华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学(文)试题Word版含答案
华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}{1A x x =<,}{3log 0B x x =<,则A B = （ ） A ．A B ．B C ．R D ．∅2. 在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,则事件“221x y +≤”发生的概率为（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3. 已知复数z 满足(12)43i z i +=+,则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．i - C ．1 D ．i 4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,3123S a a =+，则42S S =（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．55. 已知函数()sin f x x x =+,(1,1)x ∈-，如果(1)(2)0f t f t -+-<,则实数t 的取值范围是（ ） A ．32t > B ．312t << C. 322t << D ．332t << 6. 5(3)(2)x y x y +-的展开式中, 24x y 的系数为（ ） A ．-110 B ．-30 C.50 D ．1307. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）A ．8B ．12 C.16 D ．248. 执行如图所示的程序框图,若输出a 的值为2,则图中的0x =（ ）A ．-1B ．12- C. 12D ．2 9. 将函数()cos(2)3f x x π=+图象上所有的点向右平移512π个单位长度后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有的性质是（ ） A ．图象的对称轴为4x π= B ．在5(,)84ππ--上单调递减,且为偶函数 C.在97(,)88ππ--上单调递增,且为奇函数 D ．图象的中心对称点是(,0)2π10. 已知定点(2,0)P 及抛物线C ：22y x =,过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点,设抛物线C 的焦点为F ,则ABF ∆面积的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．511. 设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（ ） A ．235x y z << B ．235x y z == C. 532z y x << D ．325y x z << 12. 已知数列{}n a 满足11a =且2cos3n n n a b π=,则数列{}n b 的前59项和为（ ） A ．-1840 B ．-1760 C.1760 D ．1840第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为120°,且122a e e =- ,123b e e =+ ,则2a b +=． 14.已知圆C 被平面区域21,21,22,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤-⎩所覆盖,则满足条件的最大圆C 的圆心坐标为 ．15.已知双曲线C :221916x y -=的左焦点为点1F ,右焦点为点2F ,点(,)(5)M x y x ≠±为双曲线C 上一动点,则直线1MF 与2MF 的斜率的积12MF MF k k ∙的取值范围是 ．16. 以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知222a c b +=cos 0A B +=. （1）求cos C ；（2）若ABC ∆的面积52S =，求b .18.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，且22CD AB AD ==，AB AD ⊥，PA PD =，点E 为PC 的中点，点F 为AD 的中点.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）若PE PF EF ==，求二面角B EF C --的余弦值.19.某种子公司对一种新品种的种子的发芽多少与昼夜温差之间的关系进行分析研究，以便选择最合适的种植条件.他们分别记录了10块试验地每天的昼夜温差和每块实验地里50颗种子的发芽数，得到如下资料：（1）从上述十组试验数据来看，是否可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系？是否具有线性相关关系？（2）若在一定温度范围内，昼夜温差与发芽数近似满足相关关系：ˆˆy bz a =+（其中2(12)z x =-）.取后五组数据，利用最小二乘法求出线性回归方程ˆˆy bz a =+（精确到0.01）；（3）利用(2)的结论，若发芽数试验值与预测值差的绝对值不超过3个就认为正常,否则认为不正常.从上述十组试验中任取三组，至少有两组正常的概率是多少？附:回归直线方程ˆˆy bza =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20. 已知锐角ABC ∆的一条边AB 的长为4，并且1tan tan 4A B =，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）试求顶点C 的轨迹方程； （2）设直线l ：33()510y kx k =-≠±与顶点C 的轨迹相交与两点M ，N ，以MN 为直径的圆恒过y 轴上一个定点P ，求点P 的轨迹方程.21. 已知函数2()z f x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，求()f x 的单调区间； （2）若1m =，求()f x 的极大值； （3）若102m ≤≤，指出()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P ,倾斜角为6π.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x t =+.（1）若(1)21f t ≥-，求实数t 的取值范围；（2(0)(1)f f ≤+-.华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学（理）试题答案一、选择题1-5: BACBC 6-10:ACCCB 11、12：DB二、填空题33(,)44- 15.16(,0](,)9-∞+∞16. (0,12]π三、解答题17.解：（1）由222a c b++=，得222a c b+-，∴222cos2a c bBac+-===.∵0Bπ<<，∴34Bπ=.cos0A B+=，得sin(A B===∴cos A=∴cos cos()4C A A Aπ=-===.（2）由（1），得sin C=由1sin2S ac B=及题设条件，得135sin242acπ=，∴ac=由sin sin sina b cA B C====∴225b==，∴5b=.18.解：（1）证明：设BC中点为点G，连接,FG EG，易知//,//FG AB EG PB，所以//FG平面PAB，//EG平面PAB，则平面//EFG平面PAB，所以//EF平面PAB；（2）∵P A P D=，点F为AD中点，∴PF AD⊥.又在PFC∆中，点E为PC的中点，PE PF EF==，∴PF FC⊥，∴PF⊥平面ABC，且FC.不妨设2AB=，则4DC=，1FD=，∴FC =PF =， 以点F 为原点，,,FA FG FP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(1,2,0)B，1(2E -， 易知平面EFC 的法向量为0(4,1,0)n =，设平面BEF 的法向量为(,,z)n x y =，则20,120,2x y x y +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1,z n ==. 041(01cos ,n n ⋅+⋅<>==二面角B EF C --. 19.解：（1）可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系， 不具有线性相关关系； （2）6,22.8z y ==，1221538684ˆ0.84354180ni ii n i i x ynx ybx nx==--==≈---∑∑，ˆˆ22.8(0.84)627.84ay bz =-=--⨯=，ˆ0.8427.84y z =-+. （3）十组数据中有两组不正常，128231014115P C C C=-=（或32188231056561412015P C C C C++===） 20.由题意，不妨设(2,0),(2,0)A B -，设(,)C x y ，1224x y x x ∙=-+-，化简得221(0)4x y y +=≠.（2）设11(,)M x y ，N 22(,)x y ，(0,)P t ，将直线l ：33()510y kx k =-≠±方程代入221(0)4x y y +=≠得222464(14)0525k x kx +--=，2576256(14)02525k ∆=++>，122245(14)x x k +=+，1226425(14)x x k =+， ∴1211158k x x +=-. 1212121233()()55kx t kx t y t y t x x x x ------+=2212121233()()()55k x x t kx kx t x x -++++= 222231525(14)3()()58645k k k t t +=++∙-+22253153[()()1]16585t t k =-++++2253()1645t =-+=-. ∴22253()1,645253153()()10,16585t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++++=⎪⎩解得1t =.21.解：（1）0m =时，则()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-.0x >时，()0f x '>；0x <时，()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，()f x 的单调减区间为(,0)-∞. （2）1m =时，2()x f x e x x =--，()21x f x e x '=--，设g()21x x e x =--.()e 2x g x '=-，∴()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，且g(ln 2)0<，又g(0)0=，∴()f x 的极大值为(0)1f =.（3）当0m =时，∵1x e x ≥+，∴()0x f x e x =->，此时()f x 的零点个数为0. 当102m <≤时，()21x f x e mx '=--.若0x ≥，()2110x x f x e mx e x '=--≥---≥，(0)10,()0f f x =>=无解； 若0x <，2()0x f x e mx x =--=，即2x e mx x =+，在1(,0)m上20x e mx x >>+，在1(,)m-∞-上x y e =单调递增，2y mx x =+单调递减，且x →-∞时，0x e →，2mx x +→+∞， ∴()f x 有且仅有一解.∴当102m <≤时，()f x 的零点个数为1.综上可得，0m =时，()f x 的零点个数为0；当102m <≤时，()f x 的零点个数为1.22.解：（1）l 的参数方程为1cos ,6sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即1,1,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.由4cos()3πρθ=+，得2cos ρθθ=-，∴22cos sin ρρθθ=-，从而有2220x y x +-+=，∴C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=. （2）将l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得221(42t ++=，整理，得210t -=.此时2241(1)70∆=-⨯⨯-=>.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t，则12t t +=121t t =-，∴1212PA PB t t t t +=+=+=23.解：（1）由(1)21f t ≥-，得121t t +≥-， 当1t ≤时，∴(1)2t 1t -+≥-，解得0t ≤，此时1t ≤-； 当1t >-时，∴121t t +≥-，解得2t ≤，此时12t -<≤. 综上，t 的取值范围是(,2]-∞. （2）显然0a ≥，当0a =0=； 当0a >21=≤=，即1a =时，等号成立.∴01≤≤. 而(0)(1)1(1)1f f t t t t +-=+-+≥--+=.≤+-.(0)(1)f f。
精品2019届高三数学11月八校联考试题文(含解析)
种植地编号
A6
A7
A8
A9
A10
（ x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2，1， 2） （ 2， 0，1） （ 2， 2， 1） （ 0， 2，1）
（Ⅰ）若该地有青蒿人工种植地 180 个，试估计该地中长势等级为三级的个数； （Ⅱ）从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个，求这两个人工种植地的综合指标
ω 均为 4 的概率．
【答案】（ 1） 18（ 2）
【解析】试题分析： （ 1）借助题设条件运用频率进行估计求解； （2）运用列举法和古典概型公式求解 . 试题解析： （ 1）计算 10 块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：
编号
综合指标
1
4
4
6
2
4
5
3
5
3
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由上表可知：长势等级为三级的只有
当 a＞ 0 时，由 f' （ x）＞ 0，得
，由 f' （x）＜ 0，得
，
所以函数 f （ x）的单调递增区间为
，单调递减区间为
※精品试卷※
一个，其频率为 ，用样本的频率估计总体的频率，可估计该地中长势等级
为三级的个数为
.
