2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，，则A. B. 2，C. 2，3，D. 2，3，4，2.已知复数z满足，则A. 1B.C. 2D. 33.已知，则A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 115.已知向量，，，若，则与夹角是A. B. C. D.6.函数的大致图象是A. B.C. D.7.已知实数a，b满足，，则函数存在极值的概率为A. B. C. D.8.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为A. 6B. 21C. 27D. 549.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.10.设函数，满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是A. B. C. D.11.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A. B. C. D. 212.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则的面积为A. 或B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线的准线经过直线与坐标轴的一个交点，则______．14.将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于______．15.关于函数，有下列命题：由可得必是的整数倍；在区间上单调递增；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是______把你认为正确的命题序号都填上16.在几何体中，是正三角形，平面平面ABC，且，，则外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：Ⅰ求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可；Ⅱ若规定分数在的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率．18.已知正项数列的前n项和满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，设数列的前n项和为求证：．19.如图所示，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M，N分别是CD，PB的中点．Ⅰ证明：平面PAM；Ⅱ若，求四棱锥的体积．20.已知的两个顶点坐标是，，的周长为，O是坐标原点，点M满足．Ⅰ求点M的轨迹E的方程；Ⅱ若互相平行的两条直线l，分别过定点和，且直线l与曲线E交于P，Q两点，直线与曲线E交于R，S两点，若四边形PQRS的面积为，求直线l的方程．21.已知函数，．Ⅰ求函数在上的最值；Ⅱ若对，总有成立，求实数m的取值范围．22.已知不等式对于任意的恒成立．Ⅰ求实数m的取值范围；Ⅱ若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足求证：．23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；Ⅱ设点M是曲线C上任意一点，求面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：0，1，；．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：，故，故选：B．求出z，求出z的模即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．3.答案：A解析：解：，则．故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，是基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查程序框图，考查循环语句，是基础题．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出．故选B．5.答案：C解析：解：由题意可得，因为，所以，即，所以，设向量与夹角，所以，因为，所以．故选：C．由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．6.答案：A解析：解：，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除D，当，，排除C，故选：A．判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：由函数存在极值可得存在变号零点，故即，因为，表示的图形是边长为1的正方形，而所对应的平面区域如图所示的阴影部分的三角形，故函数存在极值的概率．故选：B．由函数存在极值可得存在变号零点，结合二次函数的性质及与面积有关的几何概型即可求解．本题主要考查了函数存在极值条件的应用及与面积有关的几何概型公式的应用，属于中档试题．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：，，故选：C．直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：A解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．10.答案：C解析：解：函数的定义域为，函数是增函数，满足，说明，，，有1个是负数一定是两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．故选：C．利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．11.答案：D解析：解：设双曲线C：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即．故选：D．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．12.答案：D解析：解：，，，，即，或．若，则，，故，与，矛盾．，由余弦定理得，，．故选：D．根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A的值，利用余弦定理计算bc，代入面积公式即可求出三角形的面积．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．13.答案：2解析：解：抛物线的准线：，经过直线与坐标轴的一个交点，可得：，解得．故答案为：2．判断抛物线的准线方程，利用直线与x轴的交点在抛物线的准线上，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：100解析：解：将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，．故答案为：100．利用频率分布直方图的性质能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：函数，特例：，，满足，但是不是的整数倍；所以不正确；的周期为，，可得是函数的单调增区间，所以函数在区间上单调递增；所以正确；可知时，，所以函数的图象关于点对称；所以正确；时，，所以函数的图象关于点对称；所以的图象不关于直线对称．所以不正确；故答案为：．利用特殊值判断；函数的单调性判断；函数的对称中心判断；函数的对称轴判断．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的图象与性质的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查平面与平面垂直的判断与性质，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和计算能力．通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．【解答】解：是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB的过中心的垂线上，作出的中心G，作平面PAB，因为，取AC的中点为E，外接球的球心也在过E点的垂线上，，O为外接球的球心，由题意可知，，外接球的半径为：．外接球的表面积为：．故答案为：．17.答案：解：Ⅰ根据茎叶图得：甲班抽出同学数学分数的中位数：，乙班抽出同学数学分数的中位数：．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．Ⅱ根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，若用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人．设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A．将甲班选出的3人记为：a、b、c，乙班选出的1人记为：d．则共有“ab、ac、ad、bc、bd、cd”6种选法，事件A包含“ad、bd、cd”3种．故，．所以，选出的2人是来自不同班的同学的概率等于．解析：Ⅰ根据茎叶图得甲班抽出同学数学分数的中位数为118，乙班抽出同学数学分数的中位数为乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．Ⅱ根据茎叶图可知甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人．设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件将甲班选出的3人记为：a、b、c，乙班选出的1人记为：利用列举法能求出选出的2人是来自不同班的同学的概率．本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，由得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；Ⅱ证明：，，所以．解析：Ⅰ由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；Ⅱ由，进而证明结论．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：取线段AP的中点E，连接EN，EM，则且．在正方形ABCD中，是CD的中点，且．，且，则四边形CNEM为平行四边形，．平面PAM，平面PAM，平面PAM；Ⅱ解：过P作，垂足为O．平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD．又，，四棱锥的高，故四棱锥的体积为：．解析：Ⅰ取线段AP的中点E，连接EN，EM，由三角形中位线定理结合已知可得四边形CNEM 为平行四边形，得到再由直线与平面平行的判定可得平面PAM；Ⅱ过P作，垂足为由平面与平面垂直的性质得到平面求出PO的值，再由棱锥体积公式求得四棱锥的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由已知，得，所以，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点．因为，，，所以，，，所以，点A的轨迹方程为．设，由得，，又．故，点M的轨迹E的方程为，即．Ⅱ由题意可知，当直线l的斜率不存在时，易求得，，，这时，四边形PQRS的面积为，不符合要求．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，则直线的方程为由消去y得，设，，则，．故，，又，两条平行直线l，间的距离．由椭圆的对称性知：四边形PQRS为平行四边形，其面积，解得，或．故，直线l的方程为或．解析：Ⅰ推出，说明点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点求出方程设，由，转化求解点M的轨迹E的方程．Ⅱ当直线l的斜率不存在时，求出四边形PQRS的面积为，不符合要求．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理弦长公式，点到直线的距离，表示三角形的面积，然后求解即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ因为，单调递增，令得，．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，；又，；故，，．Ⅱ因为，，等价于，令，因为，总有成立，所以，在上单调递增．问题转化为对恒成立，即对恒成立．令，则由得，．当时，，递增，当时，，递减，，故m的取值范围是：．解析：Ⅰ先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；Ⅱ由等价于，构造函数，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．本题主要考查了导数研究函数的最值及取得的条件及由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离常数是常见的处理方法．22.答案：Ⅰ解：，不等式对于任意的恒成立转化为，解得，的取值范围是；Ⅱ证明：，，又a，b，c均为正实数，配凑使用柯西不等式，得．当且仅当时上式等号成立．．解析：Ⅰ利用绝对值不等式的性质得，把不等式对于任意的恒成立转化为，求解绝对值的不等式得答案；Ⅱ由Ⅰ可得，配凑使用柯西不等式，得，则结论得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．23.答案：解：Ⅰ曲线C的直角坐标方程为，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，设A，B的参数分别为，，由韦达定理得：，于是设，则故，点P的直角坐标为．Ⅱ由Ⅰ知：，所以，又直线l的普通方程为，圆心到直线l的距离为，圆半径所以，点M到直线l的距离的最大值为．因此，面积的最大值为：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为35【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC. 所以三棱锥P-ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，122222S =⨯=Q 1∴三棱锥P-ABC 的侧面积为2522+.故正确的为C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.2．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数. 【详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为,3,1x 和 一个底面半径为12，高为5.4x -的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为()()233 5.442.2x x x π+++⋅-=，解得4x =， 故选：D. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题. 3．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．98B ．78C ．12D ．6256【答案】A由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f > B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f > C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f < D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f < 【答案】A 【解析】 【分析】 设()()x f x g x e=，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '''--'==， 又由()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e '-'=>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018(0)(3)(2018)(0)f f f f e e e=<<， 变形可得32018(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.故选：A. 【点睛】于中档试题.7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
