【6月15日太原三模理数】2020年6月山西省太原市高三年级模拟试题(三)理科数学试卷含答案
第 5 页 共 5 页 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解（1）因为6cos ρθ=，所以2
6cos ρρθ=，
所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分 直线l 的参数方程3πcos ,43π
2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)
，即,222
x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，
………………………………5分
（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程得22
32922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
整理，得2
40t +=+
，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分 1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，
所以12MA MB t t +=+12()t t =-+
=, MA MB
⋅||21t t ==4, 所以11MA MB +=M M M A MB A B +
⋅4
=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，
化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩
⎨⎧<->4122
x x , ………………………………3分 解得123-<<-x 或21≤≤-x 或2
52<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)2
5,23(-. ……………………5分 （2）根据题意，得2
24m m -+的取值范围是()f x 值域的子集. 33)1(4222≥+-=+-m m m ，
又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，
……………………………………8分
故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。
【附28套精选模拟试卷】山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z满足2ziz=+，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．11(,)22- B．(1,1)- C．11(,)22- D．(1,1)-2.已知全集U R=，集合{|(2)0}A x x x=+<，{|||1}B x x=≤，则下图阴影部分表示的集合是（）A．(2,1)- B．[1,0][1,2)-U C．(2,1)[0,1]--U D．[0,1] 3.已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(4)0.1587P X≥=，则(24)P X<<=（）A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.92074.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得512x=.3232++L（）A.3 B．1312C.6 D．225.执行下面的程序框图，如果输入的3a=，则输出的n=（）A ．2B ．3 C.4 D ．56.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r，则||AP uuu r 的取值范围为（ ）A.21033[2,]+ B ．8[2,]3 C.213[0,]3 D ．213[2,]3 7.已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3 4 5 6 y25304045由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ） A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．33．2621 D ．259.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.2n n S T = B ．21n n T b =+ C. n n T a > D ．1n n T b +<10.已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >>11.已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．5B ．43D ．8312.已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为（ ） A．12- B．12-C.1 D1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．14.21sin )x dx -⎰= ．15.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ．16.已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知(3,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c . 18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁合计（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；20()P K k ≥0.15 0．10 0.05 0.01 0k2.0722.7063.8416.63519.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20. 已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=u u u r u u u r，证明：直线l 经过一个定点.21. 已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =α的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠.（1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理） 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5BCAAC 6-10DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π15.13416.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）Q 2()cos cos 333x x xf x m n =⋅=+，212(cos 1)323x x =++=21sin()362x π++， ∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）Q (2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，Q 0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=，∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin 3c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下：假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.297 2.706>. 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，22022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ，Q E 是BC 的中点，∴//EF AB ， Q 111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，Q D 是1AA 的中点，∴1//DF A C ，∴//DF 平面11A B C ， ∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ，Q 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ， ∴1A O OB ⊥，1A O OC ⊥，Q 160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，13OA =， Q 2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得， 2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，∴3OB =，90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，(3,0,0)B ，1(0,0,3)A ，13(0,,)22D -，33(,,0)22E ， 设111(,,)m x y z =u r是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rr u u u r∴111130,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，∴(1,3,1)m =-u r ， Q 33(,2,)22DE =-u u u r ，∴cos ,m DE <>=u r u u u r 2330||||m DE m DE ⋅-=u r u u u ru r u u u r ，∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为2330.20.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=， ∴12242kmx x k-+=，2122m x x k ⋅=. Q 5OA OB ⋅=u u u r u u u r ，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m km k +=，∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.Q 0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->， ∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x <<'()0h x >，则1x >+∴()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增；∴()h x 有极小值(1(1ln )h a a +=-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1+上递减，在(1)+∞上递增，且有极小值(1(1ln )h a a +=-，①当a e >时，(1(1ln )0h a a +=-<，∴(1(1f g <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立；②当0a e <≤时，(1(1ln )0h a a +=-≥，2()21f x x x =-+在1x =+)y a =-，令()())]u x f x a =--，1x >，则2()[(10u x x =-≥，∴)()a f x -≤，令())()v x a g x =--=)2ln(1)a a x ---，1x >，则(1'()1x v x x -+=-，令'()0v x <，则11x <<+'()0v x >，则1x >+∴()(1v x v ≥+=(1ln )0a a -≥，∴())g x a ≤-，∴())()g x a f x ≤-≤，当k =m a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=.23. 解：（1）Q 1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩ ∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥， 高考模拟数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分.其中（1)〜（21)小题为必做题，（22)〜（24)小题为选做题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡_并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. (1) 复数=(A) 1+2i (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i (2) 在的展开式中，常数项为(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84 (3) 已知命题则为(A) (B)(C)(D)(4) 函数的图象可以由函数的图象(A)向左平移个单位得到（B)向右平移-个单位得到 (C)向左平移.个单位得到（D)向右平移个单位得到(5) 已知，则=(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5(6) 等比数列{a n}的公比，则=(A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(A)(B)(C) 2(D) 8(8) 算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n为(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11(9) 在中，，则=(A) 10 (B) -10 (C)，4 (D) 4(10) 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(A) (B) (C) (D)(11) 抛物线的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1, 2).若点F恰为的重心，则直线BC的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0(C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0(12) 定义在R上的奇函数满足，当时，.又,则集合等于(A) (B)(C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 设变量x、y满足约束条件则的最大值为_______.(14) 函数的值域是______.(15) 在数列中，，则数列的通项=______.(16) 的一个顶点P(7,12)在双曲线上，另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦点，则的内心坐标为______.三、解答题：本大-共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.(17) (本小题满分12分）在，中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=2B.(I )若，求的值；(I I)若C为钝角，求的取值范围.(18) (本小题满分12分）某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：(I)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)进一步调查：(I )从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；(II )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为,求的分布列和均值.附：(19) (本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B l C1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.(I)求证：CN//平面AMB1;(II)若二面角A-MC为45°,求CC1的长.(20)(本小题满分12分）中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且(I )求椭圆E的方程；(II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.(21) (本小题满分12分)设函数.(I )讨论f(x)的单调性；(I I)( i )若证明：当x>6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22) (本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.(I )求证：QM=QN;(I I)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.(23) (本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，(I )求曲线C的直角坐标方程：(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设.(I)求不等式的解集S(II )若关于X不等式有解，求参数T的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：（13）5 （14）(－1，1) （15）n2（16）(1， 3 2)三、解答题：（19）解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ． ∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 12AA 1，∴CM ∥＝NP ， ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ． ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1， ∴CN ∥平面AMB 1．…4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz ，使x 轴、y 轴、z 轴分别与NA →、CN →、CC 1→同向． 则C(0，0，0)，A(1，3，0)，B(－1，3，0)， 设M(0，0，a)（a ＞0），则B 1(－1，3，2a)， MA →＝(1，3，－a)，MB 1→＝(－1，3，a)， CM →＝(0，0，a)，…6分设平面AMB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·MA →＝0，n ·MB 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －az ＝0，－x ＋3y ＋az ＝0， 则y ＝0，令x ＝a ，则z ＝1，即n ＝(a ，0，1)． …8分设平面MB 1C 的一个法向量是m ＝(u ，v ，w)，则m ·MB 1→＝0，m ·CM →＝0， 即⎩⎨⎧－u ＋3v ＋aw ＝0，aw ＝0，则w ＝0，令v ＝1，则u ＝3，即m ＝(3，1，0)． …10分C A 11C 1MNPxz y所以cos 〈m ，n 〉＝3a2a 2＋1， 依题意，〈m ，n 〉＝45︒，则3a 2a 2＋1＝22，解得a ＝2， 所以CC 1的长为22． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1（a ＞b ＞0），则4a 2＋4b2＝1， ① …1分记c ＝a 2－b 2，不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则CF 1→＝(－c －2，－2)，CF 2→＝(c －2，－2)，则CF 1→·CF 2→＝8－c 2＝2，c 2＝6，即 a 2－b 2＝6．②由①、②得a 2＝12，b 2＝6． 所以椭圆E 的方程为x 212＋y26＝1．…4分（也可通过2a ＝|CF 1→|＋|CF 2→|求出a ） （Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 代入椭圆E 方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0． 由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)，得m 2＜18． 记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．…6分圆P 的圆心为(x 1＋x 2 2，y 1＋y 2 2)，半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2当圆P 与y 轴相切时，r ＝|x 1＋x 2 2|，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24，即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18．…9分当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4； 同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－e －x[x 2－(a ＋2)x ＋2a]＝－e －x(x －2)(x －a)．…1分（1）若a ＝2，则f '(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分（2）若0≤a ＜2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，a) a (a ，2) 2 (2，＋∞)f '(x) －＋－f(x)↘极小值ae－a[↗极大值(4－a)e－2↘ 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a ，2)单调递增． …3分（3）若a ＞2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，2) 2 (2，a) a (a ，＋∞)f '(x)－＋－f(x)↘极小值(4－a)e－2↗ 极大值ae－a↘ 此时f(x)在(－∞，2)和(a ，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．…4分（ⅱ）根据（Ⅰ），（1）若a ＝2，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…7分（2）若0≤a ＜2，令⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜2，ae －a＜a ，(4－a)e －2＞a ，解得0＜a ＜4e 2＋1．……………………8分当x ＞6时，f(x)＝e －x(x 2－ax ＋a)＝e －x[x 2－a(x －1)]＜x 2e －x＜ 1 x， 则当x ＞6且x ＞ 1a 时，f(x)＜a ．又f(0)＝a ，所以当0＜a ＜4e 2＋1时，方程f(x)＝a 有3个不同的实数解．10分 （3）若a ＞2时，由于f(a)＝ae －a＜a ，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…11分综上，a的取值范围是(0，4e2＋1)．…12分高考模拟数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
山西省太原市2020届高三年级数学理科模拟试题(三) (含答案)
第 I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.己知集合A = { xlx2 - 3x + 2 注0},B = { xix + 1 注α｝，若A UB=R ，则实数α的取值范围是
A.[2, +oo)
B. ( -oo,2]
A. 0
B. 1
C.2
D. 3
，
高三数学（理） 第3页（共8页）
。
高三数学（理） 第4页（共8页）
太原市2020年高三年级模拟试题（三）
数 山｛子 试卷（理科）
三、解答题：共70，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17：时21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
高三数学（理） 第1页（共8页）
4.已知 sinα － cosα ＝ 〉豆，αε （0， τ ），则 tana =
A.-1
B －－一－ 2
c.
