一题多解问题(高中数学经典题型)
数学一题多解的例题
《数学一题多解的例题》同学们，今天咱们来看看一道有趣的数学题，它可有好多解法呢！题目是这样的：小明有10 块糖，小红的糖比小明多 5 块，问小红有多少块糖？第一种解法很简单，直接用加法，10 + 5 = 15 块，这一下就得出小红有15 块糖啦。
再想想，咱们还可以这样做。
先假设小红和小明的糖一样多，那就是10 块，可小红比小明多5 块，所以10 + 5 = 15 块。
还有一种办法哦，咱们画个图。
画10 个小圆圈代表小明的糖，然后再多画5 个小圆圈，数一数，一共15 个，这也是小红的糖数。
一道题有这么多解法，是不是很有趣呀？《数学一题多解的例题》同学们，咱们来瞧瞧这道能一题多解的数学题。
题目是：一个长方形的长是8 厘米，宽是 5 厘米，求它的面积。
咱们先用最常见的方法，长乘以宽，8×5 = 40 平方厘米，这就求出面积啦。
换个思路想想，咱们把这个长方形分成两个小长方形，先算一个小长方形的面积，再乘以2 ，也能得出40 平方厘米。
还可以这样哦，假设这个长方形的长增加 2 厘米变成10 厘米，宽不变，面积就是10×5 = 50 平方厘米，再减去增加的那部分面积2×5 = 10 平方厘米，还是40 平方厘米。
怎么样，数学是不是很神奇？《数学一题多解的例题》同学们，一起来看看这道好玩的数学题，能有好多不同的解法哟！题目是：一桶水，爸爸用了一半，妈妈用了剩下的一半，还剩下8 升，这桶水原来有多少升？咱们可以从后往前想，妈妈用了剩下的一半后还剩8 升，那妈妈没用之前就是8×2 = 16 升。
爸爸用了一半后剩下16 升，那原来就有16×2 = 32 升。
再换个办法，咱们设这桶水原来有x 升，爸爸用了一半就是0.5x 升，剩下0.5x 升，妈妈又用了剩下的一半就是0.25x 升，最后剩下8 升，列出方程0.25x = 8 ，也能算出x = 32 升。
一道题能想出这么多办法，数学可真有意思！。
高中数学一题多解
题目：已知等腰三角形ABC，且AD是三角形ABC的高，E为边BC的中点，AE与BC交于点F，求证：∠ACF=∠BCE。
解法1：根据题目已知，AD是三角形ABC的高，说明角BAD和角FAC互余，即∠BAD+∠FAC=90°。
又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，即角BAD和角FAC相等。
因此，∠FAC=∠BAD。
由已知条件，E为边BC的中点，所以BE=EC，并且连接AE。
因为E是边BC的中点，所以AE是三角形ABC的中线，所以AE平分∠BAC。
因此，∠BAE=∠CAE，即角BAD和角CAF相等。
综上所述，∠FAC=∠BAD=∠CAF，即∠ACF=∠BCE。
解法2：在△ABC中，已知等腰，所以AB=AC。
根据题目条件，AD是三角形ABC的高，所以BD=CD。
由于E为边BC的中点，所以BE=EC。
连接AE，AF，BF，CF。
由于△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，所以∠ACB=∠BCA=∠BAC。
又因为AE是边BC的中线，所以AE平分∠BAC，所以∠BAC=∠CAE。
又因为AF是△ABC中△BCF的高，所以∠ACF=∠AF C。
所以∠ACF=∠AFC=∠BCF。
由于余角定理，对于任意角∠X和∠Y，若∠X+∠Y=90°，则称∠X和∠Y互余。
由题意可知∠BAC和∠BAD互余，所以∠BAD+∠FAC=90°。
又由于是等腰三角形，所以∠ACB=∠BAC。
所以∠ACB+∠FAC=90°，即∠ACF=90°-∠ACB。
由题目条件可知BE=EC，所以△BEC是一个等腰三角形，所以角BEC=角BCE。
所以∠ACF=90°-∠ACB=∠BEC=∠BCE。
综上所述，∠ACF=∠BCE。
高考数学一题多解练习
高考数学一题多解练习；已知n s 是等比数列的前n 想项和；963s s s ,,成等差数列；求证；852a a a ,,成等差数列 法一；用公式qq a s n n 一一111)(=； 因为963s s s ,,成等差数列；所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)(所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=；q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒；所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三；（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题；已知54=αsin 且α是第二象限角；求αtan解；α是第二象限角；54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1；54=αsin ；求αtan 解；054>=αsin ；所以α是第一或第二象限角 若是第一象限角；则3453==ααtan ,cos 若是第二象限角；则3454一一==ααtan ,cos 变2；已知)(sin 0>=m m α求αtan解；由条件10≤<m ；所以当 10<<m 时；α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211m mαm α一一==tan ,cos若是第二象限角2211m m αm α一一一一tan ,cos == 当1=m 时αtan 不存在变3；已知)(sin 1≤=m m α；求αtan解；当11一,=m 时；αtan 不存在当0=m 时； 0=αtan当α时第一、第四象限角时；21m mα一=tan当α是第二、第三象限角时；21m m α一一=tan。
