一题多解与一题多变

一题多解与一题多变

-----培养学生能力的捷径

江苏省东台中学 张曙东 （《物理教学》1996.11）

高考把对学生能力的考核放在首要位置，体现了对学生能力的重视。目前正处在

世纪之交、知识爆炸的时期，知识日新月异，今天书本上学和知识，明天可能已被更新，面对未来人类的生存和发展，靠的下是现知识，而对未来人的能力，这样才能去下断发现、不断创造。而对学生的能力培养途径很多，“一题多解”可谓培养学生能力的捷径。通过“一题多解”和“一题多变”可帮助学生对所学知识全面系统地回顾、再现、应用，多角度去分析问题、解决问题，通过“一题多变”可由浅入深，下同层次地挖掘、全方位地去分析问题、解决问题。这对学生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学工具处理物理问题的能力得到全面提高，这样可起到举一反三、纲举目张、事倍功半的效果。以下略举两例敬请同行斧正。 [例1].A 、B 两木块靠在一起放在水平面上，它们与水平面的滑动摩擦系数为0.25，B 的质量为0.2千克，一颗水平飞来的子弹依次穿过A 、B ，在子弹穿 过A 的过程中A 和B 一直没有分离，子弹在B 内的时间t 为0.01秒，穿出B 后，A 和B 都继续向前运动，当A 刚停止时，B

和A 之间的距离S 为1米，B 的速v 为5米/秒，子弹在两木块中阻力恒为f ，重力加速度g 取10米/秒2，求;（1）f 的大小，（2）在子弹进入B 的过程中，木块B 前进的距离S X

[剖析] 本题由于地面有摩擦力，故相互作用力的系统动量不守恒，不能由动量守恒定律、能量守恒定律列方程求解，必须另辟蹊径。 [分析和解]

（1）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式

设子弹刚穿进B 时，A 、B 物体具有共同速度vA 刚穿出B 时B 物的速度为VB ，B 的质量为子弹在B 中穿行时（如图2所示），B 的加速度

g m

f

m mg f a μμ-=-=；则

t g m

f

v at v v A A A )(μ-+=+= （1）

g v t A A

A μ=

物体滑行时间

方法二：运用动量定理

对B 全过程由动量定理得：

)(A A A v v m gt m t f -=-⋅μ （1） 对A 由动能定理有：

)(:)1()2(,计算过程略式得式代入将则有即t

mv

f mv t m

g v t g v m t g m A

A A

A A A A A =

=⋅=⋅=⋅μμμ （2）

（2）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式 B 的总位移)(22t g

v v v t v v s A

B B A B -+++=

μ A 滑行的总位

g

v s A

μ22

= 由位移关系s Ｂ－s Ａ=s 得：s g

v t g v v v t v v A

A B B A =--+++μμ2)(222

将t m

mg

f v v A B μ-+

=代入上式，可解得：v m

ft g vt

s v A +⋅+

=μ2)2( 由（１）问的结论t

mv

f =

得：ft=mv 代入上式，化简得： .

10001

.05

2.0:)2)(1()2()(

N N t m v f t g v

g v gt v v t g

v t t t B B B B A

A A =⨯==----------=-=∴-=-=解得联立物体滑行时间则μμμμ

)2

1

(21

gt v gs

gt ft mgs v μμμμ+=+=

)21(21)(21222

f

mv

f mgs t m f f mgs t

g m f t v s A X +=+=

+=∴μμμ

代入已知量有：)(03.001.02

.0100

211001102.025.02m s X =⨯+⨯⨯⨯=

此法思考简单，但运算量较大．

方法二：由动能定理求解

由动能定理，对Ｂ的全过程有：)(2

1)(22A A A v v m s s mg s f -=+-⋅μ 对Ａ：221A A A A v m s g m =

⋅μ变形有221A A v m s g m =⋅μ代入上式，化简有： f mv mgs s X 2

2

1+=

μ (计算略)

方法三：图象法

图3 中阴影区域的面积表示A 停止时，A 、B 之间的距离s,由图3可知：v v =∆ t v t v s ⋅=⋅∆=

21

211 、)(2t g

v v s A -⋅=μ， 由s 1 +s 2 =s 得：

s t g

v v vt A =-+)(21

μ 解得：gt v gs

v A μμ2

1

+=

2)(21t g m

f

v s A X μ-+

=∴（同方法一，略） 方法四：运用相对运动

子弹在B 中穿行时，B 相对于A 做初速度为的匀加速直线运动，加速度

m f g g m f a =+-=

μμ，则子弹刚穿出B 时，A 、B 之间的距离2212121t m

f at s ==； 子弹穿出B 后，A 、B 的加速度相同故B 相对A 做匀速运动，速度为v=5m/s ，则从子弹穿出B 后A 静止的过程中，A 、B 间增大的距离)(

2t g

v v s A

-⋅=μ，由s 1+s 2=s 得：

s t g

v v t m f

A =-+)(21μ 由（1）问的结论t

mv

f =，代入上式有： gt v

gs

v A μμ2

1

+

=

（与方法三相同，以下略） 方法五：由能量守恒求解

B 相对A 而言，多发生的位移克服阻力做的功和最终的动能，应等于子弹对木块B 的作用力在位移s X 上所做的功，有： 22

1

mv mgs s f X +

=⋅μ f

mv mgs s X 2

2

1+=

∴μ（与方法二相同，以下略）

例1中的多种解法，几乎涉及了力学的全部基础知识和常见的多种解题方法，多角度

思考发散式思维是培养学生能力的重要途径。

[例2] 在两平行金属板（假定板足够长）之间，用一长为l 的轻绳拴着一质量为m 的带电量为q 的小球，小球可看作质点，如果小球在两极板间平衡时，轻绳与铅直线间的夹角为θ，如图4所示，求两极板间的电场强度。

[分析和解]小球受重力mg ，电场为Eq ，绳的拉力，由于小球处于平衡状态，故重力与电场力的合力必沿绳的方向有：m g Eq tg =

θ ∴场强θtg q

m g

E =

[变1] 如将小球拉至水平，且绳被拉直，如图5所

示，由静止放手后，小球将作什么运动？经多长时间，轻绳子刚好被拉直？

[分析和解] 小球由静止放手时，球仅受重力、电场力，不受绳的拉力，此二力为恒力其合力亦为恒力，故小球将沿与竖直方向成θ（合力方向）做匀加速直线运动。