2017-2018年河南省南阳市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
河南省高二数学上学期期末考试试题理79
商丘市一高2017—2018学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分(含选考题）．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 （2）命题“若1x ≥，则213x+≥”的逆否命题为（ ）（A ）若213x+≥，则1x ≥ （B ）若213x+<，则1x < （C ）若1x ≥，则213x+< （D ）若1x <，则213x+≥ （3）已知集合{}x y y B x x x A 2|,014|==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=，则=B A I （ ） （A ）(]4,0（B ）[]1,4-（C ）(]1,0 （D ）()1,0（4）已知函数()()0,sin cos sin 2≠+=ωωωωx x x x f ，则”“1=ω是“函数()x f 的最小正周期π”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若ABC ∆的两个顶点坐标分别为)0,4(-A 、)0,4(B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )（A ）)0(191622≠=+y y x （B ）)0(192522≠=+y x y （C ）)0(192522≠=+y y x （D ）)0(191622≠=+y x y （6）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )（A ）14522=-y x （B ）15422=-y x （C ）16322=-y x （D ）13622=-y x （7）有一天，某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石，报案后，经过三个月的侦察，查明作案人肯定是甲、乙、丙、丁中的一人.经过审讯，这四个人的口供如下： 甲：钻石被盗的那天，我在别的城市，所以我不是罪犯； 乙：丁是罪犯；丙：乙是盗窃犯，三天前，我看见他在黑市上卖一块钻石； 丁：乙同我有仇，有意诬陷我.因为口供不一致,无法判断谁是罪犯.经过测谎试验知道，这四人只有一个人说的是真话，那么你能判断罪犯是 ( )（A ） 甲 （B ） 乙 （C ） 丙 （D ）丁 （8）若函数()cos f x kx x =-在区间2(,)63ππ单调递增，则k 的取值范围是( )（A ）[1,)+∞ （B ）1[,)2-+∞ （C ）(1,)+∞ （D ）1(,)2+∞（9）已知2m n >，则24292n mn m m n-++-的最小值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）8（10）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（ ）（A ）64 （B ）65 （C ）71 （D ）72（11）双曲线2222x y a b-＝1)0,0(>>b a 的离心率为2=e ，过双曲线上一点M 作直线MBMA ,交双曲线于B A ,两点，且斜率分别为21,k k ，若直线AB 过原点O ，则21k k ⋅值为( ) （A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（12）定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()2(x f x f =-且当[]2,1∈x 时，14184)(2-+-=x x x f ，若函数mx x f x g -=)()(有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ） （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-14418,23 （B ）()14418,2- （C ） ()3,2 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) （13）已知函数()24sin x x x f -+=，则()________22=⎰-dx x f .（14）已知实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．（15）已知点P 在曲线C :134+=x e y 上，则曲线C 在P 处切线的倾斜角的取值范围是_______.（16）若0)1(≥-+-n x m e x对R x ∈恒成立，则n m )1(+的最大值为_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）(本小题满分12分)已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线．（I ）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（II ）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．（18）(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线2:4E y x =的焦点重合，椭圆C 上一点P 到其两个焦点12,F F 的距离之和为4. （I ）求椭圆C 的离心率e 的值；（II ）若AB 为椭圆C 的过点()1,1Q 且以点Q 为中点的弦，求直线AB 的方程. （19）（本小题满分12分）如图，三棱台111ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面11A C CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A A C ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =u u u r u u u u r ，2AE EB =u u ur u u u r ，证明：DE ∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.（20）(本小题满分12分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为223的椭圆过点7(2,)3． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ，Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．（21） (本小题满分12分） 已知函数()ln a f x x x x=+，32()5g x x x =--. （I ）若0a =，求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的1x ，2x 1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有12()2()f x g x -≥成立，求实数a 的取值范围.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）（22）（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程为()x tt y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，求实数a 的值．（23）（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++,（Ⅰ）解不等式()9f x ≤； （Ⅱ）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 CBDAC AABCD CA 二．填空题 13. π2 14. 5 15. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππθ,32 16.2e三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线， 所以⎩⎨⎧>-<+02103m m ，解得3-<m ，即3:-<m q .………………5分（Ⅱ）若方程0)2(22=+++m mx x 有两个不等式的正根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+>->+-=∆02020)2(442m m m m ，解得12-<<-m ，即12:-<<-m p .………………7分因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真．又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假． 因此，p 、q 两命题应一真一假，当p 为真，q 为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-； (9)分当p 为假，q 为真时，213m m m ≤-≥-⎧⎨<-⎩或，解得3m <-．…………………………………………11分综上，21m -<<-或3m <-．