沪科新版九年级(上) 中考题单元试卷：第21章 二次函数与反比例函数(42)
沪科新版九年级（上）中考题单元试卷：第21章二次函数与反比例函数（42）一、解答题（共30小题）1．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y＝kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC＝∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q 运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．3．如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x＝﹣3与抛物线相交于第三象限的点M，与x 轴相交于点N，且tan∠MON＝3．（1）求抛物线C的解析式；（2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O﹣B﹣A于点E1，F1，再分别以线段EE1，FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2，等边△FF1F2．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值．4．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB 沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．（3）线段OB与抛物线交于点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD＝CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M 的坐标；（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．8．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F．若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．9．如图，已知直线y＝x与抛物线交于A、B两点．（1）求交点A、B的坐标；（2）记一次函数y＝x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2．若y1＞y2，求x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．（3）在（2）的基础上，设直线x＝t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．11．如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d＝|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d 的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．12．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC＝90°，AB＝1，AO＝2，OC＝3，以O 为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？13．已知，如图（a），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE＝30°，|x1﹣x2|＝8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似（除去全等这一情况）？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．14．如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y＝（x ﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣8，0），B（2，0）两点，直线x＝﹣4交x 轴于点C，交抛物线于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点E在直线x＝﹣4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使d1＝d2＝？若存在，请直接写出d3的值；若不存在，请说明理由．16．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y＝ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y＝x2于点A、B，交抛物线C2：y＝x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m123由上表猜想：对任意m（m＞0）均有＝．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠P AB＝∠DAC，求平移后抛物线的解析式．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+与直线y＝x交于点A，点B在直线y＝x+上，∠BOA＝90°．抛物线y＝ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y＝x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE ∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．20．如图1，已知直线l：y＝﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y＝（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y＝（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：或，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD＝90°，求m的值．21．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M 的直径，其半圆交AB于点C，且AC＝3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM＝S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C （1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．24．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k＝1，m＝0，1时，求AB的长；（2）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．25．如图1所示，已知直线y＝kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x＝﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求点P的坐标；（3）直线y＝x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|＝）26．直线y＝x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？27．如图，抛物线y＝﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．28．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；（3）A、B为直线y＝﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．30．如图①，若二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y＝x的图象的对称点为C．（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y＝x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y＝x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．沪科新版九年级（上）中考题单元试卷：第21章二次函数与反比例函数（42）参考答案一、解答题（共30小题）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；；；18．；19．；20．（m﹣1）2+1；（m﹣h）2﹣h+2；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。
沪科新版九年级(上册)第21章二次函数与反比例函数测试卷含答案
一．选择题（共10小题）1．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A．B．C．D．2．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．A．①②B．②③C．①③D．都不是3．已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，则函数y=的大致图象是（）A． B．C． D．4．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（）A．B．C．D．5．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．6．a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．7．对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是28．下列函数中，是反比例函数的为（）A．y= B．y= C．y=2x+1 D．2y=x9．若点A（1，2），B（﹣2，﹣3）在直线y=kx+b上，则函数y=的图象在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第二、三象限10．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小二．填空题（共3小题）11．对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值围为．12．若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= ．13．已知方程3x2﹣5x+m=0的两个实数根分别为x1、x2，且分别满足﹣2＜x1＜1，1＜x2＜3，则m的取值围是．三．解答题（共6小题）14．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数在第一象限的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若S△BOD=4，（1）求反比例函数解析式；（2）求C点坐标．15．已知：y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x=1时，y=3；x=﹣1时，y=1．求x=﹣时，y的值．16．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（﹣3，m）．（1）求反比例函数y1=和一次函数y2=ax+b的表达式；（2）点C 是坐标平面一点，BC∥x 轴，AD⊥BC 交直线BC 于点D，连接AC．若AC=CD，求点C的坐标．17．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．18．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？19．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24．（1）若利润为21万元，求n的值．（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据k的符号，得到反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1都经过第一、三象限或第二、四象限，再根据一次函数y=kx﹣1与y轴交于负半轴，即可得出结果．【解答】解：当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；∵一次函数y=kx﹣1与y轴交于负半轴，∴D选项错误，B选项正确，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k 的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．2．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．A．①②B．②③C．①③D．都不是【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．故选C【点评】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的性质、中心对称图形的定义等知识，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于基础题．3．已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，则函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，得方程x2+2x﹣m﹣2=0没有实数根求得m＜﹣5，再判断函数y=的图象在哪个象限即可．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，∴方程x2+2x﹣m﹣2=0没有实数根，∴△=4﹣4×1×（﹣m﹣4）=4m+20＜0，∴m＜﹣5，∴函数y=的图象在二、四象限．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的图象以及抛物线与x轴的交点问题，掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．4．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象可以确定kb的符号，易得k、b的符号，根据图象与系数的关系作出正确选择．【解答】解：∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，A、图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；B、图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；C、图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；D、图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的图象，正确得出k，b的符号是解题关键．5．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y 轴负半轴．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的关键．6．a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【解答】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．7．对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选（B）【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．8．下列函数中，是反比例函数的为（）A．y= B．y= C．y=2x+1 D．2y=x【分析】根据反比例函数的定义回答即可．【解答】解：A、是反比例函数，故A正确；B、不是反比例函数，故B错误；C、是一次函数，故C错误；D、是正比例函数，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．9．