例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
浅谈一题多解与一题多变
周刊浅谈一题多解与一题多变许国能(浙江省天台平桥二中，浙江台州317203)摘要：数学是一门必修学科，它具有整体性、逻辑性和复杂性的特点，会使学生在学习过程中觉得有点吃力。
但是，高中 数学是高考中的一个重要组成部分，其分值也比较大，对学生的升学产生直接的影响。
所以，必须在高中数学教学中提升教学的有效性。
高中数学教师要根据学生的实际情况，及时地改变数学的教学方法，不断地探索新的、更加有效的教学模式，例如一题多解和一题多变的教学，这种教学方法不但可以巩固学生的基础知识，还能培养学生的思維和创新精神，提升学生的解题技能。
本篇文章主要从现阶段高中数学的教学情况开始分析，提出在高中数学学习中运用一题多解和一题多变的教学方法的建议和措施。
关键词：一题多解；一题多变；高中数学；教学方法一、 高中数学教学现状虽然新课改已经实行了许多年，但是高中数学教学受到传统教育理念和教学模式的影响还比较严重，使得学生在学习过程中依然要面对作业繁重的问题，需要承受高考所带来的压力。
究其原因，一方面由于受应试教育模式的影响，使 得学生必须参加高考，使得教师在高中数学的教学过程中为了提高学生的学习成绩，使其能在高考中取得高分，往往采用习题教学，让学生通过做大量的习题来巩固所学的知识，但是同样存在着巨大的弊端。
单调繁重的习题练习，会使得学生在这样的学习中造成思维的固化，还会对数学学习产生疲劳感，使得对数学的学习停留在表面，缺少深入的钻研。
另一方面，由于社会竞争的越来越激烈，使得教师和家长在无形中将这种压力传给孩子，使得学生在学习中往往更加在意分数的高低和排名的前后，而不是在每次的学习和考试中总结自己的学习情况：解题思路是否更加简答、快捷？知识的掌握是否全面和深入。
这些原因使得高中数学的教学更加机械化和表面化，为了追求分数，而忽略了对数学知识的整体把握，也忽视了对学生数学思维和学习能力的培养。
二、 高中数学学习中运用一题多解与一题多变的必要性(一） 激发学生的创新意识如果一题多解、一题多变在高中数学学习中能够得到灵活地运用，那么数学的教学就会更加地全面和深入。
[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
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[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。
关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。
而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙:,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题:43,3sin?=sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α +cos2α =1。
?= = ?16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，4333434555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。
55分析:上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接34求解就简洁些:55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
以“一题多变与一题多解”为载体培养学生优秀的思维品质
以“一题多变与一题多解”为载体培养学生优秀的思维品质设计一题多变和一题多解的训练, 是我国中学数学教育的优良传统。
发展学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，是教学的根本任务。
所谓一题多变, 是指在保持问题实质不变的情况下, 通过变式改变问题的条件或问题的结论, 把一个问题化为梯度渐次上升的一个问题系列。
而一题多解，则是在学生认真审题的基础上，从不同角度、不同侧面去寻求同一题的多种解题方法，而且在学生解题后要让他们进一步思考解法特征与解题关键，并对不同的解法加以比较区别优劣。
在教学中设计一题多变和一题多解有助于学生创造性思维能力的培养, 开发学生的创造力。
一、一题多变，积极思维，培养思维的灵活性在初中数学教学中，选择教材中的典型题，恰当的进行一题多变的教学，可使学生处在一种愉快的探索知识的过程中，可使学生所学知识纵向加深，横向沟通，从而充分调动学生的积极性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
例：求证顺次连结四边形各边中点所得四边形是平行四边形。
变式：如果改为特殊四边形，如平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形时，顺次连结它们各边的中点，将是什么四边形？如何证明？从推理过程中你发现原四边形的对角线的关系是怎样决定中点四边形的图形呢？在学完八年级（下）《用推理方法研究四边形——中位线》这节之后，设计安排上述变式的题目，让学生研讨、思考，显然颇有益处，既可以把若干知识点串联起来，达到巩固所学知识的目的，又可以培养学生的猜想能力，有效地促进创造思维的形成与发展。
二、引入开放题,提高学生分析,解决问题的能力，培养思维的发散性、创新性。
开放题分为条件开放题,策略开放题,结论开放题.开放题具有一些特性:非完备性、不确定性、发散性、探究性、发展性、创新性。
