一题多解与一题多变
物理习题教学中的一题多解
物理习题教学中的一题多解、一题多变、一题多问
1 . 一题多解培养思维发散性
一题多解是指通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个实际问题的教学方法。
它有利于培养学生辨证思维能力，加深对概念、规律的理解和应用，提高学生的应变能力，启迪学生的发散性思维。
在物理解题过程中，我们可以通过“一题多解”训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出物理量间的相互关系和物理规律间的内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。
2 一题多变诱导学生思路
在习题课中的“一题多变”是指从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法．思维的变通性是指摆脱定势的消极影响，不局限于问题的某一方面，能够随机应变，举一反三，触类旁通。
在二轮复习的解题过程中主动出击，运用变式，通过“一题多变”演绎问题的产生过程，能够摆脱由生活习惯中原有思维方式和平时解题所带来的思维定势，使思维具有变通性。
3 一题多问培养思维的严密性
思维的严密性，主要表现在通过细致缜密的分析，从错综复杂的联系与关系中认识事物的本质。
在题目解完后再通过“一题多问”自己考虑问题更全面细致，让自己的思维具有严密性。
这种“多题归一”的方法还可以培养思维的概括性。
思维的概括性是指思维能够反映一类事物的共同的本质的特征，以及事物之间的本质联系和规律。
许多物理习题具有物理过程、规律和性质类似的问题，它们间只有不同程度的量的差异而无质的区别，在复习过程中做过一定量的习题后进行反思，通过“多题归一”，进行有的放矢的精解和拓宽，可以使思维具有概括性。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是中国教育系统中最为重要的一次考试，几乎决定了学生的未来走向。
为了选拔出最好的学生，高考试题往往是非常严谨和严密的。
在实际的考试过程中，有时会出现一题多解或一题多变的情况。
一题多解指的是一个问题有多种答案或多种解决方法。
高考试题通常设计成有唯一正确答案的形式，但由于问题的复杂性和广度，也有可能会有其他答案。
某道数学题要求求解一个方程，虽然通常只有一个解，但在某些特定条件下也可能有多个解。
这种情况下，如果考生能够给出其他解，并且解答过程正确，他们也可以得到分数。
一题多变指的是同一道题目在不同的考试中，可能会有不同的表述或要求。
高考试题是经过精心设计和审核的，但有时会有一些小的差异。
某个考试要求学生解答一道文学理解题，其中涉及到一个小说中的情节。
在不同的考试中，可能会有对情节的描述有细微差别，但要求学生进行相同的分析和理解。
这种情况下，考生需要根据实际题目做出相应的答案。
一题多解和一题多变可能是由于试题设计者的失误或主观性造成的，也可能是故意设置的。
试题设计者有时会故意设置一题多解或一题多变的情况，以考察学生的思维能力和灵活性。
这样的题目可以激发学生的创造力和思考能力，使他们更好地理解问题，发现不同的解决方法。
一题多解和一题多变也反映了学科知识的广度和复杂性。
一个问题可能涉及到多个知识点或技能，学生需要综合运用这些知识点和技能来解答问题。
这样的问题在一定程度上能够衡量学生的综合能力和深度理解能力。
一题多解和一题多变也存在一定的问题。
一些考生可能会误解题意，给出错误的答案。
而一些考生可能只掌握了解题的一种方法，导致无法应对不同的题目要求。
对于学生来说，重要的是要在高中阶段充分掌握各学科的知识和技能，提高解题的能力和思维的灵活性。
要注重对题目的理解和分析，切忌盲目套用模板答案。
对于教育机构和教师来说，应该注重培养学生的综合能力和创新能力，设计更有针对性的试题，对一题多解和一题多变进行更加科学和合理的评分。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
新 2019-2020 一题多解、一题多变、一题多问 述职
一题多解、一题多变、一题多问这几年的教学中我一直在思考一个问题：学生掌握了知识点，但做题的过程中为什么总是犯错误？慢慢地我意识到仅靠课堂上以及学习辅导几道基础练习，只能是“纸上谈兵”，要通过周周清、周末作业来将理论知识充分实践应用，因此在习题教学中我注意以下三个教学策略：一题多解、一题多变、一题多问。
一、“一题多解”“一题多解”是指引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一来源材料中的数量关系，用不同解法求得相同结果。
“一题多解”可以帮助学生改变思维的方向，调节思维角度，从狭窄的思维模式中解放出来。
其次提供更多机会加深学生对各种解法的认识，进而对已有的信息进行分析、归纳、整理、储存，形成顿悟。
还可以提供分析比较的机会，提高解决问题的能力。
例题1：一篇作文有3268个字，小张每分钟能打76个字，他45分钟能打完这篇作文吗？方法一：比较工作总量45分钟的工作总量：76×45＝3420（个）比较总量：3268个＜3420个，能方法二：比较工作时间小张打完3268个字需要的时间：3268÷76＝43（分）比较时间：45分＞43分，能例题2：《格林童话》每本21元，“六一”优惠买五本送一本。