（ 2）由（ 1）可知：长势等级是一级的（
）有 ， ， ， ， ， ，共 6 个，从中随机抽取两个，所有
的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共计 15 个；
其中综合指标
的有： ， ， 三个，符合题意的可能结果为
【解析】构造函数 即 在 上单调递减，所以
，同理得
2019年高三11月联考数学(文科)答案
12221254433221+--⋅⋅⋅+-+-n n n n a a a a a a a a a a a a 12221254433221+--⋅⋅⋅+-+-n n n n a a a a a a a a a a a a 2114217211475772-=⋅+⋅-湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考数学（文）参考答案一、选择题：1.A2.B3.C4.B5.C6.A7.D8.D9.C 10.D 11.B 12.D 二、填空题：13.5-14.()1,015.32π16.[)+∞-,2ln 23三、解答题：17.（1）⋅⋅⋅=+=++3,2,1,531n n a a n n ①⋅⋅⋅=+-=+∴-4,3,2,5)1(31n n a a n n ②⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分①－②得⋅⋅⋅==--+3,2,311n a a n n （2）)()()(12122534312+--+⋅⋅⋅+-+-=n n n a a a a a a a a a ))(3(2642n a a a a +⋅⋅⋅+++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分由（1）得{}n a 2为公差为3的等差数列，又由7,8221==+a a a 得∴23329)32)1(7)(3(2n n n n n --=⋅-+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分18.（1）由1421sin 1475cos =∠=∠BAM BAM 得由cos 721sin ,772=∠-=∠AMC AMC 得又∠AMC =∠BAM +∠B)cos(cos BAM AMC B ∠-∠=∠∴BAMAMC BAM AMC ∠⋅∠+∠⋅∠=sin sin cos cos =),0(B π∈ 32π=∴B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分BAM BM B AM ∠=sin sin 1sin sin =∠∠=BBAM AM BM 372117sin 2=⋅⋅=∠⋅⋅==∆∆BAM BM AM S S ABM ABC 060=∠∴⊥∴EAB EB AD （2）在△ABM 中，由正弦定理，得BAM BM B AM ∠=sin sin ∴1sin sin =∠∠=BBAM AM BM 因为M 是边BC 的中点，所以1=MC ．故372117sin 2=⋅⋅=∠⋅⋅==∆∆BAM BM AM S S ABM ABC 解法二：在△ABM 中，由正弦定理，得因为M 是边BC 的中点，所以，S △AMC =S △ABM ，所以⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19.1）连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点又M 为ＰＣ的中点，∴PA MO //，又MDB PA MDB 平面，平面⊄⊂MO MDB //平面PA ∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（２）过Ｐ作AD PE ⊥，垂足为Ｅ，由于∆ＰＡＤ为正三角形，Ｅ为ＡＤ的中点。
2019届高三数学11月“八校联考”试题 文
2019届高三数学（ 文科 ）试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在相应的位置．3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集R =U ，集合{}1>=x x A ，集合{}3|x y x B -==，则B A =A.)0,(-∞B. )1,(-∞C. ),1[+∞D. ]3,1(2. 复数z 满足(12)7i z i -=+，则复数z 的共轭复数z = A.i31+ B. i 31-C. i +3D. i -33. 某选手参加选秀节目的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 A ．5.86, 2.1 B ．5.86, 5.1C ．86, 2.1D ．86, 5.14. 在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a = A ．4B ．4-C ．5D ．5-5. 以抛物线x y 82=上的任意一点为圆心作圆与直线02=+x 相切，这些圆必过一定点， 则这一定点的坐标是A ．)2,0(B ．（2，0）C ．（4，0）D ． )4,0(6. 设0>ω,函数2)3sin(++=πωx y 的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A.32 B. 34C.23D. 37. 已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥ ②若,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂则//αβ③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n 与α相交④若m n m //,=βα ,且,,βα⊄⊄n n 则α//n 且β//n . 其中正确的命题是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④8. 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设)2.0(),3(log ),7(log 6.0214f c f b f a ===，则c b a ,,的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<9. 函数()()112122x x f x ⎡⎤=+--⎣⎦的图象大致为10. 如右图，程序框图的输出值x =A.10B.11C.12D.13 11. 已知正三棱锥V ABC -的正视图、俯视图如下图所示，其中VA =4,AC =32,则该三棱锥的侧视 图的面积为A ．9B ．6C.33 D ．3912. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有),(2)(x f x f <'，则有A ．)0()2017(),0()2017(40344034f e f f f e ><- B ．)0()2017(),0()2017(40344034f e f f f e <<- C ．)0()2017(),0()2017(40344034f e f f f e >>- D ．)0()2017(),0()2017(40344034f e f f f e<>-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）V4AD正视图CAB3233俯视图二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13. 已知向量b a ,满足||=2，||=1，与的夹角为60 0，则|2-|等于 . 14. 已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91089a a a a ++= .15. 若过点(3,0)A 的直线l 与曲线 1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为 .16. 已知实数y x ,满足4230y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+-≥⎩，则12xz y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数)sin 3(cos cos )(x x x x f +=. （Ⅰ）求)(x f 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,若1)(=C f 且7=c ,4=+b a ,求ABC S ∆.18.（本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在 的平面互相垂直，其中BC CD BC AB CD AB =⊥,,//,M O DF AE AB ,,121===为EC 的中点． （Ⅰ）证明：//OM 平面ABCD ；（Ⅱ）求BF 与平面ADEF 所成角的余弦值．19.（本小题满分12分）2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿素长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有很强的相关性．现将这三项指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x +y +z 的值评定人工种植的青蒿素的长势等级；若能ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿素的长势情况．研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果；（Ⅰ）若该地有青蒿人工种植地180个，试估计该地中长势等级为三级的个数；（Ⅱ）从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个，求这两个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点)23,1(，过右焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得弦长是1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点B A ,分别是椭圆C 的左，右顶点，过点（1，0）的直线l 与椭圆交于N M ,两点（N M ,与B A ,不重合），证明：直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值．21.（本小题满分12分）已知函数)(ln )2()(2R a x a x a x x f ∈---=. （Ⅰ）求函数)(x f y =的单调区间;（Ⅱ）当1=a 时，证明：对任意的2)(,02++>+>x x e x f x x.22.（本小题满分10分）已知函数12)(-=x x f ． （Ⅰ）求不等式4)(<x f ;（Ⅱ）若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ，且)0,0(>>=+n m a n m ，求nm 12+的取值范围．黄山市2019届高三“八校联考” 数学（ 文科 ）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1～6 D B C C B C ， 7～12 D C A C B D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13. 2 14. 21+ 15. ),65[]6,0[πππ16. [21，3]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：（Ⅰ）x x x x x x x f cos sin 3cos )sin 3(cos cos )(2+=+===．…………………3分当时，f （x ）取最小值为． …………5分（Ⅱ），∴．在△ABC 中，∵C ∈（0，π），，∴， …………8分又c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ，（a +b ）2﹣3ab =7．∴ab =3．……………10分∴ ……………………………………………………12分18.证明：（Ⅰ）∵O ，M 分别为EA ，EC 的中点， ∴OM ∥AC ．