2020年云南省高考数学二模试卷（二）（有答案解析）
2020年云南省高考数学二模试卷（二）（有答案解析）2020年云南省高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合S={-4，-3，6，7}，T={x|x2＞4x}，则S∩T=（）A. {6，7}B. {-3，6，7}C. {-4，6，7}D. {-4，-3，6，7}2.已知i为虚数单位，设z=1+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）=（）A. -B. -C.D.4.在等比数列{a n}中，若a4，a3，a5成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A. 0或1或-2B. 1或2C. 1或-2D. -25.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.已知直线是圆C：的对称轴,过点作圆C的一条切线,切点为B,则A. 2B. 6C.D.8.已知点O（0，0），A（-1，3），B（2，-4），．若点P在y 轴上，则实数m的值为（）A. B. C. D.9.若A、B、C、D、E五位同学随机站成一排照相，则A站正中间且B与C相邻的概率为（）A. B. C. D.10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，BC=2，若球O的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是（）A. 16B. 15C. 8D.11.若椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，双曲线-=1的一条渐近线与椭圆E在第一象限交于点P，线段PF2的中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率等于（）A. B. C. D.12.已知a=3，b=log2425，c=log2526，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞b＞aD. b＞c＞a二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.（1+2x）7的展开式中第4项的系数是______ （用数字作答）14.若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n-n，则使a n≤10n成立的n的最大值是______．16.已知平面向量=（sin x，1），，若函数f（x）=在[-m，m]上是单调递增函数，则f（2m）的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B-=0．（1）求A；（2）若a=3，当△ABC的面积最大时，求b，c．18.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．如表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E的教师和学生的测评成绩（单位：分）：学校A B C D E教师测评成绩x9092939496（1）建立y关于x的回归方程；（2）现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．附：，=--．19.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，四边形BCC1B1是菱形，∠BB1C1=．（1）求证：BC⊥AB1；（2）若平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC=，BC=4，求二面角B1-AC1-A1的正弦值．20.已知O是坐标原点，抛物线C：x2=y的焦点为F，过F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，Q为抛物线C的准线上一点，且∠AQB=．（1）求Q点的坐标；（2）设与直线l垂直的直线与抛物线C交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，设直线l1与l2交于点P，若OP⊥OQ，求△MON外接圆的标准方程．21.已知函数f（x）=e x-ax2．（1）证明：当x≥0时，e x＞x2；（2）若f（x）有极大值，求a的取值范围；（3）若f（x）在x0处取极大值，证明：1．22.在直角坐标系xOy中，点（）在曲线C：（φ为参数）上，对应参数为φ=．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，）．（1）直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；（2）设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2的最小值．23.已知函数f（x）=|x2-1|．（1）解关于x的不等式f（x）≥2；（2）设a＞0，若关于x的不等式f（x）+5≤ax的解集非空，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：T={x|x＜0，或x＞4}；∴S∩T={-4，-3，6，7}．故选：D．可求出集合T，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=1+=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，-2），位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：∵已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）=-cosα=-=-，故选：B．由题意利用诱导公式、任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式、任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.答案：C解析：解：等比数列{a n}的公比设为q，若a4，a3，a5成等差数列，则2a3=a4+a5，即2a1q2=a1q3+a1q4，即为q2+q-2=0，解得q=1或-2，故选：C．等比数列的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q．本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：第一次，S=log23，n=2，S≥3，否，第二次，S=log23+log22=1+log23，n=3，S≥3，否，第三次，S=1+log23+log2=1+log25，n=4，S≥3，是，则输出n=4，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．解析：【分析】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥S-ABC，其中平面SAC⊥ABC，SA=AB=BC=SC=SB=2，AC=4，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥S-ABC，其中平面S AC⊥ABC，SA=AB=BC=SC=SB=2，AC=4，如图，∴SA⊥SC，AB⊥BC，∴该几何体的表面积为：S=2（S△SAC+S△SAB）=2×（）=8+4．故选：A．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，即（x-2）2+（y-1）2=4，∴圆C表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a-1=0，∴a=-1，点A（-4，-1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选B．8.答案：A解析：解：∵O（0，0），A（-1，3），B（2，-4），∴=（-1，3），=（3，-7），∵点P在y轴上，∴设=（0，y），∵，∴（0，y）=（-1，3）+m（3，-7）=（-1+3m，3-7m）∴-1+3m=0，∴m=．故选：A．利用坐标来表示平面向量的运算，因为点P在y轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于基础题．9.答案：B解析：解：A、B、C、D、E五位同学随机站成一排照相，基本事件总数n=A=120，A站正中间且B与C相邻包含的基本事件个数m==8，∴A站正中间且B与C相邻的概率为p==．故选：B．基本事件总数n=A=120，A站正中间且B与C相邻包含的基本事件个数m==8，由此能求出A站正中间且B与C相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：如图：∵AB=AC=2，BC=2，∴∠BAC=90°，取BC，B1C1的中点E，F，则EF的中点O为直三棱柱的外接球的球心，由S球=4πR2=72π，得R=3，∴EF=2=2=8，又S△ABC=×AB×AC=×2×2=2，所以这个直三棱柱的体积V=EF×S△ABC=8×2=16．故选：A．先根据勾股定理判断出底面是等要直角三角形，再判断出EF的中点为直三棱柱的外接球的球心，根据球的面积得出球的半径，根据勾股定理得到直三棱柱的高，最后根据柱体体积公式可求得．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．11.答案：C解析：解：由题可得点F2（0，-c），由线段PF2的中点的纵坐标为0，得点P的纵坐标为c，将点P的纵坐标c代入椭圆=1结合点P在第一象限，得点P的横坐标为，由双曲线-=1，得渐近线y=x在第一象限交于点P（，c），将点P（，c），代入y=x，得?15（a2-c2）-16ac=0，即15（1-e2）-16e=0，由0＜e＜1，得e=，故选：C．求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解交点坐标，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：D解析：解：∵0＜a=3＜30=1，b=log2425＞c=log2526＞log2525=1，∴a，b，c的大小关系是b＞c＞a．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：280解析：解：（1+2x）7的展开式的通项为∴（1+2x）7的展开式中第4项的系数是?23=280，故答案为：280．（1+2x）7的展开式的通项为，从而可得结论．本题考查展开式的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：3解析：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图易得，当x=2，y=-1时，目标函数z=2x+y的最大值为3故答案为：3．先满足约束条件的可行域，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z=2x+y的最大值．15.答案：5解析：【分析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题．首先求出数列的通项公式进一步利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n-n，①当n=1时，解得：a1=1．则当n≥2时，S n-1=2a n-1-n+1，②①-②得：a n=2a n-1+1，所以：a n+1=2（a n-1+1），即：（常数）所以：数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，故：，解得：．,解得,故答案为：5.16.答案：[1，2]解析：解：由平面向量=（sin x，1），，得f（x）==+cos x=2sin（2x+），令2k，解得k，k∈Z，又函数f（x）在[-m，m]上是单调递增函数，则0，则0，则＜4m≤，即1≤f（2m）≤2，故答案为：[1，2]．由三角恒等变换中的辅助角公式得：由平面向量=（sin x，1），，得f令2k，解得k，k∈Z，又函数f（x）在[-m，m]上是单调递增函数，则0，则0，则＜4m≤，即1≤f（2m）≤2，得解．本题考查了三角恒等变换中的辅助角公式及三角函数的值域问题，属中档题．17.答案：解：（1）∵a sin B-=0，∴2R sin A sin B-2R sin B cos A=0．化简得：sin A-cos A=0．∴tan A=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵a=3，A=，∴9=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc．∵b2+c2≥2bc，∴bc≤9．∴S=bc sin A=bc≤．∵当b=c时，bc=9，即b=c=3时，S=．∴S的最大值为，此时，b=c=3．解析：（1）由正弦定理进行化简可得sin A-cos A=0，求得A=；（2）由a=3，A=，结合余弦定理求得bc≤9，再由面积公式S=bc sin A=bc，求得答案即可．本题主要考查了用正余弦定理解三角形，合理熟练运用公式是解题的关键，属于基础题．18.答案：解：（1）依据题意计算得：==93，==90，=9+1+0+1+9=20，（x i-）（y i-）=（-3）×（-3）+（-1）×（-1）+0×（-1）+1×2+3×3=21，∴==，=-=90-=-．∴所求回归方程为=x-．（2）由题设得随机变量X的可能取值为0，1，2．由已知得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．PE（X）=0×+1×+2×=．解析：（1）求出回归系数，可得回归方程；（2）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．本题考查回归直线方程，考查求离散型随机变量的分布列和数学期望，正确计算是解题的关键．19.答案：证明：（1）取BC的中点O，连接AO，B1O，B1C．∵AB=AC，∴BC⊥AO．∵BCC1B1是菱形，∠BB1C1=，∴，B1B=BC．∴△B1BC是正三角形．∴BC⊥B1O．∵AO?平面AOB1，B1O?平面AOB1，B1O∩AO=O，∴BC⊥平面AOB1．∵AB1?平面AOB1，∴BC⊥AB1．解：（2）∵，AB=AC，∴△ABC是以BC为底的等腰直角三角形．∵BC=4，∴AO=BO=CO=2．∴B1O=BB1sin=2．∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC=BC，B1O?平面AOB1，B1O⊥BC，∴B1O⊥平面ABC．∵AO?平面ABC，BO?平面ABC，∴B1O⊥AO，B1O⊥BO．再由（1）得AO，BO，B1O两两互相垂直．分别以射线OA，OB，OB1为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，可得A（2，0，0），B1（0，0，2），C（0，-2，0），C1（0，-4，2），∴=（2，0，-2），=（0，-4，0），设平面AB1C1的一个法向量为=（x，y，z），则．取z=1，得x=，∴=（）是平面AB1C1的一个法向量．同理可得平面AA1C1的一个法向量=（-，1）．∴二面角B1-AC1-A1的正弦值为．解析：（1）要证BC⊥AB1，需证BC⊥平面AOB1，即证BC⊥B1O，BC⊥AO．（2）以射线OA，OB，OB1为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，计算两个半平面的法向量，代入公式，即可得到结果．本题考查直线与平面之间垂直位置关系，空间向量、二面角的概念、考查以及空间想象能力和逻辑推理能力．考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（1）由已知得直线l的方程为：y=x+，设Q（m，-），A（x A，y A），B（x B，y B）；由，得4x2-4x-1=0，且△=（-4）2+4×4＞0；∴x A+x B=1，x A x B=-；由∠AQB=，得?=0，又=（m-x A，--y A），=（m-x B，--y B），∴（m-x A）（m-x B）+（--y A）（--y B）=0，整理得2x A x B+（-m）（x A+x B）+m2+=0；∴2×（-）+（-m）×1+m2+=0，解得m=；∴Q点的坐标为（，-）；（2）设M（x1，），N（x2，），直线MN：y=-x+t，由已知得l1：y=2x1x-，l2：y=2x2x-，解，得；∴P（，x1x2）；由，得x2+x-t=0；由题意得△=1+4t＞0，即t＞-，∴，P（-，-t）；∵OP⊥OQ，∴?=-+=0，解得t=1；∴，∴?