关于四元数矩阵的一些不等式
Ｖｏ １ ． ３１ ＮＯ． ３
重 庆工 商大 学 学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ）
２ ０ １ ４年 ３月
ＢＵ ２＝ｄ ｉ ａ ｇ （ ｌ ｆ 。 ， ２ ， …， ｐ ）
２ ． １ Ｗｉ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ － Ｈ ｏ ｆ ｆ ｍａ ｎ定理在 四元数 矩 阵上 的推 广
定理 １ 设 Ａ ∈Ｈ（ ｎ ， ％） ， Ｃ ∈Ｈ（ ｎ ， ） ， 且 Ｂ＝Ｃ—Ａ ． 其 特 征值 从 大到小 依 次分 别是 Ｏ ｔ ≥ Ｏ ｔ ≥ … ≥
Ｏ ｔ ， ｙ 。 ≥ ２ ≥… ≥ ， 卢 １ ≥ 卢 ２ ≥…≥卢 ． 如 果Ａ ｃ ＝ Ｃ Ａ ， 则∑ （ ｙ ｉ — Ｏ ｔ ｉ ） ≤∑ｐ ≤∑（ ｉ — 一 ＋ １ ） ．
Ｑ （ Ａ ） ＝ （ 熹 Ａ ） 一 ２ ； （ Ａ ） ＝ 耋 Ａ
Ｇ （ Ａ ） ＝ （ ＨＡ ） ； 日 （ ） ＝ ｍ （ ∑Ａ ）
引理 １ ¨ 设Ａ Ｅ 日（ ｎ ， ） ， 则 Ａ酉相似于实 对角矩阵 ， 即存在 Ｕ∈Ｈ（ ｎ ， ｕ ） ， 使得 Ｕ Ａ Ｕ＝ ｄ ｉ ａ ｇ （ Ａ ， Ａ ： ， …， Ａ ） ， 其中Ａ 。 ， Ａ ： ， …， Ａ ∈ Ｒ为 Ａ的 ｎ 个特征值．
中图分 类号 ： Ｏ１ ５ ２ ． ２ １ 文献标 志 码 ： Ａ
近年 来 ， 对 四元 数 体上代 数 问题 的研 究越 来 越 深 入 ， 而 四元 数 本 身在 众 多 的应 用 问 题 中也 存 在 广 泛 的
联系（ 如 四元数在量子力学 、 刚体力学方面的应用） ， 四元数在计算机图形 图像处理 、 识别和空间定位方 面的 应用 ， 引起 了国内外许多学者对 四元数体的研究与关注． 此处将一些数学中经典的初等不等式推广到了四元
定义３ 设 ∈／ － Ｆ ， 称∑口 为 矩阵Ａ 的 迹， 记 为Ｔ ｒ （ Ａ ） ， 即Ｔ ｒ （ Ａ ） ＝ ∑０
厂 — 一
定 义４ 设Ａ ＝ａ ） ∈ ， 称Ｉ ｌ Ａ ＝ ＾ ／ ∑ 为 矩 阵Ａ 的 欧 式 范 数， 即 矩 阵Ａ 的Ｆ ｒ ｏ ｕ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 范 数 ．
引理２ 。 设Ａ∈日 （ ｎ ， ， ｌ ＝ ） ， Ａ ， ， Ａ ： ， …， Ａ Ｅ Ｒ为Ａ的ｎ 个特征值， 则Ｔ ｒ （ Ａ ） ＝∑Ａ ．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — ２ ０ ； 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ —１ ０ — ２ ２ ．
作者简 介 ： 宋雪 （ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女， 山东 临沂人 ， 硕士研究生 ， 从事矩阵理论及数值代数的研究
式和 Ｍｉ ｎ ｋ ｏ ｗ ｓ ｋ ｉ 不等式推 广 到 了四元数 矩 阵上 ． 关键 词 ： 自共轭 四元数 矩 阵 ； Ｗｉ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ — Ｈｏ ｆ ｆ ｍ ａ ｎ定 理 ； Ｈ ￣ ｉ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式 ； Ｙ ｏ ｕ ｎ ｇ不 等式 ； Ｍ ｉ ｎ ｋ ｏ ｗ ｓ ｋ ｉ 不等 式
Ｍａ ｒ ．２ ０ｌ ４
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ ０ ３ ０ — ０ ４
关 于 四元 数 矩 阵 的一 些 不 等 式
宋 雪， 冉 慧
（ 重庆大学 数学与统计学 院， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
摘
要： 讨 论 了四元 数矩 阵的一 些 不等 式 ， 将 经 典 的 Ｗｉ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ － Ｈ ｏ ｆ ｆ ｍａ ｎ定理 、 ＨＯ ｌ ｄ ｅ ｒ 不 等式 、 Ｙ ｏ ｕ ｎ ｇ不 等
引理 ４
＋ 。 ≤Ｔ ｒ （ Ａ Ｂ ） ≤∑ ．
设 Ａ ∈Ｈ （ ｎ ， ） ， 则存在实数 ａ＞０ ， 使得 Ａ＋０ 正定．
引 理５ 设Ａ∈ Ｈ （ ｎ ， ） ， 则Ｔ ｒ （ Ａ ） ＝ Ｔ ｒ （ Ａ Ａ ） ＝ ∑∑ ｌ ．
２ 主 要 结 果
数矩 阵上 ．
１ 定 义 和 引理
定义 １ 设 Ａ∈ ， 如果 ＝ Ａ， 则称 Ａ是 日上的一个 阶自共轭矩阵， 其全体记为 Ｈ （ 凡 ， ） ．