常见的一题多解例子
常见的一题多解例子
教学中一题多解十分常见，不等式中，立体几何中。
几乎无处不在，下面就举一个简单的例子。
解不等式523<<3-x
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒
（2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3
综上：解集为}{0
x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解 原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且
解集为}{0
x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法
原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0
x 1-<<<<或43x x
解法四：利用绝对值的集合意义
原不等式可化为 2
523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得，
解集为}{0x 1-<<<<或43x x。
高中数学拔尖一题多解第2讲：恒成立(含解析)
一题多解第2讲多姿多彩恒成立，精彩各异策略多典型例题【例1】(I) x a x y 对任意的,0x y 恒成立,求a 的取值范围;对任意的,0x y 恒成立,求k 的取值范围.【例2】已知函数 2242cos 1sin 1(0)x f x x x x x,若 f x M 恒成立,则M 的取值范围是。
【例3(1)a x ay 对任意,(0,)x y 恒成立,则实数a 的取值范围是。
【例4】设,a b c n N ,且11na b b c a c恒成立,n 的最大值是。
【例5】若关于x 的不等式e (1)0xa xb 在R 上恒成立,求(1)a b 的最大值.【例6】已知函数1()1(0)f x x x,若存在实数,()a b a b ,使()y f x 的定义域为(,)a b 时,值域为(,)ma mb ,则实数m 的取值范围是（）A.14mB.104mC.14m且0m D.14m【例7】设函数222()()ln 2f x x a x a,其中0,x a R ,存在0x R ,使得045f x 成立,则实数a 的值是（）A.15B.25C.12D.1【例8】设()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x 时,2()f x x .若对任意的[,2],()x t t f x t 2()f x 恒成立,则实数t 的取值范围为。
【例9】已知函数2()1,f x x ax a a R ,若对于任意的(0,4)a ,存在0[0,2]x ,使得t0f x 成立,则实数t 的取值范围为。
强化训练1.已知函数321()1(,)3f x x ax bx a bR 在区间[1,3] 上是减函数,求a b 的最小值.2.设a R ,若0x 时,均有2[(1)1]10a x x ax 成立,求a 的值.3.已知函数()ln f x a x x ,对任意的1,e ,()0ex f x恒成立,则a 的范围为。
4.已知(1)1ln 0a x x 对于任意的1,22x恒成立,则a 的最大值为。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
高中数学一题多解例题
1、解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒（2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于 014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x2、已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列 法一：用公式qq a s n n 一一111)(=， 因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）。
高中数学一题多解经典题型汇编(精品)
高中数学一题多解经典题型汇编解法一：运算法A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ⊆⇒= ，A 错误B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误C.A B A B A =⇒⊆ ，又φφ=⇒=A B C B B C U U ，C 正确D.A B A B A =⇒⊆ φ≠⇒B A C U ，D 错误解法二：特殊值法由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则A.()()A C B C B C A C U U U U ⊆⇒⊆⇒⎩⎨⎧==}3,2{}3{}3{}3,2{，A 错误B.()()U A C B C B C A C U U UU =≠=⇒⎩⎨⎧==}3,2,1{}3,2{}3{}3,2{ ，B 错误 C.φ=⇒==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确D.φ≠=⇒==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误解法三：韦恩图法如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.◆◇方法解读◇◆解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。