………………………………………………………………………12分（18）解：（1）由条件知：()()211,0,1,0,1F F c -∴=，又知24, 2.3a a b =∴=∴=， ∴椭圆22:143x y C +=，因此11,22c e e a ==∴=.…………………………………（4分） （2）椭圆22:143x y C +=，易知点()1,1Q 在椭圆C 的内部，设()()1122,,,A x y B x y ，则 221122221(1)431(2)43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L ，（1）-（2）得：12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=， 易知AB 的斜率存在，1212121212,0=2,2,43AB x x y y x x k x x y y ++∴≠∴+⋅=++=Q ， 1230234AB AB k k ∴+⋅=⇒=-，所以直线:3470AB x y +-=.…………………………………（12分）(19)（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ==u u u r u u u u r I ……2分；又2AE EB =u u u r u u u r ，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥, 则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分；111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A，(0,4,0),C 1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩u r u u u ru r ur u u u u r ……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =r，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩u r u u u rr ur u u u r ……11分； 1cos ,4m n m n m n ⋅<>==-u r ru r r u ur u u r ，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分； （20）解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2232719c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故31a b =⎧⎨=⎩，所以，椭圆方程为2219x y +=．…………………………………（3分）（Ⅱ）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为0．故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >， 由⎩⎨⎧=-++=099122y x kx y ，消去y 得22(19)180k x kx ++=，…………………………………（5分）则||BP =，将式子中的0k >换成1k-，得：||BQ =．…………………（7分）1||||2BPQS BP BQ ∆==221182199k k ++gg=211891k k =+221629(19)(1)k k ++221162()1829()k k k k =+++，（10分） 设1k t k +=，则2t ≥．故2162964BPQ t S t ∆==+162276489t t≤=+，取等条件为649t t=即83t =， 即183k k +=，解得43k ±=时，BPQ S ∆取得最大值278．…………………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）若0a =，则()ln f x x x =(0)x >，()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1e x >；由()0f x '<得10ex <<， 所以()f x 的单调递增区间是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……………（4分）（Ⅱ）2()32(32)g x x x x x '=-=-，所以当1223x <≤时，()0g x '<，()g x 单调递减；当223x ≤≤时，()0g x '≥，()g x 单调递增， 又1114152848g ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，(2)8451g =--=-，所以()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1-．由题意，若对任意的12122x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有12()2()f x g x -≥成立，即对任意的122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，都有()1f x ≥恒成立，即ln 1a x x x +≥恒成立，即2ln a x x x -≥对任意的122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以2max (ln )a x x x -≥．设2()ln h x x x x =-，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()12ln h x x x x '=--，()2ln 3h x x ''=--，所以()h x ''在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则1()2ln 2302h x h ⎛⎫''''=-< ⎪⎝⎭≤，所以()12ln h x x x x '=--在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，又(1)0h '=，所以当112x <≤时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x <≤时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴2()ln h x x x x =-在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值为(1)1h =，∴1a ≥，所以a 的取值范围是[1)+∞，． ………………………………………………（12分） (22)解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分，0x tx y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分， 直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =； (10)分，(23)解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；..............................2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； 不等式的解集为[2,4]-； (5)分（Ⅱ）易知(0,3)B =；所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；………7分241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立5a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分。
河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版) 1 / 13河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ： ，总有 ，则￢ 为A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得 【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ： ，总有 ，则￢ 为： ，使得 ． 故选：B ．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2. “ ”是“方程的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分条件又不必要条件【答案】B【解析】解：若方程的曲线是椭圆， 则 ，即 ，即且 ， 即“ ”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的定义求出m 的等价条件是解决本题的关键．3. 已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使 ，用向量，表示向量 是 A.B.C.D.【答案】C【解析】解：故选：C ．根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4.