定 义 ２ 设 Ａ∈／ － Ｆ ， 如果 Ａ Ａ＝ Ａ Ａ ＝ ， ， 则 称 Ａ是 日上 的一个 ｎ阶酉 矩 阵 ， 其全 体记 为 Ｈ（ ｎ ， ｕ ） ．
定义 ５ 设 Ａ∈ ， 如果 Ａ Ａ＝ Ａ Ａ ， 则 称 Ａ是 正规 矩 阵． 定义 ６ 设 Ａ 。 ， Ａ 。 ， …， Ａ （ ｍ≥２ ） 为可交 换 的 ｎ阶 四元数 正 规 矩 阵 ， 它们 的平 方平 均 、 算 术 平均 、 几何 平 均 和 调和平 均 分别定 义 为
证 明 （ ｉ ） 若Ａ ＞ Ｏ， 由于 Ａ∈Ｈ（ ｎ ， ： ． ｃ ） ， Ｃ∈Ｈ（ ｎ ， ） ， Ｂ＝ Ｃ － Ａ， 可 知 Ｂ∈Ｈ（ ｎ ， ， 一 ： ） ＿ 贝 ４ 由引理 １ ， 存 在酉矩 阵 Ｕ １ ， Ｕ ２ ， Ｕ ３ ， 使 得
Ｕ １ Ａ Ｕ １ ＝ｄ ｉ ａ ｇ （ Ｏ Ｌ １ ， Ｏ ｔ ２ ， 四元数矩阵 的一些不等 式
３ ｌ
引理 ３
设 Ａ ∈Ｈ（ ｎ ， ； Ｉ ｃ ） ， Ｂ ∈Ｈ（ ｎ ， ， Ｉ ： ） ， 且Ｏ ｌ １ ≥Ｏ ｌ ２ ≥ … ≥０ ｃ ， 卢１ ≥ ２ ≥ … ≥卢 分别 为 Ａ， Ｂ的特
征 值， 如果Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ａ ， 则∑
四元数矩阵的列左秩.pdf
!第!"卷!第#期!$%%"年#月"学术论文"四元数矩阵的列左秩"冯良贵国防科技大学理学院数学与系统科学系#长沙+!$$)&!"$$’($%(&!收稿#"$$’(!!($+收修改稿!"国家自然科学基金资助项目$批准号%!$+)!$+’&"教育部留学回国基金及国防预研项目资助!,(-./0%D 84606"$$"!R .H B B #5B -摘要!!建立了四元数矩阵列右秩与列左秩的关系不等式!解决了一类满足列左秩条件的矩阵方程的解存在性问题!给出了一类列左秩与列右秩相等的自共轭四元数矩阵!并针对此类矩阵中的任意两元5和6!构造性地得到了5与6可换的充要条件!进一步就5与6可换情形下!证明了56的列左秩与列右秩仍相等7最后!就四元数矩阵列左秩的几个相关问题!通过举例作出了回答7关键词!!列左秩!列右秩!自共轭四元数阵!!由于四元数矩阵在许多领域#如量子力学)!*"控制理论)"*"陀螺技术)&*"刚体力学)+*等有着广泛的应用#从而吸引了众多学者对四元数矩阵代数展开研究)’+)*7四元数矩阵的一个基本的"重要的数值特征是它的秩7然而由于四元数的不可交换性#导致对四元数矩阵的秩的剖析远没有像对复数域上矩阵秩的剖析那么简单7让8表四元数阵#5$;19:7将5写成5;$-/<&19:;$"!#0#":&;$#!#0##:&Q #其中"<;$-!<#0#-1<&Q#<;!#0#1!#/;$-/!#0#-/:&#/;!#0#1#则称列向量组1"!#0#":2的极大右线性无关组的元素个数为5的列右秩#记为.S $5&7称列向量组1"!#0#":2的极大左线性无关向量组的元素个数为5的列左秩#记为.:$5&7到目前为止#人们对四元数矩阵秩的认识主要集中在5的列右秩上$如文献)%*定义+7!#文献)’#T *等&7然而#四元数矩阵的列右秩与列左秩之间的关系到底如何#人们却还不明晰7本文中#我们首先建立起四元数矩阵列右秩与列左秩的一个关系不等式$定理!#!&#接着在第"节中#解决了一类满足列左秩条件的矩阵方程的解存在性问题$定理"#!&#在本文的第&节中#我们首先给出两个四元数矩阵^.1.-.F 1积的列左秩估计式#然后给出一类列左秩与列右秩相等的自共轭四元数矩阵7针对此类矩阵中的两个矩阵5和6#我们给出5与6可换的一个等价刻画#并就5#6可换情形下#证明它们的积的列左秩与列右秩仍相等7最后#作为本文的最后一节#我们就四元数矩阵列左秩的几个相关问题#通过举例作出了回答#并指出文献)!$*中定理+7&7&中的!a %&a 不成立7相信本文的结果对诸如四元数力学等的许多学科的发展也将起到重要的作用7!!四元数矩阵的列左秩与列右秩设5$;:9:#两个已知的结果是%5的列右秩;5的行左秩;!"秩$5=&;!"秩$5>&!5的列左秩;5的行右秩;!"秩$$5Q &=&;!"秩$$5Q &>&#其中5=#5>分别表5的导出阵与复表示7容易知道#事实上5>与5=是相似的7由于在四元数阵中#56一般不等于5+6+#也不一定等于6+5+!$56&Q 一般不等于6Q 5Q #也不等于5Q 6Q 7因此#一般地5的列右秩&5的列左秩#即使5为广义酉阵的情形7例如%)&’让#;!"$"%"&’()*"#则5"5;?#但.S $5&;"#.:$5&;!7!!那么#5的列右秩与5的列左秩有怎样的关系呢,本节我们首次给出该问题的一个回答7定理!7!!设5$19:#则有5的列右秩++. $5的列左秩&!5的列左秩++.$5的列右秩&7证明!设5的列右秩为$#于是,可逆阵@$ ;191#可逆阵A$:9:#E#@##;@1/.6$!#0#-./!$#$#0#$&A;@1/.6$!#$#0#$&A B0B@1/.6$$#0#$#!