=x1x2+=0，∴OM⊥ON，∴MN为△MON外接圆的直径；又∵==，|MN|===，∴△MON外接圆的圆心为（-，），半径为；∴△MON外接圆的标准方程为+=．解析：（1）由题易知直线l的方程，设点Q的坐标，直线与抛物线方程联立，由根与系数的关系以及垂直关系，列方程求得点Q的坐标；（2）设出直线MN的方程，由已知表示直线l1，l2，联立方程求得点P的坐标，由垂直关系利用向量数量积为0，求得△MON的外接圆直径，从而求得外接圆的方程．本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，理解题意，分析转化是解题的关键，属于难题．直线与圆锥曲线的解题步骤为：（1）设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算．21.答案：解：（1）证明：当a=1时，f（x）=e x-x2，f′（x）=e x-2x，令φ（x）=f′（x），则φ′（x）=e x-2．∴当0＜x＜ln2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞ln2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．∴当x≥0时，φ（x）min=φ（ln2）=2（1-ln2）＞0．∴当x≥0时，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增．∴当x≥0时，f（x）＞f（0）=1＞0，即e x＞x2；．（2）解：由题设得f′（x）=e x-2ax，由f（x）有极大值得f′（x）=0有解，且a＞0．令g（x）=f′（x），则g′（x）=e x-2a．由g′（x）=0得x=ln（2a）．∴当x＜ln（2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞ln（2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）min=g（ln2a）=2a（1-ln2a）．当g（x）min≥0，即0＜a≤时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，此时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值；当g（x）min＜0，即a时，g（0）=1＞0，g（ln2a）=2a（1-ln2a）＜0．由（1）知：g（2a）=e2a-（2a）2＞0，即2a＞2ln2a＞ln2a．∴存在x1∈（0，ln2a），x2∈（ln2a，2a），使g（x1）=g （x2）=0．∴x1是f（x）唯一的极大值点．综上所述，所求a的取值范围为（，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＞时，f（x）有唯一的极大值点x0=x1∈（0，ln2a），且g（1）=e-2a＜0，故x0∈（0，1），由（2）知：f（x0）＞f（0）=1．当a=时，f（x）=e x-x2．由（2）知：f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．∴当x＜1时，f（x）＜f（1）=，即e x-x2＜．∴当a＞时，f（x0）=e-ax02＜e--x02＜-．综上所述，1＜f（x0）＜．解析：（1）当a=1时，f（x）=e x-x2，f′（x）=e x-2x，研究函数的单调性与最值即可证明不等式；（2）由题设得f′（x）=e x-2ax．由f（x）有极大值得f′（x）=0有解，且a＞0．利用极大值定义即可建立a的不等关系；（3）由（2）知：当a＞时，f（x）有唯一的极大值点x0=x1∈（0，ln2a），且g（1）=e-2a＜0，故x0∈（0，1），结合函数的单调性即可证明．本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力．22.答案：解：（1）点P的直角坐标为（，1），曲线C的极坐标方程为ρ2=．（2）由（1）知曲线C：ρ2=．由A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，不妨设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），且|OA|2=ρ12=，|OB|2=ρ22==．∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+，=≥=．当sin22θ=1时，|OA|2+|OB|2的最小值为．|OA|2+|OB|2的最小值为．解析：（1）由极坐标公式可得P的直角坐标为（，1），将点（，）和φ=代入求得k=1，m=2，则曲线方程x2+=1，求得极坐标方程ρ2=；（2）设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），易知|OA|2=，|OB|2=，所以|OA|2+|OB|2=，sin22θ=1时，|OA|2+|OB|2的最小值为．本题考查了参数方程与极坐标方程的综合知识，熟悉方程之间的转化以及极坐标方程的定义是解题的关键，属于中档题．23.答案：．解：（1）由f（x）≥2得|x2-1|≥2，即x2-1≥2或x2-1≤-2．解x2-1≥2得x或x．由x2-1≤-2得x2≤-1，不成立．∴x2-1≤-2无实数解．∴原不等式的解集为（-∞，-]∪[，+∞）．（2）∵f（x）+5≤ax的解集非空，即|x2-1|+5≤ax有解，当x≤0时，由a＞0得ax≤0，|x2-1|+5＞0，∴当x≤0时，|x2-1|+5≤ax无解．①当0＜x≤1时，不等式|x2-1|+5≤ax化为a=-x．∵函数h（x）=-x在（0，1]上为单调递减函数，∴当x∈（0，1]时，h（x）=-x的最小值为h（1）=5．∴．a≥5②当x≥1时，由|x2-1|+5≤ax得a≥=x+，而x+≥2=4（x=2时，等号成立）即x+的最小值为4．∴a≥4．综上所述，a的取值范围是[4，+∞）．解析：（1）由题，可得|x2-1|≥2，解得答案解集为（-∞，-]∪[，+∞）；（2）f（x）+5≤a的解集非空，即|x2-1|+5≤ax有解，分x≤0，0＜x≤1，x≥1三种情况讨论求解即可本题考查了不等式的选讲，绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的问题，属于中档题。
2020年云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1，3，5，7，9，11}，B={5，9}，则∁A B=（）A. {5，9}B. {1，3，7，11}C. {1，3，7，9，11}D. {1，3，5，7，9，11}2.已知复数z满足（2-i）Z=|3+4i|，则Z=（）A. -2-iB. 2-iC. -2+iD. 2+i3.已知命题p：∀x＞0，x3≤0，那么￢p是（）A. ∀x＞0，x3＞0B. ∀x＜0，x3＞0C.D.4.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A. 6B. 10C. 7D. 165.已知α∈（，π），且sinα+cosα=-，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设a=20.5，b=0.52，c=log20.5，则a，b，c的大小关系为（）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. a＞b＞cD. b＞a＞c7.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（）A. f（x）在单调递减B. f（x）在（，）单调递减C. f（x）在（0，）单调递增D. f（x）在（，）单调递增8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M，N两点，若∠MF2N是直角，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 3 D. 49.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知点A（3，0），过抛物线y2=8x上一点P的直线与直线x=-2垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则P的横坐标为（）A. B. 2 C. D. 112.已知关于x的方程e x-2x-k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. （-∞，2-2ln2]B. （-∞，2-2ln2）C. [2-2ln2，+∞）D. （2-2ln2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，，若，则实数m等于______．14.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______15.若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域内的一个动点，已知点A（3，4），O为坐标原点，则的最小值为______．16.已知函数在区间（-∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n-3S n=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n-4n，求数列{b n}的前n项和T n．18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C-PBD的体积等于时，求PA的长．20.已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．21.已知函数f（x）=+x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点；22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=a，且点A在直线l上（Ⅰ）求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；（Ⅱ）已知曲线C的参数方程为，（α为参数），直线l与C交于M，N两点，求的值23.设函数f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．（1）证明：f（x）+f（-）≥6；（2）若不等式f（x）＜的解集为非空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={1，3，5，7，9，11}，B={5，9}，由集合补集的定义则∁A B={1，3，7，11}；故选：B．利用补集的定义求解即可．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.答案：D解析：解：由（2-i）Z=|3+4i|=5，得Z=．故选：D．把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，若命题p：∀x＞0，x3≤0，则￢p是：．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题．5.答案：A解析：解：∵α∈（，π），且sinα+cosα=-，∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=-＜0，…（4分）∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0．…（6分）又∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=，从而有：cosα-sinα=-，…（9分）∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（-）×（-）=．…（12分）故选：A．首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα-sinα＜0，然后求出cosα-sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果．本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．6.答案：C解析：解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，∴a＞b＞c，故选：C．利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．7.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（-x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．8.答案：B解析：解：如图：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M，N两点，∴|MF1|=|NF1|=，|F1F2|=2c，∵∠MF2N是钝角，∴∠MAF2=45°，∴2c=，∴2ac=bc，4a2=c2-a2，解得e=，或e=-舍去故选：B．由已知条件，结合双曲线性质推导出|MF|=|NF|=，|F1F2|=a+c，∠MF2F1=45°，所以2c=，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．9.答案：C解析：【分析】本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，易得：平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距离d==，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2×=．故选C．10.答案：B解析：【分析】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力，为中档题．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，且AC=2、BC=2，PD=2，∴AB==4，AD=BD=CD=2，∴几何体的外接球的球心是D，则球的半径r=2，即几何体的外接球表面积S=4πr2=16π，故选：B．11.答案：A解析：解：由题意，可知F（2，0），∵过抛物线y2=8x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为，故选：A．利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12.答案：D解析：解：令f（x）=e x-2x，则f′（x）=e x-2，可得f（x）在（-∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，当x→-∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴关于x的方程e x-2x-k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（2-2ln2，+∞）．故选：D．令f（x）=e x-2x，求得f（x）的值域，即可得k的取值范围．本题考查了函数与方程思想，属于中档题．13.答案：解析：解：∵∴∴-1+2m=0解得故答案为利用向量垂直的充要条件数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m的值．本题考查向量的数量积运算与向量垂直的充要条件，属容易题14.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及余弦定理可求cos∠ADB=-，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===-，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π-∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为，．15.答案：13解析：解：∵点A坐标为（3，4），点M坐标为（x，y）∴z==3x+4y，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得A（3，1），将直线l：z=3x+4y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值，z最小值=3×3+4×1=13．故答案为：13．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．根据题意z==3x+4y，将目标函数z=3x+4y对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．16.