已知实数x，y满足不等式组，则函数的最大值为A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】：解：作出可行域如下图，得，当直线过点C时，z最大，由得，即，所以z的最大值为6．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，得，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5.椭圆的离心率是，则的最小值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】解：由题意可得，即则当且仅当即时取等号的最小值为故选：A．河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版) 3 / 13由题意可得，，代入，利用基本不等式可求最小值本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合6. 如图，直三棱柱 ， ，且 ，则直线 与直线所成角的余弦值为A. B. C.D.【答案】A【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取 ，则 ． 0， ， 0， ， 2， ， 2， ．2， ， 2， ．． 故选：A ．通过建立空间直角坐标系 利用向量夹角公式即可得出．本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题．7. 点 在圆 上运动，则点 的轨迹是A. 焦点在y 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线 【答案】B【解析】解： 点 在圆 上， ，，点 是椭圆上的点． 故选：B ．根据变形，得出结论．本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题．8. 若两个正实数x ，y 满足，且不等式有解，则实数m 的取值范围 A. B. ∞ ∞ C.D. ∞∞【答案】B【解析】解：不等式有解，，，，且，，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或，实数m的取值范围是∞∞．故选：B．将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解属于中档题．9.直线与抛物线交于A、B两点，若，则弦AB的中点到直线的距离等于A. B. 2 C. D. 4【答案】C【解析】解：直线可化为，故可知直线恒过定点抛物线的焦点坐标为，准线方程为，直线AB为过焦点的直线的中点到准线的距离弦AB的中点到直线的距离等于故选：C．根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程，确定直线AB为过焦点的直线，根据抛物线的定义求得AB的中点到准线的距离，即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义来解决．10.已知数列的首项，，则河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)A. 99B. 101C. 399D. 401【答案】C【解析】解：数列的首项，，则：，整理得：，所以：，即：常数，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．则：，整理得：首项符合通项，则：，所以：．故选：C．直接利用关系式的变换和定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的项．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.给出以下命题，其中真命题的个数是若“￢或q”是假命题，则“p且￢”是真命题命题“若，则或”为真命题已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；直线与双曲线交于A，B两点，若，则这样的直线有3条；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于 ，若“￢或q”是假命题，则它的否定是“p且￢”，它是真命题， 正确；对于 ，命题“若，则或”，它的逆否命题是“若且，则”，且为真命题，原命题也是真命题， 正确；对于 ，由，且，，A，B，C四点共面， 正确；对于 ，由双曲线方程知，，即直线l：过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是，且，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即时，满足的直线有2条，当直线与实轴垂直时，即时，得，即，则，此时通径长为5，若，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足， 错误．综上所述，正确的命题序号是 ，有3个．故选：C．根据命题与它的否定真假性相反，即可判断正误；根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可；5 / 13根据空间向量的共面定理，判断正误即可；由双曲线和直线的位置关系，判断结论是否正确．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．12.F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点若，则C的离心率是A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：由题意得右焦点，设一渐近线OA的方程为，则另一渐近线OB的方程为，设，，，，，，，，．由可得，斜率之积等于，即，，．故选：C．设一渐近线OA的方程为，设，，由，求得点A 的坐标，再由，斜率之积等于，求出，代入进行运算．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．【答案】4018【解析】解：数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由，可得．故答案为：4018．河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)由题意写出数列的前几项，可得数列的最小正周期为6，求得一个周期的和，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意运用数列的周期，考查运算能力，属于基础题．14.在正三棱柱中，若，点D是的中点，求点到平面的距离______．【答案】【解析】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，2，，4，，0，，2，，4，，设平面的法向量y，，则，取，得，点到平面的距离：．故答案为：．以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.已知空间三点2，，5，，3，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为______．【答案】【解析】解：3，，1，．，，．．．以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．故答案为：．3，，1，可得，，可得可得以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7 / 1316.已知点P在离心率为的双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为______【答案】【解析】解：设P为双曲线的右支上一点，，，，由双曲线的定义可得，由即，可得，可得，则，由直角三角形可得外接圆的半径为，内切圆的半径设为r，可得，即有，由，可得，则，可得，则则的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为．故答案为：．设P为双曲线的右支上一点，，，，运用双曲线的定义和直角三角形的外接圆的外心为斜边的中点，运用等积法求得内切圆的半径，结合离心率公式，化简即可得到所求比值．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的外接圆和内切圆的半径，考查等积法求内切圆的半径，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：方程表示圆；命题q：双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若命题p：方程表示圆为真命题，则，解得．若命题q：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．命题“”为假命题，“”为真命题，与q必然一真一假．或，或或，河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版) 9 / 13解得 或 ．综上可得：实数m 的取值范围是 ．【解析】若命题p ：方程 表示圆为真命题，则 ，解得m 范围 若命题q ：双曲线的离心率，为真命题，则，解得 由于命题“ ”为假命题，“ ”为真命题，可得p 与q 必然一真一假 即可得出．