高中数学真题与经典题一题多解解法与解析
高中数学经典题一题多解(一)：解析几何一题多解 21题 53解
32OA OB =+第一种解题思路：把直线的方程联立椭圆3OB +，(,222M x +y)在椭圆:4C3,=(，由待定系数法求得2λ，23OB +第三步：把32OM OA OB =+椭圆上这个条件，但是只提供这就是原题的构造过程.，过(4,)5A 且斜率为k 的直线交椭圆(4)5y k x -=-与:25C +由2⎨⎪(12)k x+.又26424(1k∆=-2211,x y ⎧+=⎪3cos ||||41a a b k α==+134≤如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时，||AB 取得最大值？并求最大值．初等解法：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以 2||1m R k =+， 即222(1)m R k =+ ①，因为l 与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，由2214y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=， ②由①、②可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km kx k m m=-=-=-+， ∴2211441()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴222221211614||5k OB m R x y +===-+=， ∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R=-=--=-+， 因为2244R R+≥，当且仅当2(1,2)R =∈时取等号，所以2||541AB -=≤， 即当2(1,2)R =∈时，||AB 取得最大值，最大值为1．高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．-++ m x x1)()⊥．∴MA MB又 21x x +=)11(41+-λk )11(42+-λk =k 4-(2121λλλλ++2)， ，1λ+2λ=38-， (1) 21x x =216k )11(1+λ)11(2+λ=216k (211λλ+2121λλλλ++1) ，1λ+2λ=38-， (2) 由(1)得: 1λ2λ=)3(492--k ，由(2)得: 1λ2λ=)3(80)16(922-+-k k . ∴ )3(492--k =)3(80)16(922-+-k k ，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).如果考虑结论中涉及到的1λ+2λ怎样用k 表示，刚才提供的解法二可以演变为下面的解法三：1λ+2λ=441+-kx +442+-kx =-4(411+kx +412+kx )=-4×)4)(4(8)(2121++++kx kx x x k =-4×16)(48)(2121221+++++x x k x x k x x k ，然后把21x x +=238k k -，21x x =3192-k 代入上式化简得: 1λ+2λ=483962-k =38-，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).第7题 2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值． 一、题目：由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，所以11212=(22)AF PF BF AF BF -+．同理，22112=(22)BF PF AF AF BF -+．所以12121221212122+=(22)(22)22AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=-+++由①②得，212222(1)=2m AF BF m +++，21221=2m AF BF m ++，所以1223+=22=222PF PF -． 所以12PF PF +是定值．三、轨迹解法：（1）椭圆的方程为2212x y +=．（2）（ii ）如右图，设1AF 的延长线交椭圆于1B ， 设(,)P x y ，11()A x y ，，122()B x y ，，由对称性，22()B x y -，-，其中1200y y ><，，由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，. 设1AF 的方程分别为1x my =-，由22221(2)21=021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--⎨⎪=-⎩， 显然0>，12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 因为2,,P F A 共线，且所在直线有斜率，所以1111y yx x =-- ①， 因为1,,P F B 共线，且所在直线有斜率，所以2211y yx x =+- ②，12111x x x =+--，122212122)2()y y m y y m y y =--+9)3(2222=+-++y x y x ，即0322=-+x y x )335(≤≤x所以，点M 的轨迹方程为0322=-+x y x )335(≤≤x ．第10题 一道1985年高考解析几何题的两个优美解已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上，且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.优美解1(极坐标法)如图，依题意设三点的极坐标分别为.因点在椭圆上， 故有，所以①.又点在直线上，所以有，即②.又由得③ .由①②③得，即，所以，化为直角坐标方程得.又点不能是坐标原点，所以不同时为零，故点的轨迹方程是()，即，其轨迹是中心为焦点在直线上的椭圆(坐标原点除外).优美解2(向量方法)依题意设，设，则，因点在直线上，故有即①.又点在椭圆上，所以有即②. 又由得即③.由①②③得，即，下同法1略.问题是数学的心脏，问题解决是数学的核心和目标，简单优美是数学的更高追求，根据问题特点灵活选择恰当的方法使问题得以轻松解决，可从中可体验创造美、发现美、欣赏美的愉悦和成功.