一v'－2
2
D.1
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题，松
长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如
图是源于其思想的一个程序框图
答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
’ log1x(O < x 运 11 I I
111二 13.已知函数J(x）＝� 2 , x2 - 1(x > 11
则11 \ \ IS －
．
＿付 14.�ABC的内角 A,B,C的对边分别为α，b 'c. 若A腻的面积为
2020届山西省太原市高三模拟(三)数学(理)试题
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}，B ＝{x |x +1≥a }，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. [2，+∞）B. （﹣∞，2]C. [1，+∞）D. （﹣∞，1]2.若复数z 满足(12)z i i =-⋅，则复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知1a b >>，0c <，则（ ） A.c c a b< B. a b c c < C. c c a b <D.()()log log a b b c a c ->-4.已知sin cos αα-=，α∈(0, π)，则tan α=A. -1B. C.2D. 15.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于A. 5B. 4C. 3D. 26.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ） A. 3- B. 3 C. 353-D. 3或353-7.平面向量a r ，b r共线的充要条件是（ ）A. a b a b ⋅=r r r rB. a r ，b r两向量中至少有一个为零向量C. ∃λ∈R ，b a λ=r rD. 存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=r r r8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.16B.14C.13D.129.把函数f（x ）＝sin 2x 的图象向右平移12π个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象.则g （x ）的解析式是（ ） A. ()212g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()12212g x cos x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C. ()112262g x cos x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ D. ()112262g x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增，若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,2C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,2 11.已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径圆过点M ，则y 0的值为（ ）A. ﹣1B. ﹣2C. ﹣4D. 不能确定12.点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为)2224a b c --，则A =____________.的15.设F 1，F 2分别是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为_____. 16.正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是12⎤⎥⎣⎦； ③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足121111,,2n n n n b b a b b nb ++==+=. （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设12n n nc b =，求数列{c n }前n 项和S n . 18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[]25,85上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表：（1）填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；的（2）若对年龄在[)45,55，[)25,35的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望 参考公式和数据()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ； （2）求二面角111A B C A --的余弦值.20.已知椭圆C ：221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值.21.已知函数2()ln ()f x x x ax a R =-∈.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点()0,2M ，倾斜角为3π4． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+的值． 【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()234m m f x -+=，求实数a 的取值范围.。
2020年太原市高三三模考试数学(理)参考答案
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（理）参考答案及评分标准13. 8 14．23π15． 16． ①②③④三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）解（1）由已知得，1221a b b b +=，所以11a =． ………………1分 又因为{}n a 是公差为1的等差数列，所以n a n =． ………………3分 所以1(1)n n n b nb ++=，所以数列{}n nb 是常数数列， 所以11n nb b ==，所以1n b n=． ………………6分 （2）由已知得,2n nnc =， ………………7分 所以231232222n n nS =++++ , 23412312222n n n -=+++++234111*********n n n n +=+++++- = 11(1)22112n --12n n +- 1212n n ++=-, ...11分222n n n S +∴=-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（1）2×2列联表：………………4分2250(297113) 6.272 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. ………………5分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. ………………6分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 的分布列为………………10分 所以X 的数学期望是 ………………12分19.（本小题满分12分）证明（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ， 设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，..............2分 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =， BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥. ................................................4分 又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，.................................5分又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，.................................................6分（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，12CO CE ==，BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，..........7分建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x，得(6,4,m =-, .................................................9分设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y (0,21)n =-,，.........................................11分9cos ,17102m n m n m n⋅∴<>===⋅，由可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为17. ...........12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ····································································· 8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································· 12分21.（本小题满分12分） 解：（1）)0(12ln 21ln )('>+-=-⋅+=x ax x ax x x x x f ，…………………………1分 令,0)'=x f （得1ln 2x a x +=，记1ln (),xQ x x +=则2ln )('xx x Q -=， 令0)('>x Q ，得10<<x ；令0)('<x Q ，得1>x ，)(x Q ∴在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数，且()=(1)1Q x Q =最大， ∴当,12>a 即21>a 时，0)('=x f 无解，)(x f ∴无极值点， 当,12=a 即21=a 时， '()0f x ≤恒成立，)(x f ∴无极值点， 当120<<a ，即210<<a 时，0)('=x f 有两解，)(x f ∴有2个极值点 当02≤a 即0≤a 时，0)('=x f 有一解，)(x f 有一个极值点. 综上所述：当12a ≥,()f x 无极值点；210<<a 时，()f x 有2个极值点； 当0a ≤，()f x 有1个极值点. …………………………6分（2）x ax x x x g --=2ln )(，)0(2ln )('>-=x ax x x g ，令0)('=x g ，则02ln =-ax x ，xxa ln 2=∴， 记x x x h ln )(=，则2ln 1)('x xx h -=， 由,0)('>x h 得e x <<0，由0)('<x h ，得e x >， )(x h ∴在),0(e 上是增函数，在),(+∞e 上是减函数，,1)()(max e e h x h ==当e x >时，0)(>x f ，∴当e a 120<<即ea 210<<时，)(x g 有2个极值点21,x x . ……………7分 由⎩⎨⎧==22112ln 2ln ax x ax x ，得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+ ，1212ln()2x x a x x ∴=+ ， …………………8分 不妨设,21x x <则211x e x <<<，e x x x >>+∴221 ， …………………9分又)(x h 在),(+∞e 上是减函数，1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++ ， ……………………11分1212ln()ln()x x x x ∴+< ，2121x x x x <+∴ . …………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈R|x2−3x−4≤0}，B={x∈R|x≤a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围为()A. (4,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4)D. (−∞,4]2.已知复数z的共轭复数z=1+2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．()A. 正确B. 错误3.若6<a<10，a2≤b≤2a，c=a+b，则c的取值范围是()A. 9≤c≤18B. 15<c<30C. 9≤c≤30D. 9<c<304.已知α∈(π4,3π4)，sin2α=−2425，则tanα等于()A. 43B. −34或−43C. −43D. 34或−435.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于()A. 2B. 3C. 4D. 56.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=()A. 13B. −13C. 19D. −197.设向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(x,4)，则“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派3位专家对2个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. 16B. 14C. 13D. 129.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx10.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(14)=1，当x<0时，f(x)=log2(−x)+m，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 211.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△ABO的面积为()A. 5B. 52C. 32D. 17812.点M在曲线G：y=3ln x上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x 交于点N，若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={2x(x<−1),3x−2(x≥−1),则f(f(−2))=_______．14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c其面积为S，且(b+c)2−a2=4√3S，则角A=______．15.设F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AF2|，则双曲线的离心率为______．16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F//平面A1BE，记B1与F的轨迹构成的平面为α．①∃F，使得B1F⊥CD1②直线B1F与直线BC所成角的正切值的取值范围是[√24,1 2 ]③α与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD−A1B1C1D1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是_______.