本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 如图，四棱锥 底面为正方形，已知 平面ABCD ， ，点M 为线段PA 上任意一点 不含端点 ，点N 在线段BD 上，且 ． 求证：直线 平面PCD ； 若M 为线段PA 中点，求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值．【答案】 证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似知，可得： ， 平面PCD ， 平面PCD ， 则直线 平面PCD ；解：由于 ，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 0， ，则 1， ， 1， ， 0， ，，则 1，，平面AMN 的法向量为， 则向量 与 的夹角为 ，则， 则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为． 【解析】 延长AN ，交CD 于点G ，由相似知，推出 ，然后证明直线 平面PCD ；以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 0， ，求出相关点的坐标， 1， ，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，D为BC的中点，求线段AD 的长．【答案】证明：锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．利用正弦定理：，则：，所以：，由于：，则：，即：．的面积，则：，解得：，，，，，【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．20.直三棱柱中，，E，F分别是，BC的中点，，D为棱上的点．证明：；证明：；是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【答案】证明：，，，又，，面．又面，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)设且，即y，，0，，则0，，，，，所以；结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面ABC的法向量，设面DEF的法向量为，则，，，即，令，则．平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，，即，解得或舍，所以当D为中点时满足要求．【解析】根据线面垂直的性质定理证明面即可．建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键考查学生的运算和推理能力．21.已知数列的前n项和为，，且，为等比数列，，．求和的通项公式；设，，数列的前n项和为，若对均满足，求整数m的最大值．【答案】解：，且，当时，，即为，即有，上式对也成立，11 / 13则，；为公比设为q的等比数列，，．可得，，则，即，，；，前n项和为，，即，可得递增，则的最小值为，可得，即，则m的最大值为1345．【解析】运用数列的递推式和恒等式，化简可得，；再由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；求得，由裂项相消求和，可得，再由数列的单调性可得最小值和不等式恒成立思想，可得m的最大值．本题考查等比数列的通项公式的运用，数列的递推式和恒等式的运用，以及数列的单调性的运用：求恒成立问题，考查化简运算能力，属于中档题．22.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．若M，N为椭圆上两点，且线段MN的中点为，求直线MN的斜率；若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．【答案】解：抛物线：的焦点，则，，椭圆的标准方程：，设，，则，两式相减得：，由MN的中点为，则，，直线MN的斜率，直线MN的斜率为；由椭圆的右焦点，当直线AB的斜率不存在或为0时，，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，设，，联立，消去y化简整理得：河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)，，，，则，同理可得：，，综上可知：是定值．【解析】根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法”即可求得直线MN的斜率；分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．13 / 13。
2017-2018年河南省南阳市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2017-2018学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本卷共12小题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将所选答案填在答题卷上）1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）A．∀x≥0，x2≤0B．∃x≥0，x2≤0C．∀x＜0，x2≤0D．∃x≥0，x2≤0 2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）不等式≥3的解集是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0）C．（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b 6．（5分）在空间直角坐标系中，给定点M（2，﹣1，3），若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=（）A．2B．4C．D．7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．238．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A．610B．510C．505D．7509．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0B．x+2y﹣4=0C．2x+3y﹣12=0D．x+2y﹣8=0 10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1、CD的中点，则点B到直线EF的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．∪12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分.）13．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=．14．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC=3cosAsinC且a2﹣c2=2b，则b=15．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题，总有，则为A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【答案】B【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，总有，则为：，使得．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2．“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件：故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B.3．已知空间四边形，其对角线分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论． 【详解】,,故选：C ． 【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4．已知实数,x y 满足不等式组0{10 240y x y x y ≥-+≥+-≤，则函数3z x y =++的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由3z x y =++得3y x z =-+-。
平移直线3y x z =-+-，结合图形可得，当直线经过可行域内的点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值。
由10{240x y x y -+=+-=，解得1{2x y ==，故点C 的坐标为（1,2）。
∴max 1236z =++=。
选D 。