解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。
解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。
【典例2】已知i z i 23)1(+=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对于的点位于第 象限. 解法一：复数的四则运算法 i i i i i i i i z i z i 2232232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-+=⇒+=- i z 223223+--=∴⇒第四象限. 解法二：利用相等复数法（待定系数法）设复数bi a z +=，则bi a z -=i i b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--⇒+=--⇒+=-∴⇒+--=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒i bi a z b a b a b a 2232232232232)(3第四象限. ◆◇方法解读◇◆解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。
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1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
解法二：构造向量=+=+=，又因为BC AE ,对应边的中线，则交点O 是ABC ∆的重心，a BC AE AO ===32，所以BC 边上的高a AO h =≤，2212max ==a S ，所以2=a 。
解法三：共线定理=+=，因为AC AB AM 3231+=，易得M 位于靠近C 的三等分点处，（如图），a ==，所以BC 边上的高a AM h =≤，2212max ==a S ，所以2=a。
4.已知点P 是抛物线y x 42=上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1-0，，则PAPF的最小值为.解法一：函数思想设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x P ，如下图，根据抛物线定义1420+==x PH PF ，2202014⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x PA ，11411114114141414200220222020220220202+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=x x x x x x x x x x PAPF因为11400≥+x x ，所以22≥PA PF。
解法二：三角函数如图，作抛物线的准线且过点A ，过点P 作准线的垂线，垂足为H ，设θ=∠PAH ，θsin ==PAPHPA PF ，所以只要研究θ最小，点P 在抛物线上运动时，当AP 与抛物线在第一象限相切时。
设直线AP 方程：()01>-=k kx y 与抛物线y x 42=联立方程组得：0442=+-kx x ，当016162=-=∆k ，得1=k 。
此时︒=45θ，此时22sin ==θPAPF 5.一道很简单的小题目如图，在体积为V 的圆柱21O O 上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为21,V V ，则VV V 21+的值是.解法一：一般法设圆柱的底面积为S ,高为h ，上下圆锥高分别为21h h ，，且h h h =+21，()31312121=+=+Shh h S V VV 解法二：特殊值法考虑结果是定值，与O 点位置，高无关，于是设圆柱的底面积为S ,高为2，取O 点为中点位置，于是两个圆锥的高分别为1，()312113121=⋅+=+S S V V V 解法三：极限法考虑结果是定值，与O 点位置无关，将O 取极限位置到1O ，此时01=V .变为等底等高的圆锥与圆柱的体积比，即为31。
