利用导数研究函数的图像
《导数单调性》课件
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利用导数单调性，投资者可以评估不 同投资方案的收益和风险，选择最优 的投资策略。
供需关系分析
通过导数单调性分析，可以研究市场 供需关系的变化，预测价格波动和供 求平衡点。
导数在物理学中的应用
速度与加速度的研究
导数单调性在物理学中常用于研究物体的运动状态，如速度和加 速度的变化趋势。
热传导现象分析
通过导数单调性，可以研究热量在物体中的传递方式和速度，解释 热传导现象。
导数单调性与函数极值的关系
总结词
导数单调性是判断函数极值的重要依据
详细描述
函数极值点处的一阶导数等于0，而二阶导数决定了函数的极值是极大值还是极小值。如果二阶导数在极值点处 大于0，则该极值为极小值；如果二阶导数在极值点处小于0，则该极值为极大值。因此，通过分析导数的单调性 ，可以判断函数极值的性质。
《导数单调性》ppt课件
contents
目录
• 导数与单调性的关系 • 导数在研究函数单调性中的应用 • 导数单调性的实际应用 • 导数单调性的深入理解 • 练习与思考
01
导数与单调性的关系
导数定义与几何意义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点的切线斜率。
几何意义
导数表示函数图像在该点的切线 斜率，即函数值在该点的变化率 。
波动现象分析
导数单调性可以用于分析波动现象，如声波、电磁波等的传播规律 。
导数在工程学中的应用
01
02
03
控制系统分析
在工程学中，导数单调性 常用于分析控制系统的稳 定性，如调节水箱水位、 温度等。
结构设计优化
利用导数单调性，工程师 可以分析结构的应力分布 和变形趋势，优化结构设 计。
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
导数的基本定义与解析几何的关系
导数的基本定义与解析几何的关系导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本定义是通过极限来描述函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义，并研究导数与解析几何之间的关系。
一、导数的基本定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下极限定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个无限接近于0的数。
这个定义可以理解为当x的增量趋近于0时，函数在x点处的平均变化率。
而导数则描述了函数在x点处的瞬时变化率。
二、导数与函数的图像导数与函数的图像之间有着密切的联系。
在函数的图像中，导数可以表示为函数曲线上某点处的切线斜率。
具体来说，如果函数在某一点的导数为正，那么函数图像在该点上升；如果导数为负，函数图像在该点下降；如果导数为零，函数图像在该点处达到极值。
三、导数与解析几何导数与解析几何之间的关系非常紧密。
通过导数，我们可以研究函数图像的性质，进而对解析几何中的曲线进行分析。
1. 切线与法线导数可以帮助我们确定曲线上某点处的切线方程。
对于函数f(x)，在点(x0,f(x0))处的切线方程可以表示为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)为函数在该点处的导数。
而法线方程可以通过切线方程的斜率倒数得到。
2. 曲线的凹凸性导数还可以帮助我们研究曲线的凹凸性。
在函数的图像中，如果导数在某个区间上恒大于零，那么函数在该区间上是凹的；如果导数在某个区间上恒小于零，那么函数在该区间上是凸的。
3. 极值点通过导数，我们可以找到函数的极值点。
对于函数f(x)，极值点可以通过导数的零点来确定。
当导数从正数变为负数时，函数图像上的极大值点出现；当导数从负数变为正数时，函数图像上的极小值点出现。
四、导数的应用导数在数学和科学中有着广泛的应用。
以下是一些导数的应用领域：1. 最优化问题导数可以帮助我们解决最优化问题，例如求函数的最大值和最小值。
导数的应用(第3课时)利用导数研究函数的最值和二次函数(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修二)
在闭区间上的连续函数 ， 函数的最大值与最小 ， 可以直观地理解为在区间 I上图像为一条连绵不断的曲线的函数 ． 更精确及普适的连续函 数的定义 ， 要用到严格的极限语言 ， 在高等数学中才能给出 ．
例9.已知（f x）＝-x2＋６x 1，求函数y （f x）在区间［ ０，７］ 上的最大值与最小值
解 由本节例 ６ 可知 ， 函数 （f x）＝-x2＋６x 1 的驻点为 x ＝３ ，比较 f（ ３ ） ＝８ ， f（ ０ ） ＝－１ ， f（ ７ ） ＝－８ ， 可知该函数在 ［ ０ ， ７ ］ 上的最大值是 ８ ， 最小值是 －８ ， 如图 ５-３-３ 所示
首先 ，可以利用导数的正负来判断函数y=ax2 +bx+c（a＞０）的单调性 ， 同时求出它的极值 ．
记f (x)=ax2 +bx+c ．对该函数求导 ，可得f (x)＝２ax＋b，令f (x)＝０，
解得函数有唯一驻点x0 ＝-
b ．可以列表如下 2a
：
因此 ，函数y f (x)的单调减区间为( - ，- b ),单调增区间为(- b ，+)
当 Δ≤０ 时 ， 该不等式的解集为 Ｒ． 这就很方便地得到必修课程 第 ２ 章中的相应结论 ．
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 判断下列说法是否正确 ， 并说明理由 ： （ １ ） 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 ； （ ２ ） 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 ； （ ３ ） 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 ； （ ４ ） 函数在宋某老区师间数上学的精最品大工值作就室是它在该区间上的极大值 ．
第 5 章导数及其应用
利用导数研究函数(单调性
