“一题多变”发散思维
一题多解培养学生发散性思维
拖 滑 距 ｚ 羲， 先 以速 ｎ 加速度相等 ， 以机车 多运 动 的一部 分位 移就 是 由 车 行 离 机 从 加度 一 车 所
匀 加 速 到 ， 匀 减 速 到 ０有 ： 再 ，
是 一 （ — ｍ） ＾ Ｍ ｇ一 （ 过 程 中 机 车 通 过 的位 移 ，
如有这样一题 ： 总 质 量 为 Ｍ 的 列 车 ， 水 平 直 线 轨 道 以 速 度 沿 据 图 一Ｌ， Ｓ
图 ２
一 ，
由已知条件可得 一
解 法 三 ： 能定 理 动
．
行驶 ， 尾部有一质量为 的车厢突然脱 钩 ， 司机发觉 此事故时 ， 列车 已行驶 了 Ｌ的距离 ， 于是 司机 立即关 闭气 门， 撤去牵引力 ， 设机车 的牵引力是恒定 的， 列车 所受的阻力是车重的 ｋ倍（ ＜１ ， 是 ） 求列车前后部分都
停 止 后 的距 离 ．
对拖车： ｋ ｇ ｌ 一÷ｍ － ｍ ｘ—ｏ 荫，
对 机车： ｎＬ ｋＭ－ ）ｘ一。 ｋ ｇ － （ － ｇ２ 一÷ （ －ｍ ｚ， ｒ ｍ Ｍ－ ） ￣
．
’
Ｌ 二一 一
．
解 法 四 ： 量 角度 能
机车与拖车初速度 Ｖ 相 同 ， ｏ 末速 为 ０ 阻力 产生 ，
到 Ｄ处停止． 由题意可知 ＡＣ距离 为Ｌ， Ｄ 为待求距 Ｂ
．
， ‘ ，
离 ｄ 由题 意知牵 引力 Ｆ一是 ， ． 在减速 过程 中的加
速度都为－ｋ． ｇ
解 法 一 ： 式 法 公
解 法五 ： 度 变化 角度 速
拖 车速度 由 Ｖ 减小到 ０ 机车速 度 由 ｏ ， 先 增加 到 再减小到 ７ 最后减小到 ０ 而在减速运动 中两者 Ｊ 。 ，
例谈如何利用一题多解培养学生的发散思维能力
例谈如何利用一题多解培养学生的发散思维能力
利用一题多解的教学模式可以帮助学生培养发散思维能力，并激发他们的创造力和想象力。
以下是一些可以采取的教学方法：
1. 提供多种解答方式：在呈现问题或任务时，故意设计多种可能的解答方式，并鼓励学生思考不同的角度和方法。
教师可以引导学生发现和探索问题的多个解决方案，并促进他们进行多样化的思考。
2. 引导学生提出问题：鼓励学生对问题提出疑问，并帮助他们分析问题的本质。
通过不同的提问方式和各种角度的思考，学生可以培养批判性思维和创新思维。
3. 提供资源和工具：教师可以提供学生所需的资源和工具，如图书、网络资源、实验设备等，鼓励学生利用这些资源进行独立的探索和创新。
这样，学生可以根据自己的兴趣和需求选择适合自己的解决方案。
4. 开展小组合作：组织学生进行小组合作，让他们共同讨论问题，并尝试提出不同的解决方案。
小组合作可以激发学生的合作精神和创造思维，帮助他们借鉴和汲取其他同学的想法。
5. 鼓励学生试错和修改：学生在探索过程中可能会遇到困难和错误，教师应鼓励他们从失败中学习，并帮助他们调整和改进解决方案。
这种反思和修改的过程可以促进学生的反馈能力和创造性思维。
通过以上教学方法，学生可以从不同的角度和思路来解决问题，培养他们的发散思维能力。
此外，学生在解决问题的过程中还可以培养一些其他的能力，如分析能力、判断能力、合作能力等。
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-精品文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种不同方法去解决同一道题，更重要的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求不同答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广阔思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x= 时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
一题多解一题多变培养发散性和创造性思维
《一题多解、一题多变，培养学生发散性和创造性思维》江德小学田彩霞在数学教学中，用一题多解、一题多变的方法可以开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
当解一道题时，由于解题途径、解题方法和计量单位不同，得到多种解法，达到殊途同归的目的。
在多种解法中，根据具体情况进行比较，选择其中最合理，最简捷的一种解法，可以有效地培养学生分析问题和解决问题的能力，并逐步形成解题的灵活性和解题技巧。
一、利用一题多解，训练学生创造性思维。
怎样才能高效率地利用习题课，更好地让学生掌握知识、培养学生创新思维能力？这个问题一直困扰着教师。
我们在上习题课时，不求多讲，而求精讲。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维的机遇，使学生不满足固有的方法，而求新法。
例如，讲解例题，如图：搭１个正方形需要４根火柴棒。
（１）按图中方式，搭２个正方形需要几根火柴棒，搭３个正方形需要几根火柴棒。
（２）搭１０个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。
在解决第（2）问时，教师设计了４种思路，为学生提供充分的“体验”和“感知”的广阔平台。
即第一个思路：第一个正方形用４根，每增加一个正方形增加３根，那么搭ｘ个正方形就需要火柴棒［４＋３（ｘ－１）］根；第二个思路：上面的一排和下面的一排各用了ｘ根火柴棒，竖直方向用了（ｘ＋１）根火柴棒，共用了［ｘ＋ｘ＋（ｘ＋１）］根火柴棒；第三个思路的解法是以课后习题的数学理解呈现的：搭ｘ个这样的正方形需要［４ｘ－（ｘ－１）］根火柴棒；第四个思路的解法是第一个正方形可以看成是３根火柴棒加１根火柴棒搭成的。
此后每增加一个正方形就增加３根，搭ｘ个正方形共需（３ｘ＋１）根。
这样，让学生开展变题方法研究并在教学中不断反复运用，可以培养学生解题兴趣，养成独立思考、敢于“标新立异”的好习惯，在练习中学会探索，学会创造，达到获得新知识和培养能力的目的。
运用一题多解的呈现形式，为关注每一个学生的差异和进一步发展他们的思维提供了可能。
由一题多变培养学生的发散思维