∵OM ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD …．∴OM ∥平面ABCD …………………5分 解：（Ⅱ） ∵DC =BC =1，∠BCD =90°，∴∵． ∴BD ⊥DA ．∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面ADEF∴∠BFD 的余弦值即为所求.……………………………………………………………9分在，∴…．∴．………………………………………12分19.解：（1）计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：由上表可知：满意度为三级（即0≤w≤1）的只有A1一块，其频率为．………3分用样本的频率估计总体的频率，可估计该地中长势等级为三级为180×=18个．…6分（2）设事件A为“从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个，这两个人工种植地的综合指标ω均为4”．由（1）可知满意度是一级的（w≥4）有：A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6块，从中随机抽取两个，所有可能的结果为：{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A3，A4}，{A3，A6}，{A3，A7}，{A3，A9}，{A4，A6}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A6，A7}，{A6，A9}，{A7，A9}，共15种．…………………………………………………………………………………8分其中满意度指标ω=4有：A2，A3，A6，共3位，事件A发生的所有可能结果为：{A2，A3}，{A2，A6}，{A3，A6}，共3种，………………………………………………………………10分所以P（A）==．……………………………………………………………12分20.解：（1）设椭圆C： +=1的右焦点为（c，0），令x=c，可得y=±b=±，即有=1，又 + =1，解方程组可得a=2，b=1，则椭圆C的标准方程为+y2=1；…………………………5分（2）证明：由椭圆方程可得A（﹣2，0），B（2，0），设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（4+m2）y2+2my﹣3=0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，……………………………………………………… 7分直线AM：y=（x+2），BN：y=（x﹣2），联立直线AM，BN方程，消去y，可得x==，……………………………………………………………9分由韦达定理可得， =，即2my1y2=3y1+3y2，可得x==4．即直线AM和直线BN交点的横坐标为定值4．…………………………………………12分21.解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），由已知得．………2分当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．…6分（Ⅱ）证明：当a=1时，不等式f（x）+e x＞x2+x+2可变为e x﹣ln x﹣2＞0，……………7分令h（x）=e x﹣ln x﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，而，0所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；…………………………10分所以．即e x﹣ln x﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2成立．………………………………………………12分22.解：（1）不等式f（x）＜4，即|2x﹣1|＜4，即﹣4＜2x﹣1＜4，求得﹣＜x＜，故不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．………………………………………………………5分（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）=|2x﹣1|+|2（x﹣1）﹣1|=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣3）|=2，故g（x）的最小值为a=2，………………………………………………………………7分∵m+n=a=2（m＞0，n＞0），则+=+=1+++=++≥+2=+，故求+的取值范围为[+，+∞）．……………………10分。
2019届高三数学上学期11月联考试题 文新人教版
2019届高三数学上学期11月联考试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}022>-=x x x A ，{}33<<-=x x B ，则（ ）A ．∅=⋂B A B ．R B A =⋃C ．A B ⊆D ．B A ⊆2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．3 3.以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题:p x ∃∈R ，使得210x x ++<，则:p x ⌝∀∈R ，则210x x ++≥ 4．若0sin 3cos =-θθ，则=-)4tan(πθ（ ） A ．21-B ．2-C ．21D ．25． 设有直线m 、n 和平面α、β．下列四个命题中，正确的是 （ ）A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819 B ．1920 C ．2021 D ．1207.下列命题正确的是（ ）A.若0,1<>>c b a ，则ccb a > B.若,b a >则22b a > C.11,000=+∈∃x x R x D.若0,0>>b a 且1=+b a ，则ba 11+的最小值为4.8．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()s i n f x xωϕ=+（ ） A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 9. 函数错误！未找到引用源。
2019年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷及答案(文科)
2019年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）若集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{x∈N|﹣6＜x﹣5＜0}，则A∪B＝（）A．{1，2，3}B．{﹣1，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{﹣1，0，1，2，3，4}2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的虚部为（）A．2B．2i C．﹣2i D．﹣23．（5分）随着生活水平的提高，入养老院的人数日益增加，同时对养老院的服务要求也越来越高，某养老院为适应竞争，除了提高食宿质量外，对于各项服务都实行了改善，投入经费由原来的200万增加到400万，院长分析改善前后的经费投入差异对收入效益的影响，统计了其经费投入情况，得到改善前的资金投入分布表：服务项目基础医疗卫生服务健康养生其他服务投入资金（比例）50%30%15%5%改善后的经费分布条形图如图所示，则下列结论正确的是（）A．改善后的基础医疗经费投入减少了B．改善后卫生服务经费提高了两倍C．改善前后健身养生项目投入经费所占比例没有变化D．改善前后其他服务投入经费所占比例降低了4．（5分）已知数列{a n}是各项为正数的等比数列，向量，，且，则log3a7＝（）A．4B．3C．2D．15．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点为A，虚轴上顶点为B，直线AB 的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．26．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈．问积为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和对方的粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛＝2700立方寸，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈＝106立方寸）（）A．800两B．1200两C．2400两D．3200两7．（5分）已知函数f（x）＝x2sin x﹣x cos x，则函数y＝f（x）的部分图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在区间上（）A．先增后减B．先减后增C．单调递增D．单调递减9．（5分）某几何体是由正方体挖去部分几何体所得的，其三视图如图所示，以侧视图虚线为投影的直线与图中所涉及正方体下底面的面对角线所成的角为（）A．B．C．D．10．（5分）在等边△ABC中，，△ABC所在平面上的动点M到顶点A的距离为2，则的最大值为（）A．8B．C．4D．11．（5分）已知函数若方程f（x）＝kx+2k有四个不同的解，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F与点的连线为直线l1，直线l1与抛物线C在第一象限交于点M．若抛物线C在点M处的切线l2垂直于直线y＝﹣2x，则以点N为圆心且与直线l2相切的圆的标准方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x，则函数y＝f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝（x﹣4）2+（y﹣2）2的最小值为．15．（5分）如图是一枚某社团徽章的几何图形，此图形是由四个半径相等的小圆和与四个小圆都相切的一个大圆组成的，且上下两个小圆对称相切，左右两个小圆对称相切，切点为大圆圆心，大圆的半径R等于小圆的直径2r，图中黑色部分的区域记为Ⅰ，斜线阴影部分的区域记为Ⅱ，白色部分的区域记为Ⅲ，在大圆内随机取一点，则此点落入区域Ⅲ的概率为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1＝3S n﹣3S n﹣1+S n﹣2+2（n≥3），且a1＝3，a2＝8，a3＝15，则a n＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，b＝4，．（1）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状；（2）求a+c的取值范围．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且，BC＝3，O为AB的中点，P A＝PB，．（1）证明：EC⊥PE；（2）求点E到平面POC的距离．19．（12分）2022年，北京﹣张家口第24届冬季奥林匹克运动会（简称“北京﹣张家口冬奥会”），将于2022年2月4日﹣20日在北京和张家口联合举行．随着2022年冬奥会氛围的日益浓厚，冰雪运动与冰雪文化逐渐推广，某滑雪培训机构为助力冬奥会开展了滑雪表演大赛，该机构对50名参赛者进行了统计，发现20名穿旅游服的参赛者有12名成绩优秀，30名穿竞技服的参赛者有28名成绩优秀．（1）完成下列参赛服装与竞赛成绩的2×2列联表，判断是否有99.5%的把握认为穿竞技服与成绩发挥优秀有关？穿旅游服穿竞技服合计成绩优秀成绩不优秀合计（2）为活跃气氛，并把比赛推向高潮，培训机构从穿旅游服的参赛者中选定三名（其中恰有一名优秀赛者），从穿竞技服的参赛者中选定两名（其中恰有一名优秀赛者）进行特技表演，若只能两人同时上台表演，求这两人恰都不是优秀赛者的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．（12分）点P是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知△PF1F2的周长为，I为△PF1F2的内切圆的圆心，且满足，其中，，分别为△IF1F2，△IPF2，△IPF1的面积．