6.【2019年全国I 卷12题】已知椭圆C 的焦点为()()0,1,0,121F F -,过2F 的直线与C 交于B A ,两点.若B F AF 222=,11BF AB =，则C 的方程为（）A.1222=+y x B.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x 解法一：同角列式（以A ∠,B ∠皆可，因为这两个角没有被分掉，下面以A ∠为例）在21AF F ∆中，由余弦定理得：()()222222128422cos x x x x x A -=-+=，在AB F 1∆中，由余弦定理得：()()()3112332cos 2222=-+=x x x x A ，【此处求A cos ，可根据等腰三角形1BAF ，过B 作对边的高，垂足为H ，由三角函数可以直接得出31cos ==AB AH A 】由两式相等得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。
所以12322=+y x ，选B 。
解法二：分角列式（A BF 1∠被21F F 一分为二，且总角与两分角皆可表示）AM 是AB F 1∠在的角平分线，由角平分线定理，3:2::1==AB AF MB AM ,所以563521x x M F =⋅=，OM F Rt 1∆中，xx x x 6253636251sin ,65cos 22-=-==αα在21F AF ∆中，OA F Rt 1∆中，xx x x x x 214414411sin ,21cos 2222-=-=-==ββ()222212142536125cos x x x x -⋅--=+βα等腰三角形B AF 1∆中，过B 作对边的垂线，垂足为H ，易得31cos 1=∠A BF ，得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。
所以12322=+y x ，选B 。
解法三：互补角列式设β=∠12F BF ,在12F BF ∆中，由余弦定理得：xx x x x 22221494cos -=-+=β，在12F AF ∆中，由余弦定理得：()x x x x 218444-cos 22=-+=βπ，因为()0cos cos =-+βπβ，所以021212=+-xx x ，得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。
所以12322=+y x ，选B 。
解法四：向量法1因为2F 是AB 的三等分点，所以B F A F F F 11213231+=,两边平方得：B AF B F 12194∠++=，等腰三角形B AF 1∆中，过B 作对边的垂线，垂足为H ，易得31cos 1=∠A BF ，31384944222⋅++=x x x ，得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。
所以12322=+y x ，选B 。
解法五：向量法2因为2F 是AB 的三等分点，所以AB AF 322=，得⎪⎭⎫⎝⎛2b 23，B ，代入椭圆方程，1449222=+b b a ，得3=a ，所以12322=+y x ，选B 。
解法六：相似比过点B 作x 轴的垂线，垂足为M ，22BMF AOF ∆≈∆,1:2:22=B F AF ，所以2,212b BM M F ==,得⎪⎭⎫⎝⎛2b 23，B ，下同解法五。
7.已知动点P 在圆()16422=++y x C ：上，()()0402-，，，B A ，那么=PBPA.解法一：轨迹法设()y x P ,且()0>=λλ，PB PA ，可得动点P 轨迹方程：01416148222222=--+-+-+λλλλx y x ，又因为动点P 在圆()16422=++y x C ：上，即：0822=++x y x ，对照一次项与常数项可得0141622=--λλ，即21=λ。
解法二：函数法设()y x P ,，且满足()16422=++y x ，有x x y 822--=，那么()()()()21441-84824222222222=+-+=-----+=+-++=x x xx x x x x y x y x PBPA。
解法三：参数方程法设()θθsin 4,4cos 4-P ，那么()()()()21cos 6480cos 16-20sin 444cos 4sin 424cos 42222=-=+--++-=θθθθθθPBPA 。
解法四：特殊值法考虑结果是定值，与P 点坐标无关，取圆上特殊点()00，P ，4,2==PB PA ,21=PB PA .8.已知R ∈α，210cos 2sin =+αα，则=α2tan .解法一：定义法由三角函数定义知r y =αsin ，r x =αcos ,其中222y x r +=，则2102=+rx r y 。
两边平方得：()()222252y x x y +=+，化简得xy y x 3822-=-，于是432x y 1x y2tan 1tan 22tan 2222-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=y x xy ααα。
解法二：弦化切法因为210cos 2sin =+αα，所以25cos 4cos sin 4sin 22=++αααα，化简得23cos 3cos sin 42=+ααα则23cos sin cos 3cos sin 4222=++ααααα，弦化切得231tan 3tan 42=++αα，得3tan =α或31-，不论哪种情况，都有432tan -=α解法三：构造法由解法二得，231tan 3tan 42=++αα，得到3tan 3tan 82-=αα，仿照正切二倍角公式，构造如下()()αα2tan -13-tan 24=⋅，所以()43-tan -1tan 22=αα，即432tan -=α。