2021第3讲 利用导数研究函数的性质

第3讲 利用导数研究函数的性质

一、 单项选择题

1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )

(第1题)

A B

C D

2. 已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，f ′(x )＋1<0恒成立，且f (1)＝－1，则( )

A. f (0)<0

B. f (e)<－e

C. f (e)>f (0)

D. f (2)>f (1)

3. (2020·岳阳二模)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫

a >12，

当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为( )

A. 2

3 B. 45 C. 1

D. 12

4. (2020·孝感一模)若函数f (x )＝ax 22＋(1－2a )x －2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1上有极小

值，则a 的取值范围是( )

A. ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－1e B. (－∞，－1) C. (－2，－1) D. (－∞，－2)

二、 多项选择题

5. 如图所示是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()

(第5题)

A. f(x)在区间[－2，－1]上是增函数

B. x＝－1是f(x)的极小值点

C. f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数

D. x＝1是f(x)的极大值点

6. 已知函数f(x)＝ax3－3x2的极小值为－1，那么实数a的值为()

A. －2

B. －1

C. 1

D. 2

7. 如图所示，已知直线y＝kx＋m与曲线y＝f(x)相切于两点，那么下列关于函数F(x)＝f(x)－kx的结论中成立的是()

(第7题)

A. 有3个极大值点，2个极小值点

B. 有2个零点

C. 有2个极大值点，没有极小值点

D. 没有零点

三、填空题

8. (2020·安阳二模)若曲线y＝ax cos x＋16在x＝π

2处的切线与直线y＝x＋1平

行，则实数a的值为________．

9. 已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，那么不等式xf′(x)>0的解集为________．

(第9题)

10. (2020·益阳模拟)已知函数g (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫

1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与

h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，那么实数a 的取值范围是________．

四、 解答题

11. 已知函数f (x )＝ln x －a

x .

(1) 当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2) 若f (x )在[1，e]上的最小值为3

2，求a 的值． 12. 已知函数f (x )＝mx －1ln x ＋n .

(1) 若m ＝1，n ＝0，求函数f (x )的单调区间；

(2) 若m ＝1，n ＝1，求函数f (x )在区间[2a,4a ]上的最小值；

(3) 某高二学习研究小组通过研究发现：总存在正实数a ，b (a