黄老师带300元钱，最多可以买多少本？方法一：买完再送300元能买几本：300÷21＝14（本）……6（元）14本里有几个5：14÷5＝2（组）……4（本）最多买几本：14＋2＝16（本）方法二：捆绑法1组有几本：5＋1＝6（本）1组的单价：21×5＝105（元）300元能买几组：300÷105＝2（组）……90（元）剩下48元还能买几本：90÷21＝4（本）……6（元）最多买几本：2×6＋4＝12＋4＝16（本）通过一题多解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，有利于提高学生学习的主动性，启发学生思维，开阔视野，培养学生全方位的思考问题、分析问题的能力，发展创造性思维。
在习题教学中注意一题多解、一题多变、 一题多问
在习题教学中注意一题多解、一题多变、一题多问
1 “ 一题多解” 是指通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个实际问题的教学方法。
它有利于培养学生辨证思维能力，加深对概念、规律的理解和应用，提高学生的应变能力，启迪学生的发散性思维。
在物理解题过程中，我们可以通过“ 一题多解” 训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出物理量间的相互关系和物理规律间的内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。
2 注意一题多变诱导学生思路
在习题课中的“ 一题多变” 是指从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法．思维的变通性是指摆脱定势的消极影响，不局限于问题的某一方面，能够随机应变，举一反三，触类旁通。
在二轮复习的解题过程中主动出击，运用变式，通过“ 一题多变” 演绎问题的产生过程，能够摆脱由生活习惯中原有思维方式和平时解题所带来的思维定势，使思维具有变通性。
3 “ 一题多问” 培养思维的严密性
思维的严密性，主要表现在通过细致缜密的分析，从错综复杂的联系与关系中认识事物的本质。
在题目解完后再通过“ 一题多问” 自己考虑问题更全面细致，让自己的思维具有严密性。
这种“ 多题归一” 的方法还可以培养思维的概括性。
思维的概括性是指思维能够反映一类事物的共同的本质的特征，以及事物之间的本质联系和规律。
许多物理习题具有物理过程、规律和性质类似的问题，它们间只有不同程度的量的差异而无质的区别，在复习过程中做过一定量的习题后进行反思，通过“ 多题归一” ，进行有的放矢的精解和拓宽，可以使思维具有概括性。
初中数学“一题多解与一题多变”教学研究
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学 一题多解与一题多变 教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变 是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建 一题多解与一题多变 教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学 一题多解与一题多变 教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行 一题多解 的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁ 一题多解与一题多变 的价值分析一题多解 是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变 是变式思想的显现，在 一题多变 的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁ 一题多解与一题多变 教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行 一题多解或一题多变 的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语 两个连续奇数的积是３２３ ．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示 将较小的奇数设为ｘ 将较大的奇数设为ｘ 将ｘ设为任意整数 将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１ ，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后 一题多解和一题多变 的思索研究做好铺垫．