由一题多变培养学生的发散思维【摘要】聚合思维和发散思维是20世纪50年代由美国心理学家吉尔福特在研究智力结构模型时提出来的，吉氏认为发散思维是以一种新的方式看待一定信息，从而得到独特和非预期结论的一种思维能力。
由于发散思维要求思维流畅、灵活、独特，因此有心理学家将发散思维与创造性思维联系起来，希望通过发散思维的激发来培养创造能力。
在数学课堂解题中，我们要多采用一题多变，提高学生思维的灵活性和创新性，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索勇于创新的发散思维能力。
【Abstract】The polymerization thought and the radiation thought were in the 1950s by US psychologist Gill Ford when the research mental structure model raised, lucky thought that the radiation thought was by one new way regarding certain information, thus obtained unique and the non-anticipated conclusion one kind of power of thought. Because the radiation thought request thought smooth, is flexible, is unique, will therefore have the psychologist to disperse the thought and the creative thinking relates, hoped that will raise the creation ability through the radiation thought’s stimulation. In mathematics classroom problem solving, we must use a topic to be changeable, enhance the student thought the flexibility and the innovation, raises the student thought the multiplicity and the extensity, thus develops the radiation power of thought which the student dares to explore dares to innovate.【Key words】A topic, changeable, raise, thought在数学教学中，一方面要重视聚合思维的训练，提高概括的层次，从方法论的角度加深对解题规律、方法的认识，不断地探求和揭示数学问题的共性和解决问题的通法。
浅谈“一题多变”锻炼学生思维能力(2020)
浅谈“一题多变”锻炼学生思维能力（2020）思维的积极性、求异性、广阔性、理想性等是发散思维的特征，在数学教学中有意识地抓住这些特征进行训练与培养，既能提高学生的发散思维能力，又能提高数学质量。
教师在数学教学中不仅要让学生获得新的知识，更重要的是如何利用数学的学科优势培养学生的思维，发展学生的能力。
在数学教学中,常用一题多变的方法开拓学生的思路,克服思维定势,培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，变化为多个与原题内容不同，但解法相同或相近的题目，有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三，触类旁通，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
利用一题多变培养学生的广阔思维。
“一题多变”是题目结构的变式，将一题演变成多题，而题目实质不变,让学生解答这样的问题，能随时根据变化的情况思考，从中找出它们之间的区别和联系，以及特殊和一般的关系。
使学生不仅能复习、回顾、综合应用所学的知识，而且使学生把所学的知识、技能、方法、技巧学牢、学活，培养思维的灵活性和解决问题的应变能力。
提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。
通过多变的练习可以达到这一目的。
教学时，可以根据教学需要和学生实际情况，组织对应用题改变问题，改变条件或问题和条件同时改变的练习，达到目的。
但“变”要为“练”服务，“练”要做到有计划、有针对性。
因此，教师就要精心设计练习题，加强思维训练，使学生练得精、练得巧、练到点子上。
一般可以采用“纵变”和“横变”两种形式。
（一）、“纵变”：使学生对某一数量关系的发展有一个清晰的认识。
例1：某工人原来每天生产40个零件，现在每天生产50个零件，是原来的百分之几？解：50÷40=1.25=125%变式一：某工人原来每天生产40个零件，现在每天生产50个零件，比原来增产了百分之几？解：（50-40）÷40=0.25=25%变式二：某工人现在每天生产50个零件，比原来增产了25％，原来每天生产多少个零件？解：50÷（1 25%）=40（个）变式三：某工人原来每天生产40个零件，现在比原来增产了25％，现在每天生产多少个零件？解：40×（1 25%）=50（个）（二）、“横变”：训练学生对各种数量关系的综合运用。
从“一题之多”谈数学发散思维的培养
从“一题之多”谈数学发散思维的培养大王庄中学冯安营思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍变化就不知所云。
反复进行“一题多解”，“一题多变”，“一法多用”“多题归一”，“一题联想”的练习，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法，可通过讨论启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次练习，既增长了知识，又培养了发散思维能力。
