二元选择模型
第1章二元选择模型
后者指用一种限制 不超越逻辑 带域“0—1”的方法去估计 LPM。结 果是，对这样的模型，按惯例算出 的 R2 很可能比1小很多。在大多数
在0到1这个逻辑界限内。
4.二分响应模型中的R2
在二分响应模型(dichotomous
response models)中，习惯计算的 R2 的
价值是有限的。为看出其中道理，考虑以
下图形，对于给定的X，Y 不是0就是1。 因此，所有的Y值必定要么落在X 轴上，要 么落在Y =1的一条直线上。
因此，一般地说，不能期望有任何 LPM能很好地拟合这样的散点；
Yi 1.2456 1 0.1196 X i
但是我们可用先前讨论过的加权最小
二乘(WLS)法以获得这些标准误的更
为有效的估计值。应用WL意，
Yi
由于某些是负的，和Y某i 些
大于1，
对于这Yi 些 来说wi ， 将是负的。
因此，我们在WLS中不能使用这 些观测值(为什么?)，从而在本例中 把观测值的个数从40减少到28。删 去这些观测值的WLS回归将是
假使我们想把成年男子的“劳动力参 与”(即是否就业)当作失业率、平均工资率、 家庭收入和教育等的一个函数。一个人或者 在劳动力行列中或者不在，从而劳动力参与 这个应变量只能取两个值：如果这个人在劳 动力行列中，则取值1；如果他不在其中， 则取值0。
另一个例子。假使我们想把学院教 授的工会会员资格当作若干个定量和定 性变量的一个函数，那么，一位学院教 授或者是工会会员或者不是工会会员。 因此，工会会员资格这个应变量就是一 个取值0或1的虚拟变量：0表示非工会 会员，1表示工会会员。
二元选择模型
• (2) 样本均值处的边际效应 (marginal effect at mean)，即在
• X=均值处的边际效应。
• (3) 在某代表值处的边际效应 (marginal effect at a
二、限值因变量模型
限值因变量有哪些情形 (limited dependent variable
regression model, LDV)
• 当因变量为定性变量或不连续变量 或是受约束的变量时，统称为限值 因变量回归模型。
• 不同的限值因变量模型中，因变量的 情形不同，所使用的估计方法不同， 如非线性最小二乘法，但使用最大似 然估计法较多。
限值因变量有哪些情形
(limited dependent variable
regression model, LDV)
线性概率模型（linear probability model,LPM）、对数单位模型（ logit model）、概率单位模型 (probit model)、托比模型(tobit model)、泊松模型(possion model) 、截取回归模型(censored regression model)、断尾回归模型 (truncated regression model)
二元选择模型(Binary outcome model)
一、线性概率模型
二、Logit model 三、probit model 二元选择模型下的参数估计、解释、系数
解释等。
2.1 线性概率模型
• 因变量是一个取值为0，1的二值结果的分 类变量
考虑模型：
回归分析二元选择模型
• 离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动 物条件二元反射研究。
• 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域， 用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问 题。
• 70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布 局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策 等经济决策领域的研究。
二、二元离散选择模型
1、原始模型
• 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模 型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X 为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择
主体所具有的属性。
Y X yi Xi i
E(i ) 0 E(yi ) Xi
pi P( yi 1) 1 pi P( yi 0)
• 模型的估计方法主要发展于80年代初期。
一、二元离散选择模型的经济背景
实际经济生活中的二元选择问题
• 研究选择结果与影响因素之间的关系。 • 影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案