答案：[-2，0]解析：解：二次函数在（-∞，0]上为单调递减函数；y=log3（x+2）在（-2，+∞）上为增函数，所以-2≤a≤0，故答案为[-2，0]．根据二次函数和对数函数的单调性进行求解．本题考查分段函数的单调性，属于基础题目．17.答案：解：（Ⅰ）证明：因为4a n-3S n=2，①所以当n=1时，4a1-3S1=2，解得a1=2；当n≥2时，4a n-1-3S n-1=2，②由①-②，得4a n-4a n-1-3（S n-S n-1）=0，所以a n=4a n-1，由a1=2，得a n≠0，故{a n}是首项为2，公比为4的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ），得a n=2×4n-1，所以b n=a n-4n=4n-1-4n，则{b n}的前n项和:T n=（40+41+…+4n-1）-4（1+2+3+…+n）=-4× =-2n2-2n-．解析：本题主要考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，a n与S n的关系，以及等比数列和等差数列的前n项和公式，属于中档题．（Ⅰ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n}成等比数列；（Ⅱ）求出数列{a n}的通项公式，即可求出{b n}的通项公式．再分组求和.18.答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（3分）（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…（6分）同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（8分）（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…（9分）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…（10分）记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…（13分）解析：（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：证明:(Ⅰ)在△PBD中，因为O,M分别是BD,PD的中点，所以OM∥PB，又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以OM∥平面PAB．(Ⅱ)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA=A，AC,PA平面PAC，所以BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．解:(Ⅲ)因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以S△BCD=．又V C-PBD=V P-BCD，三棱锥P-BCD的高为PA，所以，解得．解析：本题考查线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．(Ⅰ)由中位线定理可知OM∥PB，故而OM∥平面PAB；(Ⅱ)由菱形的性质得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；(Ⅲ)根据V C-PBD=V P-BCD，计算出S△BCD代入体积公式得出棱锥的高PA．20.答案：解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，．故，．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．则．由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1-k．则，则（4k2+1）（8k-3）=0．则．满足△＞0．所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形．综上所述：直线l的方程为或x=1．解析：（Ⅰ）根据题意，可得，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得，进而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案．本题考查椭圆与直线的位置关系与方程的综合运用，涉及直线与椭圆的位置关系时，需要考虑直线斜率不存在的情况．21.答案：解：（Ⅰ）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，∴f′（1）=1，f（1）=ae+1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），∴f′（1）=，∴a=．证明：（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae x（x-1）+x2，g′（x）=x（ae x+2）=0，x=ln（-）．①ln（-）≤0，a≤-2，g′（x）≤0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；②ln（-）＞0，-2＜a＜0，x∈（0，ln（-）），g′（x）＞0，g（x）在（0，ln（-））上单调递增，x∈（ln（-），+∞），g′（x）＜0，g（x）在（ln（-），+∞），上单调递减，∵g（ln（-））＞g（0）=-a＞0∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；综上，当a＜0时，函数f（x）在定义域上至多有一个极值点．解析：（Ⅰ）求导数，求出切线的斜率，切点的坐标，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值．（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae x（x-1）+x2，g′（x）=x（ae x+2）=0，x=ln（-）．由此证明当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点．本题考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）∵点A∈l，∴；由，得．于是l的直角坐标方程为l：x+y-2=0，l的参数方程为：；（Ⅱ）由C：，消去参数α，得（x-4）2+（y-3）2=25，将l的参数方程代入（x-4）2+（y-3）2=25，得，设该方程的两根为t1，t2，由直线l的参数t的几何意义及曲线C知，|AM|•|AN|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，∴，∴．解析：（Ⅰ）把点A的坐标代入直线l求得a值，代入直线l的极坐标方程，展开两角差的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式得直线l的直角坐标方程，进一步化为参数方程；（Ⅱ）求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）+f（-）=（|x-a|+|2x-a|）+（|--a|+|--a|）=（|x-a|+|--a|）+（|2x-a|+|--a|）≥|（x-a）-（--a）|+|（2x-a）-（--a）|=|x+|+|2x+|=|x|++|2x|+≥6（当且仅当x=±1时取等号）（2）函数f（x）=（x-a）+（2x-a）=，图象如图所示：当x=时，y min=-，依题意：-＜，解得：a＞-1，∴a的取值范围是（-1，0）．解析：（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）求出f（x）的解析式，画出图象，求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查函数最值问题，是一道中档题．。
云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降【答案】D【解析】【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.2．若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数2iz的点是（）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C【解析】【分析】 由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i z 化简后可找到其对应的点. 【详解】由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i ==--=--+，对应点G . 故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题. 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】 ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C ．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．4．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A 2B ．3C ．23D 23【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得222b AB a==， 由1b =，可得2a =所以双曲线的方程为: 2212x y -= 所以12(3,0),(3,0)F F -，所以21211223622ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242422262C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得3r =， 故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.5．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A【解析】【分析】 根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．534【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ）A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0） 【答案】C【解析】【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.9．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A ∪B=B【答案】C【解析】试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂=考点：集合间的关系10．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．180【答案】A【解析】【分析】因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】 Q 711911212a a a a +==+，∴712a =，∴()113137131313121562a a S a +===⨯=. 故选：A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A【解析】 试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域．12．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为A ．14B ．58C ．38D ．12 【答案】D【解析】【分析】【详解】由(2)12{(2)4f f ≤-≤得4212424b c b c ++≤⎧⎨-+≤⎩，分别以,b c 为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，()12P A =.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A =｛x ｜y =log 2(x −1)｝，B =｛y ｜y =√2−x ｝，则A ∩B =( )A. (0,2］B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,2］2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 在平行四边形ABCD 中，已知AB =2，AD =1，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 23B. −23C. 32D. −324. 若定义运算a ⊕b ={a,a ≤b,b,a >b，则函数f(x)=1⊕2x 的图象是( )A.B.C.D.5. 等比数列{a n }共有2n(n ≥2)项，它的全部2n 项的和是奇数项的和的5倍，则公比q 等于( )A. 2B. √3C. 3D. 46. 已知条件p ：|x +1|>2，条件q ：5x −6>x 2，则￢p 是￢q 的( )A. 充要条件B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既非充分也非必要条件7. 阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为( )A. i ≤4B. i ≤5C. i ≤6D. i ≤78. 若x ，y 满足约束条件，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (163,8)B. (163,16) C. [163,16)D. [163,16]9. 已知抛物线C ：y 2=6x ，直线l 过点P(2,2)，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为( )A. 13B. 54C. 32D. 1410. 已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表：x 0 123 4 y24.24.54.6m且回归方程是y =0.65x +2.7，则m =( )A. 5.6B. 5.3C. 5.0D. 4.711. 过点P(−√3,0)作直线l 与圆O ：x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB =θ，且θ∈(0,π2)，当△AOB 的面积为√34时，直线l 的斜率为( )A. √33B. ±√33C. √3D. ±√312. 已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x >0时，f(x)={2|x−1|,0<x ≤212f(x −2),x >2，则函数g(x)=4f(x)−1的零点个数( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知a >0，a ≠1，则f(x)=log a2x+1x−1的图象恒过点_____14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线x2−y2=4的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为______ ．15.在正三棱柱ABC−A1B1C1内有一体积为V的球，若AB=2，AA1=3，当V取最大值时，该球的表面积为________．16.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n−3，则a5=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下(单位：cm)(1)根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值;(2)在身高为140—160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150—160之间的概率．．18.在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且sinB(√3cosB+sinB)=32(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求△ABC面积的最大值．19.如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F．