(写出所有正确的命题序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，数列{b n}满足b1=1，(1+log2a n)b n+1=n(b n+2)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．18.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：表(1)并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示：成功完成时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40]人数101055表(2)(Ⅰ)将表(1)补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？(Ⅱ)现从表(2)中成功完成时间在[0,10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0,10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．，其中n=a+b+c+d．附参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为1的菱形，∠A1B1B=60°，E为A1C1的中点，AC1=B1C1=1，A1C1=BC1，A1B∩AB1=O．(1)证明：平面AB1C1⊥平面AA1B1B；(2)求二面角A−OE−C的余弦值．20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．21.已知函数f(x)=14x2−4x+ln(x+14)，判断函数f(x)的单调性并求其极值．22.已知过点P(x0,0)的直线l的倾斜角为π，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极6轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ．(1)求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的一个参数方程；(2)若直线l和曲线C交于A、B两点，且|PA|⋅|PB|=2，求实数x0的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|(1)解不等式f(x)≤x+2;(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在互x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x∈R|x2−3x−4≤0}={x∈R|−1≤x≤4}=[−1,4]；B={x∈R|x≤a}，若A∪B=B，则A⊆B；∴实数a的取值范围是[4,+∞)．故选：B．解不等式求得集合A，根据A∪B=B知A⊆B，从而求得a的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：本题主要考查复数的代数表示以及几何意义，属于基础题．求出复数z的对应点的坐标，即可得到选项．解：因为复数z=1+2i，所以z=1−2i对应的点的坐标为(1,−2)，z在复平面内对应的点位于第四象限，故错误．故选B．3.答案：D解析：a2≤b≤2a，则a2+a≤b+a=c≤2a+a，即3a2≤c≤3a，又6<a<10，则{c>9c<30，故选D．4.答案：C解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.由条件得sinαcosα=−1225，利用sin 2α+cos 2α=1，即可得结果．解：因为sin2α=−2425，所以sinαcosα=−1225， 即sinαcosαsin 2α+cos 2α=−1225，所以有tanαtan 2α+1=−1225， 解得tanα=−34或−43． 又α∈(π4,3π4)，所以|tanα|>1，故tanα=−43． 故选C ．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得 a =4，b =2，n =1， a =6，b =4，不满足循环的条件a ≤b ，执行循环体，n =2，a =9，b =8 不满足循环的条件a ≤b ，执行循环体，n =3，a =13.5，b =16 满足循环的条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为3． 故选：B ．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到。
2020年山西省太原市高考数学(理科)三模试卷 (解析版)
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+1210．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[12，2]B．[1，2]C．(0，12)D．（0，2]11．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定12．点M在曲线G：y＝3lnx上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP→=OM→+ON→3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =1nn，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈R ）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论． 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a →，b →共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+12【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数f（x）＝sin2x=12−12cos2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）=12−12cos（2x−π6）的图象，故选：C．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②， ①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x 可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． 可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3， 由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ， 又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率． 解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1， ∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n； （2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n ]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1， ∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝29 c ＝3 32 不了解 b ＝11 d ＝7 18 合计401050计算K 2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅱ）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），B 1(0，6，2√2)， ∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y 2x 1−x 2═−3m4n ，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =|3m 2+4n 2|√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1，故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y＝2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g'（x）＝lnx﹣2ax（x＞0），令g'（x）＝0，则lnx﹣2ax＝0，所以2a=lnxx，记h（x）=lnxx，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max＝h（e）=1e，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜1e即1＜a＜12e时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到2a=ln(x1x2)x1+x2，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．解：（1）f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则Q'（x）=−lnxx2，令Q'（x）＞0，得0＜x＜1；令Q'（x）＜0，得x＞1，∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，∴当2a＞1，即a＞12时，f'（x）＝0 无解，∴f（x）无极值点，当2a＝1，即a=12时，f'（x）＝0有一解，2a≥1+lnxx，即lnx﹣2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0）， 令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnxx， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0， ∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2）， ∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数， ∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9．直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(−√22t−3)2+(2+√22t)2=9，整理得t2+5√2t+4=0，所以：t1+t2=−5√2，t1t2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。
2020届山西省太原市高三模拟(三)数学(理)试题(wd无答案)
2020届山西省太原市高三模拟（三）数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知集合 A＝{ x| x 2﹣3 x+2≥0}， B＝{ x| x+1≥ a}，若A∪ B＝ R，则实数 a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1](★) 2. 若复数 z满足，则复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 已知，，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知，(0, π)，则=A．1B．C．D．1(★★) 5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为3，1，则输出的等于A．5B．4C．3D．2(★★) 6. 已知等比数列的前项和为，若，且，则（）A．B．C．D．或(★★) 7. 平面向量，共线的充要条件是（）A．B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，(★★★) 8. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 把函数 f（ x）＝ sin 2 x的图象向右平移个单位后，得到函数 y＝ g（ x）的图象.则 g（ x）的解析式是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数是定义在 R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数 a满足，则 a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知抛物线 C： x 2＝8 y，过点 M（ x 0， y 0）作直线 MA、 MB与抛物线 C分别切于点 A、 B，且以 AB为直径的圆过点 M，则 y 0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定(★★★) 12. 点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题(★) 13. 已知函数则_____.(★★) 14. 的内角的对边分别为.若的面积为，则____________.(★★) 15. 设 F 1， F 2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点 P，使∠ F 1 PF 2＝60°，且| PF 1|＝2| PF 2|，则双曲线的离心率为_____.(★★★★) 16. 正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为．① ，使得；②直线与直线所成角的正切值的取值范围是；③ 与平面所成锐二面角的正切值为；④正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题(★★★) 17. 已知{ a n }是公差为1的等差数列，数列{ b n }满足.（1）求数列{ b n }的通项公式； （2）设，求数列{ c n }的前 n 项和 S n .(★★★) 18. 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表：年龄频数510101555了解4581221（1）填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计（2）若对年龄在， 的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考公式和数据，其中 .0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(★★★) 19. 如图，在三棱柱中，已知四边形 为矩形， ，，，的角平分线交于.（1）求证:平面 平面 ；（2）求二面角的余弦值.(★★★★) 20. 已知椭圆 C ：（ a ＞ b ＞0）的焦距为2，且过点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知△ BMN 是椭圆 C 的内接三角形，若坐标原点 O 为△ BMN 的重心，求点 O 到直线 MN 距离的最小值.(★★★★) 21. 已知函数.（1）讨论函数的极值点个数； （2）若有两个极值点，试判断与的大小关系并证明.(★★) 22. 已知曲线 的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 过点，倾斜角为．（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，求的值．(★★★) 23. 已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 ，求实数 a 的取值范围.。
2020-2021学年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)及答案解析
