第十章股票价格的行为

dS Sdt Sdz
即:
dS S

dt
dz
几何布朗运动是描述股票价格行为最广泛使用 的一种模型。
变量σ通常被称为股票价格波动率(stock price volatility)。即是股票收益率单位时间的标准差。 σ2表示股票收益率单位时间的方差。
变量μ为股票在单位时间内以连续复利表示的 股 票 价 格 的 预 期 收 益 率 ( expected rate of return)。
即σ2Δt是Δt时间后股票价格比例变化 (proportional change)的方差，
σ2S2Δt是经过Δt后股票价格的实际变化 (actual change)的方差。
因此，S的瞬态方差率(instantaneous variance rate)为σ2S2。
3、股票价格行为的几何布朗运动
（1）从以上阐述可以得出结论：S可以用瞬态 期望漂移率(instantaneous expected drift rate) 为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗 运动）来表达，表示为：
N

T t
N
z(T ) z(0) i t i1
其中εi（i=1，2，……，N）是从标准正态分布 的随机抽样值。
从性质2中可知,ε i是相互独立的， 从上式可得z(T)—z(0)是正态分布的，其中 [z(T)—z(0)] 的均值=0 [z(T)—z(0)]的方差=NΔ t=T
[z(T)—z(0)]的标准差= T
因此x具有正态分布,且 :
x的均值 at x的标准差 b t x的方差 b 2 t
类似的，可得任意时间T后x值的变化具有正态分 布，且：
x的均值 aT
x的标准差 b T
x的方差 b 2T
方程：dx=adt+bdz 给出了普通布朗运动，其漂移率(即单位时间 平均漂移)的期望值为a，方差率(即单位时间的 方差)的期望值为b2。如图：
2、效率市场分类
效率市场假说可分为三类：弱式、半强 式和强式。
弱式效率市场假说认为，证券价格变动 的历史不包含任何对预测证券价格未来 变动有用的信息，也就是说不能通过技 术分析获得超过平均收益率的收益。
半强式效率市场假说认为，证券价格会 迅速、准确地根据可获得的所有公开信 息调整，因此以往的价格和成交量等技 术面信息以及已公布的基本面信息都无 助于挑选价格被高估或低估的证券。
这就是说，作为近似，波动率可被解释 为一年内股票价格变化的标准差。
注意：在一段较长时间T后的股票价格比 例变化的标准差并不精确地为σ T。这是 因为比例变化不具有可加性
4、参数的讨论
（1）参数时间：
在几何布朗运动中，我们涉及两个符号： μ和σ，其大小取决于时间计量单位。
若无特别申明，通常以年为时间的计量 单位。
这两个参数假设为常数。
dz表示标准布朗运动。
（2）从几何布朗运动可知，在短时间Δt 后，证券价格比率的变化值ΔS/S为：
ΔS/S=μΔt+σε 方程的左边是短时间Δt后t 股票的收益率。
μΔt项是这一收益率的期望值，
σε 项是收益率的随机部分。随机部分 的方差(也是整个收益的方差)为σ2Δt。
t
当Δt→0时，我们就可以得到极限的标准布朗 运动或维纳过程：
dz dt
(二)普通布朗运动
漂移率(Drift Rate)是指单位时间内变量Z均值 的变化值。 方差率(Variance Rate)是指单位时间的方差变 动比率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等 于它的当前值。 方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后， z的方差为1.0×T
因此，在任一长度为T的时间间隔内，遵循维纳过程的随 机变量值的增加具有均值为0、标准差为 T 的正态分布。
这就是为什么Δ z被定义为与 t 的乘积而不是与Δ t的 乘积。对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，标准 差不具有可加性。这样定义的随机过程就可以使得变量变 化的方差而不是标准差与所考虑的时间长度成正比。
三、Ito定理及其运用。
一、随机过程
1、随机过程 如果某变量的值以某种不确定的方式随 时间变化，则称该变量遵循某种随机过 程(stochastic process)。
2、分类 随机过程分为离散时间(discrete time)和 连续时间(continuous time)两类。 一个离散时间随机过程是指标的变量值只 能在某些确定的时间点上变化的过程；
即Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化 而变化。
四、股票价格的行为过程
——讨论无红利支付股票价格遵循的随 机过程
1、假定股票价格遵循普通布朗运动的不合理 性
这种假定表明股票价格运动具有不变的期望漂 移率和方差率。
以S代表股票价格, Δt时间段股价的变化为ΔS， 那么在Δt时间段，ΔS的均值为aΔt,方差为b2Δt。 此时aΔt/S代表股票的期望收益率。
强式效率市场假说认为，不仅是已公布 的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息(包括 “内幕信息”)对挑选证券都没有用处。
效率市场假说提出后，许多学者运用各 种数据对此进行了实证分析。结果发现， 发达国家的证券市场大体符合弱式效率 市场假说。
3、马尔科夫过程
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过 程(Markov Stochastic Process)来表述。
股价行为模型通常用布朗运动来描述。
布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。
（一）标准布朗运动