#$#0#$&A#令’;(!!#0#(!1 3(1!#0#(’()*11#(;C!!#0#C!:3C:!#0#C’()*::#于是#;$(!!#0#(1!&Q$C!!#0#C!:&B0B$(!$#0#(1$&Q$C$!#0#C$:&7为方便#记$(!##0#(1#&Q;$#!#0##1&Q#$C#!#0#C#:&;$"!#0#":#;$#!#0##1&Q$"!#0#":&#则有#Q#;#!"!#0##1"!3#!":#0##1"’()*:;)0/<*#其中0/<;#<"/$/;!#0#:#<;!#0#1&7于是.:$5#&;.S$5Q#&7现取"/##<的复数表示% "/;D/!B D/"%#!#<;E<!B E<"%#这里D/!#D/"#E<!#E<"$7于是#<"/;$E<!B E<"%&$D/!B D/"%&;E<!D/!B E<!D/"%B E<"%D/!B E<"%D/"%;$E<!D/!F E<"D/"&B$E<!D/"B E<"D/!&%7因此5Q#;)0/<*;)D/!E<!*F)D/"E<"*B)D/"E<!*%B)D/!E<"*%#从而.S$5Q#&++7对5#有.:$5&;.S$5Q&++.$7定理获证7由定理!7!的证明易知%推论!7!!对列右秩为!的矩阵#;$#!#0##1&Q$"!#0#":&7若#!#0##1关于1$#%#&2的某元的分量均为$#或"!#0#":关于1$#%#&2的某元的分量均为$#则有5的列左秩+&7"!一类满足列左秩条件的矩阵方程的解存在性问题!!回顾%一个四元数矩阵被称为是中心封闭阵是指%它能相似于一个实对角形的矩阵#熟知#05#6$;:9:#若56;$#则有5=6=;$#从而由复数域上的矩阵的结果知#F.4V5=B F.4V6=+":#!"F.4V5=B!"F.4V6=+:#即有.S$5&B.S$6&+:7自然一个问题是%05$;:9:#是否一定存在6$中心封闭阵#使得5+6+;$#但.:$5&B.:$6&;:呢,答案是肯定的7现给定5$;:9:#我们讨论关于G的矩阵方程%5+G+;$#G$中心封闭阵.:$5&B.:$G&;1:的解存在性问题7定理"7!!05$;:9:#,6$;:9:#6为中心封闭阵#使得5+6+;$且.:$5&B.:$6&;:7证明!设A8为:维右8向量空间#1"!#0# ":2为A8的一组基7让H%A8#A8为H$"!#0#":&;$"!#0#":&5的线性变换7取1H的一组基1D!#0#D$2#$;5的列右秩7于是$;5的列左秩.:$5&7将1D!#0#D$2扩展为A8的一组基%D!#0#D$#D$B!#0#D:7分别取出D!#0#D$关于H的一个原像%E!#0#E$7于是E!#0#E$右线性无关7再取1E$B!#0#EI2为J".H的一组基$当然#当J".H;$时#则不取&7容易知道#1E!#0#E$#E$B!#0#EI2右线性无关7另一方面#0D$A#H D;D!-!B0B D$-$;H$E!-!B0B E$-$&#因此D F$E!-!B0B E$-$&$J".H7因此#1E!#0#E$#E$B!#0#EI2仍构成A的一组基7注意到除环是Y d J环#故有I;:7构造线性变换%%A8#A8为%$D!#0#D$#D$B!#0#D:&;$E!#0#E$#E"B!#0#E:&#并记%在基1"!#0#":2下的表示阵为K7于是K可% &’!第!"卷!第#期!$%%"年#月逆且$K15&";K157由K可逆得15K15;157令6;K15F?#则有1526;$#且.:$6&; .S$K15F?&7最后注意到%H满足%%H$E!&;E!#0#%H$E$&;E$#%H$E$B!&;$#0#%H$E:&;$7因此%&在基1E!#0#E$#E$B!#0#E:2下的表示阵为% 1/.6$!#0#-./!$#$#0#$&7让$"!#0#":&;$E!#0#E:&8#则8可逆#于是1/.6$!#0#!#$#0#$&8;8K15!K15F?;8F!1/.6$$#0#$#F!#0#F!&K15F?为中心封闭阵#且.S$K15F?&;:F$#即有.:$5&B.:$6&;:7定理获证7#!四元数矩阵积的列左秩在四元数8中#我们首先给出如下定义%我们称B$#B%#B&为8的三个分支#分别记为K!-#K"-#K&-701$J及任给$-!#0#-1&Q$819!#若-!#0#-1同属于S B S$#则称列$-!#0#-1&Q为一个K!-列!若-!#0#-1同属于B%#则称$-!#0#-1&Q为一个K"-列!若-!#0#-1同属于B&#则称$-!#0#-1&Q为一个K&-列7显然列$-!#0#-1&Q若同时为K!-列"K"-列和K&-列#则必有$-!#0#-1&Q$S19!7对@$19:#我们定义@为一个强广义酉阵是指% @是广义酉矩阵$/#87@"@;?&且@的每一列均是K!-列"K"-列和K&-列中的某一个7本节我们首先给出两个四元数矩阵^.1.