山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．已知集合 A={x∈Z||x﹣1|<3}，B={x|x2+2x﹣ 3≥ 0}，则 A∩? R B=（）A．（﹣ 2，1）B．（ 1， 4） C．{2，3} D．{﹣ 1，0}2．如果复数（其中 i 为虚数单位， b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于（）A．﹣ 6 B． C． D． 23．设等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 2a6=6+a7，则 S9的值是（）A． 27 B． 36 C．45 D． 544．下列命题错误的是（）A．命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则x2+y2≠ 0”B．若命题 p：? x0∈ R， x0+1≤ 0，则￢ p：? x∈R，x+1>0C．△ ABC中， sinA>sinB 是 A>B 的充要条件D．若向量，满足 ? < 0，则与的夹角为钝角5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）6．若用如图的程序框图求数列{ } 的前 100 项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）6．若用如图的程序框图求数列{ } 的前 100 项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）33A ． 4cmB ． 6cmC ．A ．n ﹣ 1B ．nC ．2n D． n 2A ． C ． B ．S=S+ ， i ≥101？ D ． S=S + ，i ≥101？ 7．已知函教 f （x ） =Asin ωx+φ）（ A> 0， ω>0）的图象与直线 y=b （ 0<b<A ）的三个相邻交点 的横坐标分别是 2，4，8，则 f （ x ）的单调递增区间是（ A ． ［6k π，6k π+3］， k ∈ZB ．［6k ﹣3，6k ］，k ∈ZC ． ［6k ， 6k+3］，k ∈ZD ．［6k π﹣3，6k π］，k ∈Z 8． 已知实数 x ，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ A ．﹣ 2 B ． 2 C ． 2 D ．1 9． 已知△ ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O ，且 3 ，则△ ABC 的面积为（ A ． B ． D ．﹣ ﹣C ．10．双曲线 C 1： 2 =1（a>0，b>0）与抛物线 C 2：y 2=2px （p>0）相交于 A ，B 两点， 共弦 AB 恰过它们公共焦点 F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（， ） B ．（ ， ） C ．（ ， ） D ．（0， A ．（ ） a 1=1， a n +a n+1=（ ） 11．已知 {a n }满足 n（n ∈N *），S n =a 1+4a 2+42a 3+⋯+4n ﹣1a n ，则 5S n ﹣ 4na n =（12．已知 f （ x ）是定义在（ 0， +∞）上的单调函数，且对任意的log 2x]=3，则方程 f （x ）﹣ f ′（ x ） =2 的解所在的区间是（ ） A ．（0， ） B ．（ ， 1） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13．（x+ ）（2x ﹣ ）5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为．14．曲线（f x ）=xlnx 在点 P （1，0）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是15．已知 A 、 B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， A 不排两端， 3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 ．16．在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E 是棱 CC 1 的中点， F 是侧面 BCC 1B 1内的动点，且 A 1F ∥平面D 1AE ，则 A 1F 与平面 BCC 1B 1 所成角的正切值的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17．已知 a 、b 、c 分别是△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边，且 2asin （C+ （ 1）求角 A的值：（11）若 AB=3， AC 边上的中线 BD 的长为 ，求△ ABC 的面积．18．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系， 随机抽取 50 名学生， 得到如表的数据表：倾向 “平面几何选讲 ” 倾向 “坐标系与参数方程 ” 倾向 “不等式选讲 ” 合计 男生 16 4 6 26x ∈（ 0， +∞），都有 f[f （ x ）﹣） = b ．女生 4 8 12 24合计20 12 18 50（Ⅰ ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的 50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取 8 人进行问卷．若从这 8 人中任选 3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附： K2= ．2P（ k2≤k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82819．在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，且 PA⊥平面 ABCD，点 M 是棱 PA 的中点．（1）若 PA=4，求点 C到平面 BMD 的距离；（2）过直线 BD且垂直于直线 PC的平面交 PC 于点 N，如果三棱锥 N﹣BCD的体积取到最大值，求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值．220．已知抛物线 C：y2=2px经过点 M（2，2），C在点 M 处的切线交 x轴于点 N，直线l1经过点 N 且垂直于 x 轴．（Ⅰ ）求线段 ON 的长；（Ⅱ）设不经过点 M和 N的动直线 l2： x=my+b交 C于点 A和 B，交 l1于点 E，若直线MA、 ME、 MB 的斜率依次成等差数列，试问： l2 是否过定点？请说明理由．21．已知函数 f（ x） =xe tx﹣ e x+1，其中 t∈ R， e是自然对数的底数．（Ⅰ ）若方程 f（x）=1 无实数根，求实数 t 的取值范围；（Ⅱ ）若函数 f（x）在（ 0，+∞）内为减函数，求实数 t 的取值范围．请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4-1 ：几 何证明选讲 ]22．如图，△ ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ，过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P ，∠ BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D 、E ，若 PA=2PB=10． （1）求证： AC=2AB ； （2）求 AD?DE 的值．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线Ⅰ ）化 C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若 C 1上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C 2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C 3： ρ（cos θ ﹣2sin θ）=7 距离的最小值．[选修 4-5 ：不等式选讲 ] 24．已知函数 f （ x ） =|x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥ 6； （Ⅱ ）若 |a|<1，|b|<1，且 a ≠0，求证：．t 为参数）， θ为参数）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 .1．已知集合 A={x ∈Z||x ﹣1|<3}，B={x|x 2+2x ﹣ 3≥ 0}，则 A ∩? R B=（ ） A ．（﹣ 2，1） B ．（ 1， 4） C ．{2，3} D ．{﹣ 1，0} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出 A 与B 中不等式的解集确定出 A 与 B ，根据全集 R 求出 B 的补集，找出 A 与B 补 集的交集即可．【解答】解：由 A 中不等式解得：﹣ 2<x<4，即 B={﹣1，0，1，2，3}， 由 B 中不等式变形得： （x+3）（ x ﹣1）≥ 0，解得： x ≤﹣ 3，或 x ≥1，即 B=（﹣ ∞，﹣ 3]∪[1，+∞）， ∴? R B=（﹣ 3，1）， 则 A ∩（? R B ） ={﹣ 1， 0}． 故选： D ．∴b=2．如果复数（其中 iC ．为虚数单位， b 为实数）的实部和虚部互为相反数， 那么 b 等于（ ）考点】复数代数形式的乘除运算．分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求 b 的值．==A ．﹣ 6D ．2， b 为实数）的实部和虚部互为相反数故选： C．3．设等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 2a6=6+a7，则 S9的值是（）A． 27 B． 36 C．45 D． 54 【考点】等差数列的前 n 项和．【分析】由等差数列的性质结合已知求得a5=6，然后直接代入项数为奇数的等差数列前n项和公式得答案．【解答】解：在等差数列 {a n}中，∵2a6=a5+a7，又由已知 2a6=6+a7，得 a5=6 ，∴S9=9a5=54．故选： D．4．下列命题错误的是（）A．命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则x2+y2≠ 0”B．若命题 p：? x0∈ R， x0+1≤ 0，则￢ p：? x∈R，x+1>0C．△ ABC中， sinA>sinB 是 A>B 的充要条件D．若向量，满足 ? < 0，则与的夹角为钝角【考点】命题的真假判断与应用．【分析】 A．根据逆否命题的定义进行判断，B．根据含有量词的命题的否定进行判断， C．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，D．根据向量数量积以及夹角关系进行判断．【解答】解： A．命题“若 x2+y2=0，则 x=y=0”的逆否命题为“若 x，y 中至少有一个不为 0，则 x2+y2 ≠0”，正确为真命题，B．若命题 p：? x0∈ R， x0+1≤ 0，则￢ p：? x∈ R， x+1>0，命题为真命题，C．△ ABC中，sinA> sinB等价为 a>b，等价为 A>B，则△ ABC中， sinA>sinB是 A> B 的充要条件为真命题．D ．当向量 ， 反向共线时， 夹角为 180°，满足 ? <0，但 与 的夹角为钝角错误， 故 D 错误， 故选： D考点】由三视图求面积、体积．解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为 2cm ，三棱锥的高为 2cm ， 2cm ，选： C ．6．若用如图的程序框图求数列 { } 的前 100 项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）5．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（33A ． 4cmB ． 6cmD ．分析】 根据几何体的三视图， 得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即 ∴该组合体的体×2×2×2×2=考点】程序框图．的条件．则赋值框内应填： S=S+1，步长值为 1，故最后一次进行循环时 i 的值为 100， 即当 i ≥101 时，满足判断框中的条件，退出循环， 故判断框中的条件应为 i ≥101． 故选： B ．7．已知函教 f （x ） =Asin （ ωx+φ）（ A> 0， ω>0）的图象与直线 y=b （ 0<b<A ）的三个相邻交点 的横坐标分别是 2，4，8，则 f （ x ）的单调递增区间是（ ） A ．［6k π，6k π+3］， k ∈Z B ．［6k ﹣3，6k ］，k ∈Z C ． ［6k ， 6k+3］，k ∈Z D ．［6k π﹣3，6k π］，k ∈Z，i ≥101？｝的前 100 项和，数列 ｛｝的通项应为 的形式，从而可得赋值框内应填的内容，又最后一次进行循环时 i 的值为 100 ，结合框图即可得解判断框中解答】解：程序框图的功能是求数列+++的运算，数列 ｛ ｝的通项应为 的形式，又由框图可知，计数变量 i 的初值为 A ． C ．B ．S=S+ ， i ≥101？ D ． S=S分析】程序框图的功能是求+｝的前 100 项和S=考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．相邻交点的横坐标分别是 2，4， 8∴T=6= ∴ w= ，且当 x=3 时函数取得最大值×3+φ=∴φ=﹣∴f（x）∴6k≤ x≤ 6k+3 故选 C．，则 z=2x+y 的最小值是（）A．﹣ 2 B． 2 C． 2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当直线 z=2x+y 与圆在第三象限相切时，有最小值，从而解得．分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w 的值，再由当 x=3 时函数取得最大值解答】解：∵函教f（ x） =Asin（ωx+φ）（ A> 0，ω> 0）的图象与直线y=b（0<b<A）的三个=Asin( πx﹣解答】解：由题意作平面区域如下，当直线z=2x+y 与圆在第三象限相切时，有最小值，故 z=﹣ 2 ， 故选： A ．9．已知△ ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O ，且 3，则△ ABC 的面积为（ ）D ．③，这三个式子的两边分别平方即可求出 cos ∠AOB ，cos ∠BOC ，cos ∠AOC ，从而可以得出 sin ∠ AOB ，sin ∠ BOC ，sin ∠ AOC ，这样根据三角形的面积公式即可分别求出△ AOB ， △BOC ，△ AOC 的面积，从而得到△ ABC 的面积．考点】 向量的线性运算性质及几何意义． 分析】 由 可得到 ①，② ，结合图象可知， 解答】解：如图， ；∴由得：①，② ，③；①两边平方得：；∴；∴；∴OA⊥OB；同理②③ 两边分别平方得：∴；∴S△ABC=S △AOB+S△BOC+S△AO C= = ．故选： C．10．双曲线 C1：﹣ =1（a>0，b>0）与抛物线 C2： y2=2px（ p> 0）相交于 A，B 两点，公共弦 AB 恰过它们公共焦点 F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（ 0 ，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出 A 的坐标；将 A代入抛物线方程求出双曲线的三参数 a，b，c 的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（， 0）；双曲线的焦点坐标为（ c， 0）∴p=2c∵点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，∴将 x=c 代入双曲线方程得到 A（c，将 A 的坐标代入抛物线方程得到=2pc4 2 2 44a +4ab ﹣ b =0解得 =设倾斜角为 α，则 tan α= =< α< 故选： A ．11．已知 {a n }满足 a 1=1， a n +a n+1=（ ） （n ∈N ）， S n =a 1+4a 2+4 a 3+⋯+4 a n ，则 5S n ﹣4a n =（ ）2A ．n ﹣ 1B ．nC ．2nD ．n 2 考点】数列的求和．n*分析】 a n +a n+1=（ ）n （n ∈ N *），变形为： 列通项公式即可得出．