的属性。 • 对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品
的购买决策问题 ，求职者对某种职业的选择问题， 投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的 贷款决策。由决策者的属性决定。 • 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
3、最大似然估计
• 欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项 选择一种特定的概率分布。
• 两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑 （logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元 选择模型—Probit模型和Logit模型。
• 最大似然函数及其估计过程如下：
F(t) 1 F(t)
标准正态分布或逻 辑分布的对称性
二元选择模型
二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。
在实际经济问题中，被解释变量也可能是定性变量。
如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的态度，某件事情的成功和失败等。
当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。
这里主要介绍Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和Logit 模型。
1．Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，y i = α + β x i + u i (1) 其中u i 为随机误差项，x i 为定量解释变量。
y i 为二元选择变量。
此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。
如利息税、机动车的费改税问题等。
设 1 （若是第一种选择） y i =0 （若是第二种选择）-0.20.00.20.40.60.81.01.2330340350360370380XY对y i 取期望，E(y i ) = α + β x i (2) 下面研究y i 的分布。
因为y i 只能取两个值，0和1，所以y i 服从两点分布。
把y i 的分布记为， P ( y i = 1) = p i P ( y i = 0) = 1 - p i 则E(y i ) = 1 (p i ) + 0 (1 - p i ) = p i (3) 由（2）和（3）式有p i = α + β x i （y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。
） (4)以p i = - 0.2 + 0.05 x i 为例，说明x i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。
现在分析Tobit 模型误差的分布。
由Tobit 模型（1）有，u i = y i - α - β x i =⎩⎨⎧=--=--0,1,1i i i i y x y x βαβαE(u i ) = (1- α - β x i ) p i + (- α - β x i ) (1 - p i ) = p i - α - β x i 由（4）式，有E(u i ) = p i - α - β x i = 0因为y i 只能取0, 1两个值，所以，E(u i 2) = (1- α - β x i )2 p i + (- α - β x i )2 (1 - p i )= (1- α - β x i )2 (α + β x i ) + (α +β x i )2 (1 - α - β x i ), （依据(4)式） = (1- α - β x i ) (α + β x i ) = p i (1 - p i ) , （依据(4)式） = E(y i ) [1- E(y i ) ]上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。
二元选择模型
二元选择模型一 线性概率模型(LPM)如果应变量的取值是二元的，则我们可定义应变量的取值如下：⎩⎨⎧=择第二个方案个被观测的决策主体选如果第择第一个方案个被观测的决策主体选如果第i i Y i 0，， 1 如果我们直接用最小二乘法作应变量对解释变量的回归，这样得到的模型称为线性概率模型。
如用i X 2表示解释变量(为简单记，我们在模型中只引入一个解释变量，如果要用多个解释变量来说明第i 个决策者的选择行为，则只要进行简单推广即可)，则线性概率模型为i i i u X Y ++=221ββ (1)其中i u 是相互独立且均值为零的随机变量。
