例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
浅谈数学教学中的一题多解与一题多变
浅谈数学教学中的一题多解与一题多变【摘要】在教学实践中，有目的、有计划、适量地进行一题多变训练，有利于活跃思路，锻炼学生思维的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识融会贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究等能力，提升综合素质和综合运用能力。
【关键词】数学一题多解一题多变训练方法在新课改中，如何真正做到减轻学生负担，提高教学质量呢？不妨灵活采用一题多变，从精练与善思入手。
这样可以以一变应万变，触类旁通，既提高了学习效益，又培养了良好的学习习惯与思维品质，让同学们终身受益。
一题之“多”是指：一题多解、一题多变等方法，有目的、有重点地设计基本训练，有助于开拓思路，活跃思维，培养学生的创新能力。
现就一题多变题的教学，谈谈自己的想法。
1.一题多解，利于激发学习兴趣一题多解的题目要具有代表性，能包容大部分所学知识点，不能过于繁难，但也不能流于简单。
过难挫伤学生研究学习的积极性，过于简单学生没有兴趣，这一步对激发学生学习、探究的兴趣很重要。
例如，有这样一道题目：甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向，事先约定三人分摊车资，甲在全程的1/3处下车，乙在全程的2/3处下车，丙坐完全程下车，车费共54元。
问甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理？学生对此车资问题很感兴趣，甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理，意见很不一致。
经过尝试设计了3种方案：第一种方案由甲、乙、丙三人均分，即每人各付18元；第二种方案按路程分摊：甲、乙、丙所乘路程的比为1∶2∶3分别付费9元、18元、27元；第三种方案分段结算：车费共54元，如果按前1/3路程，中间1/3路程和最后1/3路程分别计算车费，则各为18元，开始的1/3路程需付18元，甲、乙、丙各付6元，中间的1/3路程需付18元，则乙、丙各付9元，最后的1/3路程需付18元，由丙承担，这样甲应付6元，乙应付15元，丙应付33元；从上例可以看出，同学们对此题很感兴趣，思维活跃，勇于探究，学习效果很明显。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是中国教育系统中最为重要的一次考试，几乎决定了学生的未来走向。
为了选拔出最好的学生，高考试题往往是非常严谨和严密的。
在实际的考试过程中，有时会出现一题多解或一题多变的情况。
一题多解指的是一个问题有多种答案或多种解决方法。
高考试题通常设计成有唯一正确答案的形式，但由于问题的复杂性和广度，也有可能会有其他答案。
某道数学题要求求解一个方程，虽然通常只有一个解，但在某些特定条件下也可能有多个解。
这种情况下，如果考生能够给出其他解，并且解答过程正确，他们也可以得到分数。
一题多变指的是同一道题目在不同的考试中，可能会有不同的表述或要求。
高考试题是经过精心设计和审核的，但有时会有一些小的差异。
某个考试要求学生解答一道文学理解题，其中涉及到一个小说中的情节。
在不同的考试中，可能会有对情节的描述有细微差别，但要求学生进行相同的分析和理解。
这种情况下，考生需要根据实际题目做出相应的答案。
一题多解和一题多变可能是由于试题设计者的失误或主观性造成的，也可能是故意设置的。
试题设计者有时会故意设置一题多解或一题多变的情况，以考察学生的思维能力和灵活性。
这样的题目可以激发学生的创造力和思考能力，使他们更好地理解问题，发现不同的解决方法。
一题多解和一题多变也反映了学科知识的广度和复杂性。
一个问题可能涉及到多个知识点或技能，学生需要综合运用这些知识点和技能来解答问题。
这样的问题在一定程度上能够衡量学生的综合能力和深度理解能力。
一题多解和一题多变也存在一定的问题。
一些考生可能会误解题意，给出错误的答案。
而一些考生可能只掌握了解题的一种方法，导致无法应对不同的题目要求。
对于学生来说，重要的是要在高中阶段充分掌握各学科的知识和技能，提高解题的能力和思维的灵活性。
要注重对题目的理解和分析，切忌盲目套用模板答案。
对于教育机构和教师来说，应该注重培养学生的综合能力和创新能力，设计更有针对性的试题，对一题多解和一题多变进行更加科学和合理的评分。
一题多解与一题多变在数学中的应用
一题多解与一题多变在数学中的应用摘要：数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。
也许对大部分学生来说，数学这门学科是一道难题。
因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。
关键词：一题多解；一题多变；数学一、一题多解与一题多变在数学中的应用的重要性数学学习最重要的是逻辑性问题，并且经过对比分析，发散思维，一题多解与一题多变的方法的应用恰恰能达到这个目标和目的，他们能够不断提高学生们的逻辑思维能力，数学分析能力。
一题多解指的是面对一道数学题，因为有不同的角度进行思考，在脑海中搜寻不相同的解决方法，多种多样的思路，从而有多种多样的可用的解决方案，这样能够提高学生们的数学分析和解决能力。
在解决实际问题的过程中需要我们进一步掌握分析的方法，能用多种的方法思考问题，从中找到不同的解决策略。
下面我将用具体的习题，更好地解释一题多解。
一题多解案例分析例题：已知：f（某）=某3+a某2+（a-1）某+1，若在区间[1，4]单调递减，求a范围？方法一：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，f"（某）≤0解集为A，只需[1，4]是集合A的子集解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立某2+a某+（a-1）≤0（某+1）[某+（a-1）]≤01.当a<2时，f"（某）≤0解集为[-1，1-a]所以[1，4]是[-1，1-a]的子集4≤1-a解得a≤–32.当a≥2时，f"（某）≤0解集为[1-a，-1]不满足[1，4]是[1-a，-1]的子集所以解集是空集综上所述：a≤-3方法二：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，导函数y=f"（某）为开口向上的二次函数，只需f"（4）≤0，f"（1）≤0同时成立即可解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立由二次函数图像可知，只需即解得所以a≤–3一题多变例题例题：已知椭圆标准方程+=1，A（0，3），直线l：y=k某-3与椭圆相交于C，D两点，若|AC|=|AD|，求k的值？解题思路：直线与椭圆联立，消元，设C（某1，y1）D（某2，y2），韦达定理：因为|AC|=|AD|，取C，D中点M，则AM垂直CD，即KAMKCD=-1解：消y得：（9+25k2）某2-150k某=0，Δ>0设C（某1，y1）D（某2，y2），由韦达定理得：某1+某2=某1某2=0y1+y2=k（某1+某2）-6=k2-6=设M（某0，y0）为CD中点，则某0=（某1+某2）=，y0=（y1+y2）=因为|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1k=-1整理得：=-，k2=，k=在一题多变的思维下，我们可以将|AC|=|AD|改成以下两种形式：1.以AC，AD为邻边做平行四边形为菱形2.（AC+AD）CD=0这两种已知虽然与原例题有很大区别，但通过转化最终都能转化为AM垂直CD，解题思路与过程非常相似，结果一样。