若点A（1，2），B（﹣2，﹣3）在直线y=kx+b上，则函数y=的图象在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第二、三象限【分析】由点A、B的坐标利用待定系数法可求出一次函数解析式，再根据k＞0即可得出反比例函数y=的图象所在的象限．【解答】解：∵点A（1，2），B（﹣2，﹣3）在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴函数y=的图象在第一、三象限．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的图象以及待定系数法求一次函数解析式，根据点A、B的坐标利于待定系数法可求出一次函数解析式是解题的关键．10．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为：=﹣3，故此选项正确，不合题意；C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；D、∵a=1＞0，对称轴x=m，∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．二．填空题（共3小题）11．对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值围为且．【分析】根据新定义得到y′=x3+（m﹣1）x2+m2=x2+2（m﹣1）x+m2，（1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．【解答】解：根据题意得y′=x2+2（m﹣1）x+m2，（1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根，∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为：；（2）y′=m﹣，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣，化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+=0，∵方程有两个正数根，∴，解得：且．故答案为：且．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．12．若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= 4 ．【分析】二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则b2﹣4ac=0，据此即可求得．【解答】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案是：4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．13．已知方程3x2﹣5x+m=0的两个实数根分别为x1、x2，且分别满足﹣2＜x1＜1，1＜x2＜3，则m的取值围是﹣12＜m＜2 ．【分析】设f（x）=3x2﹣5x+m，由题意可得，可得m的取值围．【解答】解：设f（x）=3x2﹣5x+m，由题意可得，解得：﹣12＜m＜2，故答案为：﹣12＜m＜2．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用函数思想是解答此题的关键．三．解答题（共6小题）14．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数在第一象限的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若S△BOD=4，（1）求反比例函数解析式；（2）求C点坐标．【分析】（1）根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△BOD=k=4，求出k即可确定反比例函数解析式；（2）先利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后把正比例函数解析式和反比例函数解析式组成方程，解方程组即可得到C点坐标．【解答】解：（1）∵S△BOD=k，∴k=4，解得k=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）设直线OA的解析式为y=ax，把A（4，8）代入得4a=8，解得a=2，所以直线OA的解析式为y=2x，解方程组得或，所以C点坐标为（2，4）．【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．15．已知：y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x=1时，y=3；x=﹣1时，y=1．求x=﹣时，y的值．【分析】依题意可设出y1、y2与x的函数关系式，进而可得到y、x的函数关系式；已知此函数图象经过（1，3）、（﹣1，1），即可用待定系数法求得y、x的函数解析式，进而可求出x=﹣时，y的值．【解答】解：依题意，设y1=mx2，y2=，（m、n≠0）∴y=mx2+，依题意有，∴，解得，∴y=2x2+，当x=﹣时，y=2×﹣2=﹣1．故y的值为﹣1．【点评】考查了待定系数法求二次函数解析式，能够正确的表示出y、x的函数关系式，进而用待定系数法求得其解析式是解答此题的关键．16．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（﹣3，m）．（1）求反比例函数y1=和一次函数y2=ax+b的表达式；（2）点C 是坐标平面一点，BC∥x 轴，AD⊥BC 交直线BC 于点D，连接AC．若AC=CD，求点C的坐标．【分析】（1）由点A在反比例函数图象上，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，由点B在反比例函数图象上，可求出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；（2）由BC∥x轴结合点B的坐标可得出点C的纵坐标，再由点A的坐标结合AD ⊥BC于点D，即可得出点D的坐标，即得出线段AD的长，在Rt△ADC中，由勾股定理以及线段AC、CD间的关系可求出线段CD的长，再结合点D的坐标即可求出点C的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A （1，3）和B（﹣3，m），∴点A（1，3）在反比例函数y1=的图象上，∴k=1×3=3，∴反比例函数的表达式为y1=．∵点B（﹣3，m）在反比例函数y1=的图象上，∴m==﹣1．∵点A（1，3）和点B（﹣3，﹣1）在一次函数y2=ax+b的图象上，∴，解得：．∴一次函数的表达式为y2=x+2．（2）依照题意画出图形，如图所示．∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为﹣1，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADC=90°．∵点A的坐标为（1，3），∴点D的坐标为（1，﹣1），∴AD=4，∵在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2，且AC=CD，∴，解得：CD=2．∴点C1的坐标为（3，﹣1），点C2的坐标为（﹣1，﹣1）．故点C的坐标为（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）通过解直角三角形求出线段CD的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．17．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．18．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x 的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键．19．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24．（1）若利润为21万元，求n的值．（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？【分析】（1）把y=21代入，求出n的值即可；（2）根据解析式，利用配方法求出二次函数的最值即可；（3）根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．【解答】解：（1）由题意得：﹣n2+14n﹣24=21，解得：n=5或n=9；（2）y=﹣n2+14n﹣24=﹣（n﹣7）2+25，∵﹣1＜0，∴开口向下，y有最大值，即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润，最大利润是25万；（3））∵y=﹣n2+14n﹣24=﹣（n﹣2）（n﹣12），当y=0时，n=2或者n=12．又∵图象开口向下，∴当n=1时，y＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练运用配方法求二次函数的最大值，借助二次函数解决实际问题．。
沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数含答案
沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若函数y=（n-2）是反比例函数，则n为（）A.±2B.2C.-2D.以上都不对2、下列函数中，反比例函数是（）A.y=x+1B.y=C. =1D.3xy=23、若y=（3+m）x 是开口向下的抛物线，则m的值（）A.3B.﹣3C.D.﹣4、四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是( ).A.甲B.乙C.丙D.丁5、二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、点（2，﹣2）是反比例函数y= 的图象上的一点，则k=（）A.﹣1B.C.﹣4D.﹣7、下列四个点，在反比例函数y= 的图像上的是（）A.（1，﹣6）B.（2，4）C.（3，﹣2）D.（﹣6，﹣1）8、如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y= 的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（）A.4B.2C.1D.9、已知二次函数y＝a(x－2)2＋c，当x＝ x1时，函数值为y1；当x＝ x2时，函数值为y2.若|x1－2|＞|x2－2|，下列表达式中正确的是( )A.y1＋y2＞0 B.y1－y2＞0 C.a(y1－y2)＞0 D.a(y1＋y2)＞010、对于反比例函数，下列说法错误的是（）A.点在它的图像上B.当时，随的增大而增大C.它的图像在第二、四象限D.当时，随的增大而减小11、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.a＞0B.c＜0C.b 2-4ac＜0D.a+b+c＞012、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④3a+c＞0；⑤当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（）A.1个B.2个C.3D.4个13、若y=（2-m）x m2−2是二次函数，则m等于（）A.±2B.2C.-2D.不能确定14、如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y= （x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为( )A.6B.4C.4.5D.2.515、如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y= （x＞0）的图象是（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有________。
第21章 二次函数与反比例函数数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第21章二次函数与反比例函数数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、函数y=x（x﹣4）是（）A.一次函数B.二次函数C.正比例函数D.反比例函数2、如图，A是反比例函数y=的图象上一点，AB⊥y轴于点B．若△ABO面积为2，则k为值为（）A.-4B.1C.2D.43、有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是，将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是随的增大而增大的概率是（）A. B. C. D.14、两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A.小红的运动路程比小兰的长B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C.当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD.在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径5、当时,函数与在同一坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D.6、二次函数y = ax2-2x-3（a<0）的图象一定不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7、将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（）A.y=3（x-1）2+2B.y=3（x+1）2-2C.y=3（x-1）2-2 D.y=3（x+1）2+28、如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为3∶1，把线段AB缩小得到A′B′，则过A′点对应点的反比例函数的解析式为( )A.y＝B.y＝C.y＝－D.y＝9、如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A.x＜﹣2或x＞2B.x＜﹣2或0＜x＜2C.﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D.﹣2＜x＜0或x＞210、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=（）A.2B.3C.4D.511、如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E，若AB=4，CE=2BE，，则k的值为（）A.3B.C.6D.1212、反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m＜3B.m≤3C.m＞3D.m≥313、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个14、已知二次函数y=ax2+bx－1（a≠0）的图象经过点(2，4)，则代数式1﹣2a﹣b的值为( )A.-4B.-C.D.15、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）A.S1＜S2＜S3B.S2＜S1＜S3C.S3＜S1＜S2D.S1＝S2＝S3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l：，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…B n（n，y n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1， 0），A2（x2， 0），A3（x3， 0）…，A n+1（x n+1， 0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若其中一条抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这条抛物线就称为：“美丽抛物线”.则当d（0＜d＜1）的大小变化时能产生美丽抛物线相应的d的值是________.17、若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是________.（用“＜”连接）18、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(一3，y l)、点B(- ，y2)、点C( ，y3)在该函数图象上，则y l<y3<y2；⑤若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<-1<5<x2．其中正确的结论有________ (只需填写序号)19、二次函数的图像开口方向________ 。