由于应变量i Y 只取两个值，所以从总体上看i Y 的均值即i Y 的数学期望可直接由期望的定义获得：i i i i P P P Y E =-⨯+⨯=)1(01)(其中i P 为第i 个决策者选择第一个方案的概率。
另一方面，由(4.26)式可得i Y 的数学期望为i i X Y E 221)(ββ+=故线性概率模型可表示为i i X P 221ββ+= (2)但如对解释变量的范围没作任何限制，则(2)式右边的值有可能会超出区间[0,1]的范围，从而使该式没有意义。
为了解释这个问题，通常的做法是将线性概率模型写成如下形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+<+≤+=1 ，110 ，0 0221221221221i i i i i X X X X P ββββββββ当当当， (3)按最小二乘法，利用观测到的样本值，对1)式进行估计，得i Y 的预测方程ii X Y 221ˆˆˆββ+= (4) 该预测方程即为第i 个决策主体选择第一个方案的概率的估计值。
如果第i 个决策主体的解释变量的值为02X X i =，则该决策主体选择第一个方案的概率的估计值为021ˆˆˆX Y i ββ+=。
而斜率项系数的意义则是：当解释变量增加一个单位时，决策主体选择第一个方案的概率增加2β。
二元选择模型的建立
二元选择模型的建立
二元选择模型是一种用来评估两个不同选项的得失情况的模型，其中一个选项的得失会被衡量和评估，以帮助用户做出最佳决定。
建立二元选择模型的过程可分为以下几个步骤：
1. 确定问题：确定比较的问题，是跟踪投资回报，比较两个投资机会，还是决定所采取的目标市场等。
2. 建立模型：将所有与该问题有关的数据分类收集并且建立选择模型，是一个表格或图表，或者一个数学模型等。
3. 加入偏好因素：建立模型的过程中，应考虑偏好的因素，比如风险大小、可承受的损失，或者对未来收益的期望等。
4. 评估得失：用不同的指标评估每个选择的得失，评估模型中各个依据及其对失误机率及后果的影响等。
5. 做出最终决定：最后，根据二元选择模型的评估结果，作出最佳决定。
二元选择模型和二值响应模型
二元选择模型和二值响应模型
"二元选择模型"（Binary Choice Model）和"二值响应模型"（Binary Response Model）通常在统计学和计量经济学中使用，用于处理对一个二元结果的建模和分析。
尽管这两个术语有时可以互换使用，但它们通常涉及到略微不同的概念。
1.二元选择模型（Binary Choice Model）：这个术语通常用于描述一类模型，其中观测值的因变量（响应变量）只有两个可能的取值，通常是0和1。
这个模型用于解释一个二元决策或选择的过程。
例如，考虑一个人是否购买某个产品（购买=1，不购买=0），这种情况下可以使用二元选择模型来建模。
2.常见的二元选择模型包括Logit模型（逻辑回归）和Probit模型（概率模型），它们都是处理二元结果的广泛应用的模型。
3.二值响应模型（Binary Response Model）：这个术语更加通用，它指的是对于某个事件或观测结果的响应只有两个可能取值的模型。
这也可以包括那些不仅仅涉及到选择或决策的情境，还包括其他类型的二元结果。
例如，是否违约（违约=1，未违约=0）也可以用二值响应模型来建模。
4.二值响应模型可以包括二元选择模型，但不限于此，因为它可以应用于更广泛的情境，包括一些不涉及明确选择的问题。
总体而言，这两个术语都涉及到处理二元结果的模型，而具体使用哪一个取决于具体的上下文和研究问题。
逻辑回归和概率模型是处理这类问题时常见的方法，它们在许多领域，包括经济学、社会科学和医学等方面都有广泛的应用。
高级计量经济学 第五章 二元选择模型
一个问题是，由线性概率方程推断得出的概率值可能落在
区间[0,1]之外，因而只有在均值附近才较为可靠。
由于线性概率函数的取值仅为0或1，因而误差项与模型参
数β出现相关，即e或是等于-β΄X，或是等于1-β΄X，因而存
，现在已经很少使用线性 概率模型。
不同统计分布的特征
Probit 模型
G(z)的一种可选形式是标准正态累积分布函数， 此即Probit模型。
Pi GZi
1 2
e Zi u22du
式中u是误差项，假定服从标准正态分布；
P代表事件发生的概率。
估计指标Z，需要应用累计正态分布函数的逆函数
Z iG 1P iX i
由于Probit模型是参数非线性函数，因而需要用最 大似然法来估计。
不同的选择）或连续值（反映选择强度）。
二元选择模型是因变量取值仅为0或1的特殊情况。
二元行为选择
可以简化表述为涉及“是”或“否”的决策
例如是否攻读研究生
净效用函数：U读研 = +1 X1 + 2 X2 + 1 Z1 + 2 Z2+ e
当U读研>0，那么选择读研究生。
使用的数据
因变量基于显示出的偏好