-.F1积的列左秩估计式#然后给出一类列左秩与列右秩相等的自共轭四元数矩阵#征对此类矩阵中的两个矩阵5和6#我们给出了5与6可换的一个等价刻画#并就5#6可换的情况下#证明它们的积的列左秩与列右秩仍相等7定理#7!!设5#6$19:#5的列右秩为.# 6的列右秩为07则536的列左秩+!*.07这里5 36表5与6的^.1.-.F1积7证明!由.S $5&;.得5;5!B0B5.#其中5/;$(!/#0#(1/&Q$C/!#0#C/:&由.S$6&;0得6;6!B0B60#其中6<;$"!<#0#"1<&Q$#<!# 0##<:&7于是5的$##*&位置的元素-#*;4./;!(#/C/*# 6的$##*&位置的元素)#*;4<;!"#<#<*7结果!536;)&#**#其中&#*;4./;!(#/C$&/*. 4<;!"#<#<$&*;4./;!4<;!$(#/C/*."#<#<*&7利用四元数的复数表示易知#536的列右秩.S$536&++.07因此利用定理!7!知7.:$536&+!*.07定理获证7定义#7!!设5$;:9:75称为是强自共轭阵是指%5$L M:$8&#且,强广义酉阵@#E#@#@"5@为对角阵7若5为一个强自共轭阵#则记为5$ L L M:$8&7定理#7"!设5#6$L L M:$8#6均有:个不同的特征值7则.:$5&;.S$5&#.:$6&; .S$6&#且有以下两条等价%$!&56;65!$"&5Q6Q;6Q5Q7进一步#当5#6可换时#有.:$56&;.S$56&+ -/41.:$5&#.:$6&27为证本定理#先证如下引理%引理#7!!设5#6$L M:$8&#则以下两条等价% $!&56;65!$"&,M$L M:$8&及实系数多项式K$D&# 8$D&使得5;K$M8$M&7证明!5$L M:$8&#于是由5的谱分解定理知5可表为%5;!!’!B0B!+’+#其中!!#0#!+#’!#0#’+满足下列条件%$/&!!#0#!+是5的所有互不相同的特征值!$//&’/’<;$#!/&<’/!/;<1!$///&’"/;’/&$#/;!#0#+!$/Z&’!B0B’+;?5’(7构造K#$D&为$D F!!&0$D F!#F!&$D F!#B!&0$D F!+&/$!#F!!&0$!#F!#F!&$!#F!#B!&0$!#F !+&#于是K#$5&;’#7同样6可表为6;’!N!B0B’4N4#T&’!第!"卷!第#期!$%%"年#月其中’!#0#’4和N !#0#N 4满足’!#0#’4是6的所有互不相同的特征值!N /N <;$!/&<#N /#/;<1!N "/;N /&$#/;!#"#0#4!N !B 0B N 4;?5’(7现取+4个不同的实数./<$/;!#0#+#<;!#0#4&7令M ;4/#<./<’/N <7由56;65#从而5的任何实系数多项式与6的任何实系数多项式皆可换#因此有’/与N <皆可换#从而易知M $L M :$8&7又取1./<6/;!#0#+!<;!#0#42到1!/6!;!#0#+2的映照>为%>$./<&;!/#且取1./<6/;!#0#+!<;!#0#4&到1’<6<;!#0#42的映照%为%%$./<&;’<7构造实系数多项式K #*$D &为7$/#<&&$##*&$D F ./<&/7$/#<&&$##*&$.#*F ./<&7则有K #*$./<&;!#$/#<&;$##*&时#$#$/#<&&$##*&时17再取实系数多项式K $D &;4##*>$.#*&K #*$D &#于是有K $M &;K 4/#<./<’/N $&<;4/#<K $./<&’/N <;4/#<>$./<&’/N <;4/#<!/’/N <;57而取实系数多项式8$D &;4##*%$.#*&K #*$D &时#则有8$M &;84/#<./<’/N $&<;4/#<’<’/N<;67引理获证7定理#7"的证明!$!&8$"&756;65#因此由引理&7!知#,M $L M :$8&及实系数多项式>#%#使得5;>$M %$M &7让M ;A 1/.6$&!#0#&:&A "#其中A A ";?#&!#0#&:$7则有5;A 1/.6$>$&!�#>$&:&&A ";@1/.6$!!#0#!:&@"#其中!!#0#!:$S #@@";?#@;(!!#0#(!:3!!3(:!#0#(’()*::#@的每列均在同一分支中#由!!#0#!:各不相同#因此#>$&!�#>$&:&是!!#0#!:的一个排列7结果令A ;C !!#0#C !:3!!3C :!#0#C ’()*::#则有C !!3C :’()*!;(!/!3(:/’()*!-/!#0#C !:3C ’()*::;(!/:3(:/’()*:-/:#其中1/!#0#/:2为1!#"#0#:2的一个排列#-/I;!#$I ;!#0#:&7这主要归功于%不失一般性#$C !!#0#C :!&Q是$5F >$&!&?&G ;$的解7而>$&!&必等于1!!#0#!:2中的某元$记为!/!&且$(!/!#0#(:/!