“一题多变”发散思维

“一题多变”发散思维

从初中数学现状来看，“教师教，学生学；教师讲，学生听”仍是主导模式，基本上是“把学生当作消极、被动地接受知识的容器”，“狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。思维变的狭窄，学知识只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。这些促使我们思考：如何提高学生的数学学习兴趣，如何提高数学课堂的有效性？而反复进行的一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性有效方法。

一、“一题多变”的作用：

在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：

1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。

2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。

3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。不就题论题，能多思多变。

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中

发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

二、“一题多变”的常用方法有：

1、变换命题的条件与结论；

2、变换题型；

3、深化条件，保留结论；

4、减弱条件，加强结论；

5、探讨命题的推广；

6、考查命题的特例；

7、生根伸枝，图形变换；

8、接力赛，一变再变等等。

三、一题多变，挖掘习题涵量：

1、变换命题的条件与结论

即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一

个问题从多个角度来研究。这种训练可以增强学生解

题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培

养创新思维的品质。

例1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD 中点。求证：∠BEC=90°．

变换1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD 中点。求证：CE⊥BE．

变换2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点．求证：BC=AB+CD．

变换3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？

变换4：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE．求证：AE=ED．

2、变换题型

即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。

例2：如图，已知△ADE中，∠

DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且

△ABC是等边三角形，求证：BC2=

BD·CE。

分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发找到需证明△ABD∽△ECA，从而使问题变得容易解决。

变换一：改为填空题，如图，已知△ADE中，

∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是等边三角形，则线段BC、BD、CE满足的数量关系是。

本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC分别代换为AB、AC，从而归结为找△ABD与△ECA的关系问题。

变换二：改为选择题，如图，已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形，则下列关系式错误的

是（）

A．∠ADB= ∠EAC B．AD2 = DE·BD

C．BC2 = BD·CE D．AE2 = DE·BD 本题名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A、B、C选项均正确，选D。

变换三：改为计算题, 如图，已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是边长为4的等边三角形，且BD=2，求CE的长。

仍然要探究出线段BC、BD、CE满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。

变换四：改为开放题，如图，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？

结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。

由上述四种题型的变换，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。

3、深化条件，保留结论

在平时的习题教学中，如果我们灵活地改变题目的条件，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学

生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径。从而达到举一反三的目的。例如，根据下列条件，求二次函数的解析式：

①、已知抛物线经过（1，3），（－1，4），（0，4）三点；

②、已知抛物线经过顶点（2，4），且过原点；

③、已知抛物线经过（6，0）点，且x=4时，有最小值8；

④、把抛物线y=2x²－4x－5向左又向上各平移3个单位；

⑤、已知y=ax²+bx+c，当x=1和x=2时都有y=5，且y的最大值是14；

（思考方法、解略）

4、接力赛，一变再变

①、（32-1）×（32+1）= 。

②、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）= 。

③、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）= 。

④、（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）= 。

⑤、（32+1）×（34+1）×（38+1）×……×（364+1）＋9= 。通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。

一题多变，不仅可以培养学生的发散思维能力及相关知识点迁移能力，还可以大大扩大学生的知识容量，经常做这种训练，不仅可以提高学生思维质量，还可以培养学生面对难题的良好的从容心态。

新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经