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学，是一门自然学科。
对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。
熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知，数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。
在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。
对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。
下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。
一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。
并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。
但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。
其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。
我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
谈高中数学“一题多解”的学习心得
谈高中数学“一题多解”的学习心得1. 引言1.1 了解一题多解的背景意义在学习高中数学的过程中，我们常常会遇到一题有多个解法的情况，即所谓的“一题多解”。
了解一题多解的背景意义对于我们的数学学习至关重要。
一题多解能够帮助我们更加深入地理解数学知识，突破传统的解题方式，拓展我们的思维眼界。
通过探讨不同的解题方法，我们可以培养自己的创新意识，激发我们对数学的兴趣和热情。
多解题也能够帮助我们从不同的角度去思考问题，培养我们的多角度思考能力，提高我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过研究一题多解，我们还可以拓展数学的应用能力，将抽象的数学知识与实际问题相结合，提升我们解决实际问题的能力。
丰富的解题方法也可以帮助我们在考试中更灵活地运用知识，提高我们的解题效率和准确率。
了解一题多解的背景意义对于我们的数学学习有着重要的意义，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提高我们的数学学习成绩。
1.2 高中数学中一题多解的普遍现象高中数学中一题多解的普遍现象是指在解决数学问题时，同一个问题可能有多种不同的解法。
这种现象在高中数学中非常普遍，各种类型的数学题目都存在一题多解的情况。
这不仅体现了数学的丰富性和多样性，也对学生的数学能力提出了更高的要求。
在高中数学课程中，很多问题可以通过不同的方法和角度来解决，而且这些解法可能是同等有效的。
这种一题多解的现象反映了数学问题的复杂性和多样性，同时也在一定程度上激发了学生对数学的兴趣和探索欲望。
通过研究高中数学中一题多解的现象，不仅可以加深对数学问题本质的理解，还可以培养学生的数学思维能力和创新意识。
多种解法的比较和分析也有助于学生形成更全面、更灵活的解题思路，提高他们的数学解决问题的能力和水平。
了解和掌握高中数学中一题多解的普遍现象对学生的数学学习和发展具有重要意义。
2. 正文2.1 提高数学思维能力提高数学思维能力是高中数学中一题多解的重要意义之一。
通过探索不同的解题方法和思路，学生可以逐渐培养出灵活的数学思维，从而更好地理解和应用数学知识。
[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
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[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。
关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。
而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙:,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题:43,3sin?=sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α +cos2α =1。
?= = ?16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，4333434555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。
55分析:上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接34求解就简洁些:55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用科学技术的日新月异，新课程标准的颁布，推进素质教育的进程。
培养自己分析问题、解决问题的能力日益重要，而能力的提高必须有好的方式方法，笔者认为“一题多解与一题多变”有助于培养自己的解题能力。
一题多解是从不同的角度、不同的方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题加深对知识的理解，使之记忆更深刻，思维更敏捷。
一、关于高中学生学习数学的认识就所有的高中生来说，学好数学学科不是一件容易的事。
绝大多数同学对数学的感觉就是枯燥、乏味。
因为高考“指挥棒”的震慑力，虽然不感兴趣，也不得不学。
“如何才能学好数学”已经成为高中生最头疼的问题。
怎样回答这一问题便成了教师们的课题，很多人便单纯地以为要学好数学多做题就是了，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了。
铁杵磨成针，于是乎“题海战术”情不自禁走了出来，受到很多高中生的青睐。
熟话说：“熟能生巧”。
诚然，多做习题对高中生数学成绩的提高有着重要的影响，然而，长此以往，学习数学越来越枯燥无味，越来越厌烦，出现厌学、抄作业等现象也不足为奇了。
众所周知，数学题是做不完的，可以说无穷无尽。
笔者认为要学好数学，必须提高自身的数学思维、能力和学习数学的兴趣。
高考数学题“源于书本，又高于书本”，这是多年来高考试卷命题的原则，紧紧依靠书本上有限的例题和习题来提高自身的学习兴趣和能力。