为了让学生了解 一题多变 的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为 两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数 ，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为 两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数 ，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注 一题多解 的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中， 一题多解 的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让 一题多解 真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解 的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变 的训练需要教师秉持 万变不离其宗 的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述， 一题多解与一题多变 是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学 一题多解 的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅． 一题多解 与 一题多变 在初中数学教学中的应用 以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与 一题多变 在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。
一题多解与一题多变
一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。
在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。
也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。
还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。
问题一：设AB 是抛物线px y 22=的弦，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线AB 恒过定点。
证明之。
分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x 轴上。
2、怎样利用已知条件？ 主要是OA ⊥OB 的作用：①1-=⋅OB OAk k②设()()2211,,y x 、B y x A，则02121=+y y x x3、可从那些方面入手？ ①从设点的坐标入手由点A 、B 在抛物线上，可设点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22， ②从设直线AB 的方程入手1）设直线AB 的方程为x=my+b 2）设直线AB 的方程为ax+by=1 ③从OA ⊥OB 入手 设OA 的斜率为k ，则OB 的斜率为k1- 方法一：设A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22，则OA 、OB 的 斜率分别为a p 2、bp 2，由OA ⊥OB 得：24p ab -=，又AB 的斜率为∶ba pk +=2，∴AB 方程为∶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-p a x b a p a y 222，即()p x b a py 22-+=， 显然AB 过定点（2p ，0）。
ABO方法二∶设直线AB 的方程为x=my+b ，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x 简便），代入抛物线的方程消x 得：0222=--pb mpy y又设A ()11,y x 、B ()22,y x ，则pb y y 221-=，又,2121px y =,2222px y = ∴()()222222121424b ppb py y x x =-==，由OA ⊥OB 得02121=+y y x x ，∴022=-pb b，∵b ≠0，∴b=2p ，即AB 的方程为x=my+2p ，显然AB 过定点（2p ，0）。
浅析一题多解与一题多变
｛ ＋ ｓ Ⅱ ２ ２ ｆ ￡ ０ ｊ ＋ ｌ２
ｔＩ ｔ≥０ ｔ ・２
或 △＜ ｊ ２— ＜口＜ ２ ｏ ２ ２＋
从而， 方程有根的实数 ｎ的取值范围为（一 。２— √ 。 ， ２ 习
方程可进一步转化为 ｎ＝一
：一
。 ＝
表示 点 ａ ｘｙ 与 （ 一１ 两点连线 的斜 率 （ ，） ２， ）
浅 析 一 题 多解 与 一题 多变
泰兴 市扬子 江高级 中学 袁 小武
【 摘 要】 随着素质教育的不断深入， 江苏省 ２ ４号文件的实施， 培养学生分析问题、 解决问题的能力显得越来越重要． 而能力
的提 高必须依 靠方 式方 法， 我们认为“ 一题 多解与一题 多变” 可以很好地培养 学生 的解题能力． 一题 多解是从 不同的角度 、 同的 不 方位去审视 分析 问题 ， 是一种发散 思维， 而一题 多变则是创造性思维的体现 ， 通过题设 的变化 、 结论的变化、 引申新 问题让 学生对 知识的理 解更深刻． 通过变发现 不变的 东西 ， 从而总结 出解决一类 问题的一种方法 ， 是凝 聚思维的一种体现．