例如：已知，在⊙O 中，AD 是直径，BC 是弦，AD⊥BC，E 为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程）思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； 3.AB=AC；4.BD=CD.思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论： 1.∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED=∠ABD=∠ACD=Rt∠； 2.∠ABC=∠ACB； 3.∠DBC=∠DCB； 4.∠BAD=∠CAD； 5.∠BDA=∠CDA；6.∠BAD=∠BCD；思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论：1.弧AB=弧AC；2.弧BD=弧CD；3.弧ABD=弧ACD；4.弧ABC=弧ACB；5.弧BAD=弧DAC.思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论： 1.△AEB≌△AEC；2.△BED≌△CED；3.△ABD≌△ACD.思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：△ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD，即图中所有的直角三角形两两相似。
一题多解与一题多变
一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。
在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。
也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。
还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。
问题一：设AB 是抛物线px y 22=的弦，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线AB 恒过定点。
证明之。
分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x 轴上。
2、怎样利用已知条件？ 主要是OA ⊥OB 的作用：①1-=⋅OB OAk k②设()()2211,,y x 、B y x A，则02121=+y y x x3、可从那些方面入手？ ①从设点的坐标入手由点A 、B 在抛物线上，可设点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22， ②从设直线AB 的方程入手1）设直线AB 的方程为x=my+b 2）设直线AB 的方程为ax+by=1 ③从OA ⊥OB 入手 设OA 的斜率为k ，则OB 的斜率为k1- 方法一：设A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22，则OA 、OB 的 斜率分别为a p 2、bp 2，由OA ⊥OB 得：24p ab -=，又AB 的斜率为∶ba pk +=2，∴AB 方程为∶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-p a x b a p a y 222，即()p x b a py 22-+=， 显然AB 过定点（2p ，0）。
ABO方法二∶设直线AB 的方程为x=my+b ，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x 简便），代入抛物线的方程消x 得：0222=--pb mpy y又设A ()11,y x 、B ()22,y x ，则pb y y 221-=，又,2121px y =,2222px y = ∴()()222222121424b ppb py y x x =-==，由OA ⊥OB 得02121=+y y x x ，∴022=-pb b，∵b ≠0，∴b=2p ，即AB 的方程为x=my+2p ，显然AB 过定点（2p ，0）。
一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４㊀一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用Һ刘㊀月㊀刘㊀君㊀（北华大学数学与统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学作为一门工具学科，广泛地应用于我们的生活中．高中数学更是数学教学阶段的重点和难点．在实际教学中，尤其注重学生逻辑思维灵活性㊁发散性的培养．因此，教师通过什么样的教学方法才能使学生更好地学习数学，这是一个值得深思的问题．在实际教学中发现，通过对学生进行长期的一题多解与一题多变训练会有效地培养学生思维的灵活性与多向性，所以，教师应把一题多解和一题多变的教学方法应用到课堂中．ʌ关键词ɔ高中数学；一题多解；一题多变一题多解就是学生寻找多种方法做单个的数学题，不但使学生的思维得到了拓展，而且提高了学生对数学公式㊁定义㊁定理应用的灵活性．一题多变就是通过改变题干中的已知条件，让学生从多角度认识问题，通过对比㊁类比㊁联想来解决问题，促进学生学习数学知识的连贯性．而对于一题多变，学生内心都比较恐惧，容易被题目表面所迷惑，找不到正确的做题方法．其实无论哪种方法，学习数学的关键都是把数学题目变成自己所能看得明白的语言，从而找到做题的切入点，最终你会发现所用到的知识点与公式都是一样的．下面，笔者就根据自己在课堂上的实际教学经验来谈谈在高中数学教学中应用一题多解和一题多变的教学方法的重要性．一㊁在教学中应用一题多解和一题多变１．推导数学公式无论是在初中还是在高中，数学学习的基础与关键都是熟记公式．