&Q 也是$5F >$&!&?&G ;$的解7由!/!的特征空间是一维的得到6-/!6;!7注意到6;%$M &#因此有6;A 1/.6$%$&!�#%$&:&&A ";%$&!&A 1/.6$!#$#0#$&A "B 0B %$&:&A 1/.6$$#0#$#!&A ";%$&!&C !!3C :’()*!$9C !!#0#9C :!&B 0B %$&:&C !:3C ’()*::$9C !:#0#9C ::&;%$&!&(!/!3(:/’()*!-/!.$9-/!9(!/!#0#9-/!9(:/!&B 0B $+’!第!"卷!第#期!$%%"年#月%$&:&(!/:3(:/’()*:-/:.$9-/:9(!/:#0#9-/:9(:/:&;%$&!&(!/!3(:/’()*!$9(!/!#0#9(:/!&B 0B %$&:&(!/:3(:/’()*:$9(!/:#0#9(:/:&7这表明5#6可同时强酉对角化7现在#5#6可分别分解为5;!!(!!3(:’()*!$9(!!#0#9(:!&B 0B !:(!:3(’()*::$9(!:#0#9(::’!(!!3(:’()*!$9(!!#0#9(:!&B 0B ’:(!:3(’()*::$9(!:#0#9(::&#其中@;(!!#0#(!:33(:!#0#(’()*::为某强广义酉阵#!!#0#!:是5的:个特征值#’!#0#’:为6的:个特征值7结果5Q ;!!9(!!39(:’()*!$(!!#0#(:!&B 0B !:9(!:39(’()*::$(!:#0#(::Q ;’!9(!!39(:’()*!$(!!#0#(:!&B 0B ’:9(!:39(’()*::$(!:#0#(::&7记O /;9(!/39(’()*:/$(!/#0#(:/&#则有O /O <;9(!/39(’()*:/$(!/#0#(:/&9(!<39(:’()*<$(!<#0#(:<&7由于(!/#0#(:/同属于一个分支且(!<#0#(:<也同属于一个分支#因此不妨设(!/#0#(:/$S B S $#(!<#0#(:<$S B S %#并让(#/;-#/B )#/$#(#<;&#<B =#<%#则由@"@;?得%/&<时#9(!/(!<B 0B 9(:/(:<;$#进而4#-#/&#<;$#4#-#/=#<;$#4#)#/&#<;$和4#)#/=#<;$7因此有%(!/9(!<B 0B (:/9(:<;$7这表明O /O <;$#/&<时#O /#/;<时17具体计算可知%$1@&"1@;?#因此1@仍为强广义酉阵7结果5Q ;1@1/.6$!!#0#!:&$1@&"#6Q ;1@1/.6$’!#0#’:&$1@&"7故有(.:$5&;.S $5Q &;.S $5&;:F !或:#.:$6&;.S $6Q &;.S $6&;:F !或:!)5Q #6Q$L L M :$8Q 6Q ;!!’!$9(!!#0#9(:!&Q $(!!#0#(:!&B 0B !(’:$9(!:#0#9(::&Q$(!:#0#(::&;6Q 5Q !*56;!!’!$(!!#0#(:!&Q$9(!!#0#9(:!&B 0B !(’:$(!:#0#(::&Q $9(!:#0#9(::&!$56&Q;!+’!第!"卷!第#期!$%%"年#月!!’!$9(!!#0#9(:!&Q$(!!#0#(:!&B 0B !:’:$9(!:#0#9(::&Q$(!:#0#(::&7进而!.:$56&;.S $56&+-/41.:$5&#.:$6&27!!$"&8$!&7由5$L L M :$8$L L M :$8&7因此#5可表为5;!!$(!!#0#(:!&Q$9(!!#0#9(:!&B 0B !:$(!:#0#(::&Q$9(!:#0#9(::&#其中@;(!!#0#(!:3!!3(:!#0#(’()*::为强广义酉阵#!!#0#!:为实数#所以5Q;!!$9(!!#0#9(:!&Q$(!!#0#(:!&B 0B !:$9(!:#0#9(::&Q$(!:#0#(::&;2@1/.6$!!#0#!:&@Q ;2@1/.6$!!#0#!:&$2@&"7!!注意到1@仍为强广义酉阵#因此有5Q $L L M :$8&#同理知6Q $L L M :$8&4结果由$!&8$"&可知%$5Q &Q $6Q &Q ;$6Q &Q $5Q &Q#亦即56;65#定理获证7&!例子及注记$!&我们指出%本文第!节中给出的四元数矩阵列左秩与列右秩的关系不等式中的等号是可以实现的#例子$+#!&!让5h !#$#%#$&&Q$&#%#$#!&)则有5的列右秩;!7但5Q ;&F %!$F !%!&F !F $$F !F &!%!!$!%!’()*&#通过计算易知#5Q 的列右秩;+7此时5的列左秩;+.$5的列右秩&7利用分块矩阵#不难构造出列右秩为"#但其列左秩为%的矩阵7$"&考察本文中的定理"7!#人们自然会猜测!05$:9:#必存在6$:9:#使得56;$而.:$5&B .:$6&;:成立7遗憾的是#这个猜测是不成立的#见下例7例子$+7"&!