沪科新版九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试(含解析)
沪科九上数学试卷一、单选题 （本题共计 10 小题，共计40分）1、 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是A ．B ．C ．D ．2、如图，在中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是A ．B ．C ．D ．3、比较二次函数2y x =与2y x =-的图象，下列结论错误的是( ) A ．对称轴相同 B ．顶点相同 C ．图象都有最高点 D ．开口方向相反4、如图，已知函数和的图象交于点、，则根据图象可得关于的不等式的解集是（ ）A ．B ．－3＜x ＜0或C ．D ．5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）6、如图，已知矩形ABCD 中，AB =3，BE =2，EF ⊥BC ．若四边形EFDC 与四边形BEF A 相似而不全等，则CE =（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57、如果23a b =，那么a a b+等于（ ） A ．3:2B ．2:5C ．5:3D ．3:58、如图，△ABC 的顶点A 在反比例函数y ＝(x ＞0)的图象上，顶点C 在x 轴上，AB ∥x 轴，若点B 的坐标为(1，3)，S △ABC ＝2，则k 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．7D ．﹣79、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ．若34AE AC =， AD=9，则AB 等于（ ）A ．10B ．11C ．12D ．1610、二次函数的图像如图，下列结论：①；②；③；④.正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 （本题共计 4 小题，共计20分）11、已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点(-1,0)，（0，-2），(1,-2).则这个二次函数的解析式为______. 12、如图，已知函数y=﹣与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的不等式bx+＞的解集为_____．13、若3a=4b ，则(a-b)：(a+b)的值是_________14、如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >.若1S 表示以BC 为边的正方形的面积，2S 表示长为()AD AD AB =、宽为AC 的矩形的面积，则1S 与2S 的大小关系为__________.三、解答题 （本题共计 9 小题，共计90分）15、泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y (℃)与时间x (min )成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y (℃)与时间x (min )近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． (1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围：(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？16、已知抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于点A （﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D （0，74）作x 轴的平行线交抛物线于E ，F 两点，求EF 的长； （3）当y ≤74时，直接写出x 的取值范围是 ．17、图是5×5的网格图，每个小正方形的边长为1，请按要求作格点图形(图形的每个顶点都在格点上) (1)在图①中以线段PQ 为一边作一个等腰直角三角形；(2)在图②中，作△DEF 相似于△ABC ，且△ABC 与△DEF 的相似比是1：2．18、我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z （元/件）与年销售量x （万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W 万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）（2）求W 与x 之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？19、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，Rt △BAP 中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP ，BP 交AC 于点O ，E为AC 上一点，且AE=OC ． （1）求证：AP=AO ； （2）求证：PE ⊥AO ；（3）当AE=AC ，AB=10时，求线段BO 的长度．20、某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3﹣52﹣2﹣10 1 2523 …y …﹣2﹣14m 2 1 2 1﹣14﹣2…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．21、如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，点D为点B（﹣3，0）关于AC的对称点，反比例函数y＝的图象经过点D．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）求反比例函数的解析式；（3）已知在y＝的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标．22、如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：△BDE是直角三角形；（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．23、在△ABC中，点E、F在边BC上，点D在边AC上，连接ED、DF，ABAC＝m，∠A＝∠EDF＝120°（1）如图1，点E、B重合，m＝1时①若BD平分∠ABC，求证：CD2＝CF•CB；②若213CFBF=，则ADCD＝；（2）如图2，点E、B不重合．若BE＝CF，=AB DFAC DE＝m，37BEEF=，求m的值．答案解析一、单选题1、【答案】B【解析】∵点（2，-3）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×（-3）=-6． A 、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上； B 、∵3×（-2）=-6，∴此点在函数图象上； C 、∵（-2）×（-3）=6≠-6，此点不在函数图象上； D 、∵（-1）×（-6）=6≠-6，此点不在函数图象上． 故选B ． 2、【答案】C【解析】 【分析】 由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】 A.∵， ∴ ,故不正确；B. ∵， ∴ ,故不正确；C. ∵，∴∽，∽,， ．，故正确；D. ∵， ∴,故不正确；故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．3、【答案】C 【解析】二次函数2y x =,开口向上, ∴有最小值,二次函数2y x =-,开口向下, ∴有最大值, 故选C.4、【答案】B【解析】 【分析】观察图象得到当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，函数图象y 1=kx +b 都在的图象上方，即有kx +b ＞．【详解】当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，kx +b ＞． 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察图象的能力．5、【答案】C.【解析】试题分析：观察图形，可知AB=10,AC=2,BC=2,A 选项中的阴影部分三边分别是1，5，22，B 选项中的三边分别是3，2，5，C 选项中的三边分别是1，2，5，D 选项中的三边分别是2，5，13，根据三边的比相等的两个三角形相似，可知选项C 正确.考点：相似三角形的判定.6、【答案】D【解析】【分析】可设CE =x ，由四边形EFDC 与四边形BEF A 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】 设CE =x ．∵四边形EFDC 与四边形BEF A 相似，∴．∵AB =3，BE =2，EF =AB ，∴，解得：x =4.5．故选D ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与四边形BEF A相似得到比例式．7、【答案】B【解析】∵ab=23的两个内项是b、2，两外项是a、3，∴32ba=，∴根据合比定理，得23522a ba++==,即52a ba+=；同理，得aa b+=2：5.故选B.8、【答案】C【解析】∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC=（a-1）×3=2，∴a=，∴点A（，3）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴k=7，故选：C．9、【答案】C【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理可以得到AE ADAC AB=，求得AB的长.试题解析：∵DE∥BC，∴AE AD AC AB=，即394AB =，解得：AB=12.故选C.考点：平行线分线段成比例．10、【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵对称轴为直线x==-1，∴b<0，∴abc>0，故①正确，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac>0，即4ac-b2<0，故②正确，∵=-1，∴a=，∵x=1时，a+b+c<0，∴+b+c<0，即3b+2c<0，故③正确，当x=-1时，a-b+c>0，故④正确，综上所述：正确的结论有①②③④共4个，故选D.二、填空题11、【答案】y=x2-x-2.【解析】将此三个点代入解析式里得{22a b cca b c-+==-++=-解得a=1,b=-1,c=-2,故解析式为y=x2-x-2.12、【答案】x＜﹣3或x＞0．【解析】【分析】所求不等式变形后，可以看做求二次函数的函数值大于反比例函数值时x的范围，由二次函数与反比例函数图象的交点，利用图象即可得到满足题意的x的范围，即为所求不等式的解集．【详解】∵反比例函数与二次函数图象交于点P，且P的纵坐标为1，∴将y=1代入反比例函数y=-得：x=-3，∴P的坐标为（-3，1），将所求的不等式变形得：ax2+bx＞- ，由图象可得：x＜-3或x＞0，则关于x的不等式ax2+bx +＞0的解为x＜-3或x＞0．故答案为：x＜-3或x＞0【点睛】此题考查了二次函数与不等式（组），利用了数形结合的数学思想，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．13、【答案】【解析】∵3a=4b，∴a=b，∴（a-b）：（a+b）= b： b=1：7．故答案为．14、【答案】12S S=【解析】∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故答案为：S1＝S2.三、解答题15、【答案】(1)y＝100(8＜x≤9)；y ＝(9＜x≤45)；(2)等待2分钟．【解析】(1)停止加热时，设，由题意得：50＝，解得：k＝900，∴y ＝，当y＝100时，解得：x＝9，∴C点坐标为(9，100)，∴B点坐标为(8，100)，当加热烧水时，设y＝ax+20，由题意得：100＝8a+20，解得：a＝10，∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；当停止加热，得y与x的函数关系式为y＝100(8＜x≤9)；y ＝(9＜x≤45)；(2)把y＝90代入y ＝，得x＝10，因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．16、【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为2；（312x≤或32x≥．【解析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx +3，解得：a＝﹣1，b＝2，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝74，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝12或32，则EF长312 22⎛⎫=--=⎪⎝⎭；（3）由题意得：当y≤74时，直接写出x 的取值范围是：12x≤或32x≥，故答案为：12x≤或32x≥．17、【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】(1)如图所示，△PQM即为所求；(2)∵AB＝2，BC2=，AC221310=+=，△ABC与△DEF的相似比是1：2．∴2AB BC ACDE EF DF===，∴DE＝22，EF＝2，DF＝210，∴△DEF即为所求．18、【答案】（1）y=x2．z=﹣x+30（0≤x≤100）；（2）年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得毛利润1080万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a＝，故y与x之间的关系式为y＝x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx＋b，则，解得：，故z与x之间的关系式为z＝﹣x＋30（0≤x≤100）；（2）W＝zx﹣y ＝﹣x2＋30x ﹣x2＝﹣x2＋30x＝﹣（x2﹣150x）＝﹣（x﹣75）2＋1125，∵﹣＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W ＝﹣（x﹣75）2＋1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.19、【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BO=．【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．试题解析：（1）∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠ABP，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠ABP，∴AP=AO；（2）如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，∵AE＝OD，∠AOD＝∠PAE，AP＝AO，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；（3）设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．由（1）可知，AP=AO=5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，由∠CBO=∠ABP，根据轴对称BC=BD=10﹣4k，∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，∴△BCO∽△PEO，∴，即，解得k=1．∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO=．考点：1.相似三角形的判定与性质2.全等三角形的判定与性质3.角平分线的性质4.等腰三角形的判定与性质．