就像建筑工人需要用工具建一栋大楼一样，学习数学就像建楼，数学公式就是工具，没有了工具是无法完成这项工作的．当然，熟记公式也是有方法的，不能死记硬背公式，因为高中数学公式非常的复杂且多，如果不能理解与认识数学公式，很容易把大量的公式背混或者考试时突然忘记．而不会应用数学公式去做题是高中数学学习中出现最大的问题，这个时候推导公式就起到了作用，掌握了数学公式的推导，进而知道了公式的由来，所以加深了对公式的理解．而在推导数学公式的过程中用到一题多解，学生既能从中掌握做题的技巧，也能加深对公式的记忆．２．例题讲解在课堂教学中，教材上的例题和课后的习题讲解是重中之重．我们都知道，例题和习题的选取都具有典型的代表性，在做题中会发现许多题都和例题有一定的联系，并且解题方法的核心是不变的．所以，在例题和习题的讲解演练过程中，教师应让学生掌握一题多解和一题多变的方法，使学生从几个典型的例题中找到做一类题的解题技巧与规律，避免题海战术，使学生产生厌烦的心理．二㊁应用一题多解与一题多变的实际例子１．一题多解推导公式数列是高中数学学习的重点也是难点之一，在高考中占有很大的比重，这一块知识的公式也非常多．比如，等差数列㊁等比数列的通项公式，前ｎ项和公式以及有关性质的公式．其实，有很多的公式都可以用多种方法推导出来，这里我仅以等差数列的通项公式ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ为例，用两种不同的方法推导一下．推导方法１ａ２＝ａ１＋ｄ，ａ３＝ａ２＋ｄ＝ａ１＋２ｄ，ａ４＝ａ３＋ｄ＝ａ１＋３ｄ，ａ５＝ａ４＋ｄ＝ａ１＋４ｄ，依此类推，我们归纳得出ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．推导方法２根据等差数列的定义可以得到：ａ２－ａ１＝ｄ，ａ３－ａ２＝ｄ，ａ４－ａ３＝ｄ，ａｎ－３－ａｎ－４＝ｄ，ａｎ－２－ａｎ－３＝ｄ，ａｎ－１－ａｎ－２＝ｄ，ａｎ－ａｎ－１＝ｄ．相加得ａｎ－ａ１＝（ｎ－１）ｄ，化简得ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．对学生而言，推导方法１更简单点，也很容易理解．但推导方法２意义更加重大，不但加深了学生对通项公式的记忆与理解，而且得出了求数列通项公式的一种方法 累加法，这种方法也是我们要重点学习的，在以后的学习中经常会遇到应用累加法求通项公式的问题，学生通过此次推导一定会学以致用．２．一题多解例题分析例１㊀在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知２ｂ－２ａ＝２ｃ㊃ｃｏｓＡ．（１）求角Ｃ．（２）若ｃ＝２，求әＡＢＣ面积的最大值．第（１）小题解法１㊀由余弦定理可得２ｂ－２ａ＝２ｃ㊃ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ，整理得２ａｂ＝ｂ２＋ａ２－ｃ２，ʑｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝２ａｂ２ａｂ＝２２，ʑＣ＝π４．解法２㊀由正弦定理可得２ｓｉｎＢ－２ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ，在әＡＢＣ中，２ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）－２ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ，整理得ｓｉｎＡ（２ｃｏｓＣ－２）＝０．ȵｓｉｎＡʂ０，ʑｃｏｓＣ＝２２，ʑＣ＝π４．第（２）小题解法１㊀由正弦定理得ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２２，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀㊀ʑｂ＝２２ｓｉｎＢ，ａ＝２２ｓｉｎＡ，ʑＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝２２ｓｉｎＢｓｉｎＡ＝２２ｓｉｎ３π４－Ａ()㊃ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ２Ａ－π４()＋１．ȵＡɪ０，３π４()，ʑ２Ａ－π４ɪ－π４，５π４()，ʑ当ｓｉｎ２Ａ－π４()＝１，即Ａ＝３π８时，ＳәＡＢＣｍａｘ＝１＋２．解法２㊀由余弦定理，得２２＝ａ２＋ｂ２－４２ａｂ，整理得ａ２＋ｂ２＝２ａｂ＋４，由重要不等式ａ２＋ｂ２ȡ２ａｂ，得ａｂɤ４＋２２，ʑＳәＡＢＣ＝２４ａｂɤ１＋２，当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立．ʑＳәＡＢＣｍａｘ＝１＋２．例１这道题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，每一小问都能用两种不同的方法作答．在第（１）问中，教师可以先给学生讲解用余弦定理把角化成边的方法，接下来通过提问谁还能想到其他方法来解决这个问题，让同学们分组讨论．在这个过程中，教师可以适当地引导学生利用正弦定理把边化角的方法做这道题，最后一定要鼓励学生积极发言，让学生参与这个头脑风暴中．在第（２）问中，教师可以先提问学生要想解决这个问题应该用三角形的哪个面积公式，这样就很好地复习了面积公式，然后根据这个三角形的面积公式思考用什么方法求最值问题．第一种方法就是边化角，转化成求三角函数的有界性，第二种方法就是利用重要不等式求最值．最后，让学生比较哪种方法更简单，说说自己更擅长用哪种方法，这样就会知道自己哪些知识点掌握得不好，哪些方面需要加强．３．一题多变例题分析例２㊀已知ｃｏｓα＝４５，且α是第四象限角，求ｔａｎα．解㊀ȵｓｉｎα＝－１－ｃｏｓ２α＝－３５，ʑｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝－３４．