教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次，有坡度，有价值，题型多变的练习题。
同时，教师要有意识地创设发散思维的条件或环境，如鼓励学生多角度，多方面地提出问题，解决问题，重视思维训练，发挥和培养学生发散思维能力。
在解决问题时能不拘一格地从仅有的信息中尽可能扩展开去，朝着各种方向，不同范围去探索各种不同的解决问题途径方法。
一、注重一题多解，一题多变，多题一解等，培养学生的思维发散习惯一题多解，就是用不同的思维分析方法，多角度多途径地解答问题数学题目，由于其内在的规律，或思考的途径不同，可能会有许多不同的解法。
因此，在平时的教学中，教师有意识的通过教材题目的引伸拓宽，引导学生广开思路、发散思维，探求多种解法，以此来训练和培养他们思维的创造性。
如证线段成比例时，先提出问题, 让学生思考讨论，通过利用原有的知识结构联想、归纳后得出：①可求四条线段的长得出；②用比例的变形得出；③可由平行线得出；④可由三角形相似得出；⑤可由等量代换得出。
题目为：在∆ABC中，点D是AB中点，过D的直线交BC、AC的延长线于Ｅ、Ｆ，求证：BE:CE=AF:CF. 先要求学生只考虑给出此题证明方法，由于有前面的复习作铺垫，学生根据要证的比例式中的线段及原先所熟悉的图形思考，不难得出：过点C作AB的平行线，交DF于点G，，由于AD=BD，结论得证。
也有学生过点B作AF的平行线与ED的延长线相交于点M，由△ADF≌△BDM得出AF=MB ，亦可得证。
完成二种证明过程后，若进一步发掘此题所蕴含的“奇形异宝”，引导学生进行探索，揭示解题规律，则能发挥本例的潜在功能，因此这时要求学生分小组讨论有没有其它的作辅助线的方法？并鼓励他们比一比哪个小组寻求的方法最多，经过师生共同努力，共发现10余种解法，让学生兴奋不已，既达到使学生进一步熟悉比例式的变换及几何证明中如何添平行线的常用技巧，又利于激发学生的兴趣和培养学生的发散思维能力。
一题多解 培养学生的发散性思维
2013-09课堂内外教学不只是继承和吸收前人的知识成果，还必须应用和创新，教师应该把传授知识和培养能力、掌握方法放在同等重要的位置。
通过例题示范和习题的一题多解，可以开拓思路，培养学生的发散性思维能力，还可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三的目的。
一、发散性思维的定义发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维，是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。
发散性思维的特点是：充分发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方辐射开，并通过知识、观念的重新组合，寻找更新更多的设想、答案或方法。
例如，一题多解、一词多组、一字多意或通过不同方法去探究答案的思维活动。
例如，风筝的用途是什么？有人回答：放在空中玩儿、测量风向、当射击靶子。
还有人回答：传递军事情报、作联络暗号等等。
他们根据不同的想法说出他们各自的答案，这样从不同的角度考虑问题将会促使学生拓展思维，把所学的知识灵活地运用，提高解题能力。
二、培养学生一题多解一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。
教师在教学活动中做好学生课堂教学的引导者和组织者，在课堂教学中，引导学生从多方面考虑问题，培养学生的一题多解能力，培养学生的发散思维能力，使其养成一个良好的解题方法和思路。
1.启发联想，诱发一题多解联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。
课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。
例.某厂有工人126人，男女工人之比是5∶4，男工有多少人？读题后，引导学生根据“男女工人数之比是5∶4”展开联想：①男工人数是女工人数的；②女工人数是男工人数的；③男工人数占全厂工人的；④女工人数占全厂工人的；⑤男工人数比女工人数多；⑥女工人数比男工人数少；⑦男工人数占5份，女工人数占4份。
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“一题多变”发散思维
从初中数学现状来看，“教师教，学生学；教师讲，学生听”仍是主导模式，基本上是“把学生当作消极、被动地接受知识的容器”，“狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。
思维变的狭窄，学知识只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。
这些促使我们思考：如何提高学生的数学学习兴趣，如何提高数学课堂的有效性？而反复进行的一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性有效方法。
一、“一题多变”的作用：
在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：
1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。
3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。
不就题论题，能多思多变。
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中
发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
二、“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；
2、变换题型；
3、深化条件，保留结论；
4、减弱条件，加强结论；
5、探讨命题的推广；
6、考查命题的特例；
7、生根伸枝，图形变换；
8、接力赛，一变再变等等。
三、一题多变，挖掘习题涵量：
1、变换命题的条件与结论