第11题 抛物线对称轴上五个重要点在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有五个重要的点，即(0,0)O ，(,0)2pK -，(,0)2p F ，(,0)M p ，(2,0)N p ，与这五点相关的高考试题非常多，本文对这五个点做一个简单的总结，其中前三个点的研究既用了代数法，又用了几何法，后两个点的研究只用了代数法，希望这个研究方法能对同学们有所启发，在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法．为了减少作图和便于比较，我们把涉及五点的结论所需的图形全部放在一个整体的图形中，这个图我们把它叫做五点图，如右图所示：1、原点(0,0)O 处的三点共线：过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过A B 、分别作准线2px =-的垂线，垂足为11A B 、，O 为坐标原点，则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线． 证法一 几何法连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知11AA FK BB ∥∥， 由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是11111111O F BB B K O K O KBF FA BA BA B A AA FA=====，( 2FBB-∠180，∴F B F⊥解：（1）因为椭圆由184x y +=⎨⎪⎩08=≥．又+ OA OB221(1k +==OB OA OB =.,OA OB OA OB =2整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅=．设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则MA 12)()(x x y -+22,OA OB OA OB =整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则11(y y y y x x --⋅=--,OA OB OA OB =2整理得: OAx x⋅又因12x x⋅≠122所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线12x x⋅又因12∴⋅=x x24(22p p -解法3:设圆C 的圆心为1x x +⎧=12又因12x x ⋅x x ∴⋅=1|4pd ∴=5+5(14k 时，上式取等号．2-127t.()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分 第 16题 一道解析几何定值题的2种解法已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥, 轴（如图）。
高中数学真题与经典题一题多解解法与解析
高中数学真题与经典题一题多解解法与解析(总113页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-函数篇【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2-解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +．则切线分别为：111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-∴解得1ln 11ln 2b x =+=-解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和22(,)x y ．∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1ln 11ln 22b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )32[,1)e-33,24e -（）33[,)24e 3[,1)2e解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)xe x ax a -<-，设()(21),()xg x e x h x ax a =-=-由'()(21)xg x e x =+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，故(0)(0)(1)(1)h g h g >-≤-⎧⎨⎩得312a e≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)()1x e x g x x -=-，则22(23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32min3()()42g x g e ==，即324a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。
高中数学学习中的经典题目解析与讲解
高中数学学习中的经典题目解析与讲解随着高中数学学习的深入，经典数学题目的解析与讲解成为了学习的关键。
本文将介绍数学学习中的一些经典题目，并对其解法进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握高中数学知识。
一、立体几何题目立体几何是数学学习中的重要内容，其中球体、圆锥体和圆柱体是常见的几何体。
下面，我们以一道经典题目来解析这三种几何体的性质。
题目：一个球形水泵中有一些水，现将水泵水倒入一个圆锥形容器中，若容器正好装满，请问水泵中的水是否用完？为什么？解析：我们需要利用几何体的性质来解答这道题目。
首先了解球体、圆锥体和圆柱体的公式。
- 球体的体积公式为V = 4/3πr³，其中r为半径。
- 圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
- 圆锥体的体积公式为V = 1/3πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
我们设水泵中的水体积为V1，球形水泵的半径为r1，圆锥形容器的半径为r2，圆锥形容器的高度为h2。
根据题意，水泵中的水倒入容器中后，容器正好装满，即两者的体积相等。
V1 = V24/3πr1³ = 1/3πr2²h2我们可以观察到，等式右边为圆锥体的体积公式，而左边为球体的体积公式。
由此可知，无论底面半径和高度如何变化，等式均成立。
所以，水泵中的水不会用完，无论水泵的水量多少，只要容器能装下，水泵中就还剩余一定量的水。
二、代数题目代数是高中数学的核心内容之一，其中方程和不等式是重要的概念。