变１㊀已知ｃｏｓα＝４５，求ｔａｎα．解㊀当α为第一象限角时，ｓｉｎα＝１－ｃｏｓ２α＝３５，ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝３４．当α为第四象限角时，ｓｉｎα＝－１－ｃｏｓ２α＝－３５，ｔａｎα＝－３４．变２㊀已知ｃｏｓα＝ｔ（ｔ＞０），求ｔａｎα．解㊀当ｔɪ（０，１）时，α为第一象限角或第四象限角．当α是第一象限角时，则ｓｉｎα＝１－ｔ２，ｔａｎα＝１－ｔ２ｔ．当α是第四象限角时，则ｓｉｎα＝－１－ｔ２，ｔａｎα＝－１－ｔ２ｔ．变３㊀已知ｃｏｓα＝ｔ（｜ｔ｜ɤ１），求ｔａｎα．解㊀当ｔ＝０时，ｔａｎα不存在．当ｔ＝ʃ１时，ｔａｎα＝０．当α是第一象限角或者是第二象限角时，ｓｉｎα＝１－ｔ２，ｔａｎα＝１－ｔ２ｔ．当α是第三象限角或者是第四象限角时，ｓｉｎα＝－１－ｔ２，ｔａｎα＝－１－ｔ２ｔ．例２这道题考查同角三角函数的基本关系与商数关系，对于学生而言，根据三者之间的关系会很容易做出这道题．与例２相比，变式１中角α的范围没有明确，会有很多的同学容易忽视这个问题，这类同学一方面是读题不认真粗心大意；另一方面也反映了他们对这块知识点掌握得不是很好．因此，教师可以提问学生看出来这两道题有什么不同，这样就提示了学生，给学生一个正确的思路．在变式２中，ｃｏｓα的值不再是具体的数值，而是变成了一个有范围的参数，难度稍微增大，可以让同学们讨论研究一下解法，并找两名同学到黑板上作答．最后引导学生发散思维，对例２进行其他的变形，对于想出其他变形的同学要进行表扬，让同学们在数学学习中体验到成就感，也加深学生对知识的深层次理解．当然不只变式３一种，这里就不再具体说明了．三㊁结束语高中数学有两个显著的特点，一个是灵活，一个是多变．教师往往为了学生能够熟练地掌握数学知识都会采用题海战术，给学生布置大量重复题型的课后作业，但学生既要完成数学作业，又要完成其他科目的作业，大量的作业就会让学生感到枯燥和无力，进而产生厌恶的心理，久而久之，对数学就失去了兴趣．所以，教师要解决这个问题，一题多变和一题多解就起到了很重要的作用．因为我们都知道高中数学的学习最重要的是有一个好的学习方法，关键是把学过的知识点贯串起来，通过类比，更好地掌握知识．而教师通过一题多解和一题多变的教学，会使数学知识点增多，学生在做题的过程就学会了更多的知识．在复习旧知识点的同时还能知道自己哪些知识点掌握得不好，对新知识的学习起到了承前启后的作用，成为一个过渡的桥梁．我们从以上的两道例题中就可以看出一题多变和一题多解的重要性，它们既巩固了数学知识，又培养了学生多动脑思考的好习惯，让学生在课堂上发挥自己的主导地位，不再一味地听老师讲，让学生对数学产生兴趣，进而爱上数学．总而言之，教师应该在数学教学中多使用一题多解与一题多变的教学方法，但要注意的是，并不是所有的数学题都适合这种教学方法，教师应该在当前国家教育提出的核心素养目标的前提下对学生进行合理的训练．教师可以挑选一些有针对性的题，通过精心的研究，创新的拓展，引导学生用多种方法来解答，让学生尝试自己去改变题中已知条件或者结论，自己作答．但要注意的是，一题多变要遵循由浅到深，由易到难的原则，循序渐进地引导学生，不要跳跃性太大，打击学生学习的积极性．这就需要教师多研究学生的心理与目前这个阶段的认知水平．一题多解和一题多变的教学方法一定会使学生的学习成绩有所提高．ʌ参考文献ɔ［１］郭兴甫．重视课本例题习题教学［Ｊ］．课程教材教学研究：中教研究，２０１７（１１）：２０－２７．。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。
我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说明：例题：已知tanα=43,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα= 43=ααcossin，且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 54或者cosα= -54；而sinα=53或者sinα=-53。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二tanα=43：α在第一、三象限在第一象限时：cos2α =ααcossincos2225+=αtan211+=2516cosα=54sinα=αcos21-=53而在第三象限时：cosa=- 5 4sina=- 5 3分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三t anα= 43=ααcossin↔4cosα=3sinα↔4cos α= 3sin α= ±34cos sin 2222++αα∴sinα=53，cosα= 54或sinα=-53，cosα=-54分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
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例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
杨水长
摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。
关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果
很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很
多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以
使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。