在数学学习过程中，有效利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行解答，有助于培养自身思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性，这也是一条行之有效地途径。
同时，能力提高的过程，自身的成就感逐渐增强，在以后不断的变化和解决问题的不同经历中，学习兴趣油然而生。
以往的数学学习，学习过程不外乎为学习定义推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
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例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。
关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果
很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很
多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以
使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。
我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学
习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，
高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可
以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取
一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说明：
例题： 已知tanα=43
,求sinα,cosα的值
分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：
法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= α
αcos sin ，
且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5
4
或者
cosα= -54
；而sinα=53或者sinα=-53 。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：
法二 tanα=43
：α在第一、三象限
在第一象限时： cos2α
=
αα
cos sin cos 2
2
2
5+=αtan
2
11+=
2516
cosα=54
sinα=αcos
21-=5
3 而在第三象限时： cosa=- 5
4 sina=- 53
分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα
cos sin ↔4cos α=
3sin α
↔4cos α=
3sin α= ±
3
4cos sin
2
2
2
2
++α
α
∴sinα=53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα=-54
分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：
法四 当α为锐角时，由于
tana=43
,在直角△
ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x
sinA=AB BC = 53
,cosA=AB
AC =54
∴sinα= 53
，cosα=54
或sinα= -53
，cosα= -54
分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：
法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，
设α=∠AOT ， 因为tanα=
43
，则T 点坐标是T(1, 43
),由勾股定理得：OT=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+432
1= 45
∵△OMP ∽△0A T ∴AT MP =OA OM =OT OP
，OM=54, MP =53
, p(54, 53),
∴sinα= 53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα= -54
分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定
可以尝试用解析几何法来解此题：
解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程
y=43
x ；x2+y2=1
两式联立，得出：
⎩⎨⎧==545
3x y ， 或
⎩⎨⎧-=-=54
5
3x y .
T 点坐标是P(-54, -53) P(54, 53
)
∴sinα= 53
，cosα=54
或sinα= -53
，cosα= -54
分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：
解法七tanα= 43= α
αcos sin
4sina-3cosa=0 由三角函数辅助角公式得，
5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53
, cosφ=54
∴a+φ=kπ ，k ∈Z
sina=sin （k π -φ）=sinφ α在第一、三象限
∴容易求出sinα=53 ，cosα= 54
或sinα=-53，cosα= -54
分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍
角公式是否能解决此问题：
解法八，由二倍角公式，得，tanα=
2
2tan
2
12
tan
α
α-= 43
3tan22
α +8tan 2
α-3=0
∴tan 2
α= -3,或tan 2α=31
sinα=2sin 2
α
cos
2
α=
2
2
cos
sin
2
cos
2
sin
22
2
α
α
α
α
+=2
2
12tan
2tan
2α
α+
∴sinα= 53，cosα=54
或sinα= -53，cosα= -54
判别式
此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。
下面展示本题的变式与推广：
变式1： 已知tanα=-3，求sin αcos α的值 变式2：已知tan α=m ，求sin α，cos α的值
变式3 ：已知sin α=m ，求cos α，tan α的值 由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。
一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。