§3.5 利用导数研究函数(单调性、极值和凸性)一、与函数的单调性有关的一些结论定理 3.11(单调的充分必要条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则f 在[,]a b 上递增(或递减)当且仅当在(,)a b 上成立0f '≥(或0f '≤).证: “仅当”.假定f 在[,]a b 上递增.(,)x a b ∀∈,当0h b x <<-时,有()()0f x h f x h +-≥,故0()()()lim 0h f x h f x f x h→++-'=≥,即在(,)a b 上成立0f '≥.“当”.假定在(,)a b 上成立0f '≥.12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()f x f x x x --()f ξ'=0≥.这说明21()()f x f x ≥,即f 在[,]a b 上递增.□定理 3.12(严格单调的充分条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上成立0f '>(或0f '<),则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证: 12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()f x f x x x --()f ξ'= 0>.这说明21()()f x f x >,即f 在[,]a b 上严格递增.□定理 3.13(严格单调的充分条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上除去有限个点后成立0f '>(或0f '<),则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证:设12,,,n x x x ∃ ,12n a x x x b <<<<< ,在112(,),(,),,(,)n a x x x x b上成立0f '>,故f 在112[,],[,],,[,]n a x x x x b 上严格递增,从而f 在[,]a b 上严格递增.□定理 3.14(严格单调的充分必要条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减)当且仅当同时成立(1) 在(,)a b 上有0f '≥(或0f '≤)；(2) ∀开区间(,)I a b ⊂,|0I f '≠.证: “仅当”.假定f 在[,]a b 上严格递增.定理3.11确保了(1)成立；∀开区间(,)I a b ⊂,因为f 在I 上不是常数,故|0I f '≠,即(2)成立. “当”.假定(1)、(2)同时成立.定理3.11确保了f 在[,]a b 上递增,即12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,有12()()f x f x ≤.若12()()f x f x =,则12[,]|x x f 是常数,从而12(,)|0x x f '=,与(2)相矛盾,故12()()f x f x <.□ 命题 (有实用价值) 设函数,f g 都在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且在(,)a b 上成立f g ''≥(或f g ''>),那么(1) 若()()f a g a =,则(,](,]||a b a b f g ≥(或(,](,]||a b a b f g >)；(2) 若()()f b g b =,则[,)[,)||a b a b f g ≤(或[,)[,)||a b a b f g <).证: 函数f g -在[,]a b 上递增(或严格递增).(1) (,]x a b ∀∈,有()()()()0f x g x f a g a -≥-=(或()()f x g x -()f a > ()0g a -=),故(,](,]||a b a b f g ≥(或(,](,]||a b a b f g >).(2) [,)x a b ∀∈,有()()()()0f x g x f b g b -≤-=(或()()f x g x -()f b < ()0g b -=),故[,)[,)||a b a b f g ≤(或[,)[,)||a b a b f g <).□例1(必须记住) (0,)2x π∀∈,总成立不等式2sin 1x xπ<<.证: 函数1,0;()sin ,02x f x x x xπ=⎧⎪=⎨<≤⎪⎩ 在[0,]2π上连续,在(0,)2π上可导,并且(0,)2x π∀∈,总有2cos sin ()0x x x f x x-'=<.于是, 222(),()(),[0,)22f f f x x πππππ''<=⇒>∀∈.□ 二、与函数的极值有关的一些结论定理 3.15(极值的充分条件)设f 是开区间．．．(,)a b 上的连续函数,0(,)x a b ∈.那么(1) 若在0(,)a x 上成立0f '≥(或0f '>),在0(,)x b 上成立0f '≤(或0f '<),则0()f x 是f 在(,)a b 上的最大值(或严格最大值)；(2) 若在0(,)a x 上成立0f '≤(或0f '<),在0(,)x b 上成立0f '≥(或0f '>),则0()f x 是f 在(,)a b 上的最小值(或严格最小值). 证: 显然.□定理 3.16(简单情形下极值的充分条件) 设0x 是函数f 的驻点,并且0()f x ''存在,那么(1) 若0()0f x ''<,则0()f x 是f 的严格极大值；(2) 若0()0f x ''>,则0()f x 是f 的严格极小值；(3) 若0()0f x ''=,则各种情形都可能出现.证: (1) 000000()()()0()lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x →→'''-''>==--,故0δ∃>,使得当00x x δ<-<时成立0()0f x x x '<-.于是,在00(,)x x δ-上成立0f '>；在00(,)x x δ+上成立0f '<.这说明0()f x 是f 在00(,)x x δδ-+上的严格最大值,即是f 的严格极大值.(2) 与(1)的证明类似.(3) 344,,x x x -说明各种情形都可能出现.□求有限闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法 设函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导.若f 在(,)a b 上只有有限个驻点12,,,n x x x ,则12max ()max{(),(),(),,(),()}n a x bf x f a f x f x f x f b ≤≤= ； 12min ()min{(),(),(),,(),()}n a x b f x f a f x f x f x f b ≤≤= .