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知M（1，0），在椭圆上是否存在一点Q，使得点M在∠F1QF2的角平分线上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣2a）lnx++ax，g（x）＝（a﹣1）（x﹣lnx）﹣．（1）若a＞0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+a|3x﹣1|．（1）当时，若存在x0∈R使成立，求实数t的取值范围；（2）若f（x）≥a|3x﹣1|﹣|x﹣3|+ax﹣2a+1恒成立，求实数a的取值范围．2019年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）若集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{x∈N|﹣6＜x﹣5＜0}，则A∪B＝（）A．{1，2，3}B．{﹣1，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{﹣1，0，1，2，3，4}【解答】解：因为A＝{﹣1，1，2，3}，B＝{x∈N|﹣6＜x﹣5＜0}＝{0，1，2，3，4}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，故选：D．2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的虚部为（）A．2B．2i C．﹣2i D．﹣2【解答】解：，∴2﹣i＝xi﹣y，∴y＝﹣2，x＝﹣1，∴x+yi＝﹣1﹣2i，则x+yi的虚部为﹣2，故选：D．3．（5分）随着生活水平的提高，入养老院的人数日益增加，同时对养老院的服务要求也越来越高，某养老院为适应竞争，除了提高食宿质量外，对于各项服务都实行了改善，投入经费由原来的200万增加到400万，院长分析改善前后的经费投入差异对收入效益的影响，统计了其经费投入情况，得到改善前的资金投入分布表：服务项目基础医疗卫生服务健康养生其他服务投入资金（比例）50%30%15%5%改善后的经费分布条形图如图所示，则下列结论正确的是（）A．改善后的基础医疗经费投入减少了B．改善后卫生服务经费提高了两倍C．改善前后健身养生项目投入经费所占比例没有变化D．改善前后其他服务投入经费所占比例降低了【解答】解：由直方图可知基础医疗、卫生服务、健康养生、其他服务各项的总投资为160+140+60+40＝400万元，各项投入经费所占比例为：降基础医疗＝40%，卫生服务＝35%，健康养生＝15%，其他服务＝10%，对比投资表格可知改善前后健身养生项目投入经费所占比例没有变化，故选：C．4．（5分）已知数列{a n}是各项为正数的等比数列，向量，，且，则log3a7＝（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵向量，，且，∴，∴＝81，∵数列{a n}是各项为正数的等比数列，∴a7＝9，∴log3a7＝log39＝2．故选：C．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点为A，虚轴上顶点为B，直线AB 的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），虚轴上顶点为B （0，b），则k AB＝﹣＝﹣，即＝，则e＝＝＝2，故选：D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈．问积为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和对方的粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛＝2700立方寸，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈＝106立方寸）（）A．800两B．1200两C．2400两D．3200两【解答】解：底面半径R＝．该堆粟的体积V＝（立方丈）．卖得银子为（两）故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝x2sin x﹣x cos x，则函数y＝f（x）的部分图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝x2sin（﹣x）+x cos（﹣x）＝﹣x2sin x+x cos x＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又f（2）＝4sin2﹣2cos2＞0，故排除B．故选：A．8．（5分）已知函数，将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在区间上（）A．先增后减B．先减后增C．单调递增D．单调递减【解答】解：＝＝2，＝＝，将函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，当，所以，所以函数为单调递增函数．故选：C．9．（5分）某几何体是由正方体挖去部分几何体所得的，其三视图如图所示，以侧视图虚线为投影的直线与图中所涉及正方体下底面的面对角线所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为：在正方体中切去一个三棱锥体，所以要求直线AB和EF所成的角，只需作EF∥CD，AB∥CD，即∠CDG即为所求，由于△GCD为等边三角形，所以∠CDG＝．故选：C．10．（5分）在等边△ABC中，，△ABC所在平面上的动点M到顶点A的距离为2，则的最大值为（）A．8B．C．4D．【解答】解：由题意可知，△ABC所在平面上的动点M到顶点A的距离为2，M的轨迹是圆弧，显然M是AB中点时，向量的数量积取得最大值：8．故选：A．11．（5分）已知函数若方程f（x）＝kx+2k有四个不同的解，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：条件等价于函数f（x）的图象与直线y＝kx+2k有4个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：直线y＝kx+2k恒过点（﹣2，0），当直线过点（0，2）时，有2k＝2，解得k＝1，当直线与y＝x2+2x+2相切时，联立，整理得x2+（2﹣k）x+2﹣2k＝0，此时△＝（2﹣k）2﹣4（2﹣2k）＝0，解得k＝﹣2+2（k＝﹣2﹣2舍），由图象可得，k∈（﹣2+2，1），故选：B．12．（5分）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F与点的连线为直线l1，直线l1与抛物线C在第一象限交于点M．若抛物线C在点M处的切线l2垂直于直线y＝﹣2x，则以点N为圆心且与直线l2相切的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设M（m，n），NF的方程为：，…①抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F与点的连线为直线l1，直线l1与抛物线C在第一象限交于点M．若抛物线C在点M处的切线l2垂直于直线y＝﹣2x，可得y′＝，所以…②，m2＝2pn…③，解①②③，可得m＝2，n＝，所以直线l2的方程为：x﹣2y﹣1＝0．以点N为圆心且与直线l2相切的圆的半径为：＝．以点N为圆心且与直线l2相切的圆的标准方程为：．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x，则函数y＝f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣1．【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+x，则f′（x）＝+1，则f（1）＝ln1+1＝1，f′（1）＝+1＝2，则切线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1；故答案为：y＝2x﹣1．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝（x﹣4）2+（y﹣2）2的最小值为．【解答】解：由题意作实数x，y满足约束条件，平面区域如图，A（4，4），B（2，2）z＝（x﹣4）2+（y﹣2）2的几何意义是点P（4，2）与阴影内的点的距离的平方，显然DP距离是最小值，P到2x﹣y﹣4＝0的距离的平方为：＝．z＝（x﹣4）2+（y﹣2）2的最小值为：．故答案为：．15．（5分）如图是一枚某社团徽章的几何图形，此图形是由四个半径相等的小圆和与四个小圆都相切的一个大圆组成的，且上下两个小圆对称相切，左右两个小圆对称相切，切点为大圆圆心，大圆的半径R等于小圆的直径2r，图中黑色部分的区域记为Ⅰ，斜线阴影部分的区域记为Ⅱ，白色部分的区域记为Ⅲ，在大圆内随机取一点，则此点落入区域Ⅲ的概率为．【解答】解：设大圆半径为2，则小圆半径为1，由题意得整个大圆面积为S＝π×22＝4π，∵大圆的半径R等于小圆的直径2r，∴图中黑色部分的区域面积和斜线阴影部分的区域面积相等，∴白色部分的区域面积为S3＝2π+[22﹣8×（）]＝8，∴在大圆内随机取一点，则此点落入区域Ⅲ的概率为P＝＝．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1＝3S n﹣3S n﹣1+S n﹣2+2（n≥3），且a1＝3，a2＝8，a3＝15，则a n＝n2+2n．【解答】解：∵S n+1＝3S n﹣3S n﹣1+S n﹣2+2（n≥3），∴（S n+1﹣S n）＝2（S n﹣S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣S n﹣2）+2（n≥3），即a n+1＝2a n﹣a n﹣1+2（n≥3）①，∴a n＝2a n﹣1﹣a n﹣2+2（n≥4）②，①﹣②整理得：∴（a n+1﹣a n）+（a n﹣1﹣a n﹣2）＝2（a n﹣a n﹣1）（n≥4），又a2﹣a1＝8﹣3＝5，a3﹣a2＝15﹣8＝7，∴数列{a n﹣a n﹣1}是以5为首项，7﹣5＝2为公差的等差数列，∴a n﹣a n﹣1是＝5+2[（n﹣1）﹣1]＝2（n﹣1）+3，∴a n＝a n﹣a n﹣1+（a n﹣1﹣a n﹣2）+（a n﹣2﹣a n﹣3）+…+（a2﹣a1）+a1＝[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+（2×1+3）+3＝2（1+2+3+…+（n﹣1））+3（n﹣1）+3＝2×+3n＝n2+2n．经检验，n＝1时，a1＝3符合，故答案为：n2+2n．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，b＝4，．（1）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状；（2）求a+c的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，∴．∵0＜B＜π，∴．∵a，b，c成等差数列，b＝4，∴a+c＝2b＝8．由余弦定理得，∴16＝（a+c）2﹣3ac，∴ac＝16，a＝c＝b＝4，∴△ABC是等边三角形．（2）方法一∵b＝4，，由余弦定理得，∴a2+c2﹣ac＝16，∴（当且仅当a＝c时取等号），解得0＜a+c≤8，又a+c＞b，∴4＜a+c≤8，∴a+c的取值范围是（4，8]．方法二∵根据正弦定理得（R为△ABC外接圆的半径），∴，，∴．∵A+B+C＝π，可得，∴，∵，∴，．故a+c的取值范围为（4，8]．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E 在AD上，且，BC＝3，O为AB的中点，P A＝PB，．（1）证明：EC⊥PE；（2）求点E到平面POC的距离．【解答】解，（1）证明：如图，连接OE，∵平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB，O为AB 的中点，∴PO⊥AB，∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CE．