20、【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为：2；②由图象可知：﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，即y＝a时，与图象有4个交点，所以a的取值范围是：1＜a＜2．故答案为：1＜a＜2．21、【答案】（1）证明见解析；（2）反比例函数解析式为y ＝；（3）点M的坐标为（0，）．【解析】（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，∴A（0，4），C（2，0），∴AB ＝＝5，BC＝5，∵D为B点关于AC的对称点，∴AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形.（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，而AD＝5，A（0，4），∴D（5，4），把D（5，4）代入y ＝得k＝5×4＝20，∴反比例函数解析式为y ＝.（3）∵四边形ABMN是平行四边形，∴AB∥NM，AB＝NM，∴MN是AB经过平移得到的，∵点M是点B在水平方向向右平移3个单位长度，∴点N的横坐标为3，代入y ＝中，得：y ＝，∴点M 的纵坐标为﹣4＝，∴点M的坐标为（0，）．22、【答案】（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由平行四边形ABCD对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，则DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；（2）利用两角法证得△BDE与△DCE相似．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；（2）△BDE与△DCE相似．理由如下：∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DCE.23、【答案】（1）①见解析；②12或23；（2）m＝12．【解析】（1）①∵1ABmAC==，∴AB＝AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDF+∠CDF，且∠A＝∠BDF＝120°，∴∠ABD＝∠CDF＝∠DBF，且∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBD，∴CD CF BC CD=，∴CD2＝BC•CF；②如图1，过A作AG⊥BC于G，过F作FH⊥BC，交AC于H，∵∠C＝30°，∴CH＝2FH，设FH＝2a，CH＝4a，则CF＝23a，∵213CFBF=，∴BC＝153a，∵CG＝153a，∴AG＝152a，AC＝15a，∴AH＝11a，∵∠BAD＝∠BDF＝∠DHF＝120°，∴∠ADB+∠FDH＝∠ADB+∠ABD＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠FDH，∴△ABD∽△HDF，∴AB ADHD FH=，即152a ADHD a=，设AD＝x，则DH＝11a﹣x，∴30a2＝x（11a﹣x），x2﹣11ax+30a2＝0，（x﹣5a）（x﹣6a）＝0，x＝5a或6a，∴51102AB aCD a==或6293AD aCD a==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E作EH∥AB，交AC于H，过D作DM⊥EH于M，过F作FG∥ED，交AC于G，∵BE＝CF，37BEEF=，∴37CFEF=，∵FG∥ED，∴37CF CGEF DG==，∴设CG＝3a，DG＝7a，∵AB DFAC DE=m，∠A＝∠EDF＝120°，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC＝10a，∵FG∥DE，∴∠GFC＝∠DEF＝∠C，∴FG＝CG＝3a，同理由（1）得：△EHD∽△DFG，∴ED DHDG FG=，即1073a DHa a=，DH＝307a，Rt△DHM中，∠DHM＝60°，∴∠HDM＝30°，∴HM＝12DH＝157a，DM153a，∴EM222215365(10)()77DE DM a a a-=-=，∴EH＝657a﹣157a＝507a，∴m＝5017302107aAB EHAC CH a a===+．。
沪科版九年级数学上册试题 第21章二次函数与反比例函数章节测试卷(含解析)
第21章《二次函数与反比例函数》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．反比例函数y=k−2x过点(1，2)，则关于一次函数y=kx+k−5说法正确的是（ ）A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大C．一次函数过点(2，9) D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 2．一次函数y=cx−b与二次函数y=a x2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．3．已知抛物线y=x2+(m+1)x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）A．2+5B．2−5C．2D．−24．已知点A(a,y1)，B(a+2,y2)，在反比例函数y=|k|+1x的图像上，若y1−y2>0，则a的取值范围为（）A．a<0B．a<−2C．−2<a<0D．a<−2或a>05．已知二次函数y=m x2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或126．已知二次函数y=−(x+m−1)(x−m)+1，点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是图象上两点，下列说法正确的是( )A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y1<y27．如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（）A．mn=−2B．mn=−4C．n=−2m D．n=−4m8．已知抛物线y=a x2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A(1，0)和点B(0，−3)，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）A．0<m<3B．−6<m<3C．−3<m<6D．−3<m<09．如图是抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点(m，0)在−2到−1之间；④当x<0时，a x2+(b+2)x≥0；⑤一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（）A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C、D，若点C的横坐标为6，BE=2DE，则k的值为（ ）A ．372B ．725C ．965D ．18二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，抛物线y =a x 2+bx +c 与直线y =kx +ℎ交于A 、B 两点，则关于x 的不等式a x 2+(b −k )x +c >ℎ的解集为 ．12．将二次函数y =4x 2+mx +n （m ，n 为常数）的图像沿与x 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x 轴截出长为22的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．13．抛物线y =−12x 2+x +4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．(1)则点C 的坐标为 ；(2)若点P 为y 轴的正半轴上的一点，且△BCP 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．14．如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点D 是抛物线上的一个点，作DE ∥AB 交抛物线于D 、E 两点，以线段DE 为对角线作菱形DPEQ ，点P 在x 轴上，若PQ =12DE 时，则菱形对角线DE 的长为 ．15．如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y =1x(x >0)的图象上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1O A 1=∠B 2B 1A 2=∠B 3B 2A 3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，直线y =x 与双曲线y =1x交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是 ．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△OAB 是等边三角形，且点B 的坐标为(4，0)，点A 在反比例函数y =kx (k >0)的图象上．（1）反比例函数y =kx的表达式为 ；（2）把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 1A 1B 1．①若此时另一个反比例函数y =k 1x的图象经过点A 1，则k 和k 1的大小关系是：k k 1（填“<”、“>”或“=”）；②当函数y =kx的图象经△O 1A 1B 1一边的中点时，则a = ．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，一次函数y=x−2与反比例函数y=k(k>0)相交于点A(3，n)，与x轴交于x点B，(1)求反比例函数解析式(2)点P是y轴上一动点，连接PA，PB，当PA+PB的值最小时，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，C为直线y=x−2的动点，连接PC，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点D，在C运动过程中，求PD的最小值．18．（6分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c是常数）．(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．19．（8分）如图，抛物线y=a x2+bx−5经过A(−1,0)，B(5,0)两点．2(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−3,−10)．运2动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，)，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须运动员在空中最高处A点的坐标为(1,54完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN 之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．21．（8分）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x<0)的图象相交于点B(−3,1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)当y 1随x 的增大而增大，且y 1<y 2时，直接写出x 的取值范围；(3)平行于x 轴的直线l 与函数y 1的图象相交于点C 、D （点C 在点D 的右边），与函数y 2的图象相交于点E ．若△ACE 与△BDE 的面积相等，求点E 的坐标．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =a x 2+bx −4(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC =4OB ．(1)求直线CA 的表达式；(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n(0<n<4)．当△PCA的面积取最大值时，求点P的坐标；(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．23．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C(4,m)，D(−2,−4)．(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F(2,n)，交y 轴于点G，点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标；并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程．答案解析一．选择题1．B【分析】把点(1，2)代入反比例函数y=k−2x，求出k的值，再把k的值代入一次函数y=kx+k−5，再根据一次函数的性质即可解答．【详解】解：∵反比例函数y=k−2x过点(1，2)，∴2=k−2，解得k=4，∴一次函数y=kx+k−5的解析式为y=4x−1，∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意；∵4＞0，∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；∵当x=2时，y=4×2−1=7，∴一次函数不过点(2，9)，故C错误，不符合题意；∵y=4x−1与坐标轴的交点为(0，−1)，(14，0)，∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×14=18，故D错误，不符合题意．故选：B．2．D【分析】先假设c<0，根据二次函数y=a x2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx−b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=a x2 +bx+c的开口方向及对称轴位置确定B，D是否成立．【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=a x2 +bx+c的图象与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；若c>0，b<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二次函数y=a x2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=−b2a >0，故B错；若a<0，则对称轴x=−b2a<0，则D可能成立．故选：D．3．D【分析】当x=0时，可求得B为(0，−14m2−1)，由OA=OB可得A为(−14m2−1，0)或(1 4m2+1，0)，将A的坐标代入y=x2+(m+1)x−14m2−1，进行计算即可得到答案．【详解】解：当x=0时，y=−14m2−1，∴抛物线与y轴的交点B为(0，−14m2−1)，∵OA=OB，∴抛物线与x轴的交点A为(−14m2−1，0)或(14m2+1，0)，∴(−14m2−1)2+(m+1)(−14m2−1)−14m2−1=0或(14m2+1)2+(m+1)(14m2+1)−14m2−1=0，∴(−14m2−1)(−14m2−1+m+1+1)=0或(14m2+1)(14m2+1+m+1−1)=0，∴−14m2−1=0或−14m2−1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1−1=0，解得：m=22+2或m=−22+2或m=−2，∵m为整数，∴m=−2，故选：D．4．D【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．【详解】解：∵|k|+1>0，∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，∵y1−y2>0，∴ y1＞y2，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，∵y1＞y2，i.当在第一象限时，∴0<a<a+2，解得a>0；ii.