5．椭圆的离心率是，则的最小值为A ．B ．1C ．D ．2【答案】A【解析】由题意可得，，代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】 由题意可得，即,,则当且仅当即时取等号的最小值为故选：A．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合.6．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝7．点在圆上运动，则点的轨迹是A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线【答案】B【解析】根据变形，得出结论．【详解】点在圆上，，，点是椭圆上的点．故选：B ． 【点睛】本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题． 8．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m 的范围． 详解：正实数满足则=4，当且仅当，取得最小值4．由x 有解，可得解得或．故选 D ．点睛：本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属中档题． 9．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于A ．B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋＝4，故x 1＋x 2＝，则弦AB 的中点横坐标是，弦AB 的中点到直线x ＋＝0的距离是＋＝.10．已知数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ）A ．99B ．101C ．399D ．401 【答案】C【解析】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列2,1n n a n ==-，220201399a =-=，故选C.11．给出以下命题，其中真命题的个数是若“或”是假命题，则“且”是真命题命题“若，则或”为真命题已知空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】(1)若“或”是假命题，则是假命题p 是真命题，是假命题是真命题，故且真命题,选项正确.(2) 命题“若，则或”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.（3）∵++=1，∴P ，A ，B ，C 四点共面，故（3）正确，（4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l ：y=k （x ﹣3）过双曲线的右焦点， ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5， ∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4， 则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得，即=，即则y=±，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB 的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误， 故答案为：C.12．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点若，则的离心率是A ．B ．2C ．D ．【答案】D【解析】由已知渐近线方程为l 1：，l 2：，由条件得F 到渐近线的距离，则，在Rt △AOF 中，，则.设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ. 在Rt △AOF 中，，在Rt △AOB 中，.∵，即，即a 2=3b 2，∴a 2=3(c 2-a 2)，∴，即.故选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、解答题13．已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈，若命题“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】215m ≤<【解析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解．试题解析：若命题p 为真命题 ，则2240D E F +->，即()()2224220m m m --->整理得220m m -<，解得02m <<4分若命题q 为真命题 ，则()251,45me +=∈，解得015m <<8分 因为命题p q ∧为假命题， p q ∨为真命题，所以p q 、中一真一假， 10分若p 真q 假，则m ∈∅; 若p 假q 真，则215m ≤<， 所以实数m 的取值范围为215m ≤<． 12分【考点】1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．14．如图，四棱锥 底面为正方形，已知，，点为线段上任意一点（不含端点），点 在线段上，且．（1）求证：；（2）若为线段中点，求直线与平面所成的角的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）延长，交于点，只需证明MN//PG,通过可证明，从而证明MN//PG 。
【市级检测】2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。
河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(图片版)
2018年秋期高中二年级期终质也评估数学试题（理）注怠事项।、'.太城'分¥］ g■（速择题）枇第［］卷（4选*题）的部分.考生做用时钎苏修吞A若国1的空口又上,在去认口答册无虬।啜| '令建前.彳生势必先杵自己的姓名建身江号埃耳左华题卡上. ■，选择登不案使用2B4OE昧全.非选朴愚.案使用0. 5光束的7勺中械（军字）第或现"书写•字体工将.4虚电:瑞捺照期号在为题的冬题区堤（黑色假相）内作答，盟出冬题区域书写的多集无貌5 •保挣零面清诂,不折叠、不破根. ”第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）L已知命题P： V£＞0,总有a+D/＞l,则■1/＞为A.九。
4。
,使得a + D/.&i B V N＞。
,总有G+D/41C・三工。
＞0,使得（4 + DK41 D. Vi40,总有J+D/412・“3＜析＜7”是“方程2一十二二1的曲线是椭照”的A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分又不必要条件3.已知空间四边形OABC共射角线为OO.AC.M,N分别是边QA ,CB的中戊•点G 在线段MN上，旦使MG-2GN,用向量函,0R说表示向做文是A. O5=[C M+¥O B+：”b J。
B,由=凝X+4*0B+£)C b J 。
c,而=应+融a亭x：D.历苏+!•巫+ ；"4.已知实数力,播足不等式组卜12"，则雨数。
一，i v I 3的/大位为A. 2 D.6高二数学（理）第1芟（共4页）高二数字（理）第2天（共4页）A •（-8,一 I ）U （4.+3）c-（-4,1）9 .直线，—厂 Qo 与抛物线y=x 交于A,白将点，若|A8|=4,则弦AB 的中点 到直线1 + ）=0的距离等于R 9B-T10 .已知数列储.）的列项ui ■-O.a,+l 3a.+2 - i +1.则如产 A. 99B. 101C.399D. 40111.给出以下命题.其中真命题的个数是①若"rp 或q”是假命题，则“P 且是真命题； ②命题“若。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
的推理与论证能力.
15. 假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为 ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 4
8. 设
，随机变量 的分布列是则当 在 内增大时（ ）
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【解析】分析：求出随机变量 ξ 的分布列与方差，再讨论 D（ξ）的单调情况． 详解：设 0＜p＜1，随机变量 ξ 的分布列是
E（ξ）=0× +1× +2× =p+ ；
方差是 D（ξ）=
”成立，故选 D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列
与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论
（或猜想）.
4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 3 个球，所取的 3
顺序出场，那么共有
__________种不同的插入方法（用数字作答）．
【答案】165
【解析】分析：根据题意，先由分步计数原理计算 ABC 三个节目插到 8 个节目之间的排法，又由倍分法
分析可得答案．
详解：根据题意，原来有 8 个节目，有 9 个空位，
在 9 个空位中任选 1 个，安排 A 节目，有 9 种情况，排好后有 10 个空位，
7. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，各 局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：这是一个条件概率，所以先计算 P(A)和 P(AB),再代入条件概率的公式即得解.
