵ x > 0，y > 0，且 2x + y = 2，
∴
xy
=
1 2
(2x•y)
≤
1 2
(2x2+y
)2
=
1 2
，当且仅当
x
=
1 2
，y
=
1
时取等号
，
故则
xy
的最大值为
1 2
，
3. D
解：∵ ab > 0，2a + b = 1，∴ a > 0，b > 0，
∴
1
-
4ab
+
ab
=
1 4
⋅
4 ab
基本不等式 - 简单题
1.
已知
x,y
∈
(0,
+
∞)，且
1 x
+
4 y
=
1，则
x
+
y
的最小值为
A. 8
B. 9
C. 6
(
)
D. 7
2. 已知 x > 0,y > 0,2x + y = 2, 则 xy 的最大值为
A.
1 2
B. 1
C.
2 2
3. 若 a,b ∈ R，ab > 0，2a + b = 1，则 1 - 4ab + ab 的最大值为
yபைடு நூலகம்
=
x
+
1 x+1
=
x
+
1
+
1 x+1
-
1
≥
2
取 “ = ”，所以正确选项为 D
x + 1 ·x+11 - 1 = 1，x = 0 时
6. C
a
>
1
则
a
-
1
>
0，a
+
1 a-1
=
a
-
1
+
1 a-1
+
1
≥
3，当
a
=
2
时取
“
=
”，所以正确选项为
C
7. B
由于 x + y
1 x
+
1 y
=
2
+
x y
+
y x
1 4x - 5
的最小值为
____
D. 13 D. 10
(
)
(
)
１
参考答案
1. B
因为
x,y
∈
(0,
+
∞)，且
1 x
+
4 y
=
1，
所以 x + y =
1 x
+
4 y
x + y
=
1
+
4
+
y x
+
4x y
≥
5
+
2
当且仅当
y x
=
4x y
，即
xy
= =
3 6
时，等号成立，
y x
⋅
4x y
=
9，
2. A
A.
1 4
B.
15 16
C. 1
4.
若
0
<
a
<
1 2
，则
a1
-
2a
的最大值是
A.
1 8
B.
1 4
C.
1 2
5. 已知 x > -1，求函数
y
=
x
+
1 x+1
的最小值是
A. 4
B. 3
C. 2
6.
若
a
>
1，则
a
+
1 a-1
的最小值是
A. 1
B. 2
C. 3
D.
1 4
D.
17 16
D. 1
D. 1 D. 4
(a
+
b)
=
5
+
b a
+
4a b
≥
9，当且仅当
b
=
2a
=
2 3
时取等号
12. 7
∵
x
>
5 4
，∴
4x
-
5
>
0，
y
=
4x
+
1 4x - 5