∵四边形ABCD为矩形，BC＝AD＝3，，∴，DE＝2，，，，∴OE2+EC2＝OC2，∴OE⊥EC．又PO⊥CE，PO∩OE＝O，∴EC⊥平面POE．∵PE⊂平面POE，∴EC⊥PE．（2）方法一设PO＝h，点E到平面POC的距离为x，由（1）知PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OC，∴，，∵V三棱锥E﹣POC＝V三棱锥P﹣EOC，∴，∴，∴，即点E到平面POC的距离为．方法二由（1）知PO⊥平面ABCD，平面POC⊥平面ABCD，又平面POC∩平面ABCD＝OC，如图，过点E作OC的垂线，交OC于点F，根据面面垂直性质定理知，EF⊥平面POC，EF即为点E到平面POC的距离．根据面积相等知，∴．19．（12分）2022年，北京﹣张家口第24届冬季奥林匹克运动会（简称“北京﹣张家口冬奥会”），将于2022年2月4日﹣20日在北京和张家口联合举行．随着2022年冬奥会氛围的日益浓厚，冰雪运动与冰雪文化逐渐推广，某滑雪培训机构为助力冬奥会开展了滑雪表演大赛，该机构对50名参赛者进行了统计，发现20名穿旅游服的参赛者有12名成绩优秀，30名穿竞技服的参赛者有28名成绩优秀．（1）完成下列参赛服装与竞赛成绩的2×2列联表，判断是否有99.5%的把握认为穿竞技服与成绩发挥优秀有关？穿旅游服穿竞技服合计成绩优秀成绩不优秀合计（2）为活跃气氛，并把比赛推向高潮，培训机构从穿旅游服的参赛者中选定三名（其中恰有一名优秀赛者），从穿竞技服的参赛者中选定两名（其中恰有一名优秀赛者）进行特技表演，若只能两人同时上台表演，求这两人恰都不是优秀赛者的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）所传服装与成绩发挥情况列联表如下表：穿旅游服穿竞技服合计成绩优秀122840成绩不优秀8210合计203050故．故有99.5%的把握认为穿竞技服与成绩发挥优秀有关．（2）设3名穿旅游服的参赛者分别为A，B，C，其中A是优秀参赛者，B，C不是优秀参赛者，2名竞技服的参赛者分别为D，E，其中D是优秀参赛者，E不是优秀参赛者，5名参赛者任选2名同事表演的结果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，共10种情形，其中这两人恰都不是优秀参赛者有BC，BE，CE3种情形，故答案为：这两人恰都不是优秀参赛者的概率为．20．（12分）点P是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知△PF1F2的周长为，I为△PF1F2的内切圆的圆心，且满足，其中，，分别为△IF1F2，△IPF2，△IPF1的面积．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知M（1，0），在椭圆上是否存在一点Q，使得点M在∠F1QF2的角平分线上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设△PF1F2的内切圆半径为r，∵I为△PF1F2的内心，成立，∴，化为，又∵|PF 1|+|PF2|＝2a，∴．又∵△PF1F2的周长为，∴，∴，∴，c＝2，∴b＝2，∴椭圆的标准方程为；（2）假设椭圆上存在一点Q（x0，y0），使得点M在∠F1QF2的角平分线上，∴点M到直线QF1，QF2的距离相等，又∵F1（﹣2，0），F2（2，0），∴直线QF1的方程为（x0+2）y﹣y0x﹣2y0＝0，直线QF2的方程为（x0﹣2）y﹣y0x+2y0＝0，∴，化简整理得，①∵点Q在椭圆上，∴，，②由①②解得x0＝2或x0＝8（舍去），当x0＝2时，，∴椭圆上存在点Q，其坐标为或，使得点M在∠F1QF2的角平分线上．21．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣2a）lnx++ax，g（x）＝（a﹣1）（x﹣lnx）﹣．（1）若a＞0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴．令f'（x）＝0，解得x1＝1，．①当a＞1时，0＜x2＜x1，∴函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；②当0＜a≤1时，x2≤0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即，即在[1，e]上存在一点x0，使得成立，令，则函数在[1，e]上的最小值小于零．∴．①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴h（x）的最小值为h（e），由，可得，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）的最小值为h（1），由h（1）＝1+1+a＜0可得a＜﹣2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）的最小值为h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a），∵0＜ln（a+1）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，故h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）＞2，此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得，a的取值范围为．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，平方得ρ2（3cos2θ+1）＝4，根据互化公式ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x得4x2+y2＝4，即．∴曲线C的直角坐标方程为．（2）把（t为参数）消去参数得直线l的普通方程为，∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴设曲线C上任意一点P的坐标为（cosα，2sinα），则点P到直线l的距离为（其中）．∵cos（α+φ）∈[﹣1，1]，∴，∴，∴曲线C上的点到直线l的距离的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+a|3x﹣1|．（1）当时，若存在x0∈R使成立，求实数t的取值范围；（2）若f（x）≥a|3x﹣1|﹣|x﹣3|+ax﹣2a+1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，，∴，即t2﹣2t﹣3＞0，解得t＜﹣1或t＞3．故实数t的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．………………………（5分）（2）若f（x）≥a|3x﹣1|﹣|x﹣3|+ax﹣2a+1恒成立，即|x+1|+|x﹣3|≥ax﹣2a+1恒成立，令g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则令h（x）＝ax﹣2a+1，则函数h（x）恒过定点（2，1），由图可知，﹣1≤a≤2，故实数a的取值范围为[﹣1，2]．…（10分）。
2024届华大新高考联盟高三上学期11月教学质量测评数学试题及答案
机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学本试题卷共4页，共22题.满分150，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2i212i -+=+（ ）2.计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数()*n n ∈N可以表示成二进制数()0122,k a a a a k ∈N ，即1001222k k k n a a a -=⋅+⋅++⋅ ，其中01a =，当1k …时，{}0,1k a ∈.若记012,,,,k a a a a 中1的个数为()f n ，则满足8k =且()4f n =的n 的个数为（ ）A.35B.28C.70D.563.已知双曲线22:14x y C m-=的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A.2D.4.已知向量()(),2,3,1a b λ== ，若a 与b λ的值为（ ）A.83 B.43C.35.若函数()2e 4e 5xx f x =-+在(),m ∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A.()ln2,∞+B.[)ln2,∞+C.()2e ,∞+D.)2e ,∞⎡+⎣6.已知曲线32:3C y x x =-的图象是中心对称图形，其在点A 处的切线l 与直线90x y +=相互垂直，则点A 到曲线C 的对称中心的距离为（ ）A.B.C.D.7.已知()1tan 1tan tan 6,sin cos 3cos sin 22tan 2αβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-==⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭，则sin cos αβ=（ ）A.12 B.16 C.13- D.238.已知函数()22,4,1632113,4,xx f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-+>⎩…则对于任意正数λ，下列说法一定正确的是（ ）A.()()ln 1f f λλ-…B.()()ln 1f fλλ-…C.()()22f f λλ…D.()()22f f λλ…二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合20,{15}3x M xN x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣，则下列说法正确的是（ ）A.{12}M N xx ⋂=-<<∣B.{3R M x x =<-∣ð或2}x >C.{35}M N xx ⋃=-<<∣D.(){}31R M N xx ⋂=-<<-∣ð10.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1A D 的中点，则下列说法错误的是（ ）A.直线EB 与直线1B C 所成的角为60B.直线EB 与直线11C D 异面C.点E ∉平面1ABCD.直线EB ∥平面11B D C11.已知圆C 过点()()()4,2,2,0,6,0，点M 在线段()04y x x =……上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ）A.圆C 的方程为22(4)2x y -+=，B.四边形ACBM 面积的最小值为4C.圆C '的面积的最小值为πD.圆C '的面积的最大值为3π12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()()1111,,,,F M x y N x y --在椭圆C 上但不在坐标轴上，若2,2FM FA FN FB ==，且OA OB ⊥，则椭圆C 的离心率的值可以是（ ）A.12D.910三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用，已知某批产品的质量指标X 服从正态分布()15,9N ，其中[]6,18X ∈的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若()2,X Nμσ~，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈……………….14.已知某圆台的上､下底面积分别为4,36ππ，母线长为5，则该圆台的体积为__________.15.已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3条对称轴，则实数ω的取值范围为__________.16.已知数列{}n a 满足：当n 为奇数时，n a =，其中()()57350λλ--<，且21243n i i i n n a ==+∑，则当n a 取得最小值时，n =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,22cos 1cC a B π==+.