当在第三象限时，∴a<a+2<0，解得a<−2；综上所述：a<−2或a>0；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，∵y1＞y2，∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，故选：D．5．B【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数y=m x2−2mx+2=m(x−1)2−m+2，∴对称轴为直线x=1，①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=−m+2=−2，解得：m=4；②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在−2≤x<2时有最小值−2，∴x=−2时，有最小值y=9m−m+2=−2，解得：m=−12．故选：B．6．A【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x=12，然后根据函数图像上点的坐标与对称轴的关系即可得到答案；【详解】解：∵y=−(x+m−1)(x−m)+1=−x2+x+m2−m+1∴函数图像开口向下，对称轴为x=12当x1+x2=1时，A、B两点关于对称轴对称，此时y1=y2；当x1+x2>1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时y1>y2；当x1+x2<1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时y1<y2；由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；7．B【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC=OA，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出ΔAOE≅ΔCOF，根据全等三角形的性质，可得出A(−m,n)，进而得到−mn=4，进一步得到mn=−4．【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO，又∵AC⊥BC，AC=BC，∴CO⊥AB，CO=12AB=OA，∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴ΔAOE≅ΔCOF(AAS)，∴OE=OF，AE=CF，∵点C(m,n)，∴CF=−m，OF=n，∴AE=−m，OE=n，∴A(n,−m)，图像上，∵点A是反比例函数y=4x∴−mn=4，即mn=−4，故选：B．8．B【分析】由顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，−3)，可得出：a>0，−b<0，即可2a得出0<a<3，又由于m=2a−b+c=2a−(3−a)+(−3)=3a−6，求出3a−6的范围即可．【详解】∵抛物线y=a x2+bx+c过点(1,0)和点(0,−3)，∴c=−3，a+b+c=0，即b=3−a，∵顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，−3)，∴a>0，−b<0，2a∴b>0，∴b=3−a>0，∴a<3，∴0<a<3∵m=2a−b+c=2a−(3−a)+(−3)=3a−6，∵0<a<3，∴0<3a<9∴−6<3a−6<3，∴−6<m<3．故选：B．9．D【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为(1，n)，则其对称轴为x=1，即−b2a=1，所以b=−2a，所以①错误；②当x=1时，y=n，所以a+b+c=n，因为b=−2a，所以c−a=n，所以②正确；③因为抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，所以抛物线另一个交点(m，0)在−2到−1之间；所以③正确；④因为a x2+(b+2)x≥0，即a x2+bx≥−2x，根据图象可知：把抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线y=a x2+bx(a≠0)的图象，所以当x<0时，a x2+bx<−2x，即a x2+(b+2)x<0．所以④错误；⑤一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0，Δ=(b−12)2−4ac，因为根据图象可知：a<0，c>0，所以−4ac>0，所以Δ=(b−12)2−4ac>0，所以一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根．所以⑤正确．综上，正确的有②③⑤，故选：D．10．C【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理构造方程求出DE=125，BE=DF=245，再根据反比例函数图像同时经过顶点C、D,即可解答．【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵点C的横坐标为6，，∴BC=6．∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=6．C∵BE=2DE，∴设DE=x，则BE=2x．∴DF=BE=2x，BF=DE=x，FC=BC−BF=6−x．在Rt△DCF中，∵D F2+C F2=C D2，∴(2x)2+(6−x)2=62．解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=125，∴DE=125，BE=DF=245．设OB=a，则D(125,a+245)，C(6,a)∵反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C，D，∴k=125×(a+245)=6a．解得：a=165．∴k=6a=965．故选C．二．填空题11．x <2或x >4【分析】根据题意得出：当a x 2+bx +c >kx +ℎ时，则a x 2+(b −k )x +c >ℎ，进而结合函数图象得出x 的取值范围．【详解】解：根据题意得出：当a x 2+bx +c >kx +ℎ时，则a x 2+(b −k )x +c >ℎ，由图象可得：关于x 的不等式a x 2+(b −k )x +c >ℎ的解集为：x <2或x >4，故答案为：x <2或x >4．12．−8【分析】设设翻折后图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−m4,x 1x 2=n 4,再进行变形得出(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8,再代入可得m 2−1616=8,进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标【详解】∵二次函数y =4x 2+mx +n （m ，n 为常数）的图像沿与x 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x 轴截出长为22的线段，∴翻折前两交点间的距离不变，设翻折后图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−m4,x 1x 2=n4,∴|x 1−x 2|=22,∴(x 1−x 2)2=8,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8,∴(−m4)2−4×n 4=8,∴m 2−1616=8,又∵y =4x 2+mx +n 的纵坐标为4×4n −m 24×4=16n −m 216，∴16−m 216=−8,即该二次函数图像顶点纵坐标为−8故答案为：−813．(2,4)(0,2)，(0,1)2【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=−1x2+x+4上，2∴y=4，∴C(2,4)，故答案为：(2,4)；（2）令y=0，则−1x2+x+4=0，2解得：x=4或x=−2．∵抛物线y=−1x2+x+4与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，2∴B(4,0)．∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CD=4，OB=4，OD=2，∴CD=OB．在Rt△BPO和Rt△BCD中，{BP=BCOB=DC，∴Rt△BPO≌Rt△BCD(HL)，∴OP=BD．∵OB=4，OD=2，∴BD=OB−OD=2，∴OP=BD=2，∴P(0,2)；②当BP=PC时，如图，过点C作CE⊥y轴于点E，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CE=2，OE=4，OB=4，设点P(0,a)，∵点P为y轴的正半轴上的一点，∴OP=a,EP=4−a，∵BP=PC，∴B P2=P C2，∴E P2+C E2=O P2+O B2，∴(4−a)2+22=a2+42，，解得：a=12)．∴P(0,12综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0,1)．2故答案为：(0,2)或(0,1)．214．1+652或−1+652【分析】设菱形DPEQ 对角线的交点为M ，则PQ ⊥DE ，PM= 12PQ ，设点D 的横坐标为t ，由此表示出DE 的长，PM 的长，进而可得PQ 的长，根据PQ = 12DE 建立方程，求解即可．【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =1，设菱形DPEQ 对角线的交点为M ，则PQ ⊥DE ，PM = 12PQ ，∵点D 是抛物线上的一个点，且DE ∥AB ，设点D 的横坐标为t ，∴D (t ，t 2−2t −3)，∵DE ∥AB ，∴点D ，点E 关于对称轴对称，∴点P 和点Q 在对称轴上，∴E(2−t ，t 2−2t −3)，∴DE =(2−2t)，PM=|t 2−2t −3|，∴PQ =2PM =2|t 2−2t −3|，∵PQ =12DE ，∴2|t 2−2t −3|=12(2−2t )，解得t 1= 5−654，t 2= 5+654(舍去)，t 3= 3−654，t 4= 3+654(舍去)，∴DE =2−2t = 1+652或−1+652．故答案为：1+652或−1+652．15．(0,2n )【分析】如图，过A1作A1H⊥y轴于H，求解A1(1,1)，结合题意，△O A1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出O B1，O B2，O B3，O B4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【详解】解：如图，过A1作A1H⊥y轴于H，∵{y=1x y=x，其中x>0，解得：{x=1y=1，即A1(1,1)，∴OH=A1H=1，∴∠A1OH=45°，∵B1A1⊥O A1，∴△O A1B1是等腰直角三角形，∴O B1=2；同理可得：△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，同理设A2(m,m+2)，∴m(2+m)=1，解得m=2−1，（负根舍去）∴O B2=2+22−2=22，同理可得：O B3=23，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴O Bn=2n，∴Bn(0,2n)．故答案为：(0,2n)．16．y=43x<1或3【分析】（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A (2，23)，再利用待定系数法求解即可；（2）求出A1(2+a，23)，由a>0，得到2+a>2，则k1>43=k；（3）分当函数y=kx 的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，∵(4，0)，∴OB=4，∵△AOB是等边三角形，∴OC=BC=12OB=2，OA=OB=4，∴AC=O A2−O C2=23，∴A(2，23)，∵点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，∴23=k2，∴k=43，∴反比例函数y=kx 的表达式为y=43x，故答案为：y=43x；（2）①∵把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 1A 1B 1，∴A 1(2+a ，23)，∵反比例函数y =k 1x的图象经过点A 1，∴23=k 12+a，∴k 1=23(2+a )，∵a >0，∴2+a >2，∴k 1>43=k ，故答案为：<；（3）当函数y =kx 的图象经过O 1A 1的中点时，∵O 1(a ，0)，A 1(a +2,23)，∴函数y =kx 的图象经过点(a +a +22，232)，∴3=43a +1，∴a =3；当函数y =kx 的图象经过A 1B 1的中点时，∵B 1(a +4，0)，A 1(a +2,23)，∴函数y =k x 的图象经过点(a +4+a +22，232)，∴3=43a +3，∴a =1，故答案为：1或3．三．解答题17．（1）解：∵点A (3，n )在一次函数y =x −2的图象上，∴n =3−2=1，∴点A (3，1)，∵点A (3，1)在反比例函数y =kx (k >0)的图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数解析式为y =3x ；（2）解：作点B 关于y 轴的对称点B '，连接A B '交y 轴于点P ，此时PA +PB 的值最小，令y =0，则0=x −2，解得x =2，∴点B (2，0)，点B '(−2，0)，设直线A B '的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =1−2k +b =0，解得{k =15b =25，∴直线A B '的解析式为y =15x +25，令x =0，则y =25，∴P 点坐标为(0，25)；（3）解：由旋转的性质知PC =PD ，当PC ⊥AB 时，PC 有最小值，此时PD的值最小，设直线AB交y轴于点E，令x=0，则y=0−2=−2，，点E(0，−2)，∴OE=2，OB=2，∴BE=22+22=22，∵S△PBE =12PE×OB=12BE×PC，∴PC=(25+2)×222=625，∴PD的最小值为625．18．（1）解：当b=−2，c=3时，y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，∴此时该函数图象的顶点坐标为(−1,4)；（2）解：∵该函数图象经过点(1,−3)，∴−1+b+c=−3，则c=−2−b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=−b2×(−1)=b2，n=4×(−1)×c−b24×(−1)=4c+b24=c+b24，∴b=2m，c=−2−2m，∴n=−2−2m+4m24，即n=m2−2m−2；（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=−x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，∵0≤x≤2，∴当0≤c +12≤2即−12≤c ≤32时，该函数的最大值为4×(−1)×c −(2c +1)24×(−1)=c +(2c +1)24=8，即4c 2+8c −31=0，解得c 1=−1+352（不合题意，舍去），c 2=−1−352（不合题意，舍去）；当c +12<0即c <−12时，0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =0时，y 有最大值为c =8，不合题意，舍去；当c +12>2即c >32时，0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，y 有最大值为−22+2(2c +1)+c =8，解得c =2，符合题意，综上，满足条件的c 的值为2．19．