下面，我们以一道经典的代数题目来解析方程的求解方法。
题目：解方程2x² + 7x - 15 = 0。
解析：解一元二次方程有多种方法，我们将采用因式分解法来解答这道题目。
先观察方程的形式，可以发现2x² + 7x - 15可以分解为(2x - 3)(x + 5) = 0。
根据零乘法，只要满足(2x - 3) = 0或(x + 5) = 0两个方程中的一个即可。
全国各地高考数学一题多解：全国I卷(Word版,含答案)
全国(quán ɡuó)I卷1、【2021年高考(ɡāo kǎo)数学全国I理第5题】函数(hánshù)在单调(dāndiào)递减，且为奇函数．若，则满足(mǎnzú)的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。
【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。
【解析】解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设，因为2-≤≤，所以f-1()1x，化简得，故选D。
解析三：（特殊值法）假设可取，则有，又因为，所以与2-≤≤矛盾，故=01()1f-x不是不等式的解，于是排除A、B、C，故选D。
2、【2021年高考数学全国I理第11题】设xyz为正数，且，则A．B．C．D．【答案】D【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性；【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。
属于中档题。
【解析】解析一：令，则，，，，，，要比较(b ǐji ào)与，只需比较(b ǐji ào)，，即比较(b ǐji ào)与，即比较(b ǐji ào)，，易知，故.要比较(b ǐji ào)2x 与，只需比较1lg 22，，即比较与，即比较，，易知，故.所以325y x z <<.解析二：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =，2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55tz t ==， ，所以即23x y >.，所以即52z x >.所以325y x z <<.3、【2021年高考数学全国I 理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】见解析【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。
一题多解问题(高中数学经典题型)
1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
高中数学一题多解
题目：已知等腰三角形ABC，且AD是三角形ABC的高，E为边BC的中点，AE与BC交于点F，求证：∠ACF=∠BCE。
解法1：根据题目已知，AD是三角形ABC的高，说明角BAD和角FAC互余，即∠BAD+∠FAC=90°。
又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，即角BAD和角FAC相等。
因此，∠FAC=∠BAD。
由已知条件，E为边BC的中点，所以BE=EC，并且连接AE。
因为E是边BC的中点，所以AE是三角形ABC的中线，所以AE平分∠BAC。
因此，∠BAE=∠CAE，即角BAD和角CAF相等。
综上所述，∠FAC=∠BAD=∠CAF，即∠ACF=∠BCE。
解法2：在△ABC中，已知等腰，所以AB=AC。
根据题目条件，AD是三角形ABC的高，所以BD=CD。
由于E为边BC的中点，所以BE=EC。
连接AE，AF，BF，CF。
由于△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，所以∠ACB=∠BCA=∠BAC。
又因为AE是边BC的中线，所以AE平分∠BAC，所以∠BAC=∠CAE。
又因为AF是△ABC中△BCF的高，所以∠ACF=∠AF C。
所以∠ACF=∠AFC=∠BCF。
由于余角定理，对于任意角∠X和∠Y，若∠X+∠Y=90°，则称∠X和∠Y互余。
由题意可知∠BAC和∠BAD互余，所以∠BAD+∠FAC=90°。
又由于是等腰三角形，所以∠ACB=∠BAC。
所以∠ACB+∠FAC=90°，即∠ACF=90°-∠ACB。
由题目条件可知BE=EC，所以△BEC是一个等腰三角形，所以角BEC=角BCE。
所以∠ACF=90°-∠ACB=∠BEC=∠BCE。
综上所述，∠ACF=∠BCE。
全国各地高考数学一题多解：高考数学一题多解——山东卷 Word版含解析
山东卷1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】D【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211abb a ≥+=即ab ≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>12,a b+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a又+<22log (a b)log 当a=b =1时等号成立.<<a b 012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2. 法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-= ,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ， 所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数. 所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<ab012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。
2021年高考数学真题一题多解 - 新高考I卷解析
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .
【解法二】参数方程法：设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
代入双曲线可得
同理
因为
即两斜率和为零。
【思维方式】本题的两种方法;一种是代数法，另一种参数法。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.