n*解答】解：∵ a n +a n+1=（ ） n（n ∈ N *）， ∴a n+1﹣n∴ 5S n ﹣ 4 a n =n ． 故选： B ．=﹣=﹣，利用等比数∴数列 等比数列，首项为 ，公比为﹣ 1．∴a n =×（﹣1）n ﹣1n ﹣14 a n = +n ﹣1+（﹣ 1）n ﹣×4n．∴5S n =n ﹣=n+双曲线的渐近线的方a n+1nn ﹣ 14na n = +（﹣ 1）n ﹣12．已知 f （ x ）是定义在（ 0， +∞）上的单调函数，且对任意的log 2x]=3，则方程 f （x ）﹣ f ′（ x ） =2 的解所在的区间是（ ） A ．（0， ） B ．（ ， 1） C ．（1，2） D ．（2，3）【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．f （x ）﹣log 2x 为定值，可以设 t=f （ x ）﹣ log 2x ，则，由二分法分析可得 h （x ）的零点所在的区间为（ 1， 2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．解答】解：根据题意，对任意的 x ∈（ 0， +∞），都有 f[f （x ）﹣ log 2x]=3， 又由 f （ x ）是定义在（ 0，+∞）上的单调函数， 则 f （x ）﹣ log 2x 为定值， 设 t=f （ x ）﹣ log 2x ，则 f （x ） =log 2x+t ， 又由 f （t ） =3，即 log 2t+t=3，即 log 2x ﹣ =0，令 h （ x ） =log 2x ﹣ ，分析易得 h （1） =﹣ < 0，h （2）=1﹣>0，则 h （ x ） =log 2x ﹣ 的零点在（ 1， 2）之间，x ∈（ 0， +∞），都有 f[f （ x ）﹣分析】根据题意，由单调函数的性质，可得 f （ x ）=log 2x+t ，又由 f （t ） =3，即 log 2t+t=3， 解可得 t 的值，可得 f （ x ）的解析式，对其求导可 得 f ′（ x ）；将 f （x ）与 f ′（x ）代入 f （x ）﹣ fx ） =2，变形化简可得 log 2x =0，令 h （ x ）=log 2x ﹣ 解可得， t=2；则 f （ x ） 将 f （ x ） 可得 log 2x+2﹣ =2， =log 2x+2， 代入 f （x ）﹣ f ′（x ）=2，=log 2x+2，2）上，故选 C．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）513．（x+ ）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为40 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令 x=1，建立起 a 的方程，解出 a 的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+ ）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为 2，所以，令 x=1 则可得到方程 1+a=2，解得得 a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40 故答案为 4014．曲线 f（x）=xlnx在点 P（1，0）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是【分析】求出原函数的导函数，求得f′（ 1），写出切线方程的点斜式，求得l 与坐标轴围成的三角形，数形结合求得三角形的外接圆方程．【解答】解：由 f（x） =xlnx，得 f′（ x）=lnx+1，∴f′（1）=1，则曲线 f（ x） =xlnx 在点 P（ 1， 0）处的切线方程为 y=x﹣ 1．如图，切线 l 与坐标轴围成的三角形为 AOB，其外接圆的圆心为，半径为．∴三角形的外接圆方程是：．2）上，故答案为：．15．已知 A、 B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， A 不排两端， 3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 48 ．【考点】计数原理的应用．【分析】从甲、乙、丙三个大人中任取 2 人“捆”在一起，共有 C32A22=6种不同排法，则 A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有 6×2=12 种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入 B，即可得出结论．【解答】解：从甲、乙、丙三个大人中任取 2 人“捆”在一起，共有 C32A22=6 种不同排法，则 A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有6×2=12 种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入B，∴共有 12×4=48 种不同排法．故答案为： 48．16．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， E 是棱 CC1 的中点， F是侧面 BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则 A1F与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围是考点】直线与平面所成的角．分析】设平面 AD1E与直线 BC交于点 G，连接 AG、EG，则 G为 BC的中点，分别取B1B、B1C1 的中点 M、N，连接 AM、MN、 AN，可得到 A1F是平面 A1MN 内的直线，观察点F在线段 MN 上运动，即可得到 A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，从而得到 A 1F 与平面 BCC 1B 1 所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面 AD 1E 与直线 BC 交于点 G ，连接 AG 、EG ，则 G 为 BC 的中点 分别取 B 1B 、 B 1C 1的中点 M 、N ，连接 AM 、 MN 、 AN ，则 ∵A 1M ∥ D 1E ，A 1M? 平面 D 1AE ，D 1E? 平面 D 1AE ， ∴A 1M ∥平面 D 1AE ．同理可得 MN ∥平面 D 1AE ， ∵A 1M 、 MN 是平面 A 1MN 内的相交直线 ∴平面 A 1MN ∥平面 D 1AE ，由此结合 A 1F ∥平面 D 1AE ，可得直线 A 1F? 平面 A 1MN ，即点 F 是线段 MN 上上的动点． 设直线 A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角为 θ 运动点 F 并加以观察，可得当 F 与 M （或 N ）重合时， A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角等于∠ A 1MB 1，此时所成角 θ 达到最小值，满足 tan θ= =2；当 F 与 MN 中点重合时， A 1F 与平面 BCC 1B 1所成角达到最大值，满足 tan θ= =2∴A 1F 与平面 BCC 1B 1 所成角的正切取值范围为 [2，2 ] 故答案为： ．17．已知 a 、b 、c 分别是△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边，且 2asin （ 1）求角 A 的值：、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）11）若 AB=3， AC 边上的中线 BD 的长为 ，求△ ABC 的面积． 考点】解三角形．分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角 A 的值： 2）若 AB=3， AC 边上的中线 BD 的长为 ，求出 AC ，再求△ ABC 的面积． 解答】解：（ 1）∵ 2asin （ C+ ）= b ，∴ sinAsinC+ sinAcosC= sinAcosC+ cosAsinC ， ∴ sinAsinC= cosAsinC ，∴tanA= ， ∴A=60°； （2）设 AC=2x ， ∵AB=3，AC 边上的中线 BD 的长为 ，2∴13=9+x 2﹣2×3×x ×cos60°， ∴x=4， ∴AC=8，变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的 50名学生中， 按照分层抽样的方法， 从倾向“平面几何选讲 ”与倾向“坐标系与参 数方程 ”的学生中抽取 8 人进行问卷．若从这 8 人中任选 3人，记倾向 “平面几何选讲 ”的人数减 去与倾向 “坐标系与参数方程 ”的人数的差为 ξ，求 ξ的分布列及数学期望．倾向 “平面几何选讲 ” 倾向 “坐标系与参数方程 ” 倾向 “不等式选讲 ” 合计 男生 16 4 6 26女生 4 8 12 24 合计 2012185018．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断 “选课倾向与性别有关系∴2sinAsin C+sin （ A+C ），∴△ ABC 的面积 S=6 ．随机抽取 50 名学生， 得到如表的数据表： ”的两种， 作为选课倾向的附： K 2=．2P （ k ≤k 0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828考点】独立性检验的应用．Ⅱ ）倾向 “平面几何选讲 ”与倾向 “坐标系与参数方程 ”的学生人数的比例为 20：12=5：3，从中 抽取 8 人进行问卷，人数分别为 5，3，由题意， ξ=﹣ 3，﹣ 1，1，3，求出相应的概率，即可求 ξ 的分布列及数学期望．坐标系与参数方程 ”与倾向 “不等式选讲 ”，k=0，所以这两种选择与性 别无关；由题意， ξ=﹣ 3，﹣ 1， 1，3，则ξ的分布列k 0分析】（Ⅰ ）利用 K 2= 分析】（ ）利，求出 K 2，与临界值比较，即可得出结论； 解答】解：（Ⅰ）选倾向 选倾向 “坐标系与参数方程”与倾向 “平面几何选讲 ”， ≈ 6.969> 6.635，∴有 99%的把握认为选倾向 坐标系与参数方程 ”与倾向 “平面几何选讲 ”与性别有关； 选倾向 “平面几何选讲 ”与倾向 “不等式选讲 ”， K 2=≈8.464> 7.879，∴有 99.5% 的把握认为选倾向 “平面几何选讲与倾向 “不等式选讲 ”与性别有关， 综上所述，选倾向 “平面几何选讲与倾向 “不等式选讲 ”与性别有关的把握最大；Ⅱ ）倾向 “平面几何选讲 ”与倾向 坐标系与参数方程 ”的学生人数的比例为 20：12=5：3，从中 抽取 8 人进行问卷，人数分别为 5，3，======数学期望 E ξ=（﹣ 3）P （ξ=﹣3），P （ξ=﹣1），P（ξ=1） P（ξ=1附： K2= ．﹣3 ﹣1 1 3× +1× +3 × = ．+（﹣1）19．在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，且 PA⊥平面 ABCD，点 M 是棱 PA 的中点．（1）若 PA=4，求点 C到平面 BMD 的距离；（2）过直线 BD且垂直于直线 PC的平面交 PC 于点 N，如果三棱锥 N﹣BCD的体积取到最大值，求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点到直线的距离公式．【分析】（1）设 BD 与 AC相交于点 O，连接 MO，则 BD⊥AC，证明平面 BMD⊥平面PAC，过点 A在平面 PAC作 AT⊥ MO于点 T，则 AT⊥平面 BMD，利用等面积，可求点 C 到平面 BMD 的距离；（2）连接 ON，则△ ONC为直角三角形，设∠ OCN=θ（0<θ< ），过 N 作 NQ⊥OC于点 Q，则 NQ⊥平面 ABCD，利用三棱锥 N﹣BCD的体积取到最大值，确定 AP=AC=2 ，以 A为原点，分别以 AB， AD， AP所在直线为 x、y、z轴建立坐标系，求出平面 MND 的一个法向量、平面 BND的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求此时二面角M﹣ND﹣ B的大小的余弦值．【解答】解：（ 1）设 BD与 AC相交于点 O，连接 MO，则 BD⊥AC，∵PA⊥平面 ABCD， BD? ABCD，∴PA⊥BD，∴PA∩AC=A，∴BD⊥平面 PAC，∵BD? 平面 BMD，∴平面 BMD⊥平面 PAC，过点 A 在平面 PAC作 AT⊥MO 于点 T，则 AT⊥平面 BMD，∴AT 为点 A 到平面 BMD 的距离，∵C，A 到平面 BMD的距离相等，取在△MAO 中，AT=），过 N 作 NQ ⊥OC 于点Q ，则 2）连接 ON ，则△ ONC 为直角三角形，设∠ OCN=θ（0<θ< NQ ⊥平面 ABCD ，y=1， ∵直线 PC ⊥平面 BND ，∴平面 BND 的一个法向量为，易知二面角 M ﹣ND= NQ= NCsin θ= OC?cos θsin θ= × sin2θ≤ 当且仅当 θ= 时， V 最大，此时AP=AC=2 ，以 A 为原点，分别以 AB ，AD ，AP 所在直线为 x 、y 、 z 轴建立坐标系，则有点，则有﹣B 的平面角为锐角 α，则D = 设平面 MND 的一个法向量为 ，则有220．已知抛物线 C ：y 2=2px 经过点 M （2，2），C 在点 M 处的切线交 x 轴于点 N ，直线l 1经过点 N 且垂直于 x 轴． （Ⅰ ）求线段 ON 的长；（Ⅱ）设不经过点 M 和N 的动直线 l 2：x=my+b 交C 于点 A 和B ，交 l 1于点 E ，若直线 MA 、 ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问： l 2 是否过定点？请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先求出 p 的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出 N 的坐标即可求线段 ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元， 转化为关于 y 的一元二次方程， 根据根与系数之间的关 系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．22【解答】解：（ Ⅰ）由抛物线 y 2=2px 经过点 M （2， 2），得 22=4p ， 故 p=1， c 的方程为 y 2=2xC 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y= ，则 ′故 C 在点 M 处的切线斜率为 ，切线的方程为 y ﹣2= 令 y=0 得 x=﹣2，所以点 N 的坐标为（﹣ 2， 0）， 故线段 ON 的长为 2Ⅱ） l 2恒过定点（ 2，0），理由如下： 由题意可知 l 1 的方程为 x=﹣2，因为 l 2与 l 1相交，故 m ≠0由 l 2： x=my+b ，令 x=﹣ 2，得 y=﹣ ，故 E （﹣ 2，﹣ ） 设 A （x 1，y 1），B （ x 2， y 2）2由 消去 x 得： y 2﹣2my ﹣ 2b=0 则 y 1+y 2=2m ， y 1y 2=﹣2b====直线 MA 的斜率为同理直线 MB 的斜率为x ﹣2），直线 ME 的斜率为因为直线 MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，所以因为 l 2 不经过点 N ，所以 b ≠﹣ 2 所以 2m ﹣ b+2=2m ，即 b=2故 l 2的方程为 x=my+2，即 l 2恒过定点（ 2， 0） 21．已知函数 f （ x ） =xe tx ﹣ e x+1，其中 t ∈ R ， e 是自然对数的底数．（Ⅰ ）若方程 f （x ）=1 无实数根，求实数 t 的取值范围； （Ⅱ ）若函数 f （x ）在（ 0，+∞）内为减函数，求实数 t 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ ）先确定原方程无负实数根，令 g （x ）= ，求出函数的值域，方程 f实数根，等价于 1﹣t? （﹣∞， ] ，从而求出 t 的范围；（Ⅱ）利用函数 f （x ）是（ 0， +∞）内的减函数，确定 t<1，再分类讨论，即可求实数 范围．【解答】解：（ Ⅰ）由 f （x ）=1，可得 x=e x （1﹣t ）>0， ∴原方程无负实数根， 故有=1﹣ t ．