让5;!!$%!$&&#则有5的列右秩;"#因此5可逆#但明显地5的列左秩;!7因此#若,6$;"b "7满足56;$且.:$5&B .:$6&;"#则6;$7矛盾于.:$6&;!7$&&设5$;:9:7在四元数矩阵理论中#若5的诸行在8上右线性无关#即5的列左秩;:时#人们称5为8上的右高矩阵7让L M ::$8&表:阶四元数半正定阵集合7文献)!$*中的定理+7&7&断言%对5$;:9:#则5为列右秩.的自共轭阵等价于5;3"3#其中3$;.9:为右高矩阵7我们这里通过下例说明该断言是不对的7例子$+7&&!让3;!!%$!$&&#则3";!!F $F %F$&&#于是3"3;!!F$F %F $&&!%$&$&;!""%F "%!$&";"!!%F %$&!)令5;3"3#则有5$L M :"$8的列右秩;!&"h 3的行右秩7参!考!文!献!!L108F N:#;3.@8F 4/B 4/5;3.4@3-U 85H .4/5E .41;3.4@3-D /801E #J 8I 9B F V %W [D B F 1]4/Z 8F E /@R KF 8E E #!T T +"!陈万春#肖业伦#赵丽红#等#四元数的核心矩阵及其在航空器姿态控制中的应用#航空学报#"$$$#"!$’&%&%T +&T "&!王庆贵#四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用#力学学报#!T %&#!’$!&%’++*!+!王庆贵#四元数矩阵在研究多刚体相对运动中的应用#北方交通大学学报#!T %)#"%’"+*"’!吴世锦#四元数体上若干线性代数问题的显式#数学学报#"$$!#++$’&%%&)+%+"*!侯仁民#赵旭强#王亮涛#四元数体上的e .418F -B 418重行列式#应用数学与力学#!T T T #"$$T &%T ))+T %+)!陈龙玄#侯仁民#王亮涛#四元数矩阵的=B F 1.4标准形#应用数学与力学#!T T *#!)$*&%’&&+’+!%!姜同松#四元数的一种新的代数结构#力学学报#"$$"#&+$!&%!!*+!""T !陈龙玄#四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质#中国科学#L 辑#!T T !#&+$’&%’"%+’+$!$!李文亮#四元数矩阵#长沙%国防科技大学出版社#"$$""+’!第!"卷!第#期!$%%"年#月。
复矩阵和四元数矩阵关于特征值与奇异值的若干不等式
１５ ９３年 ， Ｏ Ｆ Ｍ ＮＡ Ｊ ＷＩＬ Ｎ ＴＨ Ｗ 给出了如下 ２ Ｈ ＦＡ Ａ 和 Ｅ Ａ Ｄ 个矩阵差的特征值关 系的著名定理 ： ］ 设 Ｂ＝ Ａ， 曰， Ｃ— Ａ， Ｃ均为 ，× 实对称 阵， ｌｎ 它们 的特征值分别为 ， … ≥ｎ ，。 … ≥ ，。 ≥ ≥ ｙ≥ Ｔ …≥ｙ ， Ａ， ｃ的特征值之 间有下列关系成立 ： 则 ，
Ｊ２ ＝ｌ２ ・ｌ２ｌ＝ｌ ２ ・ｌ ２ ≤（ ） （ Ｉ“ Ｃ ｌ “ ｌ ， ＩＣ ） ｌ （ ＩＣ ） Ｃ Ｃ （ Ｉ ２ ・ Ｉ Ｉ Ｃ ｌ
Ｊ ｌ Ｊ １
） ＝［２ ≤（ｃｌ ， “ ｌ Ｃ １ｌ Ｉ￣ ）
Ｊ＝ｌ
而 由引理 １得
ｔＡ Ａ ＋ （ ） ２（ ） ｔＡ Ａ ＋ （ ） ２ ｒ ） ｔＣ ｃ ＋ｔＡ ｃ ≤ｒ ） ｔＣ ｃ ＋ ∑ （）ｊ ） （ ｒ ｒ （ ｒ Ａ ｏ（ ＝∑ （ Ａ ＋ （） ， －Ｃ （） ｃ ）
， ｌ Ｊ Ｉ
ｎ ｎ ｎ
了估计 ， 并给出了复矩阵和 四元数矩 阵特征值与奇异值 的若 干不等式．
关键词 ：特征值 ；奇异值 ；自共 轭四元数矩阵 ；Ｆｏ ｅｉｓ ｒｂ ｎｕ 范数 ；广义 Ｆ一范数 中图分类号 ：Ｏ １１ ２ ５ ． １ 文 献标 志码 ：Ａ
本文约定 ．表示 ｍ×ｎ 阶复矩阵的集合 ， “ Ｑ 为四元数 ｍ × ｎ阶矩阵集合 ，ｃ （ ） ｎ ｓ Ｑ 为 阶四元数
引 理 ６ 纠 设 Ａ， （ 为 半正 定 Ｈ ｒ ｉ 矩 阵 ， 和 ｙ为 收缩 矩 阵 ， ¨ ＢＥ Ｍ Ｃ） ｅｍ ｔ ｅ 则
ｔ Ａ— ） ｒＡ— Ｂ ≤ｔ Ａ＋ ， 中 Ｉ Ｉ “ ． ｒ （ Ｂ ≤ｔ１ Ｕ ＶＩ ｒ （ Ｂ）其 ＝（ ）
关于矩阵范数的几个不等式
关于矩阵范数的几个不等式
舍克范数是一种用于度量矩阵的度量，它是一种比较矩阵的规模的一种方法，被广泛地用于数学和工程应用。
一种有用的性质是，它反映了矩阵中元素的总模数。
矩阵范数还经常用于解决数值计算问题，比如解决线性方程组，最小二乘估计等。
它也被用于图像处理，比如对图像进行锐化和缩放。
关于矩阵范数的几个不等式
1.列范数达到最大值
一个m×n矩阵A的舍克范数达到最大值，当它的每个元素都被最大可能的数值代替时，即Aij=|Aij|.
2.列范数的凸性
如果A和B是m×n矩阵，并且α是一个实数，α>0,
那么有：
|A+B| <= |A|+|B| .