（1）解：∵抛物线y =a x 2+bx −52经过A (−1,0)，B (5,0)两点，∴{a −b −52=025a +5b −52=0，解得：a =12，b =−2，∴此拋物线的解析式为y =12x 2−2x −52；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，∵拋物线的解析式为y =12x 2−2x −52，∴其对称轴为直线x =−b2a =−−22×12=2，当x =0时，y =−52，∴C (0,−52)，又∵B (5,0)，∴设BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，∴{5k +b =0b =−52，解得：k =12，b =−52，∴ BC 的解析式为y =12x −52，当x =2时，y =2×12−52=−32，∴P (2,−32)，∴PA +PC =(−1−2)2+(32+0)2+(0−2)2+(−52+32)2=552；（3）存在，如图所示：①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为x =2，C (0,−52)，∴N 1(4,−52)，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△A N 2D 和△M 2CO 中，{∠N 2AD =∠C M 2OA N 2=C M 2∠N 2DA =∠CO M 2，∴△A N 2D ≌△M 2CO (ASA )， ∴N 2D =OC =52，即N 2点的纵坐标为52∴12x 2−2x −52=52，解得：x =2+14或x =2−14，∴N 2(2+14,52)，N 3(2−14,52)，综上所述符合条件的N 的坐标有(4,−52)，(2+14,52)，(2−14,52)．20．（1）解：设抛物线的解析式为y =a 0(x −1)2+54将(0,0)代入解析式得：a 0=−54∴抛物线的解析式为y =−54(x −1)2+54令y =−10，则−10=−54(x −1)2+54解得：x 1=−2(舍去),x 2=4∴入水处B 点的坐标(4，−10)（2）解：距点E 的水平距离为5米，对应的横坐标为：x =5−32=72将x =72代入解析式得：y =−54×(72−1)2+54=−10516∵−10516−(−10)=5516<5∴该运动员此次跳水失误了（3）解：∵EM=212，EN =272，点E 的坐标为(−32,−10)∴点M 、N 的坐标分别为：(9,−10),(12,−10)∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y =a （x −ℎ）2+k ，顶点C 距水面4米y =a (x −132)2−14，∴当抛物线经过点M时，把点M(9,−10)代入得：a=1625同理，当抛物线经过点N(12,−10)时，a=14由点D在MN之间可得：14≤a≤162521．（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图像与反比例函数y2=kx(x>0)的图像相交于点B(−3,1)，∴(−3)2−3m+1=1，k−3=1，解得m=3，k=−3，∴二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，反比例函数的解析式为y2=−3x(x>0)．（2）∵二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，∴对称轴为直线x=−32，由图象知，当y1随x的增大而增大，且y1<y2时，−32≤x<0（3）由题意作图如下：∵当x=0时，y1=1，∴A(0,1)，∵B(−3,1)，∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当x=−32时，y2=2，∴E(−32,2)．22．（1）解：令x=0，则y=−4，∴C(0，−4)，∴OC=4，∵OA=OC，∴AO=4，∴A(4，0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，∴{4k+b=0b=−4，解得{k=1b=−4，∴y=x−4；（2）解：∵OC=4OB，∴OB=1，∴B(−1，0)，将A(4，0)，B(−1，0)代入y=a x2+bx−4，∴{16a+4b−4=0a−b−4=0，解得{a=1b=−3，∴y=x2−3x−4，∵y=x2−3x−4=(x−32)2−254，a=1>0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=32，∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x<32；（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，∵点P 的横坐标为n ，∴ P (n ，n 2−3n −4)，则Q (n ，n −4)，∴ PQ =n −4−(n 2−3n −4)=−n 2+4n ，由（1）得A (4，0)，C (0，−4)，∴ S △PCA =S △PCQ +S △PAQ=12QP (x P −x C )+12QP (x A −x P )=12QP (x P −x C +x A −x P )=12QP (x A −x C )=12×4×(−n 2+4n )=−2(n −2)2+8，∵ 0<n <4，∴当n =2时，△PCA 的面积有最大值，此时P (2，−6)；（4）解：当32≤m ≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，∵ y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴抛物线的对称轴为直线x =32，①当−1<m <32时，x =−1，y 有最大值0，x =m ，y 有最小值m 2−3m −4，∴ 0−(m 2−3m −4)=−m 2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m 的变化而变化；②当32≤m ≤4时，x =32，y 有最小值−254，x =−1，y 有最大值0，∴0−(−254)=254，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；③当m>4时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4，∴m2−4m−4+254=m2−3m+94，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；综上所述：32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．23．（1）∵点C(4,m)，D(−2,−4)在反比例函数图象上，∴4m=(−2)×(−4)，解得m=2，∴C(4,2)，∴反比例函数的解析式为y=8x；设一次函数的解析式为y=kx+b，∴{−2k+b=−44k+b=2，解得{k=1b=−2，∴一次函数的解析式为y=x−2；（2）直线y=x−2与y轴的交点B(0,−2)，设E(0,t)，t>0，∴EB=t+2，∴SΔCDE =12×BE×(4+2)=9，∴3(t+2)=9，解得t=1，∴E(0,1)；（3）设直线AB向上平移后的函数解析式为y=x−2+ℎ，∵F(2,n)在反比例函数图象上，∴n=4，∴F(2,4)，将F点代入y=x−2+ℎ，则ℎ=4，∴平移后的直线解析式为y=x+2，∴G(0,2)，设H(x,y)，①当HE为平行四边形的对角线时，x=2，y+1=6，∴H(2,5)；②当HF为平行四边形的对角线时，x+2=0，y+4=3，∴H(−2,−1)；③当HG为平行四边形的对角线时，x=2，y+2=5，∴H(2,3)；综上所述：H点坐标为(2,5)或(−2,−1)或(2,3)．。
九年级数学上册试题 第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷 -沪科版(含答案)
第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．1．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣3B．m＜﹣3C．m≠﹣3D．任意实数2．将抛物线（）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．A．y＝﹣2（x﹣5）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1D．y＝﹣2（x﹣4）2+33．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（）A．2B．6C．﹣2D．04．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．5．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y 1＜y 2＜y 3B．y 3＜y 1＜y 2C．y 2＜y 1＜y 3D．y 3＜y 2＜y 16．函数=−6图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1y 2＝﹣3，则x 2y 1值为（）A．12B．6C．﹣12D．﹣67．如图，Rt 三角形ABC 位于第一象限，AB ＝4，AC ＝2，直角顶点A 在直线y ＝x 上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若函数=(≠0)的图象与△ABC 有交点，则k 的最大值是（）A．5B．498C．12124D．48．如右图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x ＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a ﹣b ＝0；②9a ﹣3b +c ＜0；③若（﹣2，y 1），（12，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，④a ﹣b +c ＝﹣9a ；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（）①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：214＜m＜11．A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，P是反比例函数y=图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝．12．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是．13．汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是米．14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是米．15．反比例函数y=3和y=1在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y=3和y=1的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；④方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＜1，x1＞﹣3，其中正确结论的是．18．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+b与双曲线y2=（k＞0）相交于点A，B两点，已知点A坐标（1，2）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求点B的坐标，并观察图象，写出当y1＜y2时，x的取值范围．20．我们已经学习过反比例函数y=1对函数y=1|U的图象和性质进行探索，并解决下列问题：（1）该函数的图象大致是．（2）关于此函数，下列说法正确的是．（填写序号）①在各个象限内，y随着x增大而减小；②图象为轴对称图形；③函数值始终大于0；④函数图象是中心对称图形．（3）写出不等式1|U−3＞0的解集．21．已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣2m﹣21n…（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是．22．若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；（2）若a＞0且b＝2a﹣2，①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．23．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）24．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：x/元3456y/张20151210（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2）猜想并确定y关于x的函数解析式，并画出函数图象；（3）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移1个单位长度，得到点B．直线y=34x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A与点D关于x轴对称，①求点B的坐标；②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．答案一、选择题C．A．D．C．C．C．B．B．C．B．二、填空题11．612．0．13．12．14．7．15．1．16．①③④．17．①②③．18．1800．三、解答题19．（1）直线y 1＝x +b 与双曲线y 2=（k ＞0）相交于点A （1，2），∴2＝1+b ，2=1，∴b ＝1，k ＝2，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y =2，y ＝x +1；（2）解方程组=+1=2得=1=2或=−2=−1，则B （﹣2，﹣1），由图象可知，当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，y 1＜y 2．20．（1）∵在函数y =1|U 中，|x |＞0，∴y ＞0，当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小；当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大，∴函数图象在第一、二象限；故答案为：D ；（2）由函数y =1|U 的图象可知此图象具有以下性质：函数的图象在一、二象限，当x ＞0时，y 随x 增大而减小；当x ＜0时，y 随x 增大而增大；函数的图象关于y 对称；故说法正确的是②③，故答案为②③：（3）y ＝3时，即：1|U =3，解得：x ＝±13，根据函数的图象和性质得，不等式1|U −3＞0，即1|U ＞3的解集为：−13＜＜0或0＜＜13，因此：不等式1|U −3＞0的解集为：−13＜＜0或0＜＜13．21．（1）把（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2），（0，1）代入y ＝ax 2+bx +c ，得：9−3+=−2−+=−2=1，解得：=1=4=1，∴抛物线解析式为y ＝x 2+4x +1，把x ＝﹣2代入得y ＝﹣3，把x ＝1代入得y ＝6，∴m ＝﹣3，n ＝6；（2）描点、连线画出抛物线图象如图：（3）由图象可知，如果直线y ＝k 与该抛物线有交点，那么k 的取值范围是k ≥﹣3．故答案为k ≥﹣3．22．（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过原点但不关于y 轴对称，∴b ≠0，把（0，0）代入y ＝ax 2+bx +c ，得c ＝0，∵Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴始终有2个交点；（2）函数对称轴为x ＝﹣1+1＞−1，抛物线的顶点为：[﹣1+1，−(K1)2]，①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，而函数对称轴为x＝﹣1+1＞−1，则−(K1)2≥−a，∴（2a﹣2）2≤4a2，解得：a≥12；函数不关于y轴对称，则b＝2a﹣2≠0，故a≠1，综上，a≥12且a≠1；②当x＝﹣n﹣2时，y1＝a（n+2）2﹣b（n+2），当x＝﹣n﹣1时，y2＝a（n+1）2﹣b（n+1）△y＝y1﹣y2＝a（2n+1）+2；则△y有13个整数，即a（2n+1）+2＝12，解得：a＝2．23．（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：100=60+80=70+，解得：=−2=220，故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，∵﹣2＜0，函数有最大值，∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．24．（1）对应点如图所示：（2）根据图象猜测y关于x的函数解析式为=(≠0)，∵x＝3时，y＝20，∴3=20，解得k＝60，∴=60，∵把实数对（4，15），（5，12），（6，10）代入=60都符合，∴y关于x的解析式为=60(＞0)，其图象是第一象限内的双曲线的一支，如图2所示．（3）=(−2)⋅60=60−120，∵x≤10，∴当x＝10时，W有最大值，最大日销售利润为60﹣12＝48（元）∴当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润．25．（1）抛物线的对称轴为：x=−2=−−22=1；（2）①∵直线y=34x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，﹣3）．∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，∴点A的坐标为（0，3）．∵将点A向右平移1个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（1，3）；②抛物线顶点为P（1，3﹣a）．（ⅰ）当a＞0时，如图1．令x＝4，得y＝16a﹣8a+3＝8a+3＞0，即点C（4，0）总在抛物线上的点E（4，8a+3）的下方．∵yP ＜yB，∴点B（1，3）总在抛物线顶点P的上方，结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点．（ⅱ）当a＜0时，如图2．当抛物线过点C （4，0）时，16a ﹣8a +3＝0，解得a =−38．结合函数图象，可得a ≤−38．综上所述，a 的取值范围是：a ≤−38或a ＞026．（1）令y ＝0，解得x 1＝﹣1或x 2＝3，∴A （﹣1，0）B （3，0），将C 点的横坐标x ＝2代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得y ＝﹣3，∴C （2，﹣3），∴直线AC 的函数解析式是y ＝﹣x ﹣1；（2）设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2），则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵P 点在E 点的上方，PE ＝（﹣x ﹣1）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣x 2+x +2＝﹣（x −12）2+94，∴当x =12时，PE 的最大值=94，则△ACE 的面积的最大值是：12×【2﹣（﹣1）】×94=278；（3）存在4个这样的点F ，分别是F 1（1，0），F 2（﹣3，0），F 3（4+7，0），F 4（4−7，0），①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4−7，0）．总之，符合条件的F点共有4个．。
沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数》单元同步检测试题(附答案)
2018-2019学年度第一学期沪科版九年级数上册_ 第21章_ 二次函数与反比例函数_单元检测试题_考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.下面的函数是二次函数的是（） A.y =3x +1 B.y =x 2+2xC.y =x 2D.y =2x2.点P(1, 3)在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，则k 的值是（）A.13B.3C.−13D.−3 3.长方形的周长为24cm ，其中一边为xcm （其中x >0），面积为ycm 2，则这样的长方形中y 与x 的关系可以写为（） A.y =x 2 B.y =12−x 2 C.y =(12−x)⋅x D.y =2(12−x)4.正比例函数y =kx(k >0)与反比例函数y =1x 的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连结BC ，若△ABC 的面积为S ，则（）A.S =1B.S =2C.S =3D.S =4 5.购买x 斤水果需24元，购买一斤水果的单价y 与x 的关系式是（） A.y =24x (x >0)B.y =24x（x 为自然数C.y =24x（x 为整数）D.y =24x（x 为正整数）6.甲、乙两地相距100km ，汽车从甲地开往乙地，速度v(km/ℎ)和所需时间t(ℎ)之间的函数关系图象大致是（） A.B.C.D.7.定义：给定关于x 的函数y ，对于该函数图象上任意两点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，当x 1<x 2时，都有y 1<y 2为增函数．根据以上定义，可以判断下面所给的函数中：①y=2x；②y=−x+1；③y=x2(x>0)；④y=−1．是增函数的有x（）A.①②B.①③C.①④D.③④8.设矩形的长、宽分别为x、y，面积为4，则y关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.9.若关于x的二次函数y=kx2+2x−1的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是（）A.k=0B.k=−1C.k>−1D.k≠0且k=−1(x>0)的一个10.如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=4x分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，则△AOC的面积为（）A.2B.3C.4D.32二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知函数y=(m+2)x m(m+1)是二次函数，则m=________．12.抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是直线________．13.如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(−1, 2)、B(4, 1)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是________．14.设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2−4x−5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．15.对于函数y=−x2−2x−2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是________．16.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）月销售利润为y元，当x=________元时，最大利润y=________元．17.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2, 0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为________．18.函数y1=x2+1与y2=2在同一坐标系中的图象如图所示，则方程x2+1=x2的解为________．x19.已知二次函数y=−x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的根为________；不等式−x2+2x+m>0的解集是________；当x________时，y随x的增大而减小．20.如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，点P是双曲线y=k第二象限上的点，且P(−2, 3)，在这条双曲线第二x象限上有点Q，且△PQO的面积为8，求点Q的坐标．22.如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．(1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．23.某种家用电器，其进价是20元/个．经过市场销售后发现：在一周内，当售价是40元/个时，可售出20个，且售价每降低1元，就可多售出5个．若供货商规定这种家用电器售价不能低于30元/个，代理销售商每周要完成不低于45个的销售任务．(1)试确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种家用电器所获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？24.A、B分别为反比例函数y=2x 和反比例函数y=−32x上的点，0A⊥0B．(1)求tan∠OAB的值；(2)若AB // x轴，求AB的长；(3)设AB与y轴交于点M，当AM:BM=1:2时，求A点坐标．25.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子．(1)以水平的地面为x轴，两棵树间距离的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；(2)求绳子的最低点离地面的距离．26.已知：Rt△ABC中，∠C=90∘，两条直角边AC=2，BC=4．如图(1)，BC第一象限的分支上，AB与y轴交于点D，记四在x轴上，点A在反比例函数y=6x边形ACOD面积为S1；如图(2)点B在反比例函数y=6第一象限的分支上，AC在xx轴上，AB与y轴交于点E，记四边形BCOE面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．答案1.B2.B3.C4.A5.A6.C7.B8.B9.B10.B11.112.x=413.x<−1或x>414.1515.x≤−116.5或6240017.x1=5，x2=−118.x=119.x=−1或x=3−1<x<3>120.y=−43x2+83x+121.解：作PN⊥x轴于N，QM⊥x轴于M，如图，把P(−2, 3)代入y=kx得k=−2×3=−6，所以反比例函数解析式为y=−6x，∵S△PNO=S△QOM=12×|−6|=3，∴S梯形PQMN=S△PQO=8，设Q的坐标为(t, −6t)，∴1 2(3−6t)×|−2−t|=8，当12(3−6t)×(−2−t)=8，解得t1=23（舍去），t2=−6，当12(3−6t)×(2+t)=8，解得t1=−23，t2=6（舍去），∴Q点坐标为(−6, 1)或(−23, 9)．22.解：(1)∵A(−3, 0)，B(1, 0)，C(0, 3)，∴设二次函数的解析式为：y =a(x +3)(x −1)(a ≠0)， 将点C(0, 3)代入函数解析式得：3=−3a ， ∴a =−1，∴此二次函数的解析式为：y =−(x +3)(x −1)=−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴此二次函数的对称轴为：x =−1，∵点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点， ∴D(−2, 3)，∴设直线BD 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)， ∴{k +b =0−2k +b =3， 解得：{k =−1b =1，∴此一次函数的解析式为：y =−x +1；(2)根据图象得：一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围为：x <−2或x >1． 23.解：(1)y =5(40−x)+20， 即y =−5x +220，由题意得：x ≥30且−5x +220≥45．解得：30≤x ≤35；(2)W =(−5x +220)(x −20)=−5x 2+320x −4400=−5(x −32)2+720，所以当x =32时，W 有最大值为720元．24.解：(1)作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，如图1， 设A(a, 2a )，B(b, −32b )，∵0A ⊥0B ，∴∠AOB =90∘，即∠1+∠2=90∘， 而∠2+∠3=90∘， ∴∠1=∠3，∴Rt △AOC ∽Rt △OBD ， ∴ACOD =OCBD =OAOB ，即2a−b =a−32b=OAOB ，∴(ab)2=64， ∴ab =−8，∴OAOB =ab−32=−8−32=14，在Rt△AOB中，tan∠OAB=OBOA=4；(2)如图2，∵AB // x轴，∴∠1=∠OAB，而tan∠1=ACOC =2aa=2a2，tan∠OAB=4，∴2 a2=4，解得a=√22，∵ab=−8，∴b=−8√2，∴AB=a−b=17√22；(3)作AE⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，如图1，∵AE // BF，∴△AME∽△BMF，∴AE AF =AMBM=12，即a−b=12，∴b=−2a，而ab=−8，∴a⋅(−2a)=−8，解得a=2，∴A(2, 1)．25.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+c．由题意知抛物线过点(−0.5, 1)、(1, 2.5)将上述两点的坐标代入y=ax2+c得：{14a+c=1a+c=52，解得{a=2c=12∴绳子所在抛物线的解析式为y=2x2+0.5．(2)当x=0时，y=2x2+0.5= 0.5．∴绳子的最低点离地面的距离为0.5米．26.解：解法一：∵AC⊥x轴，AC=2，A在y=6x上，∴OC=3，∴OB=1，∴OD // AC，∴△BOD∽△BCA，∴S△BOD S△BCA =(BOBC)2=(14)2=116．∵S△ABC=12×4×2=4∴S△BOD=116×4=14，∴S1=4−14=154．同理：BC=4，OC=64=32，∴OA =2−32=12， ∴S△AOE S△ABC=(122)2=116∴S △AOE =116×4=14， ∴S 2=4−14=154∴S 1=S 2；解法二：∵AC =2，点A 在y =6x 上， ∴OC =3，A(3, 2)， ∴OB =4−3=1， ∴B(−1, 0)．设直线AB:y =kx +b(k ≠0)，则 {3k +b =2k +b =0， 解得∴{k =12b =12，即OD =12， ∴S △BOD =12×1×12=14， ∴S 1=S △ABC −S △BOD =4−14=154．同理可得：如图(2)中，B(32, 4)，A(−12, 0)，设直线AB:y =kx +b(k ≠0)，则{32k +b =412k +b =0，解得{k =2b =1，即OE =1，∴S △AOE =12×12×1=14， ∴S 2=S △ABC −S △AOE =4−14=154．∴S 1=S 2．。