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含答案)
2018年春期高中二年级期终质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21-i（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1+i B ．1-i C ．1-+i D ．1--i2．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,43．在等差数列{}n a 中，如果,,,∈m n p r *N ，且3++=m n p r ，那么必有3++=m n p r a a a a ，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果,,,∈m n p r *N ，且3++=m n p r ，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3=m n p r b b b b4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（ ）A ．11110513315C C C CB ．3103151-C C C ．2122105105315+C C C C C D ．353151-C C 5．设()~1,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若()2~,X Nμσ，则()68.26%-<<+=P X μσμσ，()2295.44%-<<+=P X μσμσ）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65876．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（ ） A ．180 B ．-180 C ．-90 D ．157．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A ．13 B ．25 C ．23 D ．458．设01<<p ，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 9．函数()f x 与它的导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()()=xf xg x e 的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞10．已知函数()33=-+f x x x m ，若方程()0=f x 有两个相异实根12,x x ，且120+<x x ，则实数m 的值等于（ ） A ．-2或2 B ．-2 C ．2 D ．011．若,m n 均为非负整数，在做+m n 的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而+m n 称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050 C ．432 D ．86412．若直线=+y ax b 与曲线()ln 1=-f x x 相切，则ba的最小值为（ ） A ．21e B ．2-e C ．-e D ．1-e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A B C 、、三个不同的新节目，且插进的三个新节目按A B C 、、顺序出场，那么共有 种不同的插入方法（用数字作答）．14．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若11111212312310++++=+++++++m L L ，则=m ．15．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1-p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是 ． 16．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知01<<<a b .（1）试猜想ln +a b 与ln +b a 的大小关系； （2）证明（1）中你的结论.18． 如图所示，在以AB 为直径的半圆周上，有异于,A B 的六个点126,,,C C C L ，直径AB 上有异于,A B 的四个点1234,,,D D D D .则：（1）以这12个点（包括,A B ）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ （2）以这10个点（不包括,A B ）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？19． 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有5人，不超过100km/h 的有15人． （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的数学期望.参考公式：()()()()()22-=++++n ad bc k a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．参考数据：20． 已知()()()2012211+=+-+-n x a a x a x ()()1++-∈nn a x n L *N .（1）求0a 及12=+++n n S a a a L ；（2）试比较n S 与223-nn 的大小，并用数学归纳法证明.21． 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 22．设∈a R ，函数()()211-=--xf x x e a x .（1）当1=a 时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的单调区间； （2）设函数()()()11-=+--x g x f x a x e ，当()g x 有两个极值点()1212,<x x x x 时，总有()()211'≤x g x f x λ，求实数λ的值.高二数学试题（理科）参考答案一、选择题1--6 BCDCDB 7--12ADDCBC 二.填空题（每小题5分，共20分） 13. 165 14.2011 15．1,13⎛⎫⎪⎝⎭16.233 三.解答题（共6小题，满分70分）17. 解：（1）猜想ln ln a b b a +>+. ---------3分 （2）令()ln f x x x =-，则'1()1f x x =-，当01x <<时，'1()10f x x=-<， 即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分 又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-， --------9分 故ln ln a b b a +>+. ---------10分18.解：(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类： ①四个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，有C 64个四边形；②三个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另一个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 63C 61个四边形；③二个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另外二个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 62C 62个四边形． 故满足条件的四边形共有N ＝C 64＋C 63C 61＋C 62C 62＝360(个)． ---------6分 (2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为 C 63＋C 61C 42＋C 62C 41＝116(个)． ---------12分 19.解：（Ⅰ）平均车速超过h km /100人数平均车速不超过 h km /100人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计252550---------3分，所以有%5.99的把握认为平均车速超过h km /100与性别有关. ---------6分（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过h km /100的车辆的概率为1035015=. ---------8分 所以ξ的可能取值为0,1,2,3，且⎪⎭⎫ ⎝⎛1033B ~，ξ， ------10分()9.01033=⨯==np E ξ ---------12分 20.解：⑴令1x =，则03na =， ---------2分令2x =，则4nn ii a==∑，所以143nn n ii a==-∑． ---------5分⑵要比较n S 与223nn -的大小，只要比较4n 与22n 的大小． 猜想：242,n n n N *>∈． ---------6分 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，42>,结论成立．②假设当*()n k k =∈N 时结论成立，即242k k >，则当1n k =+时，12222444422(2)k k k k k k =⨯>⨯=+++，因为*k ∈N ，所以22221k k k +≥+，所以222222(2)2(21)2(1)k k k k k k +≥+=+++ 所以1242(1)k k +>+， 即1n k =+时结论也成立．由①②可知，242n n N n *∈>时，---------11分 所以223,n n S n n N *>-∈ ---------12分21.解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.2 0.4 0.4---------5分（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑500200≤≤n当500300≤≤n 时，若最高气温不低于25，则n n n Y 246=-=；若最高气温位于区间[20，25），则()n n n Y 21200430023006-=--+⨯=； 若最高气温低于20，则()n n n Y 2800420022006-=--+⨯=因此()()()n n n n Y E 4.06402.028004.0212004.02-=⨯-+⨯-+⨯=---------8分 当300200<≤n 时，若最高气温不低于20，则n n n Y 246=-=，若最高气温低于20，则()n n n Y 2800420022006-=--+⨯=，因此()()()n n n Y E 2.11602.028004.04.02+=⨯-++⨯= ---------11分 所以300=n 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. ---------12分 22.