（1）求B 的值；（2）已知点M 在线段AB 上，且3ABAM=，求cos2BCM ∠的值.18.（12分）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间，某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间[40,90]内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示.（1）求a （2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在[70,80)和[80,90]的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过80min 的概率；（3）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在[60,80]的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，90,ADC BCD SA SD SB ∠∠==== ，点E 为线段AD 的中点，且22AD SE BC CD ===.（1）求证：SE AC ⊥；（2）已知点F 为线段SE 的中点，点G 在线段BC 上（不含端点位置），若直线FG 与平面SAB 所成的角求BG BC 的值.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中32,14n n S a S λ=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()310n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T .21.（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1l 过点F 且与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 过点F 且与抛物线C 交于,P Q 两点.（1）若点()3,0A ，且AMN的面积为1l 的斜率；（2）若点,M Q 在第一象限，直线MP 过点(),0λ，比较14MPF NQF S S + 与λ的大小关系.并说明理由.22.（12分）已知函数()ln m f x x mx x=++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知*k ∈N ，若(),0,a b ∞∀∈+，当a b >()()m mma f b f a mb a b+++<++恒成立，求k 的最大值.华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准一､选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算､复数的概念，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，()()()()2i 12i 2i 222i 12i 12i 12i ---+=+=-++-，故2i212i -+=+，故选B.2.【答案】D【命题意图】本题考查排列组合､数学情境问题，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】因为01a =，故在128,,,a a a 中只需有3个1即可，故所求个数为38C 56=，故选D.3.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算､直观想象的核心素养.【解析】依题意，49m +=，则5m =，故C20y ±=，故所求距离为d ，故选B.4.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算､平面向量的数量积，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，cos ,||||a b a b a b ⋅===，解得83λ=，故选A.5.【答案】B【命题意图】本题考查复合函数､函数的单调性，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】令e 0x t =>，则原函数化为245y t t =-+，其在()2,∞+上单调递增，故()f x 在()ln2,∞+上单调递增，则ln2m …，故选B.6.【答案】D【命题意图】本题考查导数的几何意义､两直线的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】易知直线l 的斜率为9，设切点()00,x y ，而236y x x =-'，故200369x x -=，解得01x =-或03x =，故切点A 坐标为()1,4--或()3,0，故点A 到曲线C的对称中心的距离为=，故选D.7.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】依题意，()()()cos sin2cos 122tan,1tan tan 2sin 2tansin cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ------=-=+-----()()()()cos cossin sin122cos cos cos2αβαβαβαβαβαβαβ---+-==---，故()()()2cos 16sin cos αβαβαβ-⋅=--，则()sin αβ-=1sin cos cos sin 3αβαβ-=①，而sin cos 3cos sin αβαβ=②，联立①②，解得1sin cos 2αβ=，故选A .8.【答案】C【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象､数据分析的核心素养.【解析】依题意，()f x 在(],4∞-上单调递增，在()4,16上单调递减，在[)16,∞+上单调递增；易知ln 1λλ-…，取1λ=，可知()()ln 1f f λλ=-，取e λ=，可知()()ln 1f f λλ<-，取2e λ=，可知()()ln 1f f λλ>-，故A ､B 错误；当02λ<…时，242λλ……，故()()22f f λλ…，当24λ<<时，24216λλ<<<，故()()22f f λλ>，当4λ…时，2216λλ>…，故()()22f f λλ…；综上，()()22f f λλ…恒成立，故C 正确，D 错误，故选C.二､多选题9.【答案】AC【命题意图】本题考查不等式的解法､集合的表示､集合的运算，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，()(){230}{32}M x x x xx =-+<=-<<∣∣，故{12},{3R M N x x M x x ⋂=-<<=-∣∣…ð或()2},{35},{31}R x M N x x M N x x ⋃=-<<⋂=-<-∣∣……ð，故选AC.10.【答案】ABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】因为11,BA BD A E ED ==，故1EB A D ⊥，而1B C ∥1A D ，故1EB B C ⊥，故A 错误；直线EB 与直线11C D 均在平面11ABC D 上，故B 错误；平面1ABC 就是平面11ABC D ，故点E ∈平面1ABC ，故C 错误；因为平面11B D C ∥平面1A BD ，且直线EB ⊂平面1A BD ，故直线EB ∥平面11B D C ，故D 正确；故选ABC .11.【答案】BD【命题意图】本题考查圆的方程､直线与圆的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，圆C 圆心在直线4x =上，设()4,C c ，则2222(42)(44)(2)c c -+=-+-，解得0c =，圆22:(4)4C x y -+=，故A 错误；四边形ACBM面积S MA AC =⋅=，而min ||MC =min 4S =，故B 正确；结合图象的对称性可知，当M 在线段()04y x x =……的中点时，圆C '的面积最小，为2π，故C 错误；当M 在线段()04y x x =……的两个端点时，圆C '的面积最大，为3π，故D 正确；故选BD.12.【答案】CD【命题意图】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析1】设直线:MN y kx =，其中0k ≠，联立2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得x =,M N ⎛⎝，则2c A ⎛+ ⎝，2c B ⎛- ⎝，而OA OB ⊥ ，故222222222222110444c a b k a b b a k b a k -⋅-⋅=++，整理得()22221021e k e -=>-1e <<，观察可知，故选CD.【解析2】依题意，可得11,,22c x y A B -⎛⎫- ⎪⎝⎭，又有OA OB ⊥ ，故0OA OB ⋅= ，即22211044c x y --=，22211x y c +=；又有2211221x y a b +=，即圆222x y c +=与椭圆C 有公共点且公共点不在坐标轴上，故a c b >>，即222c a c >-，故21,2e e ⎫>∈⎪⎪⎭，故选CD.【解析3】依题意，2,2FM FA FN FB ==，故,A B 分别是线段,FM FN 的中点，故OA ∥,FN OB ∥FM ；又有OA OB ⊥，故,0FN FM OM ON ⊥+= ，则OM ON OF c ===；因为(),OM b a ∈，故b c <，即222a c c -<，得21,2e e ⎫>∈⎪⎪⎭，故选CD.三､填空题13.【答案】0.84【命题意图】本题考查正态分布及其应用，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】依题意，()215,3X N ~，故()()0.68270.997361830.842P X P X μσμσ+=-+==………….14.【答案】52π【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】易知该圆台的上､下底面的半径分别为2，6，故圆台的高为3，则圆台的体积()1436123523V ππππ=⨯++⨯=.15.【答案】2739,44⎛⎫⎪⎝⎭【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()42x k k ππωπ+=+∈Z ，解得()4k x k ππωω=+∈Z ，则23434πππππωωωω+<+…，解得273944ω<…，故实数ω的取值范围为2739,44⎛⎤⎥⎝⎦.16.【答案】5【命题意图】本题考查数列的性质，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】因为21243ni ii n n a ==+∑，故当1n =时，244a =，故21a =，当2n …时，121243(1)(1)n i i i n n a -==-+-∑，则11122244462nn i i i in i i n n a a a -==-==-∑∑，故222313n n a n =>-；而当n 为奇数时，n a =12121n n a n λ--=-，而()()57350λλ--<，故7553λ<<，则()()()()112121212121212121n n nn n n n n a a n n n n λλλλ--+---+-=-=+-+-.令()()()()()1121212210n n n f n n n n λλλλλ--⎡⎤=--+=--+>⎣⎦，得122n λλ+>-；而()752231511211,1,,2,3,5353212222221λλλλλλλλ+-+<<∴<-<∴<<∴==+∈∴----当2n …时，2121n n a a +-<，当3n …时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小；而25252593n a a λ=<<<，所以数列{}n a 的最小项为255a λ=，故当n a 取得最小值时，5n =.四､解答题17.