(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|F1F2|=4，|PF1|=√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点P(3,0)的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q(x0,y0)，Q(x0,y0)，求x0+y0的取值范围．21. 求函数f(x)=ln(2x +1)−x 的最大值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+3ty =2−4t(t 为参数)，它与曲线C ：(y −2)2−x 2=1交于A 、B 两点．(1)求|AB|的长；(2)求点P(−1,2)到线段AB 中点C 的距离．23. 已知a,b,c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x −1|−|x −2|≤a +b +c 恒成立．(1)求证：a 2+b 2+c 2≥13；(2)求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．解：由题意可知，集合A =｛x ｜y =log 2(x −1)｝={x|x >1}， B =｛y ｜y =√2−x ｝={y|y ≥0}， ∴A ∩B ={x|x >1}， 故选C ．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵(1+i)i =−1+i ， ∴复数(1+i)i 的虚部为1． 故选：A ．3.答案：D解析：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用．先根据向量的数量积求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，代入结合已知即可求解． 解：平行四边形ABCD 中，已知AB =2，AD =1，∠BAD =60°， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12=1， ∵E 为CD 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1−12×1−12×4=−32．故选D ．4.答案：A解析：本题考查分段函数的概念以及图象，新定义问题的求解问题．注重对转化思想的考查应用． 需要明了新定义运算a ⊗b 的意义，即取两数中的最小值．然后对函数f(x)=1⊗2x 就可以利用这种运算得到解析式再来画图求解．解：因为新运算a ⊗b 的意义就是取得a ，b 中的最小值， 所以函数f (x )=1⊕2x={1,1≤2x ,2x ,1>2x ={1,x ≥0,2x ,x <0. 对照选项，知选项A 中的图象符合要求． 故选A ．5.答案：D解析：本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．解：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n =a 1(1−q 2n )1−q，S 奇=a 1(1−q 2n )1−q 2.由题意得a 1(1−q 2n )1−q=5a 1(1−q 2n )1−q 2，解得q =4． 故选D ．6.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键． 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 解：p ：|x +1|>2，得x >1或x <−3，￢p ：−3≤x ≤1，q ：5x −6>x 2，即q ：x 2−5x +6<0，即2<x <3，即￢q ：x ≥3或x ≤2，即￢p 是￢q 的充分不必要条件， 故选：B ．7.答案：A解析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否所以当i ≤4时．输出的数据为31， 故选A ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．8.答案：C解析：画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，然后求解目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键． 解：x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4的可行域如下图所示：则z =x +2y ，即y =−12x +z2经过可行域的C 点时，取得最小值， 经过可行域的B 点时，取得最大值． {x −2y =0x +y −4=0解得C(83,43) x =83，y =43时，z =x +2y =163，由{y =4x −2y =0解得B(8,4)， x =8，y =4时，z =x +2y =16 ∴z =x +2y 的取值范围为[163,16)． 故选：C ．9.答案：C解析：本题主要考查直线与抛物线的综合应用以及点差法的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 根据点差法和中点坐标公式即可求出．解：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，代入C ：y 2=6x ，得{y 12=6x 1 (1)y 22=6x 2 (2), (1)−(2)得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=6(x 1−x 2)， 因为线段MN 的中点恰好为点P ， 所以{x 1+x 2=4y 1+y 2=4, 所以4(y 1−y 2)=6(x 1−x 2)，。
云南省曲靖市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
云南省曲靖市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1． 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【详解】由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．3D ．8【答案】A【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.4．设函数()22cos cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．12B ．32C ．1D ．72【答案】A 【解析】由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值． 【详解】()22cos cos f x x x x m =++1cos22x x m =+++2sin(2)16x m π=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[,3]f x m m ∈+，由题意17[,3][,]22m m +=，∴12m =． 故选：A ． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键． 5．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2【答案】C 【解析】 【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26； 所以P 1+P 2＝56故选C. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 6．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解. 【详解】对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意；对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立. 因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A 【解析】 【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B I元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2， 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.9．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （ ）A ．6B ．32C ．22D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，说明以向量a r ，b r为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r ．故选：D ． 【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题． 10．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】 根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.11．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.12．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C 【解析】 【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率. 【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C. 【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省曲靖市达标名校2020年高考二月调研数学试卷含解析
云南省曲靖市达标名校2020年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 2．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值3．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④4．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 5．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．3均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 7．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+8．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．2C ．13D 9．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点FC 的实轴的长为 A ．1 B ．2C ．4D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年6月云南省曲靖二中2020届高三毕业班高考适应性考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前云南省曲靖市第二中学2020届高三毕业班下学期高考适应性考试数学(文)试题2020年6月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．）1．已知集合{}2230A x Z x x =∈--<,则A 的真子集的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 2．设i 是虚数单位,若复数()1a z i a R i =+∈+是实数,则a 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2 3． 命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A ．0||,2<+∈∀x x R xB ．0||,2≤+∈∀x x R xC ．0||,2000<+∈∃x x R xD ．0||,2000≥+∈∃x x R x4．已知sin α=,则44sin cos αα-的值为（ ） A ．35- B ．15- C ．51 D ．53 5．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．406．某学校为了解高三年级1000名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况,决定将高三年级学生编号为1,2,3……1000,从这1000名学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行网上问卷调查,若46号同学被抽到,则下面4名同学中也被抽到的是（ ）A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩那么f 1(())8f 的值为（ ） A ．27 B ．127 C ．－27 D ．－1278．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(23)4x y +-=相交于A ,B 两点,若|AB |＝2,则C 的离心率为（ ）A 23B 3C ．2D ．4 9．七巧板由七块板（五个等腰直角三角形,一个正方形,一个平行四边形）组成的。
2020年云南省曲靖市高考(文科)数学二模试卷 (解析版)
2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．已知cos （π4−α）=45，则sin （π4+α）＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．已知向量a →，b →，|a →|=2，b →=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a →+2b →|=2√3，则a →与b →夹角是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．函数f(x)=ln(x 2+1)x 3的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知实数a ，b 满足0≤a ≤1，0≤b ≤1，则函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值的概率为（ ） A ．16B ．√36C ．13D ．√338．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē，n ào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．549．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）10．设函数f （x ）＝e x +lnx ，满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ） B ．x 0∈（a ，b ） C ．x 0∈（b ，c ） D ．x 0∈（c ，+∞）11．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．212．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B+a sin B cos C=√32a，则△ABC的面积为（）A．√34或3√34B．3√33C．2√33D．√34二、填空题13．若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点，则p＝．14．将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于．15．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）在区间(−5π13，π13)上单调递增；③y＝f（x）的图象关于点(−π6，0)对称；④y＝f（x）的图象关于直线x=−π6对称．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）16．在几何体P﹣ABC中，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABC，且AB＝BC＝2，AB⊥BC，则P﹣ABC外接球的表面积等于．