① 方程有两个正根 ， 则必须 满足条 件 ｆ △＞ｕ
一
值围 范为
（ ： 孚） 答 】 案
３ ２
２ 已知 函数 ｆ（ 、 ）＝ｓ 在 闭 区间 ｉ ｎ
２
ｔ ２＞０
② 方程有一个正根一个负根 ， 则必须满足条件
ｔ ・ｔ ｌ ２＜Ｏ ８ ＜ 一 １
③ 方程有一个正根一个零根 ， 则必须满足条件
△ ０
【 变式训练】
１ 变 目标 函数分别为 ｚ Ｊ
大值． 说 明： 这类 问题 考查 目标 函数 的几何 意义 ： ｚ ＋ 表 示 ａ（ ， ） Ｂ ０，） 点 间 距 离 的平 方 ＝ ｘｙ 与 （ ０ 两
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一题多解与一题多变-----培养学生能力的捷径江苏省东台中学 张曙东 （《物理教学》1996.11）高考把对学生能力的考核放在首要位置，体现了对学生能力的重视。
目前正处在世纪之交、知识爆炸的时期，知识日新月异，今天书本上学和知识，明天可能已被更新，面对未来人类的生存和发展，靠的下是现知识，而对未来人的能力，这样才能去下断发现、不断创造。
而对学生的能力培养途径很多，“一题多解”可谓培养学生能力的捷径。
通过“一题多解”和“一题多变”可帮助学生对所学知识全面系统地回顾、再现、应用，多角度去分析问题、解决问题，通过“一题多变”可由浅入深，下同层次地挖掘、全方位地去分析问题、解决问题。
这对学生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学工具处理物理问题的能力得到全面提高，这样可起到举一反三、纲举目张、事倍功半的效果。
以下略举两例敬请同行斧正。
[例1].A 、B 两木块靠在一起放在水平面上，它们与水平面的滑动摩擦系数为0.25，B 的质量为0.2千克，一颗水平飞来的子弹依次穿过A 、B ，在子弹穿 过A 的过程中A 和B 一直没有分离，子弹在B 内的时间t 为0.01秒，穿出B 后，A 和B 都继续向前运动，当A 刚停止时，B和A 之间的距离S 为1米，B 的速v 为5米/秒，子弹在两木块中阻力恒为f ，重力加速度g 取10米/秒2，求;（1）f 的大小，（2）在子弹进入B 的过程中，木块B 前进的距离S X[剖析] 本题由于地面有摩擦力，故相互作用力的系统动量不守恒，不能由动量守恒定律、能量守恒定律列方程求解，必须另辟蹊径。
[分析和解]（1）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式设子弹刚穿进B 时，A 、B 物体具有共同速度vA 刚穿出B 时B 物的速度为VB ，B 的质量为子弹在B 中穿行时（如图2所示），B 的加速度g mfm mg f a μμ-=-=；则t g mfv at v v A A A )(μ-+=+= （1）g v t A AA μ=物体滑行时间方法二：运用动量定理对B 全过程由动量定理得：)(A A A v v m gt m t f -=-⋅μ （1） 对A 由动能定理有：)(:)1()2(,计算过程略式得式代入将则有即tmvf mv t mg v t g v m t g m AA AA A A A A ==⋅=⋅=⋅μμμ （2）（2）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式 B 的总位移)(22t gv v v t v v s AB B A B -+++=μ A 滑行的总位gv s Aμ22= 由位移关系s Ｂ－s Ａ=s 得：s gv t g v v v t v v AA B B A =--+++μμ2)(222将t mmgf v v A B μ-+=代入上式，可解得：v mft g vts v A +⋅+=μ2)2( 由（１）问的结论tmvf =得：ft=mv 代入上式，化简得： .10001.052.0:)2)(1()2()(N N t m v f t g vg v gt v v t gv t t t B B B B AA A =⨯==----------=-=∴-=-=解得联立物体滑行时间则μμμμ)21(21gt v gsgt ft mgs v μμμμ+=+=)21(21)(21222fmvf mgs t m f f mgs tg m f t v s A X +=+=+=∴μμμ代入已知量有：)(03.001.02.0100211001102.025.02m s X =⨯+⨯⨯⨯=此法思考简单，但运算量较大．方法二：由动能定理求解由动能定理，对Ｂ的全过程有：)(21)(22A A A v v m s s mg s f -=+-⋅μ 对Ａ：221A A A A v m s g m =⋅μ变形有221A A v m s g m =⋅μ代入上式，化简有： f mv mgs s X 221+=μ (计算略)方法三：图象法图3 中阴影区域的面积表示A 停止时，A 、B 之间的距离s,由图3可知：v v =∆ t v t v s ⋅=⋅∆=21211 、)(2t gv v s A -⋅=μ， 由s 1 +s 2 =s 得：s t gv v vt A =-+)(21μ 解得：gt v gsv A μμ21+=2)(21t g mfv s A X μ-+=∴（同方法一，略） 方法四：运用相对运动子弹在B 中穿行时，B 相对于A 做初速度为的匀加速直线运动，加速度m f g g m f