新高一数学衔接课专题三 一元二次不等式及其解法
ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0)
2 2
新知探究
二、一元二次不等式的解法：
探究：如何解不等式x x 6 0?
2
启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
0 0
二次函数
0
二次函数
y ax bx c
2
（a 0 ） 的图象
典例剖析 规范步骤 2 例3 1 解不等式 4x 4x 1 0 .
解： 0， 方程 4 x 4 x 1 0 1 . 原不等式的解是x 的解是 x1 x2 1 2 2
2
2 解不等式 x
2
2x 3 0 .
解：整理得 x2 2 x 3 0 2 0 ，方程 x 2 x 3 0 无实数解， 不等式 x2 2x 3 0 无解,
ax 2 bx c 0 (a 0)的根
图象
x1 , x2 ( x1 x2 ) x1 = x2 = 一元二次方程的根
ax bx c 0
2
b 无实根 2a 一元二次不等式的解
任意实数
(a 0)的解
x x1或x x2
x
b 2a
ax 2 bx c 0 (a 0)的解
x1 x x 2
无解
无解
①对于一元二次不等式
思考
ax bx c 0(a 0)或 2 ax bx c 0(a 0)
2
当二次项系数 a 0 时如何求解？ ②不等式 ax bx c 0(a 0) 与 2
2
的解 的解
ax bx c不等式 3x 6x 2 .
解：原不等式可化为 3x 6x 2 0 .
2
0 ，方程 3x 6x 2 0 的解是
2
3 3 x1 1 ，x2 1 3 3
原不等式的解为
3 3 1 x 1 3 3
专题三 不等式
第一讲 一元二次不等式及其解法
知识引入
通过导学案的学习，你能说说 一元一次函数、一元一次方程、一 元一次不等式之间的关系？
整理得
新知探究
一、一元二次不等式的相关概念：
1、定义: 只含有一个未知数，并且未知 数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不 等式. 2、一元二次不等式的一般形式：
不等式
有差异吗？
归纳小结
你能归纳出求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的一般步骤吗？
典例剖析 规范步骤
例1 解不等式 2 x2 3x 2 0 .
解：原不等式等价于 (2 x 1)(x 2) 0
方程 2x 3x 2 0 的解是 x1 1 ，x2 2 . 2 原不等式的解是 1 x 或 x2 2
2
2
(4)3x 7 x 10
(5)12 x 31x 20 0
2
当堂训练 巩固深化
2、自变量x在什么范围取值时，函数 2 y 3x x 2 的值小于0 ？ 大于0？
课堂小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想：数形结合的思想. 5.认识方法：特殊到一般的辩证法．
解一元二次不等式的一般步骤：
一看：看二次项系数是否为正，若为 负化为正。 二算：计算对应方程的根。 三写：由对应方程的根，结合不等号 的方向，根据函数图象写出不等式的 解（或解集）。
当堂训练 巩固深化
1、解下列不等式：
2
1 (1)3x 5x 0 (2) x 4 x 0 4
2
(3) x 4 x 4 0
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
高一数学一元二次不等式的解法知识点整理
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高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>,高中语文;0)解的讨论.
2.分式不等式的解法
(1)标准化：移项通分化为 >0(或<0); ≥0(或≤0)的形式，
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法： ,与型的不等式的解法.