练习题3.5(172P ) 2(3,4),3,4,5,6,7,8,9(3),11,13,15.问题3.5(175P ) 4,8,10.三、与函数的凸性有关的一些结论定义 3.6 设f 是区间I 上的函数.若12,x x I ∀∈,12x x <,(0,1)λ∈,总成立不等式1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+()1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+或,则称f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数).注意 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数),区间J I ⊂⇒|J f 是区间J 上的凸函数(或严格凸函数).凸函数的几何意义 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数)⇔ 12,x x I ∀∈,12x x <,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于(或严格位于)12(,)|x x f 的图像的上方.证: 12(0,1),(,)x x x λ∀∈∃∈使得121x x x x λ-=-；反之亦然.于是 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+⇔2121121221212121()()x x x x x x x x f x x f x f x x x x x x x x x ⎡⎤----+≤+⇔⎢⎥----⎣⎦ 211121()()()()()f x f x f x x x f x x x -≤-+-.□ 注记 3.6' 函数f 是开区间(,)a b 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) f 在(,)a b 上连续；(2) 12,(,)x x a b ∀∈,12x x <,总成立不等式121211()()222x x f f x f x +⎫⎛≤+ ⎪⎝⎭ 121211()()222x x f f x f x +⎫⎛⎫⎛<+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭或. 证: “仅当”.假定f 是开区间(,)a b 上的凸函数.由问题3.5的第1(3)题便知(1)成立；由凸函数的定义便知(2)成立.“当”.假定(1),(2)成立.由(2)的几何意义和f 的连续性,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.这表明f 是(,)a b 上的凸函数.□注记3.6'' 设I 是以,a b 为左、右端点的区间,那么函数f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) f 是(,)a b 上的凸函数(或严格凸函数)；(2) 当a I ∈时,lim ()()x a f x f a →+≤；当b I ∈时,lim ()()x b f x f b →-≤. 证: “仅当”.假定f 是I 上的凸函数.由凸函数的定义便知(1)成立.由定理 3.19的推论知,lim ()x a f x →+和lim ()x b f x →-都存在.固定0(,)x a b ∈. 0(,)x a x ∀∈,有00()()()()()f x f a f x x a f a x a-≤-+-⇒lim ()()x a f x f a →+≤；0(,)x x b ∀∈,有0000()()()()()f b f x f x x x f x b x -≤-+-⇒lim ()()x b f x f b →-≤. “当”.假定(1),(2)成立.由凸函数的几何意义,12,x x I ∀∈,12x x <,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.这表明f 是I 上的凸函数.□定理3.17(J ensen 不等式)若f 是区间I 上的凸函数,则1,,n x x ∀ I ∈, 1,,0n λλ> ,11n λλ++= ,总成立不等式1111()()()n n n n f x x f x f x λλλλ++≤++ .当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12n x x x === .证: 不妨设 12n x x x ≤≤≤ ,显然1111n x x x λλ=++ 11x λ≤+n n x λ+ 1n n n n x x x λλ≤++= .这说明不等式的左边有意义.对n *∈ 应用数学归纳法.(1) 当1n =时,11λ=,故1111()()f x f x λλ=.(2) 假定当n k ≤时结论成立,要证当1n k =+时结论也成立.令1μ= 111,,011k k k k λλμλλ++=>-- ,则11k μμ++= ,故由归纳法假定便得到 1111()k k k k f x x x λλλ+++++11111[(1)()]k k k k k f x x x λμμλ+++=-+++11111(1)()()k k k k k f x x f x λμμλ+++≤-+++11111(1)[()()]()k k k k k f x f x f x λμμλ+++≤-+++1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++ .当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12k x x x === ,111k k k x x x μμ+++= ,即121k x x x +=== .□定理3.18 (J ensen 不等式的另一形式) 若f 是区间I 上的凸函数,则1,,n x x ∀ I ∈,1,,0n ββ> ,总成立不等式 1111111()[()()]n n n n n nx x f f x f x ββββββββ++≤++++++ . 当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12n x x x === . 