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[90，110）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率．18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a n 2+2a n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜12．19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点． （Ⅰ）证明：CN ∥平面PAM ；（Ⅱ）若∠PAB ＝60°，求四棱锥P ﹣ABCM 的体积．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=2OM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若互相平行的两条直线l ，l '分别过定点(−√3，0)和(√3，0)，且直线l 与曲线E交于P ，Q 两点，直线l '与曲线E 交于R ，S 两点，若四边形PQRS 的面积为8√65，求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[1e 2，e]上的最值； （Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．参考答案一、选择题.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：B ＝{x |﹣5＜x ＜3，x ∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3【分析】求出z ，求出z 的模即可． 解：z =21+i=1﹣i ， 故|z |=√2， 故选：B ．3．已知cos （π4−α）=45，则sin （π4+α）＝（ ）A ．45B ．35C ．−45D ．−35【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．解：cos(π4−α)=45，则sin(π4+α)=cos(π2−(π4+α))=cos(π4−α)=45．故选：A ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．解：模拟程序的运行，可得：i=1，S=lg13=−lg3＞−1，否；i=3，S=lg13+lg35=lg15=−lg5＞−1，否；i=5，S=lg15+lg57=lg17=−lg7＞−1，否；i=7，S=lg17+lg79=lg19=−lg9＞−1，否；i=9，S=lg19+lg911=lg111=−lg11＜−1，是，输出i＝9，故选：B．5．已知向量a→，b→，|a→|=2，b→=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a→+2b→|=2√3，则a→与b→夹角是（）A．5π6B．2π3C．π3D．π6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．解：由题意可得|b→|＝1，因为|a→+2b→|=2√3，所以a2+4a→⋅b→+4b→2=12，即8+4a→⋅b→=12，所以a →⋅b →=1，设向量a →与b →夹角θ，所以cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=12，因为θ∈[0，π]，所以θ=π3． 故选：C ．6．函数f(x)=ln(x 2+1)3的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可． 解：f （﹣x ）＝﹣f （x ），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当x ＞0时，f （x ）＞0，排除D ， 当x →+∞，f （x ）→+0，排除C ， 故选：A ．7．已知实数a ，b 满足0≤a ≤1，0≤b ≤1，则函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值的概率为（ ） A ．16B ．√36C ．13D ．√33【分析】由函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值可得f ′（x ）＝3x 2﹣2ax +b 2＝0存在变号零点，结合二次函数的性质及与面积有关的几何概型即可求解．解：由函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值可得f ′（x ）＝3x 2﹣2ax +b 2＝0存在变号零点，故△＝4a 2﹣12b 2＞0即（a −√3b ）（a +√3b ）＞0， 因为0≤a ≤1，0≤b ≤1表示的图形是边长为1的正方形，而（a−√3b）（a+√3b）＞0所对应的平面区域如图所示的阴影部分的三角形，故函数f（x）＝x3﹣ax2+b2x+1存在极值的概率P=12×1×√331×1=√36．故选：B．8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A．6B．21C．27D．54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12⋅3⋅5+12⋅3⋅4+12⋅3⋅5+12⋅3⋅4，＝27，故选：C．9．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a ，b 的关系；再代入直线ax +by ﹣1＝0由直线系方程得答案． 解：画出不等式组{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立{y −2=0x +y −8=0，解得C （6，2），所以6a +2b ＝2，即3a +b ＝1； 所以b ＝1﹣3a ，代入ax +by ﹣1＝0，得ax +y ﹣3ay ﹣1＝0， 即a （x ﹣3y ）+y ﹣1＝0， 由{x −3y =0y −1=0，解得{x =3y =1．所以直线ax +by ﹣1＝0必过定点（3，1）． 故选：A ．10．设函数f （x ）＝e x +lnx ，满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ）B ．x 0∈（a ，b ）C ．x 0∈（b ，c ）D ．x 0∈（c ，+∞）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 解：函数f （x ）＝e x +lnx 的定义域为{x |x ＞0}，函数是增函数，满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），说明f （a ），f （b ），f （c ），有1个是负数一定是f （a ）两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a ，c ），在（a ，b ），在（c ，+∞）， 不可能在（b ，c ）． 故选：C ． 11．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c =3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：D ．12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积．解：∵c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，∴sin C sin A cos B +sin A sin B cos C =√32sin A ，∵sin A ≠0，∴sin C cos B +sin B cos C =√32，即sin （B +C ）＝sin A =√32，∴A=π3或A=2π3．若A=2π3，则a＞b，a＞c，故2a＞b+c，与a＝1，b+c＝2矛盾．∴A=π3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝1，∴bc＝1，∴S=12bc sin A=12×1×√32=√34．故选：D．二、填空题13．若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点，则p＝2．【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x轴的交点在抛物线的准线上，求解即可．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线：x=−p2，经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点（﹣1，0），可得：−p2=−1，解得p＝2．故答案为：2．14．将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于100．【分析】利用频率分布直方图的性质能求出n的值．解：将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，∴n=201+22+4+6+2+1=100．故答案为：100．15．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）在区间(−5π13，π13)上单调递增；③y＝f（x）的图象关于点(−π6，0)对称；④y＝f（x）的图象关于直线x=−π6对称．其中正确的命题的序号是 ②③ ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝0，但是x 1﹣x 2不是π的整数倍；所以①不正确；②y ＝f （x ）的周期为π，−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13，π13)上单调递增；所以②正确；③y ＝f （x ）可知x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以③正确；④x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以y ＝f （x ）的图象不关于直线x =−π6对称．所以④不正确； 故答案为：②③．16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于28π3．【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：△PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC =√2，GD =13×√32×2=√33，外接球的半径为：OC =(33)2+(√2)2=√73．外接球的表面积为：4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[90，110）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图得甲班抽出同学数学分数的中位数为118，乙班抽出同学数学分数的中位数为128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度． （Ⅱ）根据茎叶图可知甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人．设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A ．将甲班选出的3人记为：a 、b 、c ，乙班选出的1人记为：d ．利用列举法能求出选出的2人是来自不同班的同学的概率． 解：（Ⅰ）根据茎叶图得： 甲班抽出同学数学分数的中位数：122+1142=118，乙班抽出同学数学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平， 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度． （Ⅱ）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，若用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人． 设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A ． 将甲班选出的3人记为：a 、b 、c ，乙班选出的1人记为：d ． 则共有“ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ”6种选法， 事件A 包含“ad 、bd 、cd ”3种．故，P(A)=36=12． 所以，选出的2人是来自不同班的同学的概率等于12． 18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a n 2+2a n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜12．【分析】（Ⅰ）由4S n =a n 2+2a n ⇒4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，再由a n ＞0得a n +1﹣a n ＝2，然后求出a 1，说明数列{a n }为等差数列，进而求得通项公式； （Ⅱ）由a n ＝2n ⇒b n =1(2n+1)2＜1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵4S n =a n 2+2a n ①，∴4S n+1=a n+12+2a n+1②，由②﹣①得，4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ，即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，因为a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2．又由4S 1=a 12+2a 1解得a 1＝2，故数列{a n }为等差数列，公差d ＝2．故a n ＝2（n ﹣1）×2＝2n ； （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ，∴b n =1(2n+1)2＜1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n ＜12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12−14n+2＜12．19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点．（Ⅰ）证明：CN∥平面PAM；（Ⅱ）若∠PAB＝60°，求四棱锥P﹣ABCM的体积．【分析】（Ⅰ）取线段AP的中点E，连接EN，EM，由三角形中位线定理结合已知可得四边形CNEM为平行四边形，得到CN∥EM．再由直线与平面平行的判定可得CN∥平面PAM；（Ⅱ）过P作PO⊥AB，垂足为O．由平面与平面垂直的性质得到PO⊥平面ABCD．求出PO的值，再由棱锥体积公式求得四棱锥P﹣ABCM的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取线段AP的中点E，连接EN，EM，则EN∥AB且EN=12 AB．在正方形ABCD中，∵M是CD的中点，∴CM∥AB且CM=12 AB．∴CM∥EN，且CM＝EN，则四边形CNEM为平行四边形，∴CN∥EM．∵CN⊄平面PAM，EM⊂平面PAM，∴CN∥平面PAM；（Ⅱ）解：过P作PO⊥AB，垂足为O．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，∴PO⊥平面ABCD．又∠PAO＝∠PAB＝60°，PA=12AB=2，四棱锥P﹣ABCM的高PO=2sin60°=√3，故四棱锥P﹣ABCM的体积为：V P−ABCM=13×12(2+4)×4×√3=4√3．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=2OM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若互相平行的两条直线l ，l '分别过定点(−√3，0)和(√3，0)，且直线l 与曲线E交于P ，Q 两点，直线l '与曲线E 交于R ，S 两点，若四边形PQRS 的面积为8√65，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）推出|AB |+|AC |＝8＞|BC |，说明点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．