高级计量经济学 第五章 二元选择模型
本章内容
反映选择行为的模型 线性概率模型 经典二元选择模型
PROBIT模型 LOGIT模型 极端值模型
拟合优度测定 案例分析
用计量经济模型反映选择行为
行为主体从事的每项活动都可以看作是一种选择； 每个行为主体都有其偏好； 人们的行为有其规则； 在经济分析中，通常认为选择基于效用最大化标准。 研究中需要考虑：
行为主体选择第一项活动意味着Ui1t > Ui2t
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线性概率模型的缺陷
1、干扰项的非正态性
2.3 LOGIT模型的估计
• 采用极大似然估计法。为什么采用极大 似然估计法？
• Stata命令：
logit depvar [indepvars] [if] [in] [weight] [, options]
• 极大似然估计的出发点就是寻找样本观 的估计值 测值最有可能发生条件下的 。从样本看，如果第一种选择发生了n次 ，第二种选择发生了N-n次。设采取第 一种选择的概率是pi。采取第二种选择 的概率是（1- pi）。重新将样本数据排 列，使前n个观测值为第一种选择，后 N-n个观测值为第二种选择，则似然函 数是 L(1 , 2 ) P(Y1 , Y2 ,...YN ) P(Y1 ) P(Y2 )...P(YN )
Probit模型
为了解释二分因变量，除了逻辑斯蒂函数 以外，还可以采用正态分布函数。这就 是Probit模型，也称为概率单位模型。
P( y 1| x) G(1 2 x1 ... k xk ) G(1 x )
若G采取如下形式 G( z) ( z) (v)dv 这样可得到Probit model。Probit模型的 估计：极大似然估计法 • STATA命令： probit depvar [indepvars]
模型回归系数的解释
1、由于Probit 与Logit 使用的分布函数不同，其参数估计值并不 直接可比。须计算边际效应，然后进行比较。 2、但对于非线性模型，边际效应不是常数，随着解释变量而变。 常用的边际效应概念： • (1) 平均边际效应(average marginal effect)，即分别计算在每 个样本观测值上的边际效应，然后进行简单算术平均。 • (2) 样本均值处的边际效应 (marginal effect at mean)，即在 • X=均值处的边际效应。 • (3) 在某代表值处的边际效应 (marginal effect at a representative value)，即给定x*，在x=x*处的边际效应。 3、在非线性模型中，样本均值处的个体行为并不等于样本中个体 的平均行为(average behavior of individuals differs from behavior of the average individual)。 4、对于政策分析而言，平均边际效应(Stata 的默认方法)，或在某 • 代表值处的边际效应通常更有意义。
线性概率模型（linear probability model,LPM）、对数单位模型（ logit model）、概率单位模型 (probit model)、托比模型(tobit model)、泊松模型(possion model) 、截取回归模型(censored regression model)、断尾回归模型 (truncated regression model)
对数单位模型的特点
1、P保证落在0-1之间。 2、虽然L对X是线性，但P对X并不是线性。 3、斜率系数解释的是X的变化导致的L的变化， 而不是概率的变化。 4、但我们关心的是X的变化导致的概率的变化 ，如何导出？在估计出系数后，利用 1 1 Pi 推导出。 zi ( 1 2 x ) 1 e 1 e 5、如何估计
2.1 线性概率模型
• 因变量是一个取值为0，1的二值结果的分 类变量 考虑模型：
其中：y表示已婚妇女是否参与劳动力市场 ， x为一系列自变量如收入的其他来源、 经验、经验平方、年龄、小于6岁的子女 数、家庭中6-18岁的子女数。 (Example From Wooldridge)
y 0 1 x1 ... k xk u
U U X i ( ) ( )
1 i 0 i 1 0 1 i 0 i
将上式记作Yi* X i i* P(Yi 1) P(Yi* 0) P( i* X i )
无论对于标准正态分布还是逻辑分布，上式 都可以写成 P(Y 1) P(Y 0) P( X )
Probit和logistic分布
• Probit曲线和logit曲线很相似。两条曲 线都是在pi= 0.5处有拐点，但logit曲线 在两个尾部要比Probit曲线厚。两种分 布的概率值分别见表1。
2.2 Logit模型
在线性概率模型LPM中，假定响应概率对 一系列参数 j 是线性的。
