人教版高中数学高二必修五 3.4基本不等式 (第2课时)

第2课时 基本不等式的应用

1．复习巩固基本不等式．

2．能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题．

1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab

(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了a 2＋b 2≥______，也可用分析法证明如下：

要证明a 2＋b 2≥2ab ，只要证明a 2＋b 2－2ab ≥0，即证明(a －b )2≥0，这显然对a ，b ∈R 成立，所以a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．

(2)关于不等式a 2＋b 2≥2ab 的几点说明：

①不等式中的a ，b 的取值是____实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式．

②公式中等号成立的条件是______，如果a ，b 不能相等，则a 2＋b 2≥2ab 中的等号不能成立．

③不等式a 2＋b 2≥2ab 可以变形为ab ≤a 2＋b 22

，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab,2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2等． 【做一做1】 不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )

A ．a ＝±1

B ．a ＝1

C ．a ＝－1

D ．a ＝0

2．基本不等式

如果a ，b 为正实数，那么a ＋b 2

≥____，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：

(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a ，b 都是____；二是“当且仅当_____”时等号成立．

(2)它还可以描述为：

两个正实数的算术平均值大于或等于它的____平均值．

(3)基本不等式是非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理

体系，奠定了不等式的理论基础．

【做一做2】 已知0＜α＜π，则2sin α＋

12sin α

的最小值是__________．

答案：1．(1)2ab (2)①任意 ②a ＝b

【做一做1】 B 2.ab (1)正数 a ＝b (2)几何

【做一做2】 2

利用基本不等式解应用题的步骤

剖析：(1)审清题意，读懂题；

(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数y ；

(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；

(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；

(5)根据实际问题写出答案．

不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值．

题型一 实际应用题

【例题1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积

) 分析：转化为求函数的最小值．

反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：

①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

④根据实际背景写出答案．

题型二 易错辨析

【例题2】求函数y ＝x 2＋3

x 2＋2的最小值．

错解：y ＝x 2＋2＋1x 2＋2＝x 2＋2x 2＋2＋1x 2＋2

＝x 2＋2＋1x 2＋2

≥2，故y 有最小值2. 错因分析：错解中在用基本不等式求最值时，没考虑到定理成立的条件，实际上不论x 取何值，总有x 2＋2≠1x 2＋2

.因此本题不能用基本不等式求解． 反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决．

答案：【例题1】 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，

则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x

＝560＋48x ＋10 800x

(x ≥10，x ∈N *)． 所以f (x )＝560＋48x ＋10 800x

≥560＋248×10 800＝2 000，

当且仅当48x ＝10 800x

， 即x ＝15时取等号．

因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000， 即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．

【例题2】 正解：设t ＝x 2＋2，则y ＝t ＋1t ，t ≥ 2. 可以证明y ＝t ＋1t

在[2，＋∞)上为增函数， 则y ≥2＋12

＝322， 即y min ＝322

，此时t ＝2，则x ＝0.

1函数y ＝3x ＋32－

x 的最小值为__________．

2两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于__________．

3如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________ dm 2.

4函数y ＝13

x x +-(x ≥5)的最小值为__________． 5已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x 不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利16125x ⎛

⎫- ⎪⎝⎭

万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

答案：1．6 2.2 3.56 4.112

5．解：设重组后，该企业年利润为y 万元．

当待岗人员不超过1%时， 由16125x

-＞0，x ≤2 000×1%＝20， 得0＜x ≤20(x ∈N )，

则y ＝(2 000－x )163.510.525x x ⎛⎫+-

- ⎪⎝⎭ ＝25659000.64x x ⎛

⎫-++ ⎪⎝⎭

； 当待岗人员超过1%且不超过5%时，