第21章 二次函数与反比例函数数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第21章二次函数与反比例函数数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为；②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为；④当时，，所有正确结论的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.②④2、已知反比例函数经过点，则该函数图像必经过点（）A. B. C. D.3、下列说法正确的是（）A.圆面积公式S=πr 2中，S与r成正比例关系B.三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C.y= 中，y与x成反比例关系 D.y= 中，y与x成正比例关系4、一次函数y=kx+k（k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.5、在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2﹣a的图象可能是（）A. B. C. D.6、如图，已知函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，有以下四个结论：①abc=0，②，③，④；其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、下列各式中，y是x的二次函数的是（）A. y＝3 x﹣1B. y＝C. y＝3 x2+ x﹣1D. y＝2 x2+8、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.10、对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A. B. C. D.11、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，BE∥AC，AE∥OB．函数（k＞0，x＞0）的图象经过点E．若点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，2），则k的值为（）A.3B.4C.4.5D.612、如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.13、在反比例函数图像上有两个点A（x1，－1）和B(x2， 2)，则（）A.x1＞x2B.x1＜x2C.x1=x2D.x1与x2大小不能确定14、二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y＝2（x-9）2B.y＝2（x+3）2C.y＝2（x+3）2+4D.y＝2（x-9）2+415、若点A(x1， -2)，B(x2， 3)，C(x3， 4)在反比例函数y= 的图象上，则x1，x2， x3的大小关系是( )A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x2<x1<x3 D.x3<x2<x1二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当时的取值范围是________．17、二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（-1，0），则代数式2a-2b的值________.18、已知抛物线与轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线的对称轴在轴左侧；②关于的方程有实数根；③；④．其中结论正确的为________．19、已知抛物线y=x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是________．20、抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是________．21、若二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=________.22、将函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式为________．23、在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2﹣4ac＜0；②＞0；③abc＞0；④a﹣b﹣c＞0，说法正确的是________ （填序号）．24、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=________ ．25、若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．27、如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（Ⅰ）求直线y=kx+b的函数解析式；（Ⅱ）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（Ⅲ）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．28、在周长为13cm的矩形铁片上剪去一个边长等于矩形宽xcm的等边三角形，设剩下的面积为ycm2，求y与x的函数关系式．29、如图，△OAP、△ABQ是等腰直角三角形，点P、Q在函数（k≠0）第一象限的图像上，直角顶点A、B均在x轴上，若OA=3，求点Q的坐标.30、已知实数a，b满足a﹣b=1，a2﹣ab+2＞0，当1≤x≤2时，函数y=（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、B4、C5、A6、C8、C9、B10、C11、C12、A13、B14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数单元测试卷含答案
沪科版九年级上册数学第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷(满分120分,限时120分钟)一、单选题(共10小题，满分40分)1．已知点（﹣1，y 1），（2，y 2），（﹣3，y 3）都在函数y ＝x 2＋1上，则（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 32．下列命题正确的是（ ）A ．一元二次方程2310x x -+=没有实数根B ．反比例函数1y x=的图象经过点()1,1- C ．有两个角为直角的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形3．抛物线234y x =与抛物线2343y x =-+的相同点是（ ） A ．顶点相同B ．对称轴不相同C ．开口方向一样D ．顶点都在y 轴上4．将二次函数y ＝（x ﹣3）2+k 的图象向上平移5个单位，若平移后的函数图象与直线y ＝2没有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜﹣3B ．k ≤﹣3C ．k ＞﹣3D ．k ≥﹣35．已知二次函数y ＝2（x ﹣1）2+k 的图象上有三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2），C （5，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＜y 2＜y 36．如图，二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2k y x=和一次函数3y mx n =+的图象在同一直角坐标系中，交点(1,2),(2,1)A B --和(0.7,3)C ，若312y y y <<，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．10x -<<C ．00.7x <<D ．0.72x <<7．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有以下结论：①0abc >；①20a b c -+<；①420a b c ++=；①20a b -=；①1303a b c ++=．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++<的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，如图所示，下列结论：①24ac b <；①方程20ax bx c ++=的两个根是121,3x x =-=；①20b a +=；①当0y ⋅>时，x 的取值范围是13x -<<；①当0x >时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别为()()12,0,,0x x ，且12x x <，图象上有一点()00,M x y 在x 轴下方，对于以下说法：①240b ac ->；①0x x =是方程20ax bx c y ++=的一个解；①102x x x <<；①()()01020a x x x x --<.其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①10．关于x 的二次函数221y x kx k =++-，下列说法正确的是（ ）A ．对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B ．对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C ．对任意实数k ，函数图象顶点的纵坐标都小于等于34- D ．对任意实数k ，当1x k ≥--时，函数y 的值都随x 的增大而增大二、填空题（共8小题，满分32分）11．如图，菱形OABC 的顶点C 坐标为()8,6，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数()0k y x x=>的图象经过顶点B ，则k 的值为 ．12．二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 部分对应值如下表：则此二次函数图象的顶点坐标是 ．13．已知二次函数22y ax ax c =-+图象如图所示，则方程220ax ax c -+=解为 ．14．如图，把一块等腰直角三角板①ABC ，①C=90°，BC=5，AC=5．现将①ABC 沿CB 方向平移到①A′B′C′的位置，若平移距离为x （0≤x≤5），①ABC 与①A′B′C′的重叠部分的面积y ，则y= （用含x 的代数式表示y ）．15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数k y x=(0)x >的图象交直角梯形OABC 的边AB 于点D ，交边BC 于点C ，且3BD AD =．若四边形ODBC 的面积为8，k = ．16．正比例函数与反比例函数的一个交点为 123⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 x 的取值范围是17．如图，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数k y x=的图象交于点E ，F ．若2AB EF =，18．如图,点()()()111222,,,,,,n n n P x y P x y P x y 在函数()10y x x =>的图象上, 11212,,POA P A A 3231,,n n n P A A P A A -都是等腰直角三角形.斜边112231,,,,n n OA A A A A A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数),点n P 的坐标是 ．三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．已知关于x 的二次函数()2211=+++y kx k x ，其中k 为负实数．（1）若直线1y =与此二次函数的图象相交于A ，B 两点，且2AB =，则k 的值为 ．（2）当x m <时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ．20．已知二次函数222y x x -=-+．(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)根据表格结合函数图象，直接写出方程2220x x --+=的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．21．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A 处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度OA 为3m ． 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最大高度为4m ，如图所示．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出自变量取值范围）；(2)张师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2.5m 处，通过计算说明身高1.8m 的张师傅是否被淋湿？(3)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 22．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值．23．已知二次函数y ＝x 2﹣mx +m （m 为常数）．(1)当m =4时①求函数顶点坐标，并写出函数值y 随x 增大而减小时x 的取值范围；①若点P (t ，y 1)和Q (5，y 2)在其图象上，且y 1＞y 2时．则实数t 的取值范围是__________．(2)记函数y ＝x 2﹣mx +m （x ≤m ）的图象为G ．①当图象G 与直线y ＝﹣1﹣m 只有一个交点时，求m 的取值范围．①矩形ABCD 的对称中心为坐标原点，且边均垂直于坐标轴，其中点A 的坐标为(2，2﹣m )，当图象G 在矩形ABCD 内部（包括边界）对应的函数值y 随x 的增大而逐渐减小，并且图象G 在矩形ABCD 内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为2时，直接写出m 的值．24．如图，已知(,2)A n -，(1,6)B 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数k y x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）若kkx bx+<，直接写出x的范围．参考答案：1．A2．D3．D4．C5．C6．C7．B8．D9．B10．C11．10812．()1,9-13．1213x x =-=，14．x 2﹣5x+．15．83 16．<2x -或02x <<17．34/0.75 18．1,1n n n n --19． 14k =- 1m ≤- 20．(1)略(2)两个近似根分别在3~2--之间和0~1之间21．(1)223y x x =-++；(2)2.5m ；(3)6米．22．（1）226336(12)3S x x x =-+<<；（2）2603平方米 23．(1)①当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；①t ＜-1或t ＞5；(2)①m ≤-12或m ①m 的值为0或-1或4．24．（1）6y x =，24y x =+；（2）8；（3）3x <-或01x <<。
沪科版(上海)九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数单元试卷
沪科版（上海)九年级上册数学 第21章二次函数与反比例函数单元试卷考试时间：100分钟；满分120分一、单选题（计30分）1．（3分）函数y=2x 2﹣x ﹣1的图象经过点（ ）A ．（﹣1，1）B ．（1，1）C ．（0，1）D ．（1，0 ） 2．（3分）二次函数()213y a x =+-的图象的顶点坐标是（ ） A ．(l,-3) B ．(-1,3) C ．(-1,-3) D ．(1,3) 3．（3分）已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是( ) A ．B ．C ．D ．4．（3分）二次函数有()20y ax bx c a =++≠的图象如图，则函数值0y >时， x 的取值范围是（ ）．A ．1x <-B ．3x >C ．1x <-或3x >D ．13x -<<5．（3分）如果把抛物线y=（x +1）2向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的解析式是（ ）A ．y=（x ﹣1）2B ．y=（x+3）2C ．y=（x+1）2﹣2D ．y=（x+1）2+2 6．（3分）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是A ．B ．C ．D ．7．（3分）如图，函数y 1=x ﹣1和函数22y x的图象相交于点M （2，m ），N （﹣1，n ），若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1或0＜x ＜2B ．x ＜﹣1或x ＞2C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜2D ．﹣1＜x ＜0或x ＞28．（3分）已知点O （0，0）、A （2，0）、B （0，1）．点P 在函数的图象上，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ．若以点P 、O 、Q 为顶点的三角形与△AOB 全等，则满足条件的点P 共有多少个（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．（3分）如图，A 、B 两点在双曲线y=上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．（3分）如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列各式中：①a ＞0，②b ＞0，③c=0，④c=1，⑤a+b+c=0．正确的只有（ ）A ．①④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤ 二、填空题（计32分）11．（4分）函数3y x的图象经过第_____象限． 12．（4分）函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x=_______________；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而_____________（填写“增大”或“减小”）13．（4分）如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，且△ABP 的面积为6，则这个反比例函数的表达式为________．14．（4分）抛物线y=x 2-2x-8的对称轴为直线 。