解：（1）当1=a 时，)1()(12--=-x ex x f x，则1122)(----='x x ee x x xf ，令122)(---=x e x x x h ，则122)(---='x e x x h . 易知)(x h '在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上单调递减，又0121)43(4<-='eh ，所以0)(<'x h 所以)(x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上单调递减，又因为0)1(=h ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,43x 时，0)(>x h ，从而0)(>'x f ，这时)(x f 单调递增， 当()2,1∈x 时，0)(<x h ，从而0)(<'x f ，这时)(x f 单调递减.所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上的增区间是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,43x ，减区间是()2,1∈x ---------4分 (2) 由题可知()xea x x g --=12)(，则()xea x x x g -++-='122)(.根据题意方程022=++-a x x 有两个不等实数根2121x x x x <且、 令0>∆得1->a ，且221=+x x ，所以11<x 由())(112x f x g x '≤λ，其中()a ex x x f x--='-122)(，得()()[]ae x x e a x x x x --≤---11112111222λ.将1211222x x a x x -=-=，代入左式得：()()()[]2111211111222211x x e x x e x x x x -+-≤---λ，整理得()[]01211111≤+---x x e e x λ.即不等式()[]01211111≤+---x x e e x λ对任意()1,1∞-∈x 恒成立. --------8分①当01=x 时，得R ∈λ②当()1,01∈x 时，即121111+≥--x x e e λ令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=---1112121111111x x x e e e x H ，易知()1x H 是()1,0上的减函数，所以()()1201+=<e e H x H ，所以12+≥e e λ ③当()0,1∞-∈x 时，即121111+≤--x x e e λ.()1x H 在()0,∞-上也是减函数，()()1201+=>e e H x H ,所以12+≤e eλ. 综上所述12+=e eλ --------12分。
【精品】2017-2018年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C2．（5分）已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．（5分）已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．（5分）已知：f（x）=asinx+bcosx，g，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x ﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128D．﹣1286．（5分）已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．（5分）设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0C．x1＜x2D．＞8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．（5分）执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014B．2015C．2016D．2017 10．（5分）我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点（点A在第一象限），若S△OAB=﹣tan∠AOB，则p的值是（）A．2B．3C．4D．512．（5分）已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13．（5分）1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．（5分）已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．（5分）在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X ≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．2．（5分）已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．3．（5分）已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．4．（5分）已知：f（x）=asinx+bcosx，g，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x ﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128D．﹣128【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．6．（5分）已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．7．（5分）设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0C．x1＜x2D．＞【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．9．（5分）执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014B．2015C．2016D．2017【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．10．（5分）我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．11．（5分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点（点A在第一象限），若S△OAB=﹣tan∠AOB，则p的值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．12．（5分）已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．二、填空题：13．（5分）1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.17214．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．15．（5分）已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．16．（5分）在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．三、解答题：17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．19．（12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X ≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）20．（12分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线MN的方程为：y=k（x+2），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．21．（12分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度百度百度百度百百度百度百度百度。
2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】故选2. 命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（）A. 存在一个有理数，它的平方是无理数B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 任意一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方是有理数【答案】D【解析】根据特称命题的否定的定义，该命题的否定为“存在一个无理数，它的平方是有理数”故选3. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，，，抛物线的准线方程为故选4. 在中，已知，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】故选5. 等差数列的前项和为，已知，则的值为（）A. 63B.C.D. 21【答案】C故选6. 在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中点，连接设正方体棱长为则，故选7. 若正数满足，则的最小值为（）A. B. 4 C. 8 D. 9【答案】C【解析】令则，或（舍）故，故选8. “”是“方程表示图形为双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意方程表示图形为双曲线可得：，解得则“”是“方程表示图形为双曲线”的充分不必要条件故选9. 在中，角所对的边分别是，若与平行，则一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】由题意得两直线平行，则，，若，则直线重合舍去，故三角形为等腰三角形故选10. 已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，则故选11. 椭圆的焦点分别为，弦过，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为和，则的值为（）A. 6B.C.D. 3【答案】D【解析】的内切圆面积为，由题意得：，，又故选点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出的面积，易知的内切圆的半径长，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题。