3.列范数的依赖性
如果A是m×n矩阵，那么有：
|A| = |UAV|，
其中U是m×m矩阵，V是n×n矩阵，A = UAV是A的奇异值分解
4.等性
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A| = |B|当且仅当A和B是相等的。
5. 三角不等式
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A + B| |A| + |B|。
这些不等式能够决定某矩阵的范数的大小和上限，进一步帮助研究人员深入探索矩阵范数的特性和性质。
这些不等式提供了一个明确的方法，用于在计算机科学中提高数值计算精度和效率。
以上就是有关矩阵范数的几个不等式的内容，它们可以有效地提高数值计算的精度和效率，为计算机科学提供有价值的参考。
同时，这些不等式也可以作为有关矩阵范数的研究基础，为人们了解这一概念提供明确的参考。
四元数正规矩阵的几个定理
四元数正规矩阵的几个定理1邹黎敏，陈香萍，伍俊良，李声杰重庆大学数理学院，重庆（400044）E-mail ：zlmlohr@摘 要：利用四元数正规矩阵可对角划的性质，得到了四元数正规矩阵的一些性质及判定准则。
同时获得了四元数正规矩阵弱直积，矩阵方程，特征值的几个定理。
关键词: 四元数体，正规矩阵，弱直积，特征值中图分类号: O241.6 文献标识码: A1．引言与符号约定近年来，人们对于四元数体上代数问题的研究非常深入，不仅仅是由于四元数乘积的非交换特性这一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣(参考[1-3])，同时还因为四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，四元数在计算机图形图像处理和识别方面的应用，四元数在空间定位方面的应用等，也促使人们对四元数代数问题加以研究（参见[4-8]）。
四元数矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，特别在自共轭四元数矩阵的特征值、奇异值、合同、正定性以及自共轭四元数矩阵的子式等方面有着广泛的研究[文9-14]。
但很少有文献对四元数正规矩阵进行研究。
本文借助于四元数体上正规矩阵的概念以及相似分解，给出了四元数正规矩阵的一些性质和判定准则，得到了四元数正规矩阵弱直积，合同化简以及特征值不等式的几个定理。
文中用R 表示实数域，C 表示复数域，H 表示R 上的四元数体，R 和H 上n 阶矩阵的全体分别记为n n R ×和n n H ×，*'A A =表示A 的共轭转置，k a j a i a a a 3210+++=表示实四元数（3210,,,a a a a 为实数），用α和n I 分别表示H 上任意n 维四元数列向量和n 阶单位矩阵，)Re(a 表示a 和实部，*a 表示a 的共轭四元数，*α表示α的共轭转置向量,a a a N *)(=和N (α)=αα*分别表示a 和α的范数。
2．一些定义和引理定义 1. 设n n H A ×∈，如果**AA A A =，则称A 是正规矩阵，则易知自共轭四元数矩阵，斜自共轭矩阵和下面定义的酉矩阵均为正规矩阵。
四元数矩阵特征值的几个不等式
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ４ １２ ． Ａｐ ．， ０ ｒ ２ ０８
四元 数 矩 阵特 征值 的 几个 不 等 式
陈 湘赘
（ 盐城 工学 院 基础 教学 部 ， 苏 盐城 ２４０ ） 江 ２０３
摘
要 ： 究 四元数体 上矩 阵 的特征值 估 计 问题 ， 到 了四元数 方 阵特征 值 的估 计 定理 ， 研 得 在估 计 定
∑ｕｕ ＝∑Ｎ（ｉ Ｕ）＝１（ ，， ｎ ， ｊ ， ＝１２…，）
ｉ １ ＝ ｉ ｌ ＝
∑ ｕ ＝∑ Ｎ（ｉ ｕ ｕ）＝１（ ＝１２…，） ｊ ，ｉ ，， ｎ ，
由 四元数 矩 阵乘法 ， 我们 可 以由计 算得
（ Ａ）＝Ｔ （ Ａ ） ｒＵ Ｕ ．
定理 ２ 设 Ａ＝（ ∈Ｈ ， 果 Ａ （ ＝１２， ，） ４的任 意 一个特 征值 ， 么 ａ） 如 ｉ ， … ｎ 是 那
定义３ 设Ａ ∈
， 称∑口 为矩阵Ａ的迹， （）即Ｔ（）＝∑ 口 记为 Ａ ， ｒＡ
ｎ ｚＮ（ 一口 ） （ ＝１ ２ … ， ） ＝｛ Ｉ ｚ ≤尺 ｝ ｉ ， ， ｎ ．
引理 １。 Ｌｔ ｅ Ａ∈Ｑ 如果 Ａ是 Ａ＝（ ／ 的一个 特征 值 ， 么它 必定 位于下 列盖 尔球 中的一 个 ， ａ） ｊ 那
Ａ
其 中 ， ，Ａ …Ａ Ａ ， ， ∈Ｃ 因此 ．
（ Ａ ）＝∑Ａ Ｕ
由定 理 １ 我们 有 ，
（ ） ＝ Ｔ （ ） Ａ ｒ Ｕ ＡＵ ，
维普资讯
第 ４期
于是
陈湘 赞 ： 四元数 矩 阵特征 值 的几 个不 等式
其中Ｒ ＝∑ （ ． 口）
｛ 主
收稿 日期 ： ０ ８— １ ４ ２ ０ ０ —０ 作者 简介 ： 陈湘贽 （９ ２ ） 女 ， １７一 ， 江苏盐城人 ， 盐城工学院基础教学部讲师 ， 士 ， 硕 主要研究方向 ： 应用数学
矩阵不等式
(5.1.3) (5.1.4)
推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。 事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知 Im( )=0,即 为实数； 当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re( )=0,即为 为零或纯虚数。 定义.5.1 设 A (ars ) C
a1
h
p O q ak
定理 5.5 （Schur’s inequality） 设 A=(ars)Cn×n 的特征值为1，…，n，则有
| r |2
r 1
n
r ,s 1
| a
n
rs
|2 || A ||2 F
(5.1.9)
证明：根据定理 1.43,存在酉矩阵 U 使得 A=UTUH 其中 T 为上三角矩阵。因此 T 的对角元素为 A 的特征值，且有