对于异方差问题，即使通过广义最小二乘 法得到异方差条件下的有效估计量，仍 有下面问题： 1、概率拟合值仍可能落在（0,1）之外。 2、因为随机扰动项的分布不是正态的， 是两点分布，所以该估计量不是有效估 计量，是渐近有效估计量。
线性概率模型的改进： 所估计的概率能落在[0,1]之间。同时对于 所有的xi，当xi增加时，希望yi也单调增 加或单调减少。显然累积概率分布函数 能满足这样的要求，常用的包括logistic 分布、正态分布、weibull分布、极值分 布，但probit和logit分布最常用。 Weibull分布不假设对称性， P(Y=1|X)=exp(-exp(xb))(cdf) Log-log分布： P(Y=1|X)=1-exp(exp(-xb))
z
对数单位模型的特点
该模型是McFadden于1973年首次提出，采用的 是logistic概率分布函数。从logit模型可以看 出： logit模型的一个重要优点是把在 [0，1] 区间上预测概率的问题转化为在实数轴上预测 一个事件发生的机会比(也叫发生比率odds)问 题。 logit累积概率分布函数的斜率在pi= 0.5时最大 ，在累积分布两个尾端的斜率逐渐减小。说明 相对于pi= 0.5附近的解释变量xi的变化对概率 的变化影响较大，而相对于pi接近0和1附近的 xi值的变化对概率的变化影响较小。
限值因变量有哪些情形 (limited dependent variable regression model, LDV)
二元选择模型(Binary outcome model)
一、线性概率模型 二、Logit model 三、probit model
二元选择模型下的参数估计、解释、系数 解释等。
Logit模型也称为对数单位模型，表示为：
1 1 Pi yi ( 1 2 x ) 1 e 1 e
1 Pi
1 1 e( 1 2 x )
link function
P(y 1| x) G( 0 x1 ) G(z) exp(z) G(z) log it mod el 1 exp(z) G (z) (z) (v) dv probitmodel
二、限值因变量模型
限值因变量有哪些情形 (limited dependent variable regression model, LDV) • 当因变量为定性变量或不连续变量 或是受约束的变量时，统称为限值 因变量回归模型。
• 不同的限值因变量模型中，因变量的 情形不同，所使用的估计方法不同， 如非线性最小二乘法，但使用最大似 然估计法较多。
模型回归系数解释
1.以发生比率比的方式解释logit参数估计值
（适用于虚拟变量）。
ˆi p 假设log( )=-1.92+0.012x+0.67female,1为女性. ˆi 1 p
含义为:在控制了收入的情况下,女性参与投票的 发生几率几乎是男性的2倍。 对于连续变量，回归系数的指数表明该自变量每 上升一个单位所带来的发生比率的倍数变化， 即在性别相同的情况下，收入每增加1000元 ，投票的发生比率将是原来的1.01倍（ exp(0.012)）。
在线性概率模型中，
P( y 1) E( y | x) 0 1 x1 ... k xk 参数 j 度量的是在保持其他因素不变的
情况下，因自变量 x j 的变化导致成功 概率的变化。用OLS来估计。 何为“成功”的定义？Y=1
example
• Wooldridge(Mroz,1987)
pm / (1 p m ) p f / (1 p f )
2、相对风险（relative risk） 指某一暴露期内（exposure interval）的 相对发生概率。风险是指所关注事件在 某一给定时期内的发生概率。 example
设有两个规模各为25人的试验组，试验组 服用某种药物，控制组服用安慰剂。若 试验组中有2人感染了疾病，控制组中有 3人感染了疾病。则试验组的患病风险为 2/25=0.08，控制组为3/25=0.12，则 试验组相对于控制组的相对患病风险为 0.08/0.12=0.67.说明试验组的患病风险 大约为控制组的三分之二。 当事件发生的概率很小时，发生比率比常 被用来近似地表示相对风险。
z
[if] [in] [weight] [, probit_options]
2.4 潜变量模型导出的 logit和probit模型
• Logit and probit model 都可以由潜变 量模型推导出来。
• 以公共交通工具和私人交通工具的选择 为例。如果某一个体选择公共交通工具 或私人交通工具的效用分别表示为Ui1和Ui0 ， U 1 X 1 1 ,U 0 X 0 0 i i i i i i
* i i * i i
1 P （i* -Xi ）=1-F(-Xi )=F(Xi )
似然函数可写为：
P(Y1 , Y2 ..., Yn ) F(X i ) (1 F(X i ))
Yi 1 Yi 0
L ( F ( X i ))Yi (1 F ( X i ))1Yi