定理3.19 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数)⇔∀固定的0x I ∈,函数00()()()f x f x x x x ϕ-=-在0\{}I x 上递增(或严格递增). 证: ⇒.假定f 是I 上的凸函数.12,x x ∀0\{}I x ∈,12x x <,下述三个不等式120x x x <<,102x x x <<和01x x <2x <恰有一个成立.由凸函数的几何意义即知12()()x x ϕϕ≤.⇐.假定∀固定的x I ∈,函数()()()f y f x y y xϕ-=-在\{}I x 上递增.12,x x I ∀∈,12x x <,当12(,)x x x ∈时,总成立121212()()()()()()f x f x f x f x x x x x x xϕϕ--=≤=--. 这说明以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.故f 是区间I 上的凸函数.□推论 设f 是开区间(,)a b 上的凸函数,那么(1) 若a ≠-∞,则lim (){}x a f x →+∈+∞ ；若a =-∞,则lim ()x f x ∞→-∞∈ . (2) 若b ≠+∞,则lim (){}x b f x →-∈+∞ ；若b =+∞,则lim ()x f x ∞→+∞∈ . 证: 仅证(1).当a ≠-∞时,对固定的0(,)x a b ∈,00()()()f x f x x x x ϕ-=-在0(,)\{}a b x 递增,00()()()()f x x x x f x ϕ=-+,故0lim ()()lim ()x a x a f x a x x ϕ→+→+=-0(){}f x +∈+∞ .当a =-∞时,只需考虑f 不在(,)b -∞上递增的情形.取12,(,)x x b ∈-∞, 12x x <,使得12()()f x f x >.因为22()()()f x f x x x x ϕ-=-在1(,]x -∞上递增,故1lim ()()0x x x ϕϕ→-∞≤<,从而 2lim ()lim ()()x x f x x x x ϕ→-∞→-∞=-2()f x +=+∞.□ 定理 3.20 设I 是以,a b 为左、右端点的区间.若函数f 在I 上连续,在(,)a b 上可导,则f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当f '在(,)a b 上递增(或严格递增).证: 仅证严格的情形.“仅当”.假定f 是I 上的严格凸函数.12,x x ∀(,)a b ∈,12x x <和12,(,)x y x x ∈,分别对111()()()f x f x x x x ϕ-=-和222()()()f x f x x x x ϕ-=-应用定理3.19便有 12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f y x x x x x y---<<---. 令12,x x y x →+→-,得到211221()()()()f x f x f x f x x x -''<<-.这说明f '在(,)a b 上严格递增.“当”.假定f '在(,)a b 上严格递增.0x I ∀∈,记00()()()f x f x x x x ϕ-=-.则当0(,),x a b x x ∈>时,0(,)x x ξ∃∈使得00()()f x f x x x --()f ξ'=,故 0000()()()()()()0f x f x f x x x f x f x x x x x ξϕ-'-''--'==>--. 当0(,),x a b x x ∈<时,0(,)x x η∃∈使得00()()f x f x x x--()f η'=,故 0000()()()()()()0f x f x f x x x f f x x x x x xηϕ-'-''--'==>--.这说明ϕ在0\{}I x 上严格递增,从而f 是I 上的严格凸函数. 定理 3.21 设I 是以,a b 为左、右端点的区间.若函数f 在I 上连续,在(,)a b 上2阶可导,则f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当在(,)a b 上成立0f ''≥(或在(,)a b 上成立0f ''≥,并且(,)(,)c d a b ∀⊂都有(,)|0c d f ''≠).证: 由定理3.20和定理3.14.□例2(几何平均不大于算术平均) 12,,,0n x x x ∀> ,有不等式11212()n nn x x x x x x n+++≤ . 等号成立当且仅当12,n x x x === . 证: 在(0,)+∞上成立211(ln )()0x x x'''-=-=>,故ln x -是(0,)+∞上的严格凸函数,从而1212ln ln ln ln n n x x x x x x n n +++----⎫⎛-≤ ⎪⎝⎭, 11212ln()ln n n n x x x x x x n +++⎫⎛≤ ⎪⎝⎭.□ 例3(算术平均不大于均方根) 12,,,0n x x x ∀> ,有不等式12n x x x n +++≤ . 等号成立当且仅当12,n x x x === .证: 在(0,)+∞上成立11322211024x x x --'''⎫⎫⎛⎛-=-=>⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭,故12x -是(0,)+∞上的严格凸函数,从而122221212n n x x x x x x n n ⎫⎛++++++-≤-⎪ ⎝⎭ .□ 练习题3.5(172P ) 17,19(2,3,4),20,21,22,23.问题3.5(175P ) 1,2,3,9.§3.6 L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则可以认为是连续型的Stolz 定理；Stolz 定理也可以认为是离散型的L ’Hospital 法则.定理3.22和3.23(00型)设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上可导,并且,g g '在0x 的去心邻域上处处不取零值.若00lim ()lim ()0,x x x x f x g x →→==0()lim ()x x f x g x →'' {}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.证: 设0δ>是足够小的常数.当00(,)x x x δ∈+时,在0[,]x x 上应用Cauchy 中值定理知,0(,)x x ξ∃∈使得 ()()f x g x 00()()()()()()f x f x fg x g x g ξξ'-+=='-+.