令 g （x ）= ，则 g ′（x ） = ，∴0<x<e ，g ′（x ）> 0；x> e ， f ′（ x ）< 0，∴函数 g （ x ）在（ 0，e ）上单调递增，在（ e ，+∞）上单调递减，整理得：+ =2× +=2×=1+=1+=1+x ）=1无t 的取值∴函数 g （ x ）的值域为（﹣ ∞， ]；∴当 t<1﹣ 时，方程 f （x ）=1无实数根；Ⅱ） f ′（x ）=e tx [1+tx ﹣e （1﹣t ）x ] 由题设， x>0， f ′（ x ）≤ 0， 不妨取 x=1，则 f ′（ 1） =e t （ 1+t ﹣ e 1﹣t）≤ 0， 1﹣tt ≥1时， e 1﹣t ≤ 1，1+t ≤ 2，不成立，∴t<1．tx（1 ﹣t ）x①t ≤ ，x> 0时， f ′（ x ） =e tx[1+tx ﹣ e 1 t x]≤ （1+﹣ ），∴h （ x ）> h （ 0） =0，此时， f ′（ x ）> 0，∴f （ x ）在（ 0， ln ）上单调递增，有 f （x ）> f （0）=0与题设矛盾， 综上，当 t ≤ 时，函数 f （x ）是（ 0， +∞）内的减函数．x由（Ⅰ）知， x ﹣e x +1<0，∴ 1+ ﹣ <0，∴ f ′（ x ）< 0，∴函数 g （ x ）的最大值为）=（1﹣t ）[∴函数 f （ x ）是（ 0， +∞）内的减函数； （ 1﹣t ）x﹣ e ]方程 f （x ）=1 无实数根，等价于请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．如图，△ ABC内接于直径为 BC的圆 O，过点 A作圆 O 的切线交 CB的延长线于点P，∠ BAC 的平分线分别交 BC和圆 O 于点 D、E，若 PA=2PB=10．（1）求证： AC=2AB；（2）求 AD?DE 的值．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）通过证明△ ABP∽△ CAP，然后证明 AC=2AB；（2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD?DE的值．【解答】（1）证明：∵ PA是圆 O的切线∴∠ PAB=∠ACB又∠ P是公共角∴△ABP∽△ CAP⋯∴=2，∴=2，∴AC=2AB⋯（2）解：由切割线定理得： PA2=PB?PC，∴ PC=20又 PB=5，∴ BC=15⋯又∵ AD是∠ BAC的平分线，∴=2，∴=2，∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5⋯又由相交弦定理得： AD?DE=CD?DB=50⋯[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线t 为参数），θ为参数）（Ⅰ ）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若 C1上的点 P对应的参数为 t= ，Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线C3：ρ﹣2sin θ）=7 距离的最小值．考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．θ为参数），利用 cos2θ+sin2θ=1 化为普通方程．Ⅱ）当 t= 时， P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故 M ，C3：ρ（ cosθ﹣2sinθ）=7 化为 x﹣ 2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．22 【解答】解：（Ⅰ ）曲线 C1：（t 为参数），化为（ x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1 为圆心是（﹣ 4， 3），半径是 1 的圆．θ为参数），化为cosθ分析】（Ⅰ）曲线 C1：t 为参数），利用 sin2t+cos2t=1 即可化为普通方程；C2：直线C2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是 3 的椭圆．Ⅱ）当 t= 时， P （﹣4，4），Q （8cos θ，3sin θ），故 M 直线 C 3： ρ( cos θ﹣ 2sin θ) =7 化为 x ﹣ 2y=7，[选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．已知函数 f （ x ） =|x ﹣1|．（Ⅰ）解不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥ 6； （Ⅱ ）若 |a|<1，|b|<1，且 a ≠0，求证：考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥6 即可； （Ⅱ ）利用分析法 进行证明不等式． 【解答】解：（ I ）∵ f （x ）=|x ﹣1|．∴不等式 f （x ﹣1）+f （x+3）≥6 等价|x ﹣2|+|x+2|≥6， 若当 x ≥2 时，不等式等价为 x ﹣2+x+2≥6， 即 2x ≥ 6，解得 x ≥ 3．当﹣2<x<2 时，不等式等价为 2﹣x+x+2≥6， 即 4≥ 6，此时不成立．当 x ≤﹣ 2 时，不等式等价为 2﹣ x ﹣ x ﹣ 2≥ 6，即 2x ≤﹣ 6，即 x ≤﹣ 3． 综上不等式的解集为（﹣ ∞，﹣ 3]∪[3，+∞）． （ II ）要证，只需证 |ab ﹣1|> |b ﹣a|，22只需证（ ab ﹣1）2>（ b ﹣a ） 2而（ab ﹣1）2﹣（b ﹣a ）2=a 2b 2﹣a 2﹣b 2+1=（a 2﹣1）（b 2﹣1）> 0， ∵|a|< 1， |b|< 1，22∴a < 1， b <1，从而当 M 到 C 3的距|5sin (θ+φ)+13|，cossin θ= ，d 取得最小即 a2﹣ 1< 0，b2﹣1<0，即（a2﹣1）（b2﹣1）> 0，成立，从而原不等式成立．。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，则A. B.C. D.4.已知，，则的值是A. B. C. D. 15.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b分别为3，1，则输出的n等于A. 5B. 4C. 3D. 26.已知等比数列的前n项和为，若，且，则A. B. 3 C. D. 3或7.平面向量，共线的充要条件是A.B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，，8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A. B. C. D.9.把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象．则的解析式是A. B.C. D.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是A. B. C. D.11.已知抛物线C：，过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则的值为A. B. C. D. 不能确定12.点M在曲线G：上，过M作x轴垂线l，设l与曲线交于点N，若，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数则______．14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，则双曲线的离心率为______．16.正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，记与F的轨迹构成的平面为．，使得直线与直线BC所成角的正切值的取值范围是与平面所成锐二面角的正切值为正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是______写出所有正确的命题序号三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是公差为1的等差数列，数列满足，，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄频数510101555了解4581221填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式和数据，其中．19.如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线AD交于D．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦距为2，且过点．求椭圆C的方程；已知是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点O到直线MN 距离的最小值．21.已知函数．讨论函数的极值点个数；若有两个极值点，，试判断与的大小关系并证明．22.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点，倾斜角为．求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若，解不等式；对任意的实数m，若总存在实数x，使得，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合或，，，，解得，实数a的取值范围是．故选：B．求出集合A，B，由，能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，在复平面内所对应的点位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由于，所以，，故，选项A错误．当，，时，，故选项B错误．由于，，故，选项C正确．由于，，所以，故，故错误．故选：C．直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得，是解题的关键，属于基础题．由条件可得，求得，可得的值，从而求得的值．【解答】解：已知，，即，故，，．故选A．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出n的值为4．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：D解析：解：设公比为q，易知．由得，解得或，当时，；当时，，所以或，故选：D．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7.答案：D解析：解：由共线向量基本定理可知，若平面向量，共线，则存在不为零的实数，使，即，其等价命题为存在不全为零的实数，，．故选：D．写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论．本题考查共线向量基本定理的应用，熟练掌握共线向量基本定理及其等价条件是关键，是基础题．8.答案：A解析：解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为．故选：A．每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．由偶函数的性质将化为：，再由的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以，则为：，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：A．11.答案：B解析：解：设，，，由，可得，所以，，因为过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，所以，，可得，直线MA的方程为：，，同理直线MB的方程为：，，，可得，即，故选：B．设出AB的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M，转化求解的值．本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查新定义“水平黄金点”的理解和应用，考查函数方程的转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．设，可得直线l的方程，联立曲线，可得N的坐标，再由向量的加法运算可得P的坐标，再由P的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．【解答】解：设，则直线l：，由，可得，即，，又P的纵坐标始终为0，即，可令，导数为，由，可得，则当时，，递减；当时，，递增．可得在处取得极小值，且为最小值，由，则在有两个零点，即方程有两个不等实根，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2，故选：C．13.答案：8解析：解：函数则；．故答案为：8．依题意得，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，可知：，，，即，可得，，．故答案为：．根据点P为双曲线上一点，，且，推出P的位置，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义与性质，解题的关键是确定，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．分别取和的中点M，N，连接MN、、，然后利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而确定平面就是平面．当F为线段MN的中点时，可证明；利用平移的思想，将直线与直线BC所成角转化为与所成的角，由于平面，所以即为所求，进而求解即可；平面与平面所成的锐二面角即为所求，也就是求出即可；由正方体的对称性和二面角的含义即可判断．【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取和的中点M，N，连接MN、、，则，，、平面，B、平面，且，，平面平面，当F在MN上运动时，始终有平面，即平面就是平面．对于，当F为线段MN的中点时，，，，，即正确；对于，，直线与直线所成的角即为所求，平面，平面，，直线与直线所成的角为，且，而的取值范围为，，所以，即正确；对于，平面与平面所成的锐二面角即为所求，取MN的中点Q，因为平面，所以就是所求角，而，即正确；对于，由对称性可知，与所成的锐二面角相等的面有平面，平面，平面，平面ABCD，即正确．故答案为：．17.答案：解：由已知得：，又是公差为1的等差数列，，，所以数列是常数列，，；由得：，，又，由可得：，．解析：先由题设条件求得，再求，进而论证数列是常数列，最后求得；先由求得，再由错位相减法求．本题主要考查等差数列基本量的计算、数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解32不了解18合计401050计算，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以随机变量X的分布列为：X0123P所以X的数学期望为．解析：根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ如图，过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，，，又AD为的角平分线，四边形AEDC为正方形，，又，，，≌，，又为CE的中点，，又，平面BAD，，平面BAD．又平面，平面平面C.Ⅱ在中，，，，在中，，，又，，，，又，，AD，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，4，，4，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，故二面角的余弦值为．解析：Ⅰ过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，推导出，四边形AEDC为正方形，，推导出≌，从而，，从而平面BAD，由此能证明平面平面C.Ⅱ推导出，，从而平面，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可得：，解得：，，所以椭圆的方程为：；设，记线段MN中点D，因为O为的重心，所以，则点D的坐标为：，若，则，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为，即为1，若，此时直线MN的斜率存在，设，，则，，又，，两式相减，可得：，故直线MN的方程为：，即，则点O到直线MN的距离，将，代入得，因为，所以，又，故原点O到直线MN的距离的最小值为．解析：由题意焦距的值可得c的值，再由过点的坐标，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B的坐标，由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN的方程，求出O到直线MN的距离的表达式，再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围，进而求出d的最小值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形重心的应用，属于中档题．21.答案：解：，令，得，记，则，令，得；令，得，在上是增函数，在上是减函数，且，当，即时，无解，无极值点，当，即时，有一解，，即，恒成立，无极值点，当，即时，有两解，有2个极值点，当，即时，有一解，有一个极值点，综上所述：当时，无极值点；时，有2个极值点；当时，有1个极点；，，令，则，，记，则，由得，由，得，在上是增函数，在上是减函数，，当时，，当即时有2个极值点，，由得，，，不妨设，则，，又在上是减函数，，，．解析：先求出，令，得，记，则函数的极值点个数转化为函数与的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；，，令，则，所以，记，利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，，当时，，所以当即时有2个极值点，，从而得到，所以，即．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为．直线l过点，倾斜角为整理得参数方程为为参数．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，所以：，，所以求．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，．，或或，或或，，不等式的解集为对任意的实数m，若总存在实数x，使得，的取值范围是值域的子集．，的值域为，又，，，实数a的取值范围为．解析：将代入中，再利用零点分段法解不等式即可；根据条件可知，的取值范围是值域的子集，然后求出的值域和的取值范围，再求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题三 数学理【含解析】