我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学
习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，
高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可
以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取
一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说明：
例题： 已知tanα=4
3
,求sinα,cosα的值
分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：
法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4
3=
α
αcos sin ，
且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5
4
或者
cosα= -54
；而sinα=53或者sinα=-53 。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：
法二 tanα=4
3
：α在第一、三象限
在第一象限时： cos2α
=
ααcos sin cos 2
2
2
5+=αtan 2
11+=2516
cosα=5
4
sinα=αcos
21-=5
3 而在第三象限时： cosa=- 5
4 sina=- 53
分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα
cos sin ↔4cos α=
3sin α
↔4cos α=
3sin α= ±
3
4cos sin
2
2
2
2
++α
α
∴sinα=53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα=-54
分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：
法四 当α为锐角时，由于tana=4
3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x
sinA=AB
BC =
53
,cosA=AB AC =5
4
∴sinα= 53
，cosα=54
或sinα= -53
，cosα= -54
分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：
法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，
设α=∠AOT ， 因为tanα=
4
3，则T 点坐标是T(1,
4
3 ),由勾股定理得：OT=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+432
1= 45
∵△OMP ∽△0A T ∴AT MP =OA OM =OT OP
，OM=54, MP =53
, p(54, 53),
∴sinα= 53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα= -5
4
分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：
解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程
y=4
3 x ；x2+y2=1
两式联立，得出：
⎩⎨⎧==545
3x y ， 或
⎩⎨⎧-=-=54
5
3x y .
T 点坐标是P(-54, -53) P(5
4
,
53 )
∴sinα= 53
，cosα=54
或sinα= -53
，cosα= -54
分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：
解法七tanα= 43= α
αcos sin
4sina-3cosa=0
由三角函数辅助角公式得，
5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53 , cosφ=54
∴a+φ=kπ ，k ∈Z
sina=sin （k π -φ）=sinφ α在第一、三象限
∴容易求出sinα=53 ，cosα= 5
4
或sinα=-53，co sα= -54
分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍
角公式是否能解决此问题：
解法八，由二倍角公式，得，tanα=
2
2tan
2
12
tan
α
α
-=
4
3
3tan22
α +8tan 2
α-3=0
∴tan 2
α= -3,或tan 2α=31
sinα=2sin 2
α
cos
2
α
=2
2
cos
sin
2
cos
2
sin
2
2
2α
α
α
α
+
=2 2
1
2
tan
2
tan2α
α
+
∴sinα=
5
3
，cosα=
5
4
或sinα= -
5
3
，cosα= -
5
4
判别式
此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问
题，这里就不再赘述。
下面展示本题的变式与推广：变式1：已知tanα=-3，求sinαcosα的值
变式2：已知tanα=m，求sinα，cosα的值
变式3 ：已知sinα=m，求cosα，tanα的值
由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。
一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。