故0()lim ()x x f x g x →+l =；同理,0()lim ()x x f x g x →-l =. 对于“x →∞”的情形, 有 2002111()lim lim lim 111()x t t f f f x t t t g x g g t t t →∞→→⎫⎫⎫⎛⎛⎛'- ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭==⎫⎫⎫⎛⎛⎛'- ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 01()lim lim 1()t x f f x t l g x g t →→∞⎫⎛' ⎪'⎝⎭==='⎫⎛' ⎪⎝⎭.□ 推论1(00型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上n 阶可导,并且,,,g g ' ()n g 在0x 的去心邻域上处处不取零值.若 00lim ()lim ()x x x x f x f x →→'=== 0(1)lim ()n x x f x -→0lim ()x x g x →==00(1)lim ()lim ()0n x x x x g x g x -→→'=== ,0()()()lim ()n n x x f x g x →{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.定理3.24 (?∞型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上可导,并且,g g '在0x 的去心邻域上处处不取零值.若0lim ()x x g x →=∞,0()lim ()x x f x g x →''{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.证: 仅证l ∈ 和l =∞,并且是0x x →的情形.(1)l ∈ . 0,0εδ∀>∃>,使得当002x x δ<-<时成立()()f x l g x ε'-<'.故当 00(,)x x x δ∈+时, 在0[,]x x δ+应用Cauchy 中值定理知,ξ∃∈0(,)x x δ+使得 00()()()()()()f x f x f l lg x g x g δξεδξ'+--=-<'+-,从而 0000()()()limsuplimsup ()()()x x x x f x f x f x l l g x g x g x δεδ→+→++--=-≤+-. 故 0()limsup0()x x f x l g x →+-=,即0()lim ()x x f x l g x →+=；同理,0()lim ()x x f x l g x →-=. (2)l =∞. 0,0A δ∀>∃>,使得当002x x δ<-<时成立()()f x Ag x '>'.故当 00(,)x x x δ∈+时, 在0[,]x x δ+应用Cauchy 中值定理知, ξ∃∈0(,)x x δ+使得00()()()()()()f x f x f Ag x g x g δξδξ'+-=>'+-,从而 0000()()()liminf liminf ()()()x x x x f x f x f x A g x g x g x δδ→+→++-=≥+-. 故 0()liminf ()x x f x g x →+=+∞,即0()lim ()x x f x g x →+=∞；同理,0()lim ()x x f x g x →-=∞.□ 推论2(?∞型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上n 阶可导,并且,,,g g ' ()n g 在0x 的去心邻域上处处不取零值.若 0lim ()x x g x →=0lim ()x x g x →'==0(1)lim ()n x x g x -→=∞,0()()()lim ()n n x x f x g x →{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.注记 易将“0⋅∞型,∞-∞型,00型,0∞型,1∞型”的极限化成“00型”或“?∞型”的极限,再利用L ’Hospital 法则求出来.例1(必须记住) 对于常数0μ>,有0lim ln 0x x x μ→+=；0lim 1x x x →+=. 解: ()10000ln ln 11lim lim lim lim 0()()x x x x x x x x x x x μμμμμμ----→+→+→+→+'===-='-. 00lim ln lim ln 0x x x x x x →+→+==,故0lim 1x x x →+=.□ 例2(一个错误的循环证明) 利用L ’Hospital 法则来证明0sin lim 1x x x→=是错误的.因为在000sin (sin )cos lim lim lim 1()1x x x x x x x x →→→'==='中,(sin )cos x x '=这一步用到了0sin lim 1x x x →=.□ 例3(问题1.12的第4题,52P ) 证: 10sin (0,)2x x π=∈,故数列{}n x 严格递减收敛于0.由Stolz 定理，2221222111111lim lim lim lim (1)sin n n n n n n n n nn x x x nx n n n x x +→∞→∞→∞→∞-⎫⎛===-⎪ +-⎝⎭ 22011lim sin x x x →+⎫⎛=-= ⎪⎝⎭222222400sin (sin )lim lim sin ()x x x x x x x x x →+→+'--=' 30(2sin 2)lim 4()x x x x →+'-='200(22cos2)4sin 21lim lim 12()243x x x x x x →+→+'-==='.□ 练习题3.6(182P ) 1(6,8,10,12,13),2,3,4.。
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
导数与函数图像的关系分析
导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。
导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。
一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。