答案：(1)详见解析(2)
【知识点】垂直位置关系、二面角的求法
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【解法一】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点 双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；
（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
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函数篇【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln2-解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +．则切线分别为：111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=-解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和22(,)x y ．∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --=∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1ln 11ln 22b =+=-【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e-B 33,24e -（）C.33[,)24eD.3[,1)2e解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)xg x e x =+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，故(0)(0)(1)(1)h g h g >-≤-⎧⎨⎩得312a e ≤<解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)()1x e x g x x -=-，则22(23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2x ∈+∞时，()g x 单调递增所以32min 3()()42g x g e ==，即324a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。
③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21)()1x e x g x x -=-同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。
又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e≥-= 此时3[,1)2a e∈ 综上所述，a 的取值范围是3[,1)2e解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。
当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2-∞-递减，在1(,)2-+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B.当34a =时，33()(21)44x f x e x x =--+，3'()(21)4x f x e x =+-，因为3'()(21)4x f x e x =+-为增函数，且31'(0)1044f =-=>，13'(1)04f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3(0)104f =-+<，13(1)302f e --=-+>，(1)0f e =>，易判断存在唯一的整数0，使得(0)0f <，故34a =成立，排除答案C. 解法四：0x =带入()f x 中可以得到(0)1f a =-，由题意可知1a <，所以(0)0f <，满足题目中存在唯一的整数，使得0()0f x <，所以只需要(1)0(1)0f f >⎧⎨->⎩即可，得到312a e ≤<【试题3】（2016年全国Ⅰ卷文科第12题）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()+∞∞-,单调递增，则a 的取值范围是（ ）[]1111.1,1.1,.,.1,3333A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解法一：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 321)('+-=由题意可得0)('≥x f 恒成立，即为0cos 2cos 321≥+-x a x即有0cos cos 34352≥+-x a x设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452+-≥0，当0=t 时，不等式显然成立；当01t ≤<时，534a t t≥-，由tt 54-在]1,0(递增，可得1=t 时，取得最大值1-，可得13-≥a ，即31-≥a ；当01＜t ≤-时，tt a 543-≤，由54t t-在[1,0)-递增，可得1t =-时，取得最小值1，可得13≥a ，即31≤a ．综上可得a 的范围是]31,31[-．故选：C ．解法二：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 321)('+-=由题意可得0)('≥x f 恒成立，即为0cos 2cos 321≥+-x a x即有0cos cos 34352≥+-x a x ≥0，设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452+-≥0，由于二次函数)11(534)(2≤≤-++-=t at t t g 的开口方向向上,因此只需要⎩⎨⎧≤-≤0)1(0)1(g g解得,即1133a -≤≤,故选：C ．解法三：应用结论“奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数”由题可得,因为函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的定义域为()+∞∞-,且)()(x f x f -=-,所以)(x f 是奇函数. 根据结论可得,)('x f 是偶函数.又因为函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=在()+∞∞-,单调递增则0)('≥x f 在()+∞∞-,上恒成立因而必须满足3100cos 0cos 3210)0('-≥⇒≥+-⇒≥a a f因而根据选项,只有C 符合题意 故选C【试题6】（2014年全国课标1理科数学第11题） 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）解法一:求导得()()23632f x ax x x ax '=-=-，若0a =，则()231f x x =-+，不合题意，舍去；若0a ≠，令()0f x '=解得0x =或2x a=。
当0a <时，易知()f x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,+∞上单调递减，结合()f x 的图像，只需有20f a⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得2a <-。
当0a >时，易知()f x 在(),0-∞上单调递增，由()120f a -=--<，()010f =>，知()f x 在()1,0-上有零点，不合题意，舍去；综上所述，a 的取值范围为(),2-∞-，选B 。
解法二:由题意知，方程33310ax x -+=有唯一正根0x ，显然0x ≠，则313a x x=-+，令10t x=≠，等价于方程33a t t =-+（0t ≠）有唯一正根，作出33y t t =-+（0t ≠）的图像，数形结合，a 的取值范围为(),2-∞-，选B 。
解法三:取3a =，()32331f x x x =-+，检验知不合题意，排除A ，C ；取43a =-，()324313f x x x =--+，检验知不合题意，排除D ，故选B 。
【试题7】：（2015江苏高考13）．已知函数()()20,01ln ,42,1x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=实根的个数为▲ ．解法1：：()()1()1ln f x g x g x x +=⇔=±-，所以方程方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数即为曲线()y g x =和曲线1ln y x =±-的公共点个数之和。
曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =-显然有2个公共点，又因为(101ln1(221ln 2g g ⎧=>--⎪⎨=-<--⎪⎩）），所以曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =--也有2个公共点，如图2所示所以方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个。
解法2：：（1）当01x <≤时，()ln ln ,()0f x x x g x ==-=，原方程即为1ln 10x x e-+=⇒=，所以当01x <≤时，原方程有一个实根； （2）当12x <≤时，2()ln ,()2f x x g x x ==-，原方程即为2ln 21x x +-= 令21()ln 2(12),()20F x x x x F x x x'=+-<≤=-<， 所以()(1,2]F x x ∈在上单调递减，得()[ln 22,1)F x ∈-，得2ln 21x x +-=只有一个实根。
（3）当2x >时，2()ln ,()6f x x g x x ==-，原方程即为222ln 61ln 7ln 5x x x x or x x +-=⇒+=+=。
令2()ln (2,)G x x x x =+∈+∞在上单调递增，所以()(ln 24,)G x ∈++∞，因此22ln 7ln 5x x or x x +=+=各有一个实根。
综上，方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4。