(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之。
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第3讲 不等式的进阶——一元二次不等式(解析版)
进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
高一数学人必修课件一元二次不等式及其解法
常见错误类型及纠正方法
忽视不等式性质
在解一元二次不等式时，需要注 意不等式的基本性质，如不等式 的传递性、可加性等。忽视这些
性质可能导致错误的解集。
忽视定义域限制
在某些情况下，一元二次不等式 的定义域可能受到限制。忽视这 些限制可能导致错误的解集或无
解。
计算错误
在解一元二次不等式时，需要进 行因式分解、配方等计算步骤。 计算错误可能导致错误的解集或
确定解集
根据各区间内因式的符号，确定不等式的解 集。
03 一元二次不等式 在实际问题中应 用
区间内根存在性判断
判别式法
通过计算判别式$Delta = b^2 - 4ac$，判断一元二 次方程在指定区间内是否 有实根。
中点法
利用区间中点函数值的符 号，结合函数连续性，判 断一元二次方程在指定区 间内是否有实根。
例如，对于不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$，首先确定抛物线开口向上，然 后找出交点 $x_1 = -1, x_2 = 3$，最后根据开口方向和交点位置得出解 集为 $-1 < x < 3$。
05 一元二次不等式 与其他知识点联 系
一元二次方程、一元二次不等式和函数综合应用
一元二次方程与一元二次不等式的关系
一元二次函数与一元二次不等式关系
一元二次不等式的一般形式：$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$。
一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数的图像密切相关。当 $a > 0$ 时，抛物线开 口向上，不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$；当 $a < 0$ 时 ，抛物线开口向下，不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $x_1 < x < x_2$。
一元二次不等式的解法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
[解析] 当a > 0时，任意实数x都能使不等式ax 2 + 1 > 0成立，所以不等式
ax 2 + 1 > 0的解集是.
课前预习
（4）不等式x 2 + x + 1 < 0的解集为⌀ .( √ )
[解析]
因为x 2
+x+1= x+
{x| − 1 < x <
x2 +px−12
2}，则关于x的不等式
x+q
> 0的解集是(
A. −3, −2 ∪ 4, +∞
B. −3,2 ∪ 4, +∞
C. −3,0 ∪ 2,4
D. −∞, −2 ∪ 3,4
B
)
[解析] 由题意可得x 2 + px + q = x + 1 x − 2 = x 2 − x − 2，即p = −1，
<
≥
≤
常数，而且a ≠ 0.一元二次不等式中的不等号也可以是“___”“___”“___”等.
课前预习
知识点二 一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
x1 , x2
一般地，如果x1 < x2 ，则不等式 x − x1 (x − x2 ) < 0的解集是________，不等
−∞, x1 ∪ x2 , +∞
所以c = mna < 0，故B错误；
不等式cx 2 + bx + a < 0可化为mnax 2 − m + n ax + a < 0，即
(完整版)高中数学一元二次不等式及其解法-知识点剖析
一元二次不等式及其解法-知识点剖析一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax 2+bx+c>0（a>0）； （2）ax 2+bx+c<0（a>0）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2+bx+c=0的根确定.设Δ=b 2-4ac ，则： ①Δ>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的解x 1、x 2，则不等式（1）的解集为{x|x>x 2或x<x 1}，不等式（2）的解集为{x|x 1<x<x 2}；②Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的解，即x 1=x 2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x 1}，不等式（2）的解集为；③Δ<0时，方程ax 2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如ax 2+bx+c>0（≥0）或ax 2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定对应方程ax 2+bx+c=0的解； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集.二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 由下表可以看出ax 2+bx+c>0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆>，，00a ax 2+bx+c<0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.00a ，判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根 有两相异实根x 1，2=aacb b 242-±-有两相等实根x 1=x 2=-a b 2 没有实根一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c >0（a>0） {x|x>x 2或x<x 1}{x ∈R |x≠-ab2} Rax 2+bx+c <0（a>0）{x|x 1<x<x 2}φφ三、简单的分式不等式的解法 分式不等式同解不等式四、简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f （x ）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f （x ）最高次项的系数化为正数；（2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）；（4）根据曲线显现出的f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0.解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题?探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x 2-2x-1<0，需首先转化为x 2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论.例如：解关于x 的不等式ax 2-（a+1）x+1<0.首先对a 进行讨论，若a=0，原不等式⇔-x+1⇔{x|x>1}；若a<0，原不等式⇔（x-a 1）（x-1）>0⇔{x|x<a 1或x>1}； 若a>0，原不等式⇔（x-a1）（x-1）<0.①其解的情况应由a1与1的大小关系进行确定，故当a=1时，式①⇔{x|x ∈}；当a>1时，式①⇔{x|a1<x<1}；当0<a<1时，式①⇔{x|1<x<a1}.注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解.例如：解不等式1x 15x ++<3，应先将不等式转化为1x 15x ++-3<0，即1x 1)2(x +-<0，可化为⎩⎨⎧>+<-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+>-0101x ，x ，（即化为不等式①），也可直接等价于2（x-1）（x+1）<0（转化为不等式）来求.还应注意对含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式1x 15x ++≤1⇔1x 1)2(x +-≤0⇔⎩⎨⎧>+≤-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+≥-0101x ，x 或直接等价于()()⎩⎨⎧≠+≤+-.010112x ，x x 练习请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸.要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?图3-2-4。
高中数学同步教学课件 一元二次不等式及其解法
内容索引
一、一元二次不等式的概念
二、一元二次不等式的解法
三、含参数的一元二次不等式的解法
随堂演练
课时对点练
一
一元二次不等式的概念
问题1
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的
长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的
考虑
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两不同实根(Δ>0),两相同实根
(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.