即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一
个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解
题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培
养创新思维的品质。
例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD 中点。
求证：∠BEC=90°．
变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD 中点。
求证：CE⊥BE．
变换2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点．求证：BC=AB+CD．
变换3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？
变换4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE．求证：AE=ED．
2、变换题型
即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。
例2：如图，已知△ADE中，∠
DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且
△ABC是等边三角形，求证：BC2=
BD·CE。
分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发找到需证明△ABD∽△ECA，从而使问题变得容易解决。
变换一：改为填空题，如图，已知△ADE中，
∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是等边三角形，则线段BC、BD、CE满足的数量关系是。
本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC分别代换为AB、AC，从而归结为找△ABD与△ECA的关系问题。
变换二：改为选择题，如图，已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形，则下列关系式错误的
是（）
A．∠ADB= ∠EAC B．AD2 = DE·BD
C．BC2 = BD·CE D．AE2 = DE·BD 本题名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A、B、C选项均正确，选D。
变换三：改为计算题, 如图，已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是边长为4的等边三角形，且BD=2，求CE的长。
仍然要探究出线段BC、BD、CE满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。
变换四：改为开放题，如图，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？
结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。
由上述四种题型的变换，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。
3、深化条件，保留结论
在平时的习题教学中，如果我们灵活地改变题目的条件，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学
生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径。
从而达到举一反三的目的。
例如，根据下列条件，求二次函数的解析式：
①、已知抛物线经过（1，3），（－1，4），（0，4）三点；
②、已知抛物线经过顶点（2，4），且过原点；
③、已知抛物线经过（6，0）点，且x=4时，有最小值8；
④、把抛物线y=2x²－4x－5向左又向上各平移3个单位；
⑤、已知y=ax²+bx+c，当x=1和x=2时都有y=5，且y的最大值是14；
（思考方法、解略）
4、接力赛，一变再变
①、（32-1）×（32+1）= 。
②、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）= 。
③、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）= 。
④、（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）= 。
⑤、（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）＋9= 。
通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。
一题多变，不仅可以培养学生的发散思维能力及相关知识点迁移能力，还可以大大扩大学生的知识容量，经常做这种训练，不仅可以提高学生思维质量，还可以培养学生面对难题的良好的从容心态。
新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经
验”。
数学教学离不开例题习题，而教学中如何选择例题习题，从而挖掘教材潜在的智能价值，充分展示教学功能，并使课本知识有效地浓缩。
通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，使一题多变，从而揭示不同知识点的联系，使学生加深知识的理解与内化，使知识系统化，克服某些思维定势，发散学生思维，培养学生思维的灵活性、全面性和创新性，提高学生解决实际问题和应变的能力。
神话中的“孙悟空”能战胜取经途中的众多妖魔。
我想，其中一个很重要的原因是“大圣”有高超的武艺，会72变。
由此想到，对一个普通的数学题目的“变化”，以总结、发现题与题中的联系，体会出“数学美”。