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2017-2018学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本卷共12小题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将所选答案填在答题卷上）1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）A．∀x≥0，x2≤0B．∃x≥0，x2≤0C．∀x＜0，x2≤0D．∃x≥0，x2≤0 2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）不等式≥3的解集是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0）C．（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b 6．（5分）在空间直角坐标系中，给定点M（2，﹣1，3），若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=（）A．2B．4C．D．7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．238．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A．610B．510C．505D．7509．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0B．x+2y﹣4=0C．2x+3y﹣12=0D．x+2y﹣8=0 10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1、CD的中点，则点B到直线EF的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．∪12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分.）13．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=．14．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC=3cosAsinC且a2﹣c2=2b，则b=15．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）17．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB （1）求角C的大小；（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．18．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．（12分）已知p：﹣x2+2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），s：﹣x2+8x+20≥0．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“￢s”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．（12分）已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°．（1）求证：直线AB必过一定点；（2）求证：△AOB面积的最小值．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD．（1）求证：直线ED⊥平面PAC；（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．22．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．2017-2018学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本卷共12小题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将所选答案填在答题卷上）1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）A．∀x≥0，x2≤0B．∃x≥0，x2≤0C．∀x＜0，x2≤0D．∃x≥0，x2≤0【解答】解：已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是：∀x＜0，x2≤0，故选：C．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1B．1C．2D．﹣2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，∴S3=a1+a2+a3=3a2=6，∴a2=2，∴公差d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2故选：D．3．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＞b，b=0时，不等式（a﹣b）b2＞0不成立．若（a﹣b）b2＞0，则b≠0，且a﹣b＞0，∴a＞b成立．即a＞b是（a﹣b）b2＞0的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）不等式≥3的解集是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0）C．（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）【解答】解：由≥3可得，0∴∴∴x≥2或0＜x≤1不等式的解集{x|x≥2或0＜x≤1}故选：A．5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b【解答】解：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．故选：A．6．（5分）在空间直角坐标系中，给定点M（2，﹣1，3），若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=（）A．2B．4C．D．【解答】解：∵点M（2，﹣1，3）关于平面xoy对称点A它的横坐标与纵坐标不变，竖坐标相反，所以A（2，﹣1，﹣3）；M（2，﹣1，3）关于x轴的对称点分别为B，它的横坐标不变，纵坐标相反，竖坐标相反，有B（2，1，﹣3），∴|AB|==2，故选：A．7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．23【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A．610B．510C．505D．750【解答】解：∵a1中有一个数字，a2中有两个数字，…，a9中有九个数字，∴前九项一共有1+2+3+…+9=45个数字，∴a10=46+47+48+…+55=505，故选：C．9．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0B．x+2y﹣4=0C．2x+3y﹣12=0D．x+2y﹣8=0【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选：D．10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1、CD的中点，则点B到直线EF的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，，1），F（0，，0），B（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），∴点B到直线EF的距离：d=||=×=．故选：D．11．（5分）过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．∪【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2====1﹣e，又∵，∴＜1﹣e＜，∴＜e＜，圆C的离心率的取值范围（，）故选：B．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在双曲线﹣=1，∴a=4，b=3，c=5，即A，C是双曲线的两个焦点，∵顶点B在双曲线﹣=1，∴|BA﹣BC|=2a=8，AC=10，则由正弦定理得=，故选：C．二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分.）13．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=364．【解答】解：解方程x2﹣10x+9=0，得x1=1，x2=9．∵数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，∴a1=1，a3=9．设等比数列{a n}的公比为q，则q2=9，所以q=3．∴S6==364．故答案为：364．14．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC=3cosAsinC且a2﹣c2=2b，则b=4【解答】解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴a×=3c×，∴2c2=2a2﹣b2，∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b，∵b≠0，∴b=4．故答案为：4．15．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：916．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．【解答】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，∴点A为BP的中点．连接OA，则|OA|=|BF|，∴|OA|=|AF|，∴点A的横坐标为，∴点A的坐标为（，），把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分。