跟踪训练 3 解关于x的不等式(1)12x2-ax>a2.
原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集
为空集.
(4)三个二次间的关系:ax2+bx+c=0(a≠0)的根⇔y=ax2+bx+c(a≠0)的
图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 ;ax2+bx+c>0(a>0) 的 解 集 ⇔y=ax2+bx+c
0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次
不等式的 解集 .
<<<
注
意
点
一元二次不等式中必须保证a≠0.
例 1 下列不等式是一元二次不等式的为
初高中衔接一元二次不等式及其解法
2
复习提问
立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
复习一元二次方程与一元二次函数有关知识：
(一)一元二次方程的解法 ax2 bx c 0(a 0)
（1）因式分解法:（十字相乘）
a 0 2 b 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0
练习四：已知关于x的不等式：
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于 a 2 0 a 2 即 2 ( a 2) 4( a 2) 0 (a 2)(a 6) 0
解集:“大于取两 边”。
1 则不等式的解集为 : x 2} {x| 2
图象为:
-2
例2.若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
注:开口向上,
不等式小于0的
3
解集:“小于取中间”。
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是:
小结
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根(若有根).
作业(写在作业本上)
写出下列一元二次不等式的解集:
⑴ 3x2 7 x 10 ≤ 0
10 x 1 ≤ x ≤ 3
3 x x 1 或 x 2
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
高一数学一元二次不等式及其解法PPT学习教案
＞0 y
＝0 y
＜0 y
x1 O x2 x O x1=x2 x
有两不等 有两相等 实数根 实数根
Ox
没有实数根
{ x | x x1, { x | x b }
x x2}
2a
{x | x1 x x2}来自第17页/共25页将下表填充完整:
＝b2－4ac
y=ax2bxc (a＞0)的图象
ax2bxc=0 (a＞0)的根 ax2bxc＞0 (a＞0)的解集 ax2bxc＜0 (a＞0)的解集
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＜0 y
Ox
将下表填充完整:
＝b2－4ac
y=ax2bxc (a＞0)的图象
ax2bxc=0 (a＞0)的根 ax2bxc＞0 (a＞0)的解集 ax2bxc＜0 (a＞0)的解集
＞0 y
＝0 y
x1 O x2 x
有两不等 实数根
O x1=x2 x
{ x | x x1, x x2} {x | x1 x x2}
＞0 y
＝0 y
＜0 y
x1 O x2 x O x1=x2 x
有两不等 有两相等 实数根 实数根
Ox
没有实数根
{ x | x x1, { x | x b }
x x2}
2a
R
{x | x1 x x2}
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将下表填充完整:
＝b2－4ac
y=ax2bxc (a＞0)的图象
ax2bxc=0 (a＞0)的根 ax2bxc＞0 (a＞0)的解集 ax2bxc＜0 (a＞0)的解集
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O x1=x2 x
第11页/共25页
＜0 y
Ox
将下表填充完整: