2021届上海市崇明区初三(下)数学一模试卷(含答案)
18.在△ ABC中， AB4 2， B45， C60，点 D为线段 AB的中点，点 E在 边 AC上，连结 DE，沿直线 DE将△ ADE折叠得到△ ADE，连结 AA，当 AEAC时， 则线段 AA的长为
三.解答题（本大题共 7题，共 10+10+10+10+12+12+14=78分） 19.计算： tan602cos30cot45sin245.
cm
9.如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为
10.计算： 2(a2b)3(2ab)
11.如果一段斜坡的水平宽度为 12米，坡度 i1:3，那么这段斜坡的铅垂高度为
米
12.已知锐角△ ABC中， AB5， BC7， sinB4，那么 C
度
5 13.函数 y2x24x5的图像与 y轴的交点坐标为 14.如果将抛物线 y(x1)2先向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位，那么所得的新 抛物线的解析式为
5.抛物线 ya(xk)2k的顶点总在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.直线 yx上
D.直线 yx上
6.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的 （）
2倍，那么这个正多边形的边数是
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
二.填空题（本大题共 12题，每题 4分，共 48分）
7.已知 xy53，那么 xyy
8.已知线段 AB6cm ，点C是 AB的黄金分割点，且 ACBC，那么线段 AC的长为
初三（下）数学试卷（一模）
一.选择题（本大题共 6题，每题 4分，共 24分）
1.已知线段 a、b、 c、 d的长度满足等式 abcd，如果某班四位同学分别将该等式改
写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ）
A. ac bd
ad cb
bd ca
B.
C.
Байду номын сангаас
D.
bc da
2.已知点 G是△ ABC的重心，如果联结 AG，并延长 AG交边 BC于点 D，那么下列说
参考答案
一.选择题
1.A
2.B
3.D
4.A
5.C
二.填空题 7.2
3
11.4
8.3 3 5
12.45
9.1:16 13.(0,5)
6.B
10.8ab 14.y(x1)21
15.(3,0)
16.3
17.2 5
23.已知：如图， D、 E分别是△ ABC的边 AB、AC上的点，且AEDABC，联结
BE、CD相交于点 F.
（1） 求证： ABEACD；
（2） 如果 EDEC，求证：
DF2 BD
EEBF.
2
24.如图，已知对称轴为直线 x1的抛物线 yax2bx3与 x轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点C，其中点 A的坐标为(1,0). （1） 求点 B的坐标及抛物线的表达式； （2） 记抛物线的顶点为 P，对称轴与线段 BC的交点为Q，将线段 PQ绕点Q，按顺时 针方向旋转 120°，请判断旋转后点 P的对应点 P是否还在抛物线上，并说明理由； （3） 在 x轴上是否存在点 M ，使△ MOC与△ BCP相似？若不存在，请说明理由，若 存在，请直接写出点 M 的坐标（不必书写求解过程）.
15.如图，在直角坐标系中，以点 P为圆心的弧与 x轴交于 A、 B两点，已知点 P的坐标为 (1,y)，点 A的坐标为 (1,0)，那么点 B的坐标为
16.如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为 5厘米，并且它们内切时的圆心距为 1厘米，
那么其中较大圆的半径为
厘米
17.我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，
25.如图，Rt△ ABC中， ACB90， AC6，BC8，点 D为斜边 AB的中点， EDAB，交边 BC于点 E，点 P为射线 AC上的动点，点Q为边 BC上的动点，且运动过 程中始终保持 PDQD. （1） 求证： ADP∽ EDQ. （2） 设 APx， BQy，求 y关于 x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3） 联结 PQ，交线段 ED于点 F，当△ PDF为等腰三角形时，求线段 AP的长.
法中错误的是（ ）
A.BDCD
B.
AGGD
C.
AG2GD
D.
BC2BD
3.已知 a和 b都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A.ab
ab 2
ab 0
B.
C.
D.|a||b|2
4.在△ ABC中， C90，如果 AC8， BC6，那么 A的正弦值为（ ）
A.53
4 5 C.
3 4 D.
4 3
B.
2sin30
20.如图，已知△ ABC中， DE∥BC， AD2，DB4， AC8. （1） 求线段 AE的长； （2） 设BAa，BCb. ①请直接写出向量 AE关于 a、 b的分解式， AE； ②联结 BE，在图中作出向量 BE分别在a、 b方向上的分向量.
（可以不写作法，但必须写出结论）
21.如图，已知 O的半径为 2，在 O中，OA、OB都是圆的半径，且OAOB，点C
在线段 AB的延长线上，且OCAB. （1） 求线段 BC的长； （2） 求 BOC的正弦值.
22.为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理，如图，一艘正在
执行巡航任务的海监船接到固定监测点 P处的值守人员报告，在 P处南偏东 30°方向上， 距离 P处 14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时 28海里的速度向正东方向航
那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”，例如：图
（1）中的四边形中 ABCD， ABACAD，则 AC2ABAD，所以四边形 ABCD是闪 亮四边形， AC是闪亮对角线， AB、 AD是对应的闪亮边，如图（2）， 已知闪亮四边形 ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且ABC90， D60， AB4， BC2，那么线段 AD的长为
行，在 A处测得监测点 P在其北偏东 60°方向上，继续航行半小时到达了 B处，此时测得监
测点 P在其北偏东 30°方向上.
（1） B、 P两处间的距离为
海里；如果联结图中的 B、 Q两点，那么△ BPQ是
三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它
达 Q处；
（填“能”或“不能） 到
（2） 如果监测点 P处周围 12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？
2021年上海中考一模数学试卷 第17、18、23题汇编
目录
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AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。
2021届崇明区中考数学一模(含答案)
上海市崇明区2021届初三一模数学试卷2021.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd ，如果某班四位同学分别将该等式改写 成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ） A. a c b d B. a d c b C. b d c a D. b c d a2. 已知点G 是△ABC 的重心，如果联结AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A. BD CDB. AG GDC. 2AG GDD. 2BC BD 3. 已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. a b B. 2a b C. 0a b D. ||||2a b4. 在△ABC 中，90C ，如果8AC ，6BC ，那么A 的正弦值为（ ） A. 35 B. 45 C. 34 D. 435. 抛物线2()y a x k k 的顶点总在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 直线y x 上D. 直线y x 上6. （ ）A. 3B. 4C. 5D. 无法确定二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 已知53x y ，那么x y y8. 已知线段6AB cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC ，那么线段AC 的长为 cm9. 如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为 10. 计算：2(2)3(2)a b a b11. 如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度1:3i ，那么这段斜坡的铅垂高度为 米12. 已知锐角△ABC 中，5AB ，7BC ，4sin 5B ，那么C 度 13. 函数2245y x x 的图像与y 轴的交点坐标为14. 如果将抛物线2(1)y x 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为15. 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为(1,)y ，点A 的坐标为(1,0) ，那么点B 的坐标为16. 如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为 厘米17. 我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”，例如：图（1）中的四边形中ABCD ，AB AC AD ，则2AC AB AD ，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边，如图（2），已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ，60D ，4AB ，2BC ，那么线段AD 的长为18. 在△ABC 中，AB 45B ，60C ，点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到△A DE ，连结AA ，当A E AC 时，则线段AA 的长为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：22cos30cot 45tan 60sin 452sin 30.20. 如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，2AD ，4DB ，8AC .（1）求线段AE 的长；（2）设BA a ，BC b . ①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE ； ②联结BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量.（可以不写作法，但必须写出结论）21. 如图，已知O 在O 中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ，点C 在线段AB 的延长线上，且OC AB .（1）求线段BC 的长；（2）求BOC 的正弦值.22. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理，如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P 处的值守人员报告，在P 处南偏东30°方向上，距离P 处14海里的Q 处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A 处测得监测点P 在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B 处，此时测得监测点P 在其北偏东30°方向上.（1）B 、P 两处间的距离为 海里；如果联结图中的B 、Q 两点，那么△BPQ 是 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 （填“能”或“不能）到达Q 处；（2）如果监测点P 处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23. 已知：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ，联结BE 、CD 相交于点F .（1）求证：ABE ACD ；（2）如果ED EC ，求证：22DF EF BD EB.24. 如图，已知对称轴为直线1x 的抛物线23y ax bx 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(1,0).（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时 针方向旋转120°，请判断旋转后点P 的对应点P 是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MOC 与△BCP 相似？若不存在，请说明理由，若 存在，请直接写出点M 的坐标（不必书写求解过程）.25. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD .（1）求证：ADP ∽EDQ .（2）设AP x ，BQ y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ ，交线段ED 于点F ，当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长.参考答案一. 选择题1. A2. B3. D4. A5. C6. B二. 填空题7. 238. 3 9. 1:16 10. 8a b 11. 4 12. 45 13. (0,5) 14. 2(1)1y x15. (3,0) 16. 3 17. 18.三. 解答题19. 12. 20.（1）83AE ；（2）1133AE a b ，BD 、DE 即为所求分向量.21.（1）1BC ；（2）sin 4BOC. 22.（1）14，等边，能；（2）安全.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）(3,0)B ，223y x x ；（2）P 在抛物线上；（3）1(1,0)M ，2(1,0)M ，3(9,0)M ，4(9,0)M .25.（1）证明略；（2）25325(0)443y x x；（3）256AP 或53.。
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模) 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.若四条不相等的线段a，b，c，d满足ab =cd，则下列式子中，成立的是()A. ba =cdB. ab=c+md+m(m>0)C. a−bb =d−cdD. a+cb+d=cd2.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是()A. 2B. 1.5C. 53D. 53.已知非零向量，a⃗,b⃗ ,c⃗，下列条件中，不能判定a⃗//b⃗ 的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. a⃗=−b⃗C. a⃗//c⃗,b⃗ //c⃗D. a⃗=2c⃗,b⃗ =4c⃗4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，AO与y轴正半轴所成的夹角为α，则sinα的值为()A. 3B. 13C. √1010D. 3√10105.已知a，b，c为常数，点P(a,c)是第四象限内的一点，则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为()A. 一个B. 没有交点C. 两个D. 无法确定6.已知正六边形的边心距是2√6，则正六边形的边长是()A. 4√2B. 4√6C. 6√2D. 8√2二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 已知x 2=y 3=z 4≠0，则x−y+zx+2y−z = ______ ． 8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且较长的线段AP 的长等于10厘米，那么较短的线段BP 的长为______厘米． 9. 如图，AB ，CD 相交于O 点，△AOC∽△BOD ，OC ：CD =1：3，AC =2，则BD 的长为______．10. 如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，如BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ , BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 11. 如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α=23°，两树间的坡面距离AB =10m ，则这两棵树的水平距离约为______m.(结果精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)12. 如图，点P 在线段BC 上，AB ⊥BC ，DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，如果BC =10，AB =2，tanC =12，那么DP 的长是______ ．13. 若二次函数y =x 2+2x +m 的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是______．14. 将抛物线y =2x 2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______．15.如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=10，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．16.已知两圆的半径分别为3cm和5cm，且两圆的圆心距为2cm，那么这两圆的位置关系是．17.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则n−m=______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F，则BF的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）)−2+(√3−√7)0−2cos60°−|3−π|19.(1)计算：(12(2)分解因式：6(a−b)2+3(a−b)20.如图，已知△ABC，依据作图痕迹回答下面的问题：(1)AC和MN的位置关系是______；(2)若AB=3，BC=5时，求△ABE的周长；(3)若AE=AB，∠B=60°，求∠BAC的度数．21.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=4．3求：(1)∠DBC的余弦值；(2)DE的长．22.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设M，N为该岛的东西两端点)最近距离为12海里(即MC=12海里).在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，(其中N，M，C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．23.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点E，使得AE=AD，连接DE、OE，OE交AD于F.请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程.①BE=DE；②EF=BD；③EF=√2DF.你选择的条件是______ ，结论是______ .(填序号)24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x=−2交x轴于点C，直线l过点N(0,−2)，且与x轴平行，过点P作PM⊥l于点M，△AOB的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠MPN=∠BAC时，求P点坐标；(3)①求证PM=PC；②若点Q坐标为(0,2)，直接写出PQ+PC的最小值．25.如图1，点P是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AP、PB为边在线段AB的同旁做等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD交PC于点M，连接BC交PC于点N，连接MN．(1)求证：AD=BC．(2)求∠DQB的度数．(3)如图2所示，△APC和△PBD仍为等边三角形，但PA和PB不在同一条直线上，AD=BC是否成立，∠DQB的度数与图1是否相等，请直接写出结论．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、∵ab =cd，∴ba=dc；故本选项错误；B、∵ab =cd，m>0，∴ab≠c+md+m；故本选项错误；C、∵ab =cd，∴a−bb=−d−cd；故本选项错误；D、∵ab =cd，∴a+cb+d=cd；故本选项正确．故选：D．根据比例的性质变形，再进行判断．本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．2.答案：C解析：解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴OAOD =21，CD=BD，∴S△ACD=S△ABD=12S△ABC=12×10=5，∴S△OCD=13S△ACD=13×5=53，故选：C．根据三角形的中线得出OAOD =21，CD=BD，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ACD的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了三角形的重心和三角形的面积，能知道等底等高的三角形的面积相等和等高的三角形的面积比等于底边之比是解此题的关键．3.答案：A解析：解：A、|a⃗|=|b⃗ |，两个向量的模相等，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；B、a⃗=−b⃗ ，两个向量模相等，方向相反，互相平行，故本选项错误；C、a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，则a⃗与b⃗ 都与c⃗平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；D、a⃗=2c⃗，b⃗ =4c⃗，则a⃗与b⃗ 都与c⃗平行，三个向量都互相平行，故本选项错误．故选A．根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．4.答案：C解析：解：过A向x轴作垂线，垂足为B，因为A(1,3)，即OB=1，AB=3，所以OA=√AB2+OB2=√12+32=√10，由锐角三角函数的定义可知，cos∠1=OBOA =1√10=√1010，因为∠1+∠α=90°，所以sinα=cos∠1=√1010．故选C．过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据互余两角的三角函数值求出sinα的值即可．此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义及互余两角三角函数值的关系．5.答案：C解析：解：∵点P(a,c)是第四象限内的一点，∴a>0，c<0，∴△=b2−4ac>0，∴二次函数y=ax2+bx+c与x轴有2个交点．故选：C．利用第四象限内点的坐标特征得到a>0，c<0，则可判断△=b2−4ac>0，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．6.答案：A解析：解：∵正六边形的边心距为2√6，∴OB=2√6，∠OAB=60°，∴AB=OBtan60∘=2√6√3=2√2，∴AC=2AB=4√2．故选：A．运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．7.答案：34解析：解：设x2=y3=z4=k≠0，则x=2k，y=3k，z=4k，x−y+z x+2y−z =2k−3k+4k2k+6k−4k=34；故答案为：34．设x2=y3=z4=k≠0，得出x=2k，y=3k，z=4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确利用同一未知数表示出各数是解题关键．8.答案：5√5−5解析：解：设线段AB的长为x，∵点P是线段AB的黄金分割点，较长的线段AP的长等于10厘米，∴√5−12x=10，解得，x=5√5+5，∴较短的线段BP的长=5√5+5−10=5√5−5(厘米)，故答案为：5√5−5．根据黄金比值是√5−12计算，得到答案．本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键．9.答案：4解析：解：∵OC：CD=1：3，∴OC：OD=1：2，∵△AOC∽△BOD，∴ACBD =OCOD，即2BD =12，解得：BD=4，故答案为：4．根据OC：CD=1：3，求得OC：OD=1：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．10.答案：34b ⃗ −14a ⃗ 解析：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OB =OD ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∵点E 是OD 的中点，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +14b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −(14a ⃗ +14b ⃗ )=34b ⃗ −14a ⃗ ． 故答案为：34b ⃗ −14a ⃗ ． 由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形法则，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，然后由三角形法则，求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由点E 是OD 的中点，可求得ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由三角形法则求得答案．此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用． 11.答案：9.2解析：解：过点A 作水平面的平行线AC ，过点B 作BC ⊥AC 于C ，由题意得：AB =10m ，∠BAC =23°，则AC =AB ⋅cos∠BAC ≈10×0.921≈9.2(米)，故答案为：9.2．过点A 作水平面的平行线AC ，过点B 作BC ⊥AC 于C ，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12.答案：65√5解析：解：∵DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，∴AP//CD ，∴∠C =∠APB ，∵AB ⊥BC ，∴tan∠APB =AB BP ，∵tanC =12，∴2BP =12，∴BP=4，∴PC=BC−BP=10−4=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD=√PC2−DP2=√62−DP2，∴√62−DP2=12，解得：DP=65√5或DP=−65√5(不合题意舍去)，故答案为：65√5．由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP//CD，则∠C=∠APB，由tan∠APB=ABBP，求得BP=4，PC=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD ，CD=√62−DP2，得出√62−DP2=12，即可得出结果．本题考查了三角函数定义、勾股定理、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．13.答案：m<1且m≠0解析：解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22−4m>0，∴m<1．∴m<1且m≠0．故答案为m<1且m≠0．由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△>0可求出m的取值范围，此题得解．本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△>0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．14.答案：(−1,−3)解析：解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y=2(x+1)2−3，∴顶点坐标为(−1,−3)，故答案为：(−1,−3)．根据左→加，右→减，上→加，下→减的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标．本题考查了二次函数的平移变换，二次函数平移后二次项系数不变，熟练掌握平称原则是关键；注意左右与上下平移的不同，二次函数的顶点式为：y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)．15.答案：5+√41解析：解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，∵∠MON=90°，MN=5，∴Rt△MON中，OE=12又∵∠MQP=90°，MN=10，PN=4，NE=5，∴Rt△PNE中，PE=√PN2+NE2=√42+52=√41，又∵OP≤PE+OE=5+√41，∴OP的最大值为5+√41，即点P到原点O距离的最大值是5+√41，故答案为：5+√41．取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．16.答案：内切解析：试题分析：由两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．∵两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，又∵5−3=2，∴两圆的位置关系是：内切．故答案为：内切．17.答案：−7解析：解：由题意得：m−3=7，n=3，解得m=10，n=3，∴n−m=3−10=−7．故答案为：−7．根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可得m、n的值，再代入所求式子计算即可．此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式．18.答案：254解析：解：∵AD//BC，∴∠ADB=∠FBD，由折叠的性质可知，∠FDB=∠ADB，∴∠FDB=∠FBD，∴FB=FD，在Rt△DFC中，DF2=CF2+CD2，即BF2=(8−BF)2+62，，解得，BF=254．故答案为：254根据矩形的性质得到AD//BC，得到∠ADB=∠FBD，根据翻转变换的性质得到∠FDB=∠ADB，证明FB=FD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．−(π−3)19.答案：解：(1)原式=4+1−2×12=5−1−π+3=7−π；(2)6(a−b)2+3(a−b)=3(a−b)[2(a−b)+1]=3(a−b)(2a−2b+1)．解析：(1)直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案；(2)直接提取公因式3(a−b)，进而分解因式得出答案．此题主要考查了实数运算以及提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．20.答案：垂直解析：解：(1)根据作图痕迹可知：MN是AD的垂直平分线，所以AC和MN的位置关系是垂直，故答案为垂直；(2)AB=3，BC=5，∵MN是AC的垂直平分线，∴EA=EC∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+EC+BE=AB+BC=3+5=8；答：△ABE的周长为8．(3)∵AE=AB，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°∵AE=CE∴∠C=∠CAE=30°，∴∠BAC=90°．答：∠BAC的度数为90°．(1)根据作图痕迹可得AC和MN的位置关系是垂直；(2)根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，AB=3，BC=5时，即可求△ABE的周长；(3)根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，根据AE=AB，∠B=60°得三角形ABE是等边三角形，进而可求∠BAC的度数．本题考查了作图−基本作图，勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．21.答案：解：(1)∵Rt△ABD中，cot∠ADB=ADAB，∴43=AD12，则AD=16，∴BD=√AB2+AD2=√122+162=20，∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB=ADBD =1620=45；(2)在Rt△BCD中，cos∠DBC=BDBC ，即45=20BC，解得：BC=25，∵AD//BC，∴DEBE =ADBC=1625，∴DEBD =1641，∴DE=1641×BD=1641×20=32041．解析：(1)根据cot∠ADB=43，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；(2)在Rt△BDC中，由(1)的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．22.答案：解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，则AC=CM=12(海里)，∴BC=AC−AB=12−4=8(海里)，直角△BCN中，CN=BC⋅tan∠CBN=√3BC=8√3(海里)，∴MN=CN−CM=8√3−12(海里)．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是8√3−12海里．解析：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN−CM即可求解．23.答案：②①解析：解：选择的条件是②，结论是①．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠EAF=90°，DO=OB，在Rt△DAB和Rt△EAF中，{AE=ADEF=DB，∴Rt△DAB≌Rt△EAF(HL)，∴∠ADB=∠AEF，∵∠DFO=∠EFA，∴∠DOF=∠EAF=90°，即EO⊥BD，∵DO=BO，∴EO是线段BD的垂直平分线，∴BE =DE ．故答案为：②；①．利用HL 证明△DAB≌△EAF ，再证得EO 是线段BD 的垂直平分线，即可证明结论．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△DAB≌△EAF 解答．24.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点，且对称轴为x =−2，∴c =0，OA =4，又△AOB 的面积为2，∴BC =1，即顶点B 的坐标为(−2,−1)，∴−b 2a =−2，−b 24a =−1，解得a =14，b =1， ∴抛物线的解析式为y =14x 2+x ；(2)∵BC =1，AC =2，∴tan∠BAC =12，设P 点坐标为(x,14x 2+x)，如图1，当点P 在y 轴右侧，PM =14x 2+x −(−2)=14x 2+x +2，MN =x ，∴tan∠MPN =MN PM =x 14x 2+x+2=12，即x 2−4x +8=0，此方程无解；如图2，当点P 在y 轴左侧，此时PM =14x 2+x +2，MN =−x ，∴tan∠MPN =MNPM =−x 14x 2+x+2=12， 即x 2+12x +8=0，解得x 1=−6+2√7，x 2=−6−2√7，则y 1=10−4√7，y 2=10+4√7，∴点P 坐标为(−6+2√7,10−4√7)或(−6−2√7,10+4√7)；(3)①如图3，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，则PD =x +2，DC =14x 2+x ，由(2)知PM =14x 2+x +2，在Rt △PCD 中，PC 2=(x +2)2+(14x 2+x)2=116x 4+12x 3+2x 2+4x +4=PM 2，∴PM =PC ；②由①知，PM =PC ，∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4．∴PQ+PC的最小值为4．解析：(1)根据抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x=−2，可得c=0，OA=4，再由△AOB 的面积为2，可得BC=1，即得到顶点B的坐标，即可求得抛物线解析式；(2)设P点坐标为(x,14x2+x)，分点P在y轴右侧或y轴左侧两种情形进行讨论，即可求得点P的坐标；(3)①过点P作PD⊥BC于点D，在Rt△PCD中，应用勾股定理可求得PC2，与(2)中PM2比较可得PM= PC；②当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4.即PQ+PC的最小值为4．本题是中考压轴题，涉及知识点多，难度大，主要考查了二次函数图象和性质，顶点和对称轴，相似三角形判定和性质，线段和的最小值问题等，分类讨论和方程思想是本题解题关键．25.答案：(1)证明：如图1中，∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴∠APC=∠DPB=60°，PA=PC，PD=PB，∴∠APD=∠CPD，在△APD和△CPB中，{PA=PC∠APD=∠CPB PD=PB，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC．(2)解：如图1中，设AD交PC于点J．∵△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠AJP=∠CJQ，∴∠AQJ=∠APJ=60°，∴∠DQB=∠AQC=60°．(3)解：如图2中，结论不变，理由如下：设AD交PC于点J．∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴∠APC=∠DPB=60°，PA=PC，PD=PB，∴∠APD=∠CPD，在△APD和△CPB中，{PA=PC∠APD=∠CPB PD=PB，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC，∠PAD=∠PCB，∵∠AJP=∠CJQ，∴∠AQJ=∠APJ=60°，∴∠DQB=∠AQC=60°．解析：(1)如图1中，证明△APD≌△CPB(SAS)，可得结论．(2)设AD交PC于点J.由△APD≌△CPB，推出∠PAD=∠PCB，利用“8字型”的性质即可解决问题．(3)结论不变，证明方法类似(1)(2)．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2023年上海市崇明区初三3月线下中考一模数学试卷含详解
2023年3月学业质量调研九年级数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：（本题共6题，每小题4分，满分24分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各组图形中，一定相似的是（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形2.将函数()20y ax bx c a =++≠的图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）A.开口方向不变B.顶点不变C.对称轴不变D.与y 轴的交点不变3.在Rt ABC 中，90,4,3C AB AC ∠=︒==，那么cos A 的值是（）A.35B.74C.34D.434.已知e 为单位向量，向量a 与e 方向相反，且其模为e 的4倍；向量b 与e方向相同，且其模为e 的2倍，则下列等式中成立的是（）A .2a b= B.2a b=- C.12a b= D.12a b=- 5.四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，BF 的延长线交CD 的延长线于E 点，下列式子中能判断AD BC ∥的式子是（）A.FD EDBC EC= B.AF BFDF EF= C.AB AFED FD= D.EF EDBE EC=6.如图，在ABC 中，CD AB ⊥，垂足为点D ，以下条件中不能推出ABC 为直角三角形的是（）A.A BCD∠=∠ B.=CD BDAD CDC.AB BCBC BD= D.AC ADBC BD=二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若23x y=，且0xy ≠，则x y y +=______．8.计算：()532a a b --=______________．9.点P 是线段MN 的黄金分割点，如果10cm MN =，那么较长线段MP 的长是__________cm ．10.如果抛物线()22y m x =-有最高点，那么m 的取值范围是_____________．11.如果抛物线221y x bx =-+的对称轴是y 轴，那么它的顶点坐标为_____________．12.已知点()12,A y -、()23,B y -为二次函数()21y x =+图像上的两点，那么1y ___________2y ．（填“>”、“=”或“<”）13.若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．14.飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A 点的俯角为α，那么此时飞机与目标A 点的距离为________千米．（用α的式子表示）15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ACD ∠=∠=︒，45D ∠=︒，则ABCACDS S ∆∆=________．16.如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，那么FGAG＝________．17.如图，菱形ABCD 的边长为8，E 为BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ，过点F 作FG AD ∥，交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长为___________．18.如图，在Rt ABC △中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，点D 在AC 边上，点E 在射线AB 上，将ADE V 沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A D AC '⊥且CA AB '∥时，BE 的长为_________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：24cos30cot 45tan 602sin 45︒-︒︒+︒20.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，且3BC AD =，过点A 作AE DC ∥，分别交BC BD 、于点E F 、，若,AB a BC b ==．（1）用、a b 表示BD 和AF ；（2）求作BF 在、a b方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21.如图，D 是ABC 边上的一点，2,CD AD AE BC =⊥，垂足为点E ，若9AE =，3sin 4CBD ∠=．（1）求BD 的长；（2）若BD CD =，求tan BAE ∠的值．22.如图，一根灯杆AB 上有一盏路灯A ，路灯A 离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B 点15.5米处有一坡度为41:3i =的斜坡CD ，如果高为3米的标尺EF 竖立地面BC 上，垂足为F ，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC 上（图1），求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC 上，一部分在斜坡CD 上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？23.已知：如图，在梯形ABCD 中，1,2AD BC AD BC =∥，对角线AC 与BD 交于点F ，点G 是AB 边上的中点，连接CG 交BD 于点E ，并满足2BG GE GC = ．（1）求证：GAE GCA ∠=∠；（2）求证：2AD BC DF DE= 24.如图，在直角坐标平面xOy 中，对称轴为直线32x =的抛物线22y ax bx =++经过点()4,0A 、点()1,M m ，与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D 的坐标；（2）联结,,AB AM BM ，求ABM S ；（3）过M 作x 轴的垂线与AB 交于点,P Q 是直线MP 上一点，当BMQ 与AMP 相似时，求点Q 的坐标．25.已知Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4,AB AC AD BC ==∥，点E 为射线AD 上的一个动点（不与A 重合），过点E 作EF BE ⊥，交射线CA 于点F ，连接BF ．（1）如图，当点F 在线段AC 上时，EF 与AB 交于点G ，求证：AEG FBG ∆∆∽；（2）在（1）的情况下，射线CA 与BE 的延长线交于点Q ，设,AE x QF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当3BE =时，求CF 的长．2023年3月学业质量调研九年级数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：（本题共6题，每小题4分，满分24分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各组图形中，一定相似的是（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰梯形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．【详解】A 、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；B 、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C 、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；D 、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键．2.将函数()20y ax bx c a =++≠的图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）A.开口方向不变B.顶点不变C.对称轴不变D.与y 轴的交点不变【答案】A【分析】根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x 改变：左加右减，y 不变，即可判定B 、C 、D 选项错误；开口方向与a 有关，a 不变，则开口方向不变，则A 正确．【详解】开口方向与a 有关，a 不变，则开口方向不变，A 选项正确；左右平移，x 改变，则顶点改变，B 选项错误；左右平移，x 改变，则对称轴改变，C 选项错误；左右平移，x 改变，则与y 轴的交点改变，D 选项错误．故答案为：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律：左右平移，x 改变：左加右减，y 不变；上下平移，x 不变，y 改变，上加下减；同时考查了二次函数图象开口方向，开口方向与a 有关，a 不变，则开口方向不变．3.在Rt ABC 中，90,4,3C AB AC ∠=︒==，那么cos A 的值是（）A.35B.4C.34 D.43【答案】C【分析】先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：3cos 4AC A AB ==，故选：C ．.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是余弦的定义．4.已知e 为单位向量，向量a 与e 方向相反，且其模为e 的4倍；向量b 与e方向相同，且其模为e 的2倍，则下列等式中成立的是（）A .2a b= B.2a b=- C.12a b= D.12a b=- 【答案】B【分析】根据平面向量的性质得到4a e =- ，2b e = ，从而得到2a b =- ．【详解】解：根据题意知，4a e =- ，2b e = ，则14e a =-，12e b = ，则2a b =-，观察选项，只有选项B 符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．5.四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，BF 的延长线交CD 的延长线于E 点，下列式子中能判断AD BC ∥的式子是（）A.FD ED BC EC= B.AF BFDF EF= C.AB AFED FD= D.EF EDBE EC=【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：A ．FD EDBC EC=，结合FED BEC ∠=∠不能证明FED BEC ∽，不能推出EFD EBC ∠=∠，因此不能判断AD BC ∥，不合题意；B ．AF BFDF EF=，结合AFB DFE ∠=∠，可证AFB DFE ∽，可得A FDE ∠=∠，可以判断AB DC ∥，不能判断AD BC ∥，不合题意；C ．AB AFED FD=，结合AFB DFE ∠=∠，不能证明AFB DFE ∽，不能判断AB DC ∥，也不能判断AD BC ∥，不合题意；D ．EF EDBE EC=，结合FED BEC ∠=∠可证FED BEC ∽，推出EFD EBC ∠=∠，能够判断AD BC ∥，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．6.如图，在ABC 中，CD AB ⊥，垂足为点D ，以下条件中不能推出ABC 为直角三角形的是（）A.A BCD ∠=∠B.=CD BDAD CDC.AB BCBC BD= D.AC ADBC BD=【答案】D【分析】此题根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可．【详解】A.因为A BCD ∠=∠，90A ACD ∠+∠=︒，所以90BCD ACD ∠+∠=︒，即ABC 为直角三角形，故A 正确．B.因为=CD BDAD CD，而且90BDC ADC ∠=∠=︒，所以ADC CDB ∽△△，那么B ACD ∠=∠，因为90B BCD ∠+∠=︒，所以90BCD ACD ∠+∠=︒，即ABC 为直角三角形，故B 正确．C.因为AB BCBC BD=，而且B B ∠=∠，所以CDB ACB ∽，那么90ACB BDC ∠=∠=︒，即ABC 为直角三角形，故C 正确．D.AC ADBC BD=，而且90BDC ADC ∠=∠=︒，所以ADC CDB ∽△△，因为CD CD =，所以两三角形全等，只能说明ABC 为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D 错误．故选：D【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若23x y=，且0xy ≠，则x y y+=______．【答案】53##213【分析】由等式23x y=，两边同时除以y 2，可得23x y =，进而根据分式的性质求解即可【详解】23x y=，且0xy ≠，∴23x y =∴x y y +=251133x y +=+=故答案为：53【点睛】本题考查了分式的性质，等式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．8.计算：()532a a b --=______________．【答案】3a b-+【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案．【详解】解：()532a a b--563a a b =-+ 3a b =-+ ，故答案为：3a b -+．【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键．9.点P 是线段MN 的黄金分割点，如果10cm MN =，那么较长线段MP 的长是__________cm ．【答案】()5-【分析】根据黄金分割点的定义，得到512MP MN =，求解即可．【详解】解：由题意，得：512MP MN -=，即：51102MP =，∴()5cm MP =；故答案为：()5-．【点睛】本题考查黄金分割点．熟练掌握黄金分割点的定义，是解题的关键．10.如果抛物线()22y m x =-有最高点，那么m 的取值范围是_____________．【答案】2m <【分析】根据二次函数()22y m x =-有最高点，得出抛物线开口向下，即20m -<，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线()22y m x =-有最高点，∴抛物线开口向下，∴20m -<，∴2m <，故答案为：2m <．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．11.如果抛物线221y x bx =-+的对称轴是y 轴，那么它的顶点坐标为_____________．【答案】()0,1【分析】由题意知02bx a=-=，即可解得抛物线为221y x =+，将0x =代入即可求得顶点坐标．【详解】解：∵221y x bx =-+的的对称轴是y 轴，∴0222b b a --=-=⨯，解得：0b =∴抛物线为：221y x =+，将0x =代入221y x =+得：22011y ⨯+==，∴顶点坐标为()0,1．故答案为：()0,1．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数2y ax bx c =++的对称轴为直线2bx a=-，与y 轴的交点为()0,c ．12.已知点()12,A y -、()23,B y -为二次函数()21y x =+图像上的两点，那么1y ___________2y ．（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A 、B 两点的横坐标，故可将两点的横坐标代入二次函数解析式求出1y 、2y 值，再比较即可【详解】解：当2x =-时，()21211y =-+=，当3x =-时，()22314y =-+=，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数图像上的两点y 值的大小，这类题目的一种算法是将两点的横坐标代入二次函数解析式求出y 值．13.若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．【答案】4∶9【详解】试卷解析：两个相似三角形的周长比是4:9.∴这两个三角形的相似比是4:9.对应角平分线的比等于相似比,是4:9.故答案是：4:9.点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方.14.飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A 点的俯角为α，那么此时飞机与目标A 点的距离为________千米．（用α的式子表示）【答案】3sin α【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可．【详解】如图所示，飞机在B 点处，AC 为水平线，则BC AC⊥BD AC∥ BAC ABD α∴∠=∠=3sin BC AB AB α∴==，解得3sinAB α=故答案为：3sin α【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解．15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ACD ∠=∠=︒，45D ∠=︒，则ABCACDS S ∆∆=________．【答案】12##0.5【分析】证明ABC ACD ∽，AC 与AD 为对应边，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此只需求出AC AD即可．【详解】解： =90ACD ∠︒，45D ∠=︒，∴45CAD D ∠=∠=︒，∴AC CD =，∴222AD AC CD =+=．∴22AC AD=．AD BC ∥，∴45BCA CAD ∠=∠=︒，又 90B ACD ∠=∠=︒，∴ABC ACD ∽，AC 与AD 为对应边，∴222122ABC ACD S AC S AD ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：12．【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．16.如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，那么FG AG＝________．【答案】14【分析】根据重心的性质得到AG=2DG ，BG=2GE ，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，∴点G 是△ABC 的重心，∴AG=2DG ，BG=2GE ，∵EF ∥BC ，∴FG GD ＝EG BG =12．故答案为12．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．17.如图，菱形ABCD 的边长为8，E 为BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ，过点F 作FG AD ∥，交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长为___________．【答案】163##153【分析】作AH 垂直BC 于H ，延长AE 和DC 交于点M ，然后通过证明AH 是BE 的垂直平分线，进而证明MGF MEC ，即可得出答案．【详解】如图，作AH 垂直BC 于H ，延长AE 和DC 交于点M ，菱形ABCD 的边长为8，∴===8AB AD BC ， 1cos 4BH B AB ==，∴2BH =，E 为BC 的中点，∴4BE CE ==，∴=2EH BE BH -=，∴AH 是BE 的垂直平分线，∴8AE AB ==，BE CE =，AEB CEM ∠=∠，又 AB DM ∥，∴B MCE ∠=∠，∴ABE MCE@V V ∴8AE AB EM CM ====，设=GF x ，AF 平分EAD ∠，∴GAF FAD ∠=∠，又 FG AD ∥，∴GFA FAD ∠=∠，∴GAF AFG ∠=∠，则AG GF =，则AG x =，=8GE x -，GF ∥BC ，∴MGF MEC ，∴4816x x=-，解得：163x =，故答案为：163．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质使用、垂直平分线的性质以及菱形的性质，作辅助线是本题的关键．18.如图，在Rt ABC △中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，点D 在AC 边上，点E 在射线AB 上，将ADE V 沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A D AC '⊥且CA AB '∥时，BE 的长为_________．【答案】257##437【分析】求出3tan 4BC A AC ==，勾股定理求出AB ，根据题意，易得：AD AD ='，3tan tan 4A D DCA A CD ''∠===，进而求出,AD CD 的长，过A '作A H AC '∥，过点E 作EH A H '⊥，过点B 作BM EH ⊥，交EH 于点M ，延长BC 交A H '于点N ，易得四边形A NCD '，四边形NHMB 均为矩形，分别求出,,A N CN MH '，得到3tan tan 4EM EBM A BM ∠===，设3,4EM x BM x ==，则：5BE x =，分别用含x 的式子，表示出,,A E EH A H ''，利用勾股定理求出x 的值，进而得解．【详解】解：在Rt ABC △中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，∴5AB ==；3tan 4BC A AC ==，∵将ADE V 沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A D AC '⊥且CA AB '∥，∴AD AD ='，90,CDA DCA A '∠=︒∠=∠，∴3tan tan 4A D DCA A CD ''∠===，∴34AD A D CD '==，∴344AD CD CD CD AC +=+==，∴167CD =，∴127AD A D '==，过A '作A H AC '∥，过点E 作EH A H '⊥，过点B 作BM EH ⊥，交EH 于点M ，延长BC 交A H '于点N ，∵90C ∠=︒，∴90BNA DCN CNH '∠=∠=∠=︒，∴四边形A NCD '，四边形NHMB 均为矩形，∴161233,,777A N CD CN A D MH BN BC CN ''======+=，BM NH AC ∥∥，∴EBM A ∠=∠，∴3tan tan 4EM EBM A BM ∠===，设3,4EM x BM x ==，则：5BE x =，∴55AE AB BE x =+=+，1647A H A N NH A N BM x '''=+=+=+，3337EH EM MH x =+=+，连接A E '，则：55A E AE x '==+，在Rt A HE ' 中，222A E A H EH ''=+，即：()2221633554377x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：57x =，∴525577BE =⨯=；故答案为：257．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：24cos30cot 45tan 602sin 45︒-︒︒+︒【答案】13【分析】因为3cos30=2︒，cot 45=1︒，tan 60=3︒2sin 45=2︒，然后代入计算式即可得出答案．【详解】 cos30=2︒，cot 45=1︒，tan 60︒，sin 45=2︒，∴原式232412=122⎛=⨯-⨯+ ⎝⎭，故答案为：1+【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键．20.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，且3BC AD =，过点A 作AE DC ∥，分别交BC BD 、于点E F 、，若,AB a BC b == ．（1）用、a b 表示BD 和AF ；（2）求作BF 在、a b 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【答案】（1）13BD b a =- ，2193AF b a =+ （2）见解析【分析】（1）利用向量的表示方法，由BD BA AD =+ 即可求出BD ，利用平行线分线段成比例，求出13AF AE =，即可求出AF ；（2）过点F 作GF BC ∥交AB 于点G ，FH AB ∥交BC 于点H ，则BG 、BH 即为所求．【小问1详解】解：AB BA =-BD BA AD AB AD ∴=+=-+ ,,3AB a BC b BC AD=== 111333BD AB AD AB BC a b b a ∴=-+=-+=-+=- ,AD BC AE DC∥∥ ∴四边形ADCE 是平行四边形，AD EC =，AE DC=3BC AD = ，3BC EC ∴=，2BE EC ∴=，AD EC = ，2BE AD ∴=，AD BC ∥ ，ADF EBF∴ ∽12AD AF BE FE ∴==，13AF AE ∴=，AE DC = ，()()11113333AF AE DC DA AB BC AD AB BC ∴===++=-++ ，,,3AB a BC b BC AD === ，1112122133333393AF BC AB BC BC AB b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，【小问2详解】解：如图所示，过点F 作GF BC ∥交AB 于点G ，FH AB ∥交BC 于点H ，BF 在a 、b 方向上的分向量如图所示，BG 、BH即为所求；【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性计算解题的关键．21.如图，D 是ABC 边上的一点，2,CD AD AE BC =⊥，垂足为点E ，若9AE =，3sin 4CBD ∠=．（1）求BD 的长；（2）若BD CD =，求tan BAE ∠的值．【答案】（1）8（2）79【分析】（1）作DF BC ⊥于点F ，通过AE DF ∥可得CD DF AC AE =，求出DF 的长度，根据3sin 4CBD ∠=，即可求解；（2）先利用勾股定理求出CF 的长度，根据等腰三角形三线合一可得BF CF =，再根据平行线分线段成比例求出EF ，进而求出BE ，即可求出tan BAE ∠的值．【小问1详解】解：如图，作DF BC ⊥于点F ，DF BC ⊥，AE BC ⊥，∴AE DF ∥，∴CD DF AC AE =， 2CD AD =，∴3AC AD CD AD =+=，∴23CD DF AC AE ==， 9AE =，∴263DF AE ==， 3sin 4CBD ∠=，∴34DF BD =，∴446833BD DF ==⨯=；【小问2详解】解： 8BD CD ==，由（1）知6DF =，∴在Rt DFC △中，22228627CF CD DF =-=-=，BD CD =，DF BC ⊥，∴27BF CF ==，AE DF ∥，∴2CF CD EF AD==，∴7EF =∴7BE BF EF =-=，∴7tan 9BE BAE AE ∠==．【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是利用平行线分线段成比例得出相应线段的比例关系．22.如图，一根灯杆AB 上有一盏路灯A ，路灯A 离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B 点15.5米处有一坡度为41:3i =的斜坡CD ，如果高为3米的标尺EF 竖立地面BC 上，垂足为F ，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC 上（图1），求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC 上，一部分在斜坡CD 上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？【答案】（1）标尺与路灯间的距离为8米；（2）此时标尺与路灯间的距离为14米．【分析】（1）由题意可知，,AB BC EF BC ⊥⊥得到AB EF ∥，则EFG ABG △∽△，把数值代入EF FG AB BF FG =+即可得到答案；（2）连接AE 交CD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥交BC 延长线于点N ，过点M 作MG AB ⊥于点G ，交EF 于点H ，设CM x =米，则()4FC x =-米，可证明AGM GHM ∽，得到AG GM EH HM =，求出395AG x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭米，415.55GM x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭米，335EH x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭米，445HM x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入比例式得到关于x 的一元二次方程，解方程求得x 的值，即可得到答案．【小问1详解】解：如图，由题意可知，,AB BC EF BC ⊥⊥,∴AB EF ∥，∴EFG ABG △∽△，∴EF FG AB BF FG=+由题意可知，3,9,4EF AB FG ===，∴3494BF =+，解得8BF =,即标尺与路灯间的距离为8米；【小问2详解】如图，连接AE 交CD 于点M ，过点M 作MNBC ⊥交BC 延长线于点N ，过点M 作MG AB ⊥于点G ，交EF 于点H，∵影子长为4米，∴4FC CM +=米，设CM x =米，∴()4FC x =-米，∵15.5BC =米，∵,AB BC EF BC ⊥⊥，∴AB EF ∥，∴AGH EHM ∠=∠，BAE FEM ∠=∠，∴AGM EHM ∽，∴AG GM EH HM=，∵CM x =米，34MN CN =，∴45CN x =米，35MN x =，∴35GB x =米，∴395AG x ⎛⎫=-⎪⎝⎭米，415.55GM x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭米，335EH x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭米，445HM x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴34915.555343455x x x x x -+=--+，∴343494315.55555x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴229350x x +-=，解得17x =-（不合题意，舍去），252x =，经检验52x =是方程的解且符合题意，∴342FC x =-=米，∴315.5142BF =-=米，∴此时标尺与路灯间的距离为14米．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解分式方程、解直角三角形的坡度问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，1,2AD BC AD BC =∥，对角线AC 与BD 交于点F ，点G 是AB 边上的中点，连接CG 交BD 于点E ，并满足2BG GE GC = ．（1）求证：GAE GCA ∠=∠；（2）求证：2AD BC DF DE= 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据线段中点得出AG BG =，再由相似三角形的判定和性质证明GCA GAE ∽即可；（2）根据相似三角形的判定和性质得出GBE GCB ∠=∠，再由（1）得GAE GCA ∠=∠，利用三角形外角的性质得出AEF ACB ∠=∠，再由相似三角形的判定和性质得出ADF CBF ∽ ，2BF DF =，继续利用相似三角形的判定得出ADE FBC ∽ ，再由其性质即可证明．【小问1详解】证明：∵点G 是AB 边上的中点，∴AG BG =，∵2BG GE GC = ，∴2AG GE GC= ∴AG GE GC AG=．又∵CGA AGE ∠=∠，∴GCA GAE ∽ ．∴GAE GCA ∠=∠．【小问2详解】证明：∵2BG GE GC = ，∴BG GE GC BG=．又∵CGB BGE ∠=∠，∴GCB GBE ∽ ．∴GBE GCB ∠=∠．由（1）得GAE GCA ∠=∠，∵,AEF ABE BAE ACB ACG BCG ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴AEF ACB ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADF CBF ∽ ．∵12AD BC =，∴12A F A C F D C D FB B F ===，∴2BF DF =，∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，∵AEF ACB∠=∠∴ADE FBC ∽ ．∴=AD DE BF BC即AD BC DE BF ⋅=⋅，∵2BF DF =，∴2AD BC DF DE = ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义、平行线的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．24.如图，在直角坐标平面xOy 中，对称轴为直线32x =的抛物线22y ax bx =++经过点()4,0A 、点()1,M m ，与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D 的坐标；（2）联结,,AB AM BM ，求ABM S ；（3）过M 作x 轴的垂线与AB 交于点,P Q 是直线MP 上一点，当BMQ 与AMP 相似时，求点Q 的坐标．【答案】（1）213222y x x =-++，顶点D 的坐标为325,28⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3（3）()1,1-或51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由对称轴为直线32x =的抛物线22y ax bx =++经过点()4,0A ，可列方程组32216420b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解方程组后即可得到函数解析式，化成顶点式求出定点坐标即可；（2）求出点M 和点B 的坐标，作MN y ⊥轴于点N ，利用梯形面积减去两个直角三角形面积即可；（3）过点M 作ME y ⊥轴于点E ，设直线MP 交x 轴于点C ，先求出ABM ∆各边的长度，证明90AMB ∠=︒，分两种情况分别求解即可．【小问1详解】解：由题意得到32216420b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴顶点D 的坐标为325,28⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】当1x =时，2132322y x x =-++=，∴点()1,3M ，当0x =时，2132222y x x =-++=，∴()0,2B ，如图，联结,,AB AM BM ，作MN y ⊥轴于点N ，则3,2,4,1,1ON OB OA MN BN ON OB =====-=，则()11114324113222ABM AOB BMN AONM S S S S =--=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯= 梯形，即3ABM S = ；【小问3详解】过点M 作ME y ⊥轴于点E ，设直线MP 交x 轴于点C ，由题意可知1,3,4,OC EM OE CM OA =====则3,1CA OA OC BE OE OB =-==-=，∴2222112BM ME BE =+=+=，22224225AB OA BO =+=+=22223332AM AC CM =+=+=，∴222BM AM AB +=，∴90AMB ∠=︒，在ACM △中，3,MC AC ==∴45AMC MAC ∠=∠=︒，∴9045BMP AMC ∠=︒-∠=︒,当BMQ PMA ∽时，则BM MQ PM AM=，如图1，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则402k b b +=⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为122y x =-+，当1x =，13222y x =-+=，∴31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33322PM =-=，∴32=解得4MQ =，∴Q 点的纵坐标为341-=-，∴点()1,1Q -；当当BMQ AMP ∽时，则BM MQ AM MP=，如图2，32MQ =，解得12MQ =，∴Q 点的纵坐标为15322-=，∴点51,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，点Q 的坐标为()1,1-或51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考查了相似三角形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键25.已知Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4,AB AC AD BC ==∥，点E 为射线AD 上的一个动点（不与A 重合），过点E 作EF BE ⊥，交射线CA 于点F ，连接BF ．（1）如图，当点F 在线段AC 上时，EF 与AB 交于点G ，求证：AEG FBG ∆∆∽；（2）在（1）的情况下，射线CA 与BE 的延长线交于点Q ，设,AE x QF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当3BE =时，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）44242y x x =+-22x 0＜＜（3）42【分析】(1)先证AGF EGB ∆∆∽得到AG FG EG GB=，结合AGE FGB ∠=∠证明即可．(2)根据AD BC ∥，先证QAE QCB ∆∆∽得到AE QA BC QC =，结合45EAB C ∠=∠=︒，FBC EBA ∠=∠证FBC EBA ∆∆∽得到2CF BC AE AB==，求得2FC x =，根据4QF y QA AF QA FC ==+=+-计算即可．(3)过点F 作FM BC ⊥于点M ，结合45C ∠=︒，设FM MC x ==，根据勾股定理计算即可．【小问1详解】∵,BEG FAG BGE FGA ∠=∠∠=∠，∴AGF EGB ∆∆∽，∴AG FG EG GB=，∵AGE FGB ∠=∠，∴AEG FBG ∆∆∽．【小问2详解】∵4,AB AC AD BC ==∥，∴QAE QCB ∆∆∽，2242BC AB AC =+=，45EAB ABC C ∠=∠=∠=︒，∴AE QA BC QC=，442QA QA =+，解得42QA x =-；由(1)得AEG FBG ∆∆∽，∴45EAG BFG ∠=∠=︒，∵EF BE ⊥，∴45EBF ∠=︒，∴45EBA ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠=︒，∴FBC EBA ∠=∠，∵45EAB C ∠=∠=︒，∴FBC EBA∆∆∽∴CF BC CF AE AB x===，∴FC =，∴44QF y QA AF QA FC ==+=+-=-+∵40＞，∴x 0＜＜．【小问3详解】如图，过点F 作FM BC ⊥于点M ，∵45C ∠=︒，∴FM MC x ==，BM x =-，∵3BE =，∴2223318BF =+=，∴()2222218BF BM FM x x =+=+=，解得1,1x x =-=+（舍去），CF==∴4【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．。
2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案
2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，每题4分，满分24分） I组：供使用一期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．若抛物线y?(x?1)2?2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（A）（?1?2，0）；（B）（2，0）；（C）（-1，-2）；（D）（?1?2，0）． 5．若一元二次方程4x2?3x?1的两个根分别为x1、x2，则下列结论正确的是 13，x1?x2??；（B）x1?x2??3，x1?x2??1；4413（C）x1?x2?，x1?x2?；（D）x1?x2?3，x1?x2?1．446．下列结论中，正确的是（A）圆的切线必垂直于半径；（B）垂直于切线的直线必经过圆心；（C）垂直于切线的直线必经过切点；（D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线．（A）x1?x2??II组：供使用二期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是1112（A）；（B）；（C）；（D）．122335．若AB是非零向量，则下列等式正确的是（A）AB=BA；（B）AB=BA；（C）AB+BA=0；（D）AB+BA=0． 6．下列事件中，属必然事件的是（A）男生的身高一定超过女生的身高；（B）方程4x2?4?0在实数范围内无解；（C）明天数学考试，小明一定得满分；（D）两个无理数相加一定是无理数．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．不等式2-3x>0的解集是． 8．分解因式xy �Cx -y+1= ． 9．化简：12?3? ．10．方程2x?1?3的根是．x的定义域是． x?1k12．若反比例函数y?(k?0)的函数图像过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m n x（选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．13．关于x的方程mx2?mx?1?0有两个相等的实数根，那么m= ． 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为y （-1，6）．若点C与点A关于x轴对称，则点B与点C之间的2 距离为． P 15．如图1，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析O 1 x 式为．11．函数y?16．在�SABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD:DB= ．17．如图2，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为．18．如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30°．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线 DB的距离为．三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：a2?2ab?b2a2?b2图1A O1B 图2 E DF C O2A 11?(?)，其中a?2?1,b?2?1． ab图3B20．（本题满分10分）x?1x5A D 解方程??．xx?1221．（本题满分10分，第（1）题满分6分，第（2）题满分4分）5如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．B 13图4求（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长．22．（本题满分10分，第（1）题满分3分，第（2）题满分5分，第（3）题满分2分）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况年代 50、60年代的20年 70、80年代的20年 90年代的10年平均每年土地荒漠化1560 2100 2460 2扩展的面积（km）表2：沙尘暴发生的次数情况 50年代的1060年代的1070年代的1080年代的1090年代的10年代年年年年年 C每十年沙尘14 23 5 8 13 暴发生次数（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；次数（2）在图5中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；25 （3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈（选择“增加”、“稳定”或“减少”）趋势． 20 1510550年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代23．（本题满分12分，每小题满分各6分） A图5 如图6，在�SABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，D 1点F是AB的中点．（1）求证：EF=AB；2F（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：�SABE≌�SAGE．EB C图624．（本题满分12分，每小题满分各4分）y 如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心， 5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点． D （1）求点B、C、D的坐标；B C （2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点， O x .求这个二次函数解析式；A （3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与 x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，1当�SCPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．2图725．（本题满分14分，第（1）题满分3分，第（2）题满分7分，第（3）题满分4分）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC 于点G，∠BAE2的平分线交射线BC于点O．（1）如图8，当CE=时，求线段BG的长；3CE（2）当点O在线段BC上时，设?x，BO=y，求y关于x的函数解析式；ED（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．A D A DE BO 图8CG B备用图C2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学模拟卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，满分24分）I组 1、B； 2、D； 3、C; 4、D; 5、A; 6、D． II组 1、B； 2、D； 3、C; 4、C; 5、A; 6、B．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）2; 8、(x?1)(y?1)； 9、2?3； 10、x?5； 311、x?0 且x?1；12、?； 13、4； 14、32；7、x?15、y?2x?3； 16、2:1(或2)； 17、23； 18、三．解答题：（本大题共7题，满分78分）23. 3(a?b)2a?b19．解：原式＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(3分) ?(a?b)(a?b)aba?bab? ? －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) a?ba?bab ?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)a?b12 当a?2?1,b?2?1时，原式＝?.－－－－－－－－－－－－－－(3分)422x?120．解: [方法一]设y?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)x则原方程化为y?∴y1?15?，整理得2y2?5y?2?0，－－－－－－－－－－ (2分)y21， y2?2；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分) 21x?11? ，得 x?2，－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?时，2x2x?1?2 得 x??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?2时， x 经检验 x1?2，x2??1是原方程的根；－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)[方法二]去分母得 2(x?1)2?2x2?5x(x?1)，－－－－－－－－－－－－－－（3分）整理得 x2?x?2?0，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）解得 x1?2，x2??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）经检验 x1?2，x2??1是原方程的根．－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）21．解：（1）在Rt△ABC中，?BAC?90，cosB=AB5?．－－－－－－－－－ (1分) BC13∵BC=26，∴AB=10．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴AC=BC2?AB2?262?102?24．－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) ∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴cos∠DAC= cos∠ACB=AC12?；－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) BC13(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)1AC?12．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 2AE12?，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 在Rt△ADE中，cos∠DAE=AD13∵AD=DC， AE=EC=∴AD=13．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)22．解：（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积为次数 25 1560?20?2100?20?2460?10 （2分）20?20?10?1956（km），－－－－－－－－－(1220 分) 答：所求平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956 km2；（2）右图；－－－－－－－－－－－－－ (5分) （3）增加．－－－－－－－－－－－－－－(2分)23．证明：(1) 连结BE，－－－－－－－－－－ (1分)∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．(2分)∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=15 10 5 50年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代1AB； 2－－－－－－－－－－－－ (3分)(2) [方法一]在△ABG中，AF?BF，AG//EF，∴BE?EG．－－－－－－（3分）在△ABE和△AGE中，AE?AE,∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE；－－(3分) [方法二]由(1)得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．－－－－－－－－－－－－－(1分) ∵EF//AG，∴∠AEF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)∴∠EAF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．－－－－－－－－－－－ (3分)24．解：（1）∵点A的坐标为(0 ,?3)，线段AD?5，∴点D的坐标(0 ,2)．－－－－(1分)感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（ ） A. 14-B. -4C.14D. 42.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A. B. C. D.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×1064.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形7.化简()22x 的结果是（ ） A. x 4B. 2x 2C. 4x 2D. 4x8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A.16B.13C.12D.239.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A.103B. 4C. 4.5D. 510.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c += C. 1bc a +=D. 以上都不是二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，EABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．12.如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况： 捐书(本) 3 4 5 7 10 人数 5710117该班学生平均每人捐书______本．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：1332)182+18.化简： 2212(1)244x x xx x x +--÷--+ 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？22.如图，函数12y x=的图象与函数kyx=（x＞0）的图象相交于点P（4，m）．（1）求m，k的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．23.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE ＝12∠BAC ； （2）若AB ＝3BD ，CE ＝4，求⊙O 的半径．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25.阅读下面材料，完成()()13-题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE数量关系．”老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出ABCH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠； （2）求ADAE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则ABCH的值为 (用含k 的式子表示)． 26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）． （1）b=__________（用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积； （3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（）A.14B. -4C.14D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的概念即可快速作答.【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×106【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】380000=3.8×105. 故选C.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 【答案】A 【解析】【详解】点N 绕着点O 旋转180°，恰好关于原点对称，点(1,2)N --的中心对称点为(1，2)，故选A ．5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定出解集的公共部分即可得解. 【详解】解不等式12220x -<，得：4x >-， 解不等式360x -≤，得：2x ≤， 则不等式组的解集为42x -<≤， 故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简()22x的结果是（）A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. 16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A. 103B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】【分析】设FC ′=x ，则FD=9-x ，根据矩形的性质结合BC=6、点C ′为AD 的中点，即可得出C ′D 的长度，在Rt △FC ′D 中，利用勾股定理即可找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∵BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点，∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt △FC′D 中，∠D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3，∴FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5，故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt △FC′D 中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c +=C. 1bc a +=D. 以上都不是【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．【详解】∵OA OC =∴点A 、C 的坐标为(-c ，0)，(0，c)∴把点A 的坐标代入2y ax bx c =++得∴2=0ac bc c -+∴()10c ac b -+=∵0c ≠∴10ac b -+=∴1ac b +=故选A【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．【答案】60【解析】【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°，故答案为60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．【答案】2【解析】【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH⊥OA于H．∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．故答案2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本) 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】利用加权平均数公式进行求解即可得. 【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)， 故答案为6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．【答案】46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩ 故答案是：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）【答案】262【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，根据正切的定义求出AE ，根据等腰直角三角形的性质求出BE ，结合图形计算即可．【详解】作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，62EC AD ∴==，在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=， 则62200tan 0.31EC AE EAC =≈=∠， 在Rt AEB ∆中，45BAE ∠=，200BE AE ∴==，20032262()BC m ∴=+=，则该建筑的高度BC 为262m ，故答案为262．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.【答案】175【解析】试题解析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m 米/秒，则（m -2.5）×（180-30）=75，解得：m =3米/秒，则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：2)+【答案】-1．【解析】【分析】先利用平方差公式简便运算乘法，同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：2)+=3-4+=-1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．18.化简： 2212(1)244x x x x x x +--÷--+ 【答案】3x ． 【解析】【分析】先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分后得到结论． 【详解】解：原式＝212(2)122()22(2)2x x x x x x x x x x x x+--+-+--÷=•----323.2x x x x-=•=- 【点睛】本题考查的是分式的化简，考查了分式的加减法，分式的除法，掌握以上运算是解题的关键． 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．【答案】（1）①5，3；②65，70；（2）130人．【解析】【分析】（1）①根据数据统计出a、b；②根据中位数和众数的定义求出c，d即可；（2）先求出样本用样本达到平均水平及以上的学生的概率，然后用九年级学生数×样本达到平均水平及以上的学生的概率即可．【详解】解：()1①经统计：该组数据处于30≤t＜60的数据有5个, 处于90≤t＜120的数据有3个,∴a=5；b=3故答案为：5；3②将这组数据从小到大排序，位于第10个的数据是60，第11个的数据是70∴中位数为（60+70）÷2=65这组数据中出现次数最多的是70 ∴众数为70 ∴6570，c d==故答案为：65；70．()132********⨯=(人)，答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、样本估计总体的思想等知识，掌握中位数、众数、平均数等基本知识是解答本题的关键．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m ．【解析】【分析】设小路的宽应为x 米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 22.如图，函数12y x =的图象与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点P （4，m ）． （1）求m ，k 的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．【答案】（1）m=2，k=8；（2）103．【解析】【分析】(1)将点P（4，m）代入y=x，求出m=2，再将点P（4，2）代入kyx=即可求出k的值；(2) 分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．【详解】（1）∵函数12y x=的图象过点P（4，m），∴m=2，∴P（4，2），∵函数kyx=（x＞0）的图象过点P，∴k=4×2=8；（2）将y=3代入12y x=，得x=6，∴点A（6，3）．将y=3代入8yx=，得x=83，∴点B（83，3）．∴AB=6﹣83=103．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．23.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE＝12∠BAC；（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，-∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∴∠ADC＝∠ODE∴∠CDE＝∠ADO ∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∠CAD＝12∠BAC，∴∠CDE＝12∠BAC．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2222,AC DC x-=∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴CE DC DE DE AD AE∴==，即43422DE DE xx==+∴DE＝82,，x＝283，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）55t BC =；（2）222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【解析】【分析】（1）先根据直线112y x =+求得点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长，进而可求得5555sin ABO cos ABO ∠=∠=，由翻折知DB DC t ==，12BH CH BC ==，最后根据255BH cos ABO BD ∠==求得55t BH =，即可求得BC 的长； （2）分类讨论：当203t <≤时，当2534t <≤时，当524t <≤时，分别画出相应图形，然后利用相似三角形的性质分别表示出对应的底和高，进而可得S 关于t 的函数解析式即可． 【详解】解：()1∵直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、， ∴点()()012,0A B -，,，∴由勾股定理得22125AB =+=∴在直角AOB 中，525,55sin ABO cos ABO ∠=∠=， 由翻折知：DB DC t ==，12BH CH BC ==， 255BH cos ABO BD∠==， 255t BH ∴=， 455t BC ∴=， ()2当203t <≤时， 过点C 做CG BO ⊥于点G ，45CG t ∴=， 55CG sin ABO BC∴∠==， 45GC t ∴=， 14225S t t ∴=⨯⨯ 245t = 当2534t <≤时， 设OA 交CE 于点F ，45CD BD t GC t ===,， ∴由勾股定理得35GD t =，37255GE t t t ∴=-=， 382255GO t t t =--=-， 78 23255OE EG OG t t t ∴=-=-+=-， //OF CG ，EOFCGE ∴， OF OE CG OG∴=， ()4327OF t ∴=-， 12OFE S OE OF =⋅ ()()14323227t t =⋅-⋅- 222(73)t -= ， DCE OFE S S S =-∴2622483577t t =-+-， 当524t <≤时， 设CD 交OA 于点P ，//,OP CG,DOP DGC ∴OP OD CG DG∴=， 2OD t =-，()423OP OP t ∴==-，12S OD OP =⋅⋅∴ 2288333t t =-+， ∴综上所述，222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，根据点D 的位置画出相应的图形然后运用分类讨论思想以及相似三角形的性质是解决本题的关键．25.阅读下面材料，完成()()13-题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．”小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE 的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出AB CH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠；（2）求AD AE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则AB CH 的值为 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AD AE k =；（3）2115AB k CH ++= 【解析】【分析】（1）由BA BC =可知BAC BCA ∠=∠，再通过180ACD DAE ∠+∠=以及平角为180°，可以得到CAD EAB ∠=∠；（2）方法一：过点C 做ACM ABE ∠=∠，交AD 于点M ，通过AEB AMC 可知AC AM CM AB AE BE ==，通过DCM AFE 可知DM CM AE EF =，通过比例关系可推导出AD AE的值；方法二：过点B 做//BN AC 交AE 延长线于点N ，通过AHC DHA 和ACD ABN 相似得到的比例关系即可可推导出AD AE的值； （3）同方法二辅助线，通过证明AHC DHA ，AFE NBE ，然后由对应边成比例即可推导出结论．【详解】()1BA BC =,BAC BCA ∴∠=∠180,ACD DAE ∠+∠=180,ACD ACB ∠+∠=∴∠=∠ADE ACB,∴∠=∠DAE BAC,∴∠=∠DAC BAE,()2方法一：∠=∠，交AD于点M 过点C做ACM ABE∠=∠,DAC BAE∴AEB AMCAC AM CM∴==AB AE BE=AB kAC1∴=AM AEk1=CM BEk=2BE EF2∴=CM FEk∠=∠+∠AEF EAB ABE∠=∠+∠DMC MAC ACM∴∠=∠DMC AEFACB D DAC∠=∠+∠∠=∠+∠DAE DAC FAEDAE ACB∠=∠∴∠=∠D FAE∴DCM AFEDM CM∴=AE EF2∴=DM AEk3∴=+=AD AM DM AEkAD3∴=AE k方法二：BN AC交AE延长线于点,N 过点B做//,∴∠=∠N FAE∠=∠,AFE EBN∴,AFE NBEAE EF∴=NE BE=BE EF2,∴=NE EA2,NA EA∴=3,∠=∠+∠ACB D DAC,DAE DAC FAE∠=∠+∠,DAE ACB∠=∠,∴∠=∠,D FAE,DAC BAE ∴∠=∠ ACD ABN ∴ AC AD AB AN ∴= ,AB kAC = ,AN kAD ∴= 3,AE kAC ∴= 3AD AE k ∴= ()3同方法二辅助线,D CAH ∠=∠ ,AHC DHA ∠=∠ AHC DHA ∴ 2AH HC DH ∴=⋅ 23AH AC DH AD == 23AD AC ∴= AB kAC = 32AD AB k ∴= 3AD AE k =12AE AB ∴= 设2AH a AB BC b ===,13,2DH a AE b ∴== 2NE AE =NE b ∴=EH AH AE EN NH =-=-322NH b a ∴=- 2AH HC DH =⋅43CH a ∴= 53CD a ∴= ∴由方法二相似得53BN ak = ADHNBH ' AD DH NB NH∴= 33253232b a k ak b a ∴=- 222912200b ab a k ∴--=(123a b -∴=（舍），(223ab +=12AB CH +∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）．（1）b=__________（用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积；（3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．【答案】（1）b=-2m-2；（2）24；（3）m =． 【解析】【分析】（1）根据A(m-2，n)， B （m+4，n ）纵坐标一致，结合对称轴即可求解；（2）先用含m 的代数式表示c ，再带入A 点坐标即可求出n=3，最后利用铅锤法即可求出△ABC 的面积； （3）先用只含m 的代数式表示二次函数解析式，再结合带取值范围的二次函数最值求法分类讨论即可．【详解】（1）∵2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ）， ∴对称轴2422b m m x -++=-= ∴22b m =--(2)∵22b m =--∴2(22)y x m x c =-++把C （m ，53n -）代入2(22)y x m x c =-++ ∴2523c m m n =+-∴225(22)23y x m x m m n =-+++-把A(m-2，n)代入225(22)23y x m x m m n =-+++-得583n n =-∴n=3∴A(m-2，3)， B （m+4，3），C （m ，5-）∴AB=6C 点到x 轴的距离为：3﹣(-5)=8，∴S △ABC=12×6×8=24 (3)∵n=3∴22(22)25y x m x m m =-+++-∴2(1)6y x m =---∴当1x m =+时-6y =最小∵6y m -≤≤ ∴由函数增减性知11222m m m ≤+≤+ 即1m ≥-∴当10m -≤<时 由函数增减性知12x m =时，y m =最大 ∴21(1)62m m m =---∴m =±当0m ≥时由函数增减性知22x m =+时，y m =最大∴2(221)6m m m =+---∴1m =（舍）2m =∴12m -+=【点睛】本题考查二次函数综合运用，当参数比较多时可以带入解析式，利用解方程消元法消去多余的参数，在最后一问中对于带取值范围的二次函数最值需要根据对称轴与取值范围的关系确定范围内的最值．。
2021上海初三数学一模压轴题汇总(各区23~25题)
崇明23．〔此题总分值12分，每题各6分〕如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ． 〔1〕求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； 〔2〕联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．〔第23题图〕ABDECGF崇明24．〔此题总分值12分，每题各4分〕如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点〔点、N ． 〔〔〔〔第24题图〕 〔备用图〕崇明25．〔此题总分值14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分〕如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．〔1〕如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；〔2〕如图2，当点E 在AC 边上挪动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，假如变化请说出变化情况；假如保持不变，恳求出DFE ∠的正切值；〔3〕如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．〔第25题图1〕 ABCD FE BD F ECA〔第25题图2〕BDFECA〔第25题图3〕金山23. 〔此题总分值12分，每题6分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．〔1〕求证：DF是BF和CF的比例中项；〔2〕在AB上取一点G，假如AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．金山24. 〔此题总分值12分，每题4分〕y ax bx与y轴相交于点C，与x轴平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线23x，顶点为正半轴相交于点A，OA OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线1P．〔1〕求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；〔2〕抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；〔3〕点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．金山25. 〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题6分〕如图，在△ABC中，45,cos5AB AC B，P是边AB一点，以P为圆心，PB为半径的P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；〔3〕假如△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题8分〕如图8，点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．〔1〕求证：∠CAE＝∠CBD；〔2〕假设BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图8青浦24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题4分，第〔3〕小题5分〕如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A 〔-1，0〕和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．〔1〕求点C 的坐标〔用含a 的代数式表示〕；〔2〕联结AC 、BC ，假设△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；〔3〕在第〔2〕小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图9青浦25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕 如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点〔点P 不与点A 、点 D 重合〕，点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． 〔1〕当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； 〔2〕设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；〔3〕联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，假设存在，指出这个角，并求出它的度数；假设不存在，请说明理由．图10QP D C BA 备用图A BCD黄浦23、〔此题总分值12分〕如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，BD 是BA 与BE 的比例中项.〔1〕求证：12CDE ABC ∠=∠〔2〕求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ ED CBA黄浦24、〔此题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. 〔1〕求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；〔2〕现将此抛物线沿y 方向平移假设干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，假设AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、〔此题总分值14分〕 如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E 〔不与端点A 、D 重合〕.〔1〕当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； 〔2〕当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；〔3〕设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.PDBA P EDC BA松江23．〔此题总分值12分，每题6分〕四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC〔1〕求证：AD∥BC；〔2〕过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC松江24．〔此题总分值12分，每题4分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． 〔1〕求点A 的坐标和抛物线的表达式； 〔2〕当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；〔3〕记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．松江25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．〔1〕求线段CD的长；〔2〕当点P在CD的延长线上，且∠P AB=45°时，求CP的长；〔3〕记点M为边AB的中点，联结CM、PM，假设△CMP是等腰三角形，求CP的长．闵行23．〔此题共2小题，每题6分，总分值12分〕如图，在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E =∠C ．〔1〕求证：2AD AF AB =⋅； 〔2〕求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．〔第23题图〕ABDCEFG闵行24．〔此题共3题，每题4分，总分值12分〕抛物线23(0)y ax bx a=++≠经过点A〔1-，0〕，B〔3 2且与y轴相交于点C．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕求∠ACB的度数；〔3〕设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．〔第24题图〕闵行25．〔共3小题，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题4分，总分值14分〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 是斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ． 〔1〕当∠EDF =90°时，求AE 的长；〔2〕CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； 〔3〕假如△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．〔备用图〕ABDC〔第25题图〕ABDCEFG浦东23．〔此题总分值12分，其中第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕如图，，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. 〔1〕求证：BD ⊥AC ；〔2〕联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A 〔第23题图〕DEFBC浦东24．〔此题总分值12分，每题4分〕抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；〔3〕在〔2〕的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.假设存在，求出点E〔第24题图〕浦东25．〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ． 〔1〕求证：△EFG ∽△AEG ；〔2〕设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； 〔3〕联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．〔第25题备用图〕ABC〔第25题备用图〕ABC虹口23．〔此题总分值12分，第〔1〕题总分值6分，第〔2〕题总分值6分〕如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅．〔1〕求证AD AB AE AC ⋅=⋅；〔2〕当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．虹口24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值4分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A〔-2,0〕、B〔4,0〕，与y轴交于点C〔0，-4〕，BC与抛物线的对称轴相交于点D．〔1〕求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；〔2〕过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，点F在射线AE上，假设△ADF∽△ABC，求点F的坐标．虹口25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值5分，第〔3〕小题总分值4分〕AB=5，AD=4，AD∥BM，3cos5B=〔如图〕，点C、E分别为射线BM上的动点〔点C、E都不与点B重合〕，联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，AFyAC=．〔1〕如图1，当x=4时，求AF的长；〔2〕当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；〔3〕联结BD交AE于点P，假设△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．普陀23. 〔此题总分值12分〕：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：〔1〕BCE ADE ∽；〔2〕··AB BC BD BE =．图9A Bx普陀24．〔此题总分值12分，每题总分值各4分〕如图10，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c +=+〔其中a c 、为常数，且0a <〕与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的间隔 为4．〔1〕求该抛物线的表达式； 〔2〕求CAB ∠的正切值；〔3〕假如点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值3分，第〔1〕小题总分值5分，第〔1〕小题总分值6分〕如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点〔点D 不与点A B 、重合〕，以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．〔1〕点D 在运动时，以下的线段和角中，______是始终保持不变的量〔填序号〕；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠； 〔2〕设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；〔3〕假如PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．备用图图11BPACCE F嘉定23．〔此题总分值12分，每题6分〕如图6，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.〔1〕求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；〔2〕以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.图6嘉定24．〔此题总分值12分，每题4分〕在平面直角坐标系xOy 〔如图7〕中，抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B . 〔1〕求该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，假如 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；〔3〕设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．〔总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．〔1〕如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； 〔2〕如图9，试探究：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？假设有变化，请说明你的理由；假设没有变化，恳求出它的比值；〔3〕如图10，假设点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10静安23. 〔此题总分值12分，其中第1小题6分，第2小题6分〕：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ． 〔1〕求证：ABE ∽DBC ；〔2〕假如56BC BD =，求BCE BDAS S 的值．静安24. 〔此题总分值12分，第1小题4分，第2小题8分〕在平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．〔1〕求此抛物线顶点C的坐标；〔2〕联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. 〔此题总分值14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分〕：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕假如点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F 〔点F 可与点D 重合〕，AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a 〔a 实常数，且0a >〕，,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；〔3〕在第〔2〕小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．〔计算结果用含a 的代数式表示〕长宁23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． 〔1〕求证：BFD ∆∽CAD ∆； 〔2〕求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDABC第23题图长宁24．〔此题总分值12分，每题4分〕在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．〔1〕求上述抛物线的表达式；〔2〕联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，假如∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；〔3〕过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 假设∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图第24题图长宁25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题5分〕 在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点〔点P 不与点B 、D 重合〕，过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E . 设PD=x ，EF =y ．〔1〕当点A 、P 、F 在一条直线上时，求 ABF 的面积；〔2〕如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； 〔3〕联结PC ，假设∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图 备用图图1DCBA DCBA F EP D CB A 第25题图徐汇23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值7分〕如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．〔1〕求证：AE=AF；〔2〕假设DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．徐汇24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值3分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值5分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx 〔k ≠0〕沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B 〔3,0〕，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．〔1〕求直线BC 及该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；〔3〕假如点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题7分，第〔3〕小题4分〕，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N〔点N在点M的左侧〕．〔1〕当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；〔2〕如图〔1〕，当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；〔3〕假如△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题7分〕：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.〔2〕当EF//DC时，求证：AE=DE.〔第23题图〕杨浦24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .〔1〕求顶点D 的坐标〔用含m 的代数式表示〕；〔2〕当抛物线过点〔1，-2〕，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和间隔 ；〔3〕当抛物线顶点D 在第二象限时，假如∠ADH =∠AHO ，求m 的值.〔第24题图〕杨浦25．〔此题总分值14分，第〔1〕、〔2〕小题各6分，第〔3〕小题2分〕：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. 〔1〕如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； 〔2〕如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；〔3〕请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.〔备用图〕〔图1〕A B C D NP ME〔图2〕 A B C D N P M E 〔第25题图〕A B CD奉贤23．〔此题总分值 12 分，每题总分值各 6 分〕：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点， CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =． （1） 求证：BD 平分∠ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. 〔此题总分值 12 分，每题总分值各 4 分〕如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． 〔1〕求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； 〔2〕求FAB ∠的余切值；〔3〕点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．〔此题总分值 14 分，第〔1〕小题总分值 3 分，第〔1〕小题总分值 5 分，第〔1〕小题总分值 6 分〕：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD 上〔不与点A 、D 重合〕，45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =． 〔1〕用含x 的代数式表示线段CF 的长； 〔2〕假如把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C，设CAE BAFCy C=，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； 〔3〕当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．宝山23、〔总分值12分，每题各6分〕如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G . 〔1〕求证：AE EGAC CG=； 〔2〕假设AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.宝山24、〔总分值12分，每题各4分〕设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，假如它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数〞。
崇明区初三一模2024数学
崇明区初三一模2024数学选择题：1. 已知函数f(x) = 2x² + 3x - 5，则f(-1) 的值为：A. 2B. 0C. -10D. -62. 若直线y = 2x + 3 与y = kx + 1 平行，则k 的值为：A. 2B. -2C. 1/2D. -1/23. 若三角形ABC 中，∠B = 90°，AB = 5，AC = 12，则BC的长度为：A. 13B. 7C. 9D. 104. 若a + b = 8，ab = 12，则a² + b² 的值为：A. 16B. 40C. 64D. 1005. 若sin θ = 3/5，cos θ = 4/5，则tan θ 的值为：A. 3/4B. 4/3C. 3/5D. 4/5填空题：1. 解方程x² - 5x + 6 = 0 的两个根分别为__。
2. 分解因式2x² + 4x，得到的结果是__。
3. 已知一个等边三角形的周长为15cm，则每条边长为__cm。
4. 若直角三角形的两个锐角的比是2:3，则较小的角的度数为__°。
5. 若log₄(x) = 2，则x 的值为__。
应用题：1. 一个等边三角形的高为6cm，求其面积。
2. 一辆汽车以每小时60km 的速度行驶，另一辆汽车以每小时80km 的速度行驶，若两车相向而行，2小时后它们相遇在多少公里处？3. 若一座塔的高度为20m，从塔底向塔顶的仰角为30°，求观察者离塔底的水平距离。
4. 一个矩形花坛的长是12m，宽是6m，围绕花坛修一圈小路，小路宽度为2m，求小路的面积。
5. 某地白天每小时升高2m，夜晚每小时降低1m，如果雨下了12 小时，最终降雨的总高度是多少米？。
〖汇总3套试卷〗上海市崇明县2021年中考数学模拟卷
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为( )A ．65°B ．130°C ．50°D ．100°【答案】C 【解析】试题分析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C ．考点：切线的性质．2．下列各式中，互为相反数的是（ ）A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32- 【答案】A【解析】根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确； B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．3．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3πC ．23π-D ．223π-【答案】D 【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=3BD=3，∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯⨯=3，S扇形BAC=2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣2×3=2π﹣23，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（32，0）B．（2，0）C．（52，0）D．（3，0）【答案】C【解析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，OAC BCDAOC BDC AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝kx，将B（3，1）代入y＝kx，∴k＝3，∴y＝3x，∴把y＝2代入y＝3x，∴x＝32，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了32个单位长度，∴C也移动了32个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（52，0）故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．5．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm【答案】D【解析】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，由CD//AB 可得△OAB ∽△OCD ，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD 的值即可.【详解】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，∵AB//CD ，∴OF ⊥CD ，OE=12，OF=2，∴△OAB ∽△OCD ，∵OE 、OF 分别是△OAB 和△OCD 的高，∴OF CD OE AB =，即2126CD =， 解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.6．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n 、m 的大矩形，则图中阴影部分的周长是（ ）A ．6（m ﹣n ）B ．3（m+n ）C ．4nD ．4m【解析】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )A．6 B．8C．10 D．12【答案】D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF AB==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．GF GD【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF AB==2，GF GD∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DG==1，GE CG∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．8．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）A ．参加本次植树活动共有30人B ．每人植树量的众数是4棵C ．每人植树量的中位数是5棵D ．每人植树量的平均数是5棵【答案】D 【解析】试题解析：A 、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A 正确；B 、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B 正确；C 、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C 正确；D 、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D 不正确．故选D ．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．9．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b 0+>B ．ab<0C ．a>bD ．b a 0->【答案】C【解析】根据各点在数轴上位置即可得出结论．【详解】由图可知，b<a<0，A. ∵b<a<0，∴a+b<0，故本选项错误；B. ∵b<a<0，∴ab>0，故本选项错误；C. ∵b<a<0，∴a>b ，故本选项正确；D. ∵b<a<0，∴b−a<0，故本选项错误.故选C.10．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数有（ ）A ．12B ．48C ．72D ．96【答案】C 【解析】解:根据图形，身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数的百分比为：12100%=24%6+10+16+12+6⨯， ∴该校男生的身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．已知点A(2,0),B(0,2),C(-1,m)在同一条直线上,则m 的值为___________.【答案】3【解析】设过点A （2，0）和点B （0，2）的直线的解析式为：y kx b =+，则202k b b +=⎧⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点C （-1，m ）在直线AB 上，∴(1)2m --+=，即3m =.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.12．因式分解：3x 3﹣12x=_____．【答案】3x （x+2）（x ﹣2）【解析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．不等式组32132x x x ->⎧⎪⎨≤⎪⎩的解是____. 【答案】16x <≤【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】32132x x x ＞①②-⎧⎪⎨≤⎪⎩ 解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是1＜x≤1，故答案是：1＜x≤1．【点睛】考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．14．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．【答案】【解析】根据概率的公式进行计算即可.【详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.故答案为：.【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.15．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ．【答案】2【解析】试题分析：设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．解：如图所示,在Rt△AOG中,OG=3,∠AOG=30°，∴OA=OG÷cos 30°=3÷3=2；故答案为2.点睛：本题主要考查正多边形和圆的关系. 解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解.16．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为（3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E（-1，0）、G（0，-1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），（1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），∴231k bb=+⎧⎨-=⎩，解得11bk=-⎧⎨=⎩．∴此函数的解析式为y=x-1，与EC的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）． 故答案为：（1，0）、（-5，-2）．17．如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x(x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______.【答案】6.【解析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S △AOD =92, S △BOE =12，再证明△BOE ∽△AOD ，由性质得OB 与OA 的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．【详解】如图，分别作BE ⊥x 轴，AD ⊥x 轴，垂足分别为点E 、D ，∴BE ∥AD ，∴△BOE ∽△AOD ， ∴22BOE AOD S OB S OA =， ∵OA=AC，∴OD=DC ，∴S △AOD =S △ADC =12S △AOC ， ∵点A 为函数y=9x （x ＞0）的图象上一点， ∴S △AOD =92， 同理得：S △BOE =12， ∴112992BOE AOD S S ==， ∴13OB OA =， ∴23AB OA =， ∴23ABCAOC SS =， ∴2963ABC S ⨯==， 故答案为6.18．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则列出的方程组为_____．【答案】2753x y x y +=⎧⎨=⎩【解析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．【详解】根据图示可得2753x yx y+=⎧⎨=⎩，故答案是：2753x yx y+=⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．三、解答题（本题包括8个小题）19．解不等式组：3(1)72323x xxx x--<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.【答案】x≥3 5【解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.详解：()3172323x xxx x⎧--<⎪⎨--≤⎪⎩①②，由①得，x＞﹣2；由②得，x≥35，故此不等式组的解集为：x≥35．在数轴上表示为：．点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？【答案】（1）答案见解析；（2）1 4【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A 书法、B 阅读；A 书法、C 足球；A 书法、D 器乐；B 阅读，C 足球；B 阅读，D 器乐；C 足球，D 器乐.共有6种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率41.164== 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．21．已知m 是关于x 的方程2450x x -=+的一个根，则228m m +=__【答案】10【解析】利用一元二次方程的解的定义得到245m m +=，再把228m m + 变形为()224m m +，然后利用整体代入的方法计算 ．【详解】解：m 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根，2450m m ∴+-=，245m m ∴+=，()2228242510m m m m ∴+=+=⨯=．故答案为 10 ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ． 22．矩形AOBC 中，OB=4，OA=1．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数y=k x（k ＞0）的图象与边AC 交于点E 。
2021届上海市崇明县中考数学达标测试试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图象是（）A．B．C．D．2．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为( )A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm3．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）．A．3-B．3C．2D．84．已知函数()()()()22113{513x xyx x--≤=--＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．若数a使关于x的不等式组()3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．26．如图，在矩形ABCD中，2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是()A．1，2，3 B．1，1，2C．1，1，3D．1，2，38．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)().A．10 cm3以上，20 cm3以下B．20 cm3以上，30 cm3以下C．30 cm3以上，40 cm3以下D．40 cm3以上，50 cm3以下9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为42，则a的值是（）A．4 B．32C．2D．3310．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A．141°B．144°C．147°D．150°二、填空题（本题包括8个小题）11．因式分解：34a16a-=______．12．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－5 －4 －3 －2 －1 …y … 3 －2 －5 －6 －5 …则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是______．14．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．15．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S，请观察图中的规律:按上规律推断，S与n的关系是________________________________．16．分解因式：x2－9＝_ ▲．17．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，那么AODO等于（）A ．253；B ．13；C ．23；D ．12． 18．已知a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中3cm a =，2cm b =，6cm c =，则d =_______cm ．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .求证.DF AB =若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .20．（6分）计算：20112(1)6tan 303π-︒⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭解方程：544101236x x x x -++=-- 21．（6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.求m 的值和点D 的坐标.求tan BAO ∠的值.根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？23．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是AD 上的一点，∠DBC=∠BED ．求证：BC 是⊙O 的切线；已知AD=3，CD=2，求BC 的长．24．（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．画出△A1OB1；直接写出点A1和点B1的坐标；求线段OB1的长度．26．（12分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t 之间的关系分为两段，先快后慢。