求出方程设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=2OM →，转化求解点M 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，求出四边形PQRS 的面积为2√3，不符合要求．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =k(x +√3)，直线l '的方程为y =k(x −√3)，联立直线与椭圆方程，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），利用韦达定理弦长公式，点到直线的距离，表示三角形的面积，然后求解即可． 解：（Ⅰ）由已知，得|AB |+|AC |＝8＞|BC |，所以，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）． 因为，2a ＝8，c =2√3，所以，a ＝4，b ＝2， 所以，点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=2OM →得，{x 0=2x y 0=2y ，又x 0216+y 024=1． 故，点M 的轨迹E 的方程为(2x)216+(2y)24=1，即x 24+y 2=1(y ≠0)．（Ⅱ）由题意可知，当直线l 的斜率不存在时，易求得P(−√3，12)，Q(−√3，−12)，R(√3，−12)，S(√3，12)．这时，四边形PQRS 的面积为2√3，不符合要求． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =k(x +√3)，则直线l '的方程为y =k(x −√3)由{y =k(x +√3)，x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2+8√3k 2x +12k 2−4=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8√3k 21+4k2，x 1⋅x 2=12k 2−41+4k2． 故，|PQ|=√1+k 2|x1−x 2|=√1+k 2√(x1+x 2)2−4x 1x 2=4(1+k 2)1+4k2，又，两条平行直线l ，l '间的距离d =√3|k|√1+k ．由椭圆的对称性知：四边形PQRS 为平行四边形，其面积S =|PQ|⋅d =8√3|k|√1+k 21+4k2=8√65， 解得，k ＝±1或k =±√147．故，直线l 的方程为y =±(x +√3)或y =±√147(x +√3)．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[1e 2，e]上的最值； （Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（Ⅱ）由m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）等价于mg （b ）﹣f （b ）＞mg （a ）﹣f （a ），构造函数h(x)=mg(x)−f(x)=m2x 2−xlnx ，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．解：（Ⅰ）因为，f '（x ）＝lnx +1单调递增， 令f '（x ）＝lnx +1＝0得，x =1e． 当x ∈(1e2，1e )时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈(1e ，e)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增．所以，f(x)min =f(x)极小值=f(1e )=−1e；又f(1e2)=−2e 2，f （e ）＝e ；故，f(x)min=f(1e)=−1e，f（x）max＝f（e）＝e．（Ⅱ）因为，m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a），等价于mg（b）﹣f（b）＞mg（a）﹣f（a），令h(x)=mg(x)−f(x)=m2x2−xlnx，因为b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，所以，h（x）在（0，+∞）上单调递增．问题转化为h'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即m≥lnx+1x对x∈（0，+∞）恒成立．令φ(x)=lnx+1x，则φ′(x)=−lnxx2．由φ′(x)=−lnxx2=0得，x＝1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）递减，φ（x）max＝φ（1）＝1，故m的取值范围是：[1，+∞）．一、选择题23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x﹣1|≥2，把不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+b+c＝1，配凑使用柯西不等式，得12a+b+3b+2c=12[(2a+b)+(b+2c)](12a+b +32b+c)，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵|2x+1|+|2x﹣1|≥|（2x+1）﹣（2x﹣1）|＝2，∴不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是[﹣3，1]；（Ⅱ）证明：∵M＝1，∴a+b+c＝1，又a，b，c均为正实数，配凑使用柯西不等式，得12a+b +3b+2c=12[(2a +b)+(b +2c)](12a+b+3b+2c)≥12(√2a +b ⋅√12a+b +√b +2c ⋅√3b+2c)2=12(1+√3)2=2+√3． 当且仅当3(2a+b)b+2c =b+2c 2a+b时上式等号成立．∴12a+b+3b+2c≥2+√3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+√32ty =12t（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的直角坐标； （Ⅱ）设点M 是曲线C 上任意一点，求△MAB 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，将直线l 的参数方程{x =3+√32t y =12t代入曲线C 的直角坐标方程得：(3+√32t −2)2+(12t)2=4，化简得t 2+√3t −3=0，设A ，B 的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理得：t 1+t 2=−√3，于是t P =t 1+t 22=−√32．设P （x 0，y 0），则{x 0=3+√32×(−√32)=94y 0=12×(−√32)=−√34故，点P 的直角坐标为P(94，−√34)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t 1+t 2=−√3，t 1•t 2＝﹣3 所以，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√15又直线l 的普通方程为x −√3y −3=0，圆心C （2，0）到直线l 的距离为d =√1+(√3)2=12，圆半径r＝2．所以，点M到直线l的距离的最大值为h max=d+r=52．因此，△MAB面积的最大值为：S=12|AB|⋅h max=12√15×52=5√154．。
2020届云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷(含解析)
2020届云南省曲靖市陆良县高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U={0,1，2，3，4}，集合A={3,4}，则集合∁u A=()A. {0,1}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,1，2，3，4}2.复数z=i3在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列命题中真命题的个数是()①∀x∈R，x4>x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3−x2+1>0”．A. 0B. 1C. 2D. 34.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为−25时，输出x的值为()A. −1B. 1C. 3D. 9,cosθ)与b=(−1,2cosθ)垂直，则cos2θ的值等于()5.设a=(12A. −√22B. 0C. −12D. −16. 设a =(14)−13，b =log 52，c =log 85，则( ) A. a <b <c B. b <c <a C. c <b <a D. c <a <b7. 下面有命题：①y =|sinx −12|的周期是π； ②y =sinx +sin|x|的值域是[0,2]； ③方程cosx =lgx 有三解； ④ω为正实数，y =2sinωx 在[−π3,2π3]上递增，那么ω的取值范围是(0,34]；⑤在y =3sin(2x +π4)中，若f(x 1)=f(x 2)=0，则x 1−x 2必为π的整数倍； ⑥若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cosB −sinA,sinB −cosA 在第二象限； ⑦在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则△ABC 钝角三角形．其中真命题个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，B 是虚轴的一个端点，若C 上存在点P 满足：PF 恰好过点B ，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 52B. 32C. √102 D. √529. 已知四棱锥，则四棱锥直角三角形最多可以有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的外接球体积为( )A. 2√23π B. 4√23π C. 8√23π D. 16√23π11. 已知抛物线C ：y 2=16x ，焦点为F ，直线l ：x =−1，点A ∈l ，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若|FA|=5|FB|，则|FA|= ( )A. 6√2B. 35C. 4√3D. 4012. 函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是( )A.B. C. D.二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则b ⃗ = ______ ．14. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx +2y ≤4y ≥−2，则s =(x +1)2+(y −1)2的最大值是______．15. 设全集U =R ，A ={x|2x(x−2)<1}，B ={x|y =ln(1−x)}，则图中阴影部分表示的集合为 ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 下列四个命题，是否需要在“______”处加一个条件或结论才能构成真命题？如果需要，请填写出一个相应的条件；如果不需要，则在“______”上划上“/”： (1)平行平面α(2)(3) 在ABC 中,sinA >sinB ________________}⇔a >b;四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足：a 1=3，a 3=27(1)若数列{a n }是等差数列，求数列{a n }的通项a n ； (2)若数列{a n }是等比数列，求数列{a n }的前n 项和S n ．18.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：(Ⅰ)补全频率分布直方图；(Ⅱ)估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120,130)内的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=4，AD=2，PA=2，PD=2√2，∠PAB=60°．(1)证明AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小；(3)求二面角P−BD−A的平面角的正切值．20.点M，N是抛物线E上的两动点，M到点(2,0)的距离比到直线x+3=0的距离少1，点O(M,N与O不重合)是坐标原点，OM⊥ON．(Ⅰ)求抛物线E的标准方程；(Ⅱ)在x轴上是否存在定点总在直线MN上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=1nx−12ax2−2x．(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；(3)若a=−12时，关于x的方程f(x)=−12x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．22. (选修4−4：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程{x =√2cosθy =2sinθ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程：ρsin(θ−π4)=1.直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．23. 已知f(x)=|x −a|−a ，a ∈R(1)当a =−2时，解不等式：f(x)<−12x +2；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵U={0,1，2，3，4}，A={3,4}，∴∁U A={0,1，2}．故选：C．进行补集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集的运算．2.答案：C解析：试题分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．复数z=i 31+i =−i(1−i)(1+i)(1−i)=−i+i22=−1−i2=−12−12i，其对应的点为(−12,−12)，位于第三象限．故选C．3.答案：B解析：本题考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．①当x=0时不等式不成立；②根据复合命题真值表可知，“p∧q”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确．解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的．故选B．4.答案：C解析：试题分析：当输入时，，执行循环，；，执行循环，，退出循环，输出结果为，故选C ．考点：循环结构点评：本题考查循环结构的程序框图，弄清楚框图的算法功能是解题的关键，按照程序框图 顺序进行执行求解，属于基础题．5.答案：C解析：本题重点考查了平面向量的数量积的坐标运算，二倍角公式等知识，属于基础题，直接根据垂直，建立等式，结合二倍角的余弦公式进行求解； 解：垂直，，，，故选C ．6.答案：B解析：解：a =(14)−13=413>40=1，b =log 52<log 55=1，c =log 85<log 88=1，b c=log 52log 85=lg2lg5⋅lg8lg5=lg2lg5⋅3lg2lg5=3⋅(lg2lg5)2=3(log 52)2，log 52<log 5512=12，0<(log 52)2<14，0<3(log 52)2<34<1，即0<log 52log 85<1，∴log 52<log 85<1<(14)−13，∴b <c <a ．故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：对于①，∵y=|sin(ωx−12|的周期是πω，故正确；对于②，当x≥0时，y=sinx+sin|x|=2sinx值域不是[0,2]，故错；对于③，∵lg2π<1，lg4π>1，方程cosx=lgx有三解，正确；对于④，ω为正实数，y=2sinωx在[−π3,2π3]上递增，由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅2π3≤π2≤，由此求得正数ω的范围是(0,34]，故正确；对于⑤，函数的周期T=π，函数值等于0的x之差的最小值为T2，所以x1−x2必是π2的整数倍．故错；对于⑥，若A、B是锐角△ABC的两个内角，π2>B>π2−A，则cosB−sinA<0，sinB−cosA>0，故正确；故选：C．