a =+-=μμ，则子弹刚穿出B 时，A 、B 之间的距离2212121t mf at s ==； 子弹穿出B 后，A 、B 的加速度相同故B 相对A 做匀速运动，速度为v=5m/s ，则从子弹穿出B 后A 静止的过程中，A 、B 间增大的距离)(2t gv v s A-⋅=μ，由s 1+s 2=s 得：s t gv v t m fA =-+)(21μ 由（1）问的结论tmvf =，代入上式有： gt vgsv A μμ21+=（与方法三相同，以下略） 方法五：由能量守恒求解B 相对A 而言，多发生的位移克服阻力做的功和最终的动能，应等于子弹对木块B 的作用力在位移s X 上所做的功，有： 221mv mgs s f X +=⋅μ fmv mgs s X 221+=∴μ（与方法二相同，以下略）例1中的多种解法，几乎涉及了力学的全部基础知识和常见的多种解题方法，多角度思考发散式思维是培养学生能力的重要途径。
[例2] 在两平行金属板（假定板足够长）之间，用一长为l 的轻绳拴着一质量为m 的带电量为q 的小球，小球可看作质点，如果小球在两极板间平衡时，轻绳与铅直线间的夹角为θ，如图4所示，求两极板间的电场强度。
[分析和解]小球受重力mg ，电场为Eq ，绳的拉力，由于小球处于平衡状态，故重力与电场力的合力必沿绳的方向有：m g Eq tg =θ ∴场强θtg qm gE =[变1] 如将小球拉至水平，且绳被拉直，如图5所示，由静止放手后，小球将作什么运动？经多长时间，轻绳子刚好被拉直？[分析和解] 小球由静止放手时，球仅受重力、电场力，不受绳的拉力，此二力为恒力其合力亦为恒力，故小球将沿与竖直方向成θ（合力方向）做匀加速直线运动。
设小球从A 点释放到B 点绳被拉直，如图5所示，由数学知识可知∠AOB=2θ，则小球在竖直方向下落的高度h=Lsin2θ, 由于小球在竖直方向做自由落体，故由分运动和合运动的等时性可知：所求时间gL t θ2sin 2=[变2]如果要让小球从静止释放时，刚好能立刻做圆周运动，那么应将小球从何处释放？ [分析和解] 当小球刚静止释放时，若小球所受合力垂直，此时绳处于竖直状态，小球运动后绳对球立刻施加力的作用，故小球立刻做圆周运动。
如图6所示，有α=θ，即将小球拉到与水平方向成θ角静止释放。
[变3]若把小球拉至水平位置，部小球的初速至少是多大时，小球放手后也能立刻做圆周运动？[分析和解]当小球处在水平位置时，若电场力刚好提供向心力，就能保证小球从开始就立刻做圆周运动。
则有：Eq=Lv m 2，结合例2的结论：Eq=mgtg θ可解得：v=θgLtg ,故小球的初速度至少为θgLtg 。
[变4] 在例2中，若线拉紧后随即摆动，求：（1）拉紧瞬间悬点O 受到的冲量I ， （2）小球摆动过程中的最大速度v m ,(3)小球摆到最低点时，轻绳受到的拉力T 。
[分析和解] （在例2的基础上求解）（1）设线刚被拉紧的瞬间速度大小为v ，小球所受的合外力F 合=θcos mg…..（1）小球运动的位移S=AB=2Lsin θ。
…..(2) 由动量定理得：F 合.S=221mv …..(3) 联立（1）、（2）、（3）解得：θgLtg v 2=绳刚绷紧随即做圆周运动，即小球沿绳方向的分速度v n =减为0，绳对球的冲量I 由动量定理得：I=m v n =mvsin θ=2m θgLtg sin θ.由牛顿第三定律可知：O 点受到的冲量大小I '=I=2m θgLtg sin θ.方向沿绳向下（2）球在平衡位置速度最大 球在B 点绳绷紧的过程中损失的动能△Ek=221n mv =2mgLtg θsin…..(4) 球从A 到平衡位置的过程中,由动能定理得: EqL(1+sin)+mgLcos θ-△Ek=221m mv …(5) 联立）4）、（5）两式，结合Eq=mgtg θ解得：)sin .2cos 1(22θθθθtg tg gL v m -+= )2c o s .1(2θθtg gL v +=' （3） 球从A 到最低点的过程中，由动能定理得：)2cos 1(2θθtg gL v +='…….(7) 球在最低点由牛顿第二定律得：T-mg=Lv m 2'…..(8) 联立（7）、（8）两式，解得：球在最低点绳受到的拉力T=mg(3+2tg. θcos2θ)[变5] 若将小球拉至水平，至少以多大的速度下抛，小球才能在竖直平面内做圆周运动？[分析和解]小球能否做圆周运动，取决于球在“最高点”是否符合做圆周运动的条件，由于同时存在电场和重力场，故“最高点”已不是竖直方向的最高点，而是平衡位置的对称点D ，如图8所示。
在D 点，球刚好做圆周运动条件：Lv m mg 2cos =θ….(1) 由A 到D 运用动能定理有：222121)sin 1(cos D m mv L mg -=-θθ…..(2) 联立（1）、（2）两式，解得：v=θθcos )sin 23(-gL∴小球至少以v=θθcos )sin 23(-gL 的速度下抛。
在例2中，通过适当变换条件，，由浅入深引出了一系列的讨论，拓宽了学生的视野，同时也为学生出题提供了范例，这个全方位地去探索问题是培养学生的有效途径。
如教者通过精心选例题、并布置相应习题，激发学生的求异、求变的热情，将“一题多解” 和“一题多变” 在讲和练上有机地结合起来，将“珠连璧合、相得益彰”。
笔者在教学中加以应用，对培养学生的能力，确实起到了事半功倍的效果，不失为一条捷径。