b
i 1 j i
n 1
ij
( xi y j x j yi ) |2
2
n (2M) | xi y j x j yi | i 1 j i
2
(利用(a1+a2+…+an)2 n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
n 2 (2M) (n(n1)/2) | xi y j x j yi | i 1 j i
xT x yT x
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy|||x||2 ||B||2||y||2 从而 ||||x||2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y||2)2) 利用 ab/(a2+b2)1/2 可得 ||||B||2 /2. 2). 由于|xTBy|||Bx||1 ||y||||B||1||x||1 ||y|| 从而 ||||B||1 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) n /2. (显然，不妨假设(||x||2)2 +(||y||2)2=1, 设||y||=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？） ， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x||2)2=1t2 这样有均值不等式||x||1 n ||x||2=
关于矩阵秩的几个重要不等式
关于矩阵秩的几个重要不等式矩阵秩是线性代数中重要的概念，也是其他诸多领域研究的基础。
矩阵秩不仅仅可以用来测量矩阵的复杂性，还可以提供一些重要的不等式，可以用来确定矩阵中特定元素的精确位置，这在很多工程和科学应用中是非常重要的。
首先，对任意有限实矩阵，其秩最大可达到该矩阵维数的较小者。
这一不等式是由埃及学派成员济曼和卡特尔提出的。
它表明，任何矩阵的维数至少可以用它的秩来表示，而不会产生多余的项。
例如，维数可以表示为n×n实矩阵的秩最大为n。
其次，对于任意n×m矩阵A，他的秩不会超过min（m，n）。
这一不等式是由瓦西里科普洛夫于1908年提出的，也是矩阵秩的基本定义。
这一不等式暗示了：当n≤m时，满秩矩阵的秩最大为n；当n ＞m时，满秩矩阵的秩最大为m。
同样的，如果矩阵的维数n≤m，则秩最大可达n，如果维数n＞m，则秩最大可达m。
此外，对任意n阶矩阵A，必有至少一个 n×n子矩阵是满秩矩阵，而且该子矩阵的秩必然等于n。
这一不等式是由瓦西里科普洛夫于1908年提出的，也是矩阵秩的基本定义。
因此，按照科普洛夫定理，任何n阶矩阵都存在至少一个满秩矩阵，且其秩必定等于n。
另外，对任意n×m矩阵A，其主子式的总和的秩的和不会超过m+n。
这一不等式是由洛克菲勒斯教授在1949年提出的，该定理以马尔科夫的名字著称。
他证明了任何有限实矩阵的主子式的总和的秩的和不会超过m+n。
因此，假设矩阵A有m行n列，那么它的主子式的总和的秩最大可达m+n。
最后，对任意矩阵A，它的秩最多只能达到它的行数与列数之和。
这一不等式是由詹姆斯波尔斯阿克特尔在1969年提出的，他提出了一些矩阵分解的概念，以证明该定理。
因此，任何有限实矩阵的秩最多只能达到它的行数与列数之和，超过此限制的结果就无意义了。
以上就是关于矩阵秩的几个重要不等式的内容，它们在线性代数中扮演了重要的角色，也可以用来解决各种工程和科学问题。
矩阵范数的三角不等式
矩阵范数的三角不等式
矩阵范数是一个向量空间中的概念,它可以用来度量矩阵的大小和形状。
矩阵范数的三角不等式是一组重要的数学不等式,它们描述了矩阵范数的一些性质。
以下是矩阵范数的三角不等式:
1. 正弦不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~2,其中||A||~2表示A的模平方。
2. 余弦不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~3,其中||A||~3表示A的模立方。
3. 正切不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~4,其中||A||~4表示A的模四次方。
4. 模方不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||^2,其中||A||^2表示A的模平方。
这些不等式的重要性在于,它们描述了矩阵范数的一些基本性质,如对称性、周期性、三角不等式等,这些性质在矩阵论、计算几何等领域都有广泛的应用。
关于四元数矩阵乘积迹的不等式
花
= 2 无时
,
条 件 可 放 宽为 A
,
,
A
,
…
,
A
Z七
均 为仍 阶 H
,
o
r
m ie t 矩阵
l
本 文 证 明 了 四 元 数 矩 阵 乘 积 迹的 一 些 不等 式
了显 著 的 改 进
。
并 且 将 命题
推广 到四 元数 矩 阵 并 作
芬2
设A
。
.
预
, 」
备
。
知
…>
识
,
任 H 哭气
x
根 据 [ 5 ] 中的 定 义
几
的 奇异 值
。
本文证明 了
a
.
) l
.
设
2
A 任 H
`
n x ;
”
,
B 令 H
爪
,
n
,
r
=
,
m
,
(饥
A
Z
,
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”
,
t r } ( A B ) }(
习
(
A
)a
`
(B )
) 设A 任 H
, I Z
仍
x
二1 2 …
、
,
,
介
(A
…月 )
A。
、
为
A
:
A
Z
… A 的 任 一 个 k 阶 主 子 阵 贝J lt r ( A A …
, ,
A恰 有
个特 征 值
。
记作
.
A (A )
`
,
` = 1
”
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。