①，∵y=|sin(ωx−12|的周期是πω，；②，当x≥0时，y=sinx+sin|x|=2sinx值域不是[0,2]，；③，∵lg2π<1，lg4π>1，方程cosx=lgx有三解，正确；④，ω为正实数，y=2sinωx在[−π3,2π3]上递增，由条件利用正弦函数的单调性可得ω⋅2π3≤π2≤，由此求得正数ω的范围是(0,34]，；⑤，函数的周期T=π，函数值等于0的x之差的最小值为T2，所以x1−x2必是π2的整数倍；⑥，若A、B是锐角△ABC的两个内角，π2>B>π2−A，则cosB−sinA<0，sinB−cosA>0，；本题考查了命题的真假，涉及到三角函数的知识，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查平面向量知识的运用，考查双曲线的性质，属于中档题．设双曲线的焦距为2c ，根据双曲线的对称性，不妨取F(−c,0)，B(0,b)，令P(m,n)，根据向量的坐标运算，结合PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定P 的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率． 解：设双曲线的焦距为2c ，根据双曲线的对称性，不妨取F(−c,0)，B(0,b)， 令P(m,n)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,b −n)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c,−b)， 由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得m =2c ，n =3b ， ∴点P(2c,3b)， ∵点P 在双曲线上，∴(2c )2a 2−(3b)2b 2=1，即c 2a 2=52，∴e =√102， 故选：C ．9.答案：D解析：解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形． 故选D ．10.答案：C解析：解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得： 该几何体的直观图如下图所示：其俯视图为等腰直角△PBC，高为AB=2，把该四棱锥可放入长为1，宽为1，高为2的长方体中，它的外接球直径为AP=2R=√22+22=2√2，∴R=√2，其外接球体积为4π3⋅(√2)3=8√2π3．故选：C．把该四棱锥可放入长方体中求出它的外接球直径，再计算外接球的体积．本题考查了几何体外接球的体积计算问题，是基础题．11.答案：B解析：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力和分析解决问题的能力，属于基础题．设A(−1,a)，B(m,n)，且n2=16m，由|FA|=5|FB|，确定A，B的坐标，即可求得|FA|．解：由抛物线C：y2=16x，可得F(4,0)．设A(−1,a)，B(m,n)，且n2=16m，∵|FA|=5|FB|，∴−1−4=5(m−4)，∴m=3，∴n=±4√3．∵a=5n，∴a=±20√3，∴|FA|=√(4+1)2+(20√3)2=35．故选B．12.答案：B解析：试题分析：∵，∴，∴或， ∴由图像可知：的取值范围是．考点：1.一元二次方程；2.函数图像；3.图像的交点．13.答案：(−4,2)解析：解：∵已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =x +4=0，求得x =−4， 则b ⃗ =(−4,2)，故答案为：(−4,2)．由题意利用两个向量数量积公式、两个向量垂直的性质，求得x 的值，可得结论．本题主要考查两个向量数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．14.答案：90解析：解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，∵s =(x +1)2+(y −1)2，∴s 的几何意义是区域内的动点(x,y)到定点P(−1,1)距离平方，由图象可知当动点位于C 时，PC 的距离最大．由{y =−2x +2y =4，解得{x =8y =−2， 即C(8,−2)．∴s =(x +1)2+(y −1)2=(8+1)2+(−2−1)2=81+9=90．故答案为：90．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出s 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用s 的几何意义是解决本题的关键．15.答案：[1,2)解析：试题分析：根据题意求出分别求出集合A，B中x的取值范围，然后根据图示示意做题即可．由题意可知集合A中x必须满足x(x−2)<0即0<x<2，集合B中1−x必须大于0所以集合B中x必须满足x<1，图中阴影部分表示集合A中去掉A∩B，即关于集合A中A∩B的补集故答案为[1,2)．16.答案：l⊈αa⃗⋅b⃗ =0或a⃗与b⃗ 垂直/直角三角形解析：试题分析：(1)用线面平行的判定定理，平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行于该平面，即可判断．(2)用向量的模的求法可得．(3)应用正弦定理可得asinA =bsinB，很容易判断．(4)把直线方程与抛物线方程联立，计算x1x2+y1y2即可．(1)∵线面平行的判定定理是，平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行于该平面，∴需加条件l⊈α(2)∵只有在a⃗,b⃗ 垂直时，才有|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴需加条件a⃗⋅b⃗ =0或a⃗与b⃗ 垂直．(3)∵在△ABC中，由正弦定理可得asinA =bsinB，∴当sinA>sinB时，必有a>b，∴不用加条件，划上“/”即可．(4)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，过P点的直线方程为y=k(x−4)，代入抛物线方程，化简得，x1x2= 16.y1y2=−16，∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥AB，即△ABC为直角三角形∴需添直角三角形故答案为(1)l⊈α.(2)a⃗⋅b⃗ =0或a⃗与b⃗ 垂直．(3)/(,4)直角三角形．17.答案：解：(1)∵等差数列{a n}满足：a1=3，a3=27，∴3+2d=27，解得d=12，∴a n=12n−9．(2)∵等比数列{a n}满足：a1=3，a3=27，∴3q2=27，解得q=3∴S n=a1(1−q n)1−q =3(1−3n)1−3=3n+12−32．解析：(1)由已知条件利用等差数列通项公式得3+2d=27，求出公差d=12，由此能求出数列{a n}的通项a n．(2)由已知条件利用等比数列通项公式得3q2=27，求出q=3，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18.答案：解：(Ⅰ)分数在[120,130)内的频率1−(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1−0.7=0.3，因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：(Ⅱ)估计平均分为x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05= 121(Ⅲ)由题意，[110,120)分数段的人数与[120,130)分数段的人数之比为1：2，用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110,120)分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120,130)分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有{(m,n)，(m,a)，(m,b)，(m,c)，(m,d)，(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}，共15个．事件A包含的基本事件有{(m,n)，(m,a)，(m,b)，(m,c)，(m,d)，(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)}共9个．∴P(A)=915=35．解析：(Ⅰ)求出分数在[120,130)内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．(Ⅱ)利用频率分布直方图能估计平均分．(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110,120)分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120,130)分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120,130)内的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：(1)证明：在△PAD中，由题设PA=AD=2，PD=2√2，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA，∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线，∴AD⊥平面PAB；(2)解：由题设，BC//AD，∴∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB=√4+16−2⋅2⋅4⋅12=2√3由(1)知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=√3．∴异面直线PC与AD所成的角的大小为60°；(3)解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，∴AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．∴BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P−BD−A的平面角．由题设可得，PH =PA ⋅sin60°=√3，AH =PA ⋅cos60°=1，BH =AB −AH =3，BD =2√5，HE =AD BD ⋅BH =√5，于是在RT △PHE 中，tan∠PEH =√33√5=√153，∴二面角P −BD −A 的正切值大小为√153．解析：本题考查线面垂直的判定，以及二面角的证明，通过对四棱锥的考查，以及直角三角形的考查，得到要求的结果，属于中档题．(1)由勾股定理逆定理，结合题中的数据得到AD ⊥PA ，又AD ⊥AB ，PA 、AB 是平面PAB 内的相交直线，所以AD ⊥平面PAB ；(2)利用条件借助图形，利用异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线，然后结合解三角形有关知识解出即可；(3)通过把二面角转化为其平面角PEH ，然后在RT △PHE 中，求出其正切值即可．20.答案：解：(1)因为M 到点(2,0)的距离比到直线x +3=0的距离少1，故抛物线E 是以点(2,0)为焦点，以x =−2为准线的抛物线，∴抛物线E 的标准方程是：y 2=8x ．(2)设直线MN 的方程为x =my +n ，与x 轴的交点为(n,0)，与抛物线恒有两交点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，与抛物线方程联立，则{y 2=8x x =my +n， 可得y 2=8my +8n ，即y 2−8my −8n =0；由OM ⊥ON 得：x 1x 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=y 128⋅y 228=(y 1y 2)264，y 1y 2=−8n ， ∴64n 264−8n =0解得n =8，n =0(舍去)，∴直线MN 的方程为x =my +8，过定点(8,0)，即在x 轴上存在定点满足条件，其坐标是(8,0)．解析：本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(1)判断E 是以点(2,0)为焦点，以x =−2为准线的抛物线，求出抛物线方程即可．(2)设直线MN 的方程为x =my +n ，与x 轴的交点为(n,0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程组，通过韦达定理以及x 1x 2+y 1y 2=0，求出n ，然后判断直线MN 的方程为x =my +8，过定点(8,0)即可．21.答案：解：(1)f′(x)=1x −ax −2=−ax 2+2x−1x (x >0) ∵f(x)在x =2处取得极值，∴f′(2)=0，即a×22+2×2−12=0，解之得a =−34(经检验符合题意) (2)由题意，得f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，即ax 2+2x −1≤0在(0,+∞)内恒成立，∵x 2>0，可得a ≤1−2x x 2在(0,+∞)内恒成立， ∴由1−2xx 2=(1x−1)2−1，当x =1时有最小值为−1，可得a ≤−1 因此满足条件的a 的取值范围为(−∞,−1](3)a =−12，f(x)=−12x +b 即14x 2−32x +lnx −b =0设g(x)=14x 2−32x +lnx −b ，(x >0)，可得g′(x)=(x−2)(x−1)2x列表可得∴[g(x)]极小值=g(2)=ln2−b −2；[g(x)]极大值=g(1)=−b −54∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，且g(4)=2ln2−b −2∴{g(1)≥0g(2)<0g(4)≥0，解之得ln2−2<b ≤−54解析：(1)求出函数的导数f′(x)，根据题意解关于a 的等式f′(2)=0，即可得到实数a 的值；(2)由题意，不等式f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，等价转化为a ≤1−2x x 2在(0,+∞)内恒成立，求出右边的最小值为−1，即可得到实数a 的取值范围；(3)原方程化简为14x 2−32x +lnx −b =0，设g(x)=14x 2−32x +lnx −b(x >0)，利用导数研究g(x)的单调性得到原方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b 的不等式组并解之，即可得到实数b 的取值范围．本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的极值与单调性，并依此探求关于x 的方程有解的问题．着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：解：直线l 的极坐标方程ρsin(θ−π4)=1，即x −y +√2=0， 曲线M 的参数方程{x =√2cosθy =2sinθ(其中θ为参数)，即x 22+y 24=1． 由{x −y +√2=0x 22+y 24=1可得3x 2+2√2x −2=0， ∴x 1=−√2，x 2=√23， ∴MN =√1+1⋅|x 1−x 2|=√2×|−√2−√23|=83．解析：把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，把曲线M 的参数方程化为普通方程，联立方程组，化为关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求出MN 的值．23.答案：解：(1)当a =−2时，由f(x)<−12x +2，得|x +2|+2<−12x +2，即|x +2|<−12x ， 所以：即12x <x +2<−12x ，则{x <012x <x +2x +2<−12x ，得{x <0x >−4x <−43，解得：−4<x <−43， 所以原不等式的解集为：(−4,−43).(2)由f(x)图象与x 轴有公共点，则f(x)=0有两个根，即|x −a|=a ，有两个根，所以：a >0；两个根分别为：x 1=0，x 2=2a ，而f(x)的图象与x 轴围成的图形为等腰直角三角形，所以：S =12×2a ⋅a =9，解得：a =3．解析：(1)当a =−2时，利用绝对值不等式的解法进行求解即可．(2)根据绝对值的应用转化为f(x)=0有两个根，求出方程的根，利用三角形的面积公式建立方程进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的转化和运算能力．。