变量z是一个随机变量，设一个小的时间 间隔长度为Δt，定义Δz为在Δt时间内z的 变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须满足 两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式
Δz=ε t
其中ε为服从标准正态分布(即均值为0、 标准差为1.0的正态分布)中抽取的一个随 机值。
马尔科夫过程(Markov process)是一种特 殊类型的随机过程。
这个过程说明只有变量的当前值与未来 的预测有关，变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式则与未来的预测 不相关。
股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 (the weak form of market efficiency)相 一致：
马尔科夫过程
1、效率市场假说 1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场 假说。该假说认为：
投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报 酬；
证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确 的，证券价格能完全反应全部信息；
市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另 一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是 相互独立的。
这表明承担相同风险的情况下，股价高的获得 的收益率低，股价低的获得的收益率高。
这与投资者要求来自股票的期望收益率与股票 价格无关的现实不一致。
2、一种修正：假定股票价格变化率遵循 普通布朗运动
假设股价变化比率遵循布朗运动。设S遵 循期望漂移率为μS（μ为常数）的布朗运 动。因此，在短时间间隔Δt后，S的增长 期望值为μSΔt。参数μ是股票的期望收益 率，以小数的形式表示。
(三)Ito过程
若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t 的函数，得到另一种类型随机过程，即著名的 Ito过程(Ito process)，即伊藤过程。
dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz
其中，dz是一个标准布朗运动，参数a和b是标 的变量x和时间t值的函数。变量x的漂移率为a， 方差率为b。
令漂移率的期望值为a，方差率的期望值 为b2，得到变量x的普通布朗运动,用dx定 义如下：
dx=adt+bdz
其中a和b量x关于时间和dz动态过 程。
其中第一项adt为确定项，adt项说明了x 变量单位时间的漂移率期望值为a。如果 缺省bdz项，方程变为:
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25， 以年为单位计时。那么，则有：
在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正 态分布；
在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为√2或1.414
的正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为√2 ，是因为变量值 在未来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示） 是随着时间长度的平方根而增加的。
dx=adt→dx/dt=a→ x=x0+at 其中x0为x在零时刻的值。经过长度为T 的时间段后，x增加的值为aT。
第二项bdz是随机项，它表明对x的动态 过程添加的噪音或波动率。这些噪声或 波动率的值为维纳过程的b倍。
短时间t后, x值的变化x为 :
x at b t 其中, 是取自标准正态分布的随机抽样值`.
一种股票的现价已经包含了所有信息， 当然包括了所有过去的价格记录。
如果弱型市场有效性正确的话，技术分 析师可通过分析股价的过去历史数据图 表获得高于平均收益率的收益是不可能 的。
是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。
三、维纳过程
布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或 气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象 的英国植物学家Robert Brown命名。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener) 给出的，因此布朗运动又称维纳过程
例：假设某公司的现金头寸遵循一般维纳过程，每年漂移率 为20，每年方差为900，最初的现金头寸为50万。 那么，则有：
在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60；标 准差为30√0.5=21.21的正态分布；
在第1年末，该头寸将服从正态分布， 均值为70，标准
差为30。
分析：同前，随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性 （用标准差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
第十章 股票价格的行为模式
教学目的与要求
掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过 程的特点，掌握维纳过程的特点和性质， 掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率 和方差率，维纳过程的均值和标准差。 掌握Ito过程的特征。