【命题意图】本题考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，222b c a =-，而2cos a B a c +=，由余弦定理，即2222,2a c b a a c ac+-⋅+=故()()20a c a c -+=，故2a c =，代入2cos 1c a B =+中，得1cos 2B =，而0B π<<，故3B π=；（2）不妨设3AB c ==，则31,2,cos 2AM BM BC AB B ====，在BCM 中，由余弦定理得，222132cos 4CM BC BM BC BM B =+-⋅⋅=，由正弦定理得，sin sin CM BM B BCM ∠=，故sin sin BM B BCM CM ∠⋅==，21211cos212sin 121313BCM BCM ∠∠=-=-⨯=-.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图､样本的数字特征､离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】（1）依题意，100.350.30.10.051a ++++=，解得0.02a =；所求平均数为450.2550.35650.3750.1850.0559.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）从日均体育活动时间在[)70,80中抽取8人，日均体育活动时间在[]80,90中抽取4人，故所求概率321884312C C C 42C 55P +==；（3）依题意，24,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()()4314381232160,1C 562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22323442321623962C ,3C 5562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；X01234P 816252166252166259662516625故()28455E X =⨯=.19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系､向量法求空间角，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）连接BE ，如图所示.因为90ADC BCD ∠∠== ，故BC ∥AD ，因为12BC AD DE==，故四边形BCDE 为矩形，不妨设2BE CD ==；SA SD =且点E 为线段AD 的中点，SE AD ∴⊥，所以SD ==，故SB SD ==；故222SE BE SB +=，即SE BE ⊥；又AD BE E ⋂=，故SE ⊥平面ABCD ；而AC ⊂平面ABCD ，故SE AC ⊥；（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，ES 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则不妨设4AD =，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,4A B C S -，所以()()2,2,0,0,2,4AB SB =-=- ，设平面SAB 的法向量为()111,,n x y z =，则0,0,n AB n SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,240,x y y z -+=⎧⎨-=⎩取()2,2,1;n = 设()0,2BG t =∈，则(),2,0G t -，而()0,0,2F ，所以(),2,2GF t =- ，设直线FG 与平面SAB所成的角为,tan θθ=，则sin cos ,GF θ= 化简得2112440t t -+=，解得(2211t t ==舍去）；故111BG BC =.20.【命题意图】本题考查数列的基本运算､错位相减法，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）当2n …时，112,2n n n n S a S a λλ--=+=+，两式相减可得12n n a a -=；而当1n =时，112S a λ=+，得1a λ=-；3247S λλλλ=---=-，故714λ-=，解得2λ=-，则12a =，故2nn a =；（2）依题意，()3102n n b n =-⋅，故()1237242123102nn T n =-⋅-⋅-⋅++-⋅ ，()()2341272421231323102n n n T n n +=-⋅-⋅-⋅++-⋅+-⋅ ，两式相减可得()12313232232310220n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅- ，即()()1212331022012n n n T n +--=⋅--⋅--，故()1313226n n T n +=-⋅+.21.【命题意图】本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ；（1）设直线1:1l x ny =+，联立21,4,x ny y x =+⎧⎨=⎩得2440y ny --=，2Δ16160n =+>；则12124,4y y n y y +==-；故12122AMN S y y =⋅⋅-== ，解得2n =±，故直线1l 的斜率为12±；（2）设直线MP 的方程为x my λ=+，联立直线MP 与抛物线的方程，2,4,x my y x λ=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y my λ--=，故134y y λ=-；由（1）可知，214y y =-，同理可得434y y =-，故2213213241sin 2116sin 2MPF NQF MF PF MFP MF PF y y y y S S NF QFy y NF QF NFQ ∠λ∠===== ，显然1λ≠，故21144MPF NQF S S λλ+=+ …，当且仅当12λ=时等号成立.22.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）依题意，()()22210,,m mx x m x f x m x x x∞'+-∈+=+-=，若0m =，则()()10,f x f x x=>'在()0,∞+上单调递增；若0m ≠，则2Δ140m =+>，令()0f x '=，解得12x x ==，其中12121,1x x x x m +=-=-若0m >，则120x x <<，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0f x '>，故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；若0m <，则210x x <<，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0f x '<，故()f x在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减；综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；当0m<时，()f x在⎛⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减；（2ln lnm m m mma b mb a ma mbb b a a++-+<+-++，lnab<1lnakabb⎛⎫-<，即1112lnaabka bb-⎛⎫⋅<+⎪⎝⎭恒成立，令1)t t=>，有()221112ln2tk t tt-⋅<++恒成立，得()1112ln2tk tt-⋅<+恒成立，所以1ln01tk tt-⋅-<+恒成立令()1ln1tg t k tt-=⋅-+，有()()22222211212(1)(1)(1)(1)t k tkt tg t kt t t t t t'-+---+=⋅-==++⋅+⋅，（注：()10g=）（i）当()10g'>时，即2k>时，易知方程()22110t k t-+--=有一根1t大于1，一根2t小于1，所以()g t在[)11,t上单调递增，故有()()110g t g>=，不符；（ii）当02k<…时，有2222(1)4(1)(1)0kt t t t t-+-+=--……，所以()0g t'…，当且仅当1t=时等号成立，从而()g t在()1,∞+上单调递减，故当1t>时，恒有()()10g t g<=，符合.由i ii､可知，正实数k的取值范围为02k<…，因此，k的最大值为2.。
华文大教育联盟2019年高三第二次质量检测数学(文)试题(扫描版)
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2019届高三数学11月试题 文(含解析) 新目标版
2019届高三11月联考试卷数学（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，，所以，故选D.2. 设命题，则是（）A. B. C. D.【答案】D所以：，故选D.3. 已知向量.若,则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，因为，所以，解得，故选B.4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，；当时，或，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.5. 设是自然对数的底数，函数是周期为4的奇函数，且当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，故选D.6. 某县2015年12月末人口总数为57万，从2016年元月1日全面实施二胎政策后，人口总数每月按相同数目增加，到2016年12月末为止人口总数为57.24万，则2016年10 月末的人口总数为（）A. 57.1万B. 57.2万C. 57.22万D. 57.23万【答案】B【解析】由题意知，人口总数可以看成是一个以为首项，为公差的等差数列，则，则由，得，解得，于是年月末的人口总数是，故选B.7. 在中，角的对边分别为，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】因为，所以，又，即，解得，故选C.8. 设等比数列的前项和为，且，则首项（）A. 3B. 2C. 1D.【答案】C【解析】设数列的公比为，显然，则，两式相除，得，解得，所以，故选C.9. 若正数满足，则（）A. 有最小值36，无最大值B. 有最大值36,无最小值C. 有最小值6，无最大值D. 有最大值6，无最小值【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，解得，即，则的最小值为，无最大值，故选A.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，所以，所以，所以，所以，解得，因为，所以，所以，故选A.11. 如图，在四边形中，已知，，则（）A. 64B. 42C. 36D. 28【答案】C【解析】由,解得，同理，故选C.点睛：本题主要考查了平面的运算问题，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的数量积的运算公式，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，解答中熟记平面的数量积的运算和平面向量的化简是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12. 若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，恒成立，又，则函数在上有且只有1个零点；当时，函数，则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以此时函数的极大值为，极小值为，要使得有4个零点，则，解得，故选B.点睛：本题主要考查了根据函数的零点求解参数的取值范围问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值等知识点的综合应用，着重考查了数形结合思想和转化与化归思想的应用，解答中把函数的零点问题转化为函数的图象与的交点个数，利用函数的极值求解是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图象在点处的切线斜率是1，则此切线方程是__________．