对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。
这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。
计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。
对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。
对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。
通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。
当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。
通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。
当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。
而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。
三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。
通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。
当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。
通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
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曲线弯曲方向—凹凸性
观察右图：
当x从小变大时， f ( x )也从小变大.
f ( x ) 0
y
y f ( x)
切线的斜率 越来越大
f ( x )单调增加
o x
f ( x )的图像为凹弧
观察右图：
当x从小变大时， f ( x )从大变小.
y
切线的斜率越 来越小
f ( x ) 0
f ( x )单调减少
o
y f ( x)
x
f ( x )的图像为凸弧
二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二
阶导数为零，且两侧异号，是拐点.
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
2 y 3 x , y 6 x , D : ( , ). 解
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时，y 0,
曲线 在[0, )为凹的.
注意到点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
拐点
凹 弧
y x
3
凸 弧
分界 点
谢谢
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a
o
x0
b
xHale Waihona Puke a ox0b
x
函数的最值
最大值：
一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足： ⑴任意的x属于I,都有f(x) ≤M ⑵存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值。
最小值： 一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：
⑴任意的x属于I,都有f(x) ≥M ⑵存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。 对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个 端点值比较得到最值”
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 则 : MP x , MQ y ,
P
β
y=f(x)
Q
Δy
Δx
M
y tan . x
O
x
y 请问： 是割线PQ的什么? x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
由上我们可得以下的结论: 定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内 有导数,如果在 这个区间内 f ( x) >0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f ( x) <0, 那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
x
o
函数及图象
y
o y
y f ( x)
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
f ( x) x2
在(,0)上递减
在(0, )上递增
负 正 正
负 正 正
x
在区间(a,b) 上递增
b x
o a
y
y f ( x)
在区间(a,b) 上递减
负
负
o a
b x
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
函数的极值定义
、
y
y
已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点， •如果对X0附近的所有点X，都有f(x)<f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把 X0称为函数f(x)的一个极大植点。 •如果对X0附近的所有点X，都有f(x)>f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把X0称 为函数f(x)的一个极小植点。 ◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小 值点统称为极值点
利用导数研究函数的性质
主要内容：
一、函数的单调性，极值，最 值 二、利用导函数的单调性研究函数图 像的凹凸性
在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的