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题三 数学理【含解析】第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}，B ＝{x |x +1≥a }，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. [2，+∞） B. （﹣∞，2] C. [1，+∞） D. （﹣∞，1]【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再由A ∪B ＝R 求解.【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |x +1≥a }＝{x |x ≥a ﹣1}，又因为A ∪B ＝R ， ∴a ﹣1≤1， 解得a ≤2，∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]. 故选：B .【点睛】本题主要考查集合运算的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若复数z 满足(12)z i i =-⋅，则复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出． 【详解】解：(12)2z i i i =-⋅=+，z ＝2﹣i 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知1a b >>，0c <，则（ ） A.c c a b< B. a b c c < C. c c a b <D.()()log log a b b c a c ->-【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明A,B,D 不正确，根据幂函数单调性证明C 成立. 【详解】当4,2,1a b c ===-时满足1a b >>，c <，但()()()()424211,(1)(1),log log 3log 5log 42a b a b c cc c b c a c a b=->-=-==-=-=<=- 所以A,B,D 不正确， 因为(0)c y x c =<为(0,)+∞上单调递减函数，且1a b >>所以c c a b <， 故选：C 【点睛】本题考查利用不等式性质比较大小、幂函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题. 4.已知sin cos 2αα-=α∈(0, π)，则tan α=A. -1B. 22-C.22D. 1【答案】A 【解析】 【详解】2sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα= 1tan α∴=-故选A5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：当n ＝1时，a ＝33922+=，b ＝2，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a 9927244=+=，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a 272781488=+=，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝4时，a 818124381616=+=，b ＝16，不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ）A. 3-B. 3C. 353-D. 3或353-【答案】D 【解析】 【分析】设公比为q ,利用基本量法求解即可.【详解】设公比为q ,易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩得()2113181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩或125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当113a q =⎧⎨=⎩时,213a a q ==；当125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时,21353a a q ==-,所以23a =或2353a =-, 故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型. 7.平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a b a b ⋅=B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. ∃λ∈R ，b a λ=D. 存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+= 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理，结合充分条件的定义进行求解即可.【详解】A ：a b a b ⋅=成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的；B ：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的；C ：只有当a 不是零向量时才成立，故本选项是错误的；D ：当平面向量a ，b 共线时，存在一个λ，使得b a λ=(0)a ≠成立，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=；当存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=成立时，若实数λ1，λ2不都为零时， 则有21a b λλ=-成立，显然a ，(0)b b ≠共线，若其中实数λ1，λ2有一个为零时，不妨设 10λ=，则有200b b λ=⇒=，所以平面向量a ，b 共线，所以本选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.16B.14C.13D.12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A == 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 9.把函数f （x ）＝sin 2x 的图象向右平移12π个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象.则g （x ）的解析式是（ ）A. ()212g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()12212g x cos x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C. ()112262g x cos x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ D. ()112262g x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数()211sin cos 222f x x x ==-的图象向右平移12π个单位后，得到函数()1111cos[2()]cos(2)2212226y g x x x ππ==--=--的图象.故选：C .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增，若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,2C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质将()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭化为：2(log )(1)f a f ≤ ，再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围. 【详解】因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为2(log )(1)f a f ≤，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以2log 1a ≤，解得122a ≤≤， 则a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C .【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题.11.已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2C. ﹣4D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解0y 的值． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12x x ≠， 由28x y =，可得4xy '=，所以14MA x k =，24MB x k =， 因为过点00(,)M x y 作直线,MA MB 与抛物线C 分别切于点,A B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以12144MA MB x x k k ⋅=⋅=-，可得1216x x =-， 直线MA 的方程为：()()1111144xy y x x x x y y -=-=+， ①，同理直线MB 的方程为：()2224xy y x x -=-，()224x x y y =+②，①2x ⨯-②1x ⨯，可得1228x x y ==-，即02y =-.故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力． 12.点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33tOP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求.【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（理科） 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】8. 【解析】 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果. 【详解】解：∵函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则1211()log 388f ==； ∴18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （3）＝32﹣1＝8.故答案为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题. 14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为)22234a b c --，则A =____________.【答案】23π（或120︒） 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 【详解】解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为)22234a b c --＝﹣3cos 2A ， 又因为S △ABC ＝1sin 2bc A ＝﹣3cos 2A ， 所以tan A 3由A ∈（0，π）可得A ＝23π． 故答案为：23π.【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.设F 1，F 2分别是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为_____.3【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2m ，显然点 P 在双曲线的右支上， 因此有122PF PF a -=，因此122,4,2m a PF a PF a =∴==， 而122F F c =，∠F 1PF 2＝60°，所以由余弦定理可知；222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222141642422c a a a a =+-⋅⋅⋅，化简得：33cc a e a=⇒==3【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了求双曲线的离心率，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16.正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是2142⎤⎥⎣⎦； ③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22④正方体1111ABCD A BC D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】取CD 中点G ,11C D 中点M ,1CC 中点N ,先利用中位线的性质判断点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；③由//MN EG ,取F 为MN 中点,则11,MN C F MN B F ⊥⊥,则11B FC ∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.【详解】取CD 中点G ,连接EG ,则1//EG CD ,所以1//EG A B ,所以平面1A BE 即为平面1A BGE , 取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得111//,//B M BG B N A E , 所以平面1//B MN 平面1A BGE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α.