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以，则所求切线的方程为，即.14. 设变量满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图所示，其中，作出直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，此时.15. 在数列中，，.记是数列的前项和，则的值为__________．【答案】130【解析】由题意知，当为奇数时，，又，所以数列中的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，所以；当为偶数时，，又，所以数列中的相邻的两个奇数项之和均等于，所以，所以.点睛：本题主要考查了数列求和问题，其中解答中涉及到等差数列的判定、等差数列的前项和公式，以及数列的并项求和等知识点的综合应用，解答中根据题意，合理根据为奇数和为偶数分成两个数列求解是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16. 达喀尔拉力赛（The Paris Dakar Rally )被称为世界上最严酷、最富有冒险精神的赛车运动，受到全球五亿人以上的热切关注.在如图所示的平面四边形中，现有一辆比赛用车从地以的速度向地直线行驶，其中，,.行驶1小时后，由于受到沙尘暴的影响，该车决定立即向地直线行驶，则此时该车与地的距离是__________．(用含的式子表示）【答案】【解析】假设过了小时后，到达，则，连接，在中，，所以,所以，所以,在中，，所以，则，所以.点睛：本题主要考查解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到正弦定理和余弦定理，以及直角三角形中的勾股定理的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中合理选择三角形，在三角形中正确应用正、余弦定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设，已知命题函数有零点；命题，.（1）当时，判断命题的真假；（2）若为假命题，求的取值范围.【答案】（1）真命题；（2）【解析】试题分析：（1）当时，可得在上恒成立，即可得到命题的真假；（2）由为假命题，则都是假命题，进而可求解的取值范围.试题解析:（1）当时，，在上恒成立，∴命题为真命题.（2）若为假命题，则都是假命题，当为假命题时，，解得；当为真命题时，，即，解得或，由此得到，当为假命题时，，∴的取值范围是.18. 设向量，其中，且函数.（1）求的最小正周期；（2）设函数，求在上的零点.【答案】（1）；（2）和【解析】试题分析：（1）由题意，可化简得，即可计算函数的最小正周期；..................试题解析:（1），∴函数的最小正周期为.（2）由题意知，，由得，，当时，，∴或，即或.∴函数在上的零点是和.19. 已知数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题意，可化简得，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，求得，再利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.试题解析:（1）∵，∴，∴，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，∴，∴.∴，，∴，∴.20. 设函数.（1）当时，求的极值；（2）设，讨论函数的单调性.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）见解析【解析】试题分析：（1）当时，求得函数的解析式，进而得出，利用和，得出函数的单调性，即可求解函数的极值；（2）由题意知，取得函数，分类和、三种讨论，即可得出函数的单调区间.试题解析:（1）当时，，∴，令，解得或；令，解得，∴在和上单调递增，在上单调递减，∴的极大值为，极小值为.（2）由题意知，函数的定义域为，，由得.①当，即时，恒成立，则函数在上单调递增；②当，即时，令，解得或，令，解得，则函数在和上单调递增，在上单调递减；③当，即时，令，解得或，令,解得，则函数在和上单调递增，在上单调递减.21. 在中，角所对的边分别为，.（1）求的值；（2）若，求外接圆的半径.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简得，即可解得.（2）由（1）知，根据两角和的正弦公式，求得，再由正弦定理，即可求解外接圆的半径.试题解析:（1）∵,∴,∴，又，. （2）由（1）知，，∵，∴，∴.∴.点睛：本题主要考查解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及到解三角形中的正弦定理、三角函数恒等变换等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中熟记解三角形中的正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的公式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.22. 设函数(为自然对数的底数），.（1）证明：当时，没有零点；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由，令，，把没有零点，可以看作函数与的图象无交点，求得直线与曲线无交点，即可得到结论.（2）由题意，分离参数得，设出新函数，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解的取值范围.试题解析:（1）解法一：∵，∴.令,解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴.当时，，∴的图象恒在轴上方，∴没有零点.解法二：由得，令，，则没有零点，可以看作函数与的图象无交点，设直线切于点，则，解得，∴，代入得，又，∴直线与曲线无交点，即没有零点.（2）当时，，即，∴，即.令，则.当时，恒成立，令，解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴.∴的取值范围是.点睛：本题主要考查了导数在函数问题的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用求解函数的极值与最值，以及导数的几何意义等知识点的综合运用，同时着重考查了分离参数思想和构造函数思想方法的应用，本题的解答中根据题意构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键，试题综合性强，难度较大，属于难题，平时注重总结和积累.。
2019-2020学年华大新高考联盟高三(上)11月质检数学一模试卷(含解析)
2019-2020学年华大新高考联盟高三(上)11月质检数学一模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={α|α=k⋅90°−36°,k∈Z}，N={α|−180°<α<180°}，则M∩N=()A. {−36°,54°}B. {−126°,144°}C. {−36°,54°,−126°,144°}D. {54°,−126°}2.已知复数(为虚数单位)则复数在复平面对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.8.已知两点M(−1,0)，N(1,0)，若直线y=k(x−2)上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是()A. [−，0]∪(0,)B. [−，0]∪(0,)C. [−，]D. [−5,5]4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正确的是()A. 平面A′FG⊥平面ABCB. BC//平面A′DEa3C. 三棱锥A′−DEF的体积最大值为164D. 直线DF与直线A′E有可能异面5.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球(至少一粒)，则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率()A. 小B. 大C. 相等D. 大小不能确定6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，长儿的年龄为()A. 23B. 32C. 35D. 387.已知cosα4=14，则cosα=()A. 1732B. −1732C. ±1732D. −788. 5.，则A. 12B. 0C. D.9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，A(−a,0)，B(0,b)为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于b√7，则椭圆的离心率为()A. 7−√77B. 7+√77C. 12D. 4510.已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，.若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为()A. 或B. 或C. 或D.11.在边长为a(a>2)的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子(忽略大小，视为质点)，若它落在该圆内的概率为35，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A. 35a2 B. 25a2 C. 25a D. 35a12.下列命题中，真命题的个数为()(1)在中，若，则；(2)已知，则在上的投影为；(3)已知，，则“”为假命题；(4)已知函数的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称．A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=14x2和它在点(2,1)处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为______．14.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=3，∠BAC=120°，AA1=8，则球O的表面积为______．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2−b2+3abcosC=0，则c(cosAa +cosBb)的最小值为______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线M：x2a2−y2b2=1恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图(如图)(满分为150分，成绩均为不低于80分整数)，分为7段：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]．(1)求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；(2)在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．18.已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求使成立的正整数的最小值．19.如图，在三棱锥P−ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB=EA，且PA⊥AC，PC⊥BC．(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；(Ⅱ)若PA=2BC且AB=EA，三棱锥P−ABC.体积为1，求点B到平面DCE的距离．20.已知抛物线与直线x−y−1=0相交与A，B两点，求。