①取F 为MN 中点,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故①正确；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,当点F 为MN 中点时,直线1B F 与直线11B C 所成角最小,此时122C F =,111112tan 4C F C B F B C ∠==；当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线11B C 所成角最大,此时111tan 2C B F ∠=, 所以直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是212⎤⎥⎣⎦,②正确； ③α与平面11CDD C 的交线为EG ,且//MN EG ,取F 为MN 中点,则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,11111tan 22B C B FC C F∠==所以③正确；④正方体1111ABCD A BC D -的各个侧面中,平面ABCD ,平面1111D C B A ,平面11BCC B ,平面11ADD A 与平面α所成的角相等,所以④正确． 故答案:①②③④【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足121111,,2n n n n b b a b b nb ++==+=. （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设12n n nc b =，求数列{c n }的前n 项和S n . 【答案】（1）1n b n =（2）12(2)2nn S n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ； （2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n . 【详解】（1）由已知得：12211,1a b b b a +=∴= 又∵{a n }是公差为1的等差数列，n a n ∴=∴a n ＝n .11n n n n a b b nb +++=1(1)n n n b nb +∴+=，∴数列{nb n }是常数列，111,n n nb b b n∴==∴=（2）由（1）得：1122nn n n c n b ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭2311111232222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①又23411111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①-②可得：231111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅ ⎪⎝⎭-111(2)2n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭12(2)2nn S n ⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[]25,85上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表： 年龄 [)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[]75,85频数 5 10 10 15 5 5 了解 4581221（1）填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异； 年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数 合计了解 a =c =不了解 b =d =合计（2）若对年龄在[)45,55，[)25,35的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望 参考公式和数据()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. （2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据年龄的频数分布填写列联表，再计算2K 分析即可.(2)易得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再分别分情况求解分布列，再计算数学期望即可. 【详解】解：（1）2×2列联表： 年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数 合计了解 29a = 3c =32 不了解 11b =7d =18 合计 401050()2250297113 6.272 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，()228422105840225C C P X C C ===，()2111284824221051041225C C C C C P X C C +===， ()111228242422105352225C C C C C P X C C +===，()21242210523225C C P X C C ===， 则X 的分布列为X 0 1 2 3P84225104225352252225所以X 的数学期望是()1047064022********E X =+++= 【点睛】本题主要考查了独立性检验、随机变量的分布列与数学期望的问题，需要注意在列分布列时X 的取值对应的概率求解.属于中档题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ； （2）求二面角111A B C A --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）31717【解析】 【分析】（1）过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设ADCE O =，连接BO ，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE BO ⊥，CE AD ⊥，由线面垂直的判断定理证得CE ⊥平面BAD ，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO ⊥平面11AAC C ，建立空间直角坐标系O xyz -，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥， 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，1222CO CE ==，22BO ∴=又4AB =，1222AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥， 又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -， 1(0,6,22)B ，11(2,2,22)C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =， 设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x ，得(6,4,52)m =-,设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y (0,21)n =-,92317cos ,1023m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --317.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.20.已知椭圆C ：221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）32【解析】 【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由椭圆过点312⎛⎫⎪⎝⎭，，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值.【详解】解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则1c =，又椭圆过点312⎛⎫⎪⎝⎭， 222221914ab c a b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：2243x y +=1；（2）设B ()m n ，，记线段MN 中点D ，因为O 为BMN 的重心，所以BO =2OD ，则点D 的坐标为：22，n m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为2m ，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ，又221143x y +=1，222243x y +=1，两式相减()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-+=0，可得：k MN 1212y y x x -==-34mn-，故直线MN 的方程为：y 34m n =-（x 2m +）2n-，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离d 2222343664m n m n+=+，将2243m n +=1，代入得d29n =+， 因为0＜n 2≤3，所以d min 3=，又32＜1， 故原点O 到直线MN 的距离的最小值为32.【点睛】本题考查求椭圆的方程，点到直线的距离，考查椭圆中的最值问题，注意直线的斜率的讨论，属于难题.21.已知函数2()ln ()f x x x ax a R =-∈. （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1212x x x x +<，详见解析 【解析】 【分析】（1）由已知令')0f x =（，得1ln 2x a x +=，记1ln ()xQ x x+=，则函数()f x 的极值点个数转化为函数()Q x 与y ＝2a 的交点个数，再利用导数得到()Q x 在(0,1)上是增函数，在1+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，对a 分情况讨论，即可得到函数()f x 的极值点个数情况；（2）由已知令'()0g x =，可得ln 2x a x =，记ln ()x h x x=，利用导数得到()h x 的单调性，可得max 1()h x e =，当x e >时，()0f x >，所以当102a e <<即102a e<<时()g x 有2个极值点12,x x ，从而得到1212ln()2x x a x x =+，所以1212ln()ln()x x x x +<，即1212x x x x +<．【详解】解：（1）'1()ln 2ln 21(0)f x x x ax x ax x x=+⋅-=-+>， 令')0f x =（，得1ln 2x a x +=，记1ln ()x Q x x +=，则'2ln ()x Q x x-=， 令()0Q x '>，得01x <<；令()0Q x '<，得1x >，∴()Q x 在(0,1)上是增函数，在1+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，∴当21a >即12a >时，'()0f x =无解，∴()f x 无极值点， 当21a =即12a =时，'()0f x =有一解，1ln 2x a x +≥，即ln 210x ax -+≤，'()0f x ≤恒成立，()f x ∴无极值点，当021a <<，即102a <<时，'()0f x =有两解，()f x ∴有2个极值点， 当20a ≤即0a ≤时，'()0f x =有一解，()f x 有一个极值点. 综上所述：当12a ≥，()f x 无极值点；102a <<时，()f x 有2个极值点；当0a ≤，()f x 有1个极值点；（2）2()ln g x x x ax x =--，()ln 2(0)g x x ax x '=->, 令'()0g x =，则ln 20x ax -=，ln 2xa x∴=, 记ln ()x h x x =，则'21ln ()x h x x -=, 由'()0h x >得0x e <<，由'()0h x <，得x e >，()h x ∴在(0,)e 上是增函数，在(,)e +∞上是减函数,max 1()()h x h e e==，当x e >时，()0f x >,∴当102a e <<即102a e<<时,()g x 有2个极值点12,x x ,由1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩,得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+,1212ln()2x x a x x ∴=+,不妨设12x x <则121x e x <<<，122x x x e ∴+>>, 又()h x 在(,)e +∞上是减函数,1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++,1212ln()ln()x x x x ∴+<, 1212x x x x ∴+<.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查学生转化问题和分析问题的能力，是一道难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点()0,2M ，倾斜角为3π4． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+的值． 【答案】（1）22(3)9x y -+=，22222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；（2）524. 【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程，得到关于t 的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9x y -+=，直线l 的参数方程3πcos 43π2sin 4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 即22222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得2222(3)(2)9-++=， 整理，得24052t t +=+， 所以121252·4t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩因为1212210,0,0,0t t t t t t <>∴<⋅<+ 所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=52 MA MB ⋅12t t ==4， 所以11MA MB +=MA MB MA MB +⋅52=【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()12f x x x a =++-.（1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）35,22⎛⎫-⎪⎝⎭（2）[]2,1- 【解析】【分析】 （1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】解：（1）当1a =时，()4124f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩， 解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.()2224133m m m -+=-+≥，又由于()1221f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为)21,a ⎡++∞⎣ 故213a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[]2,1-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。