【课堂例题】2014年秋季第一讲：定义新运算
提高【练一练】 规定○表示一种新的运算符号，存在如下的运算方式： 12○3=12-3-2-1 7○2=7-2-1 99○5=99-5-4-3-2-1 按此规定，如果 n○4=42，那么 n=
尖子【练一练】 ○表示一种新的运算符号，已知：3□3=3×4×5 7□2=7×8 2□4=2×3×4 按此规则 （1）5□3= （2）如果 n□3=60,那么 n=
共10次运算
【分析】1*9=1X9+1+9=19 19*9=19X9+19+9=199 199*9=199X9+199+9=1999 、 、 、 1 9 9
9 9 1999999999
共10次运算
尖、 【例 3】a△b=b（a+1）－a（b－1） ，计算： （2△1）+（4△3）+（6△5）+（8△7）+ （10△9）=_________
给孩子受益一生的教育 由 8*8*8=8 可知 8 相当于我们的 1 由 9*3=3 可知 3 相当于我们的 0 由(93+8)*7=837 可知 7 相当于我们的 5 于是 89*57 相当于我们 12*85=1020,翻译成红毛族的结果是 8393,即:89*57=8393
【练】绿毛族：3×3=3、8×7=8、7×7×7=6、(8+7+3)×9=39，那么绿毛族 38796 代表 人类的多少？
【练一练】 规定：a△b=5a-3b，计算：4△3；3△3；3△5
【练】已知当 a 大于或等于 b 时，规定 a△b=3a+4b；当 a 小于 b 时，规定 a△b=4a+3b， 按此规定计算： （6△4）△35=_______
9 9 9 9 _______ 【挑战】A*B=AB+A+B，则 1
【练】规定：a☆b=2b+3a，则： （1）x☆2=13，求：x？ （2）6☆x=50，求：x？
A 册子深化练习 8 【挑】规定：
，求：
，x 等于多少？
【超常挑战】 （迎春杯） 若 a*b 为 a、b 之间所有与 a 奇偶性相同的数的平均数，例如： 7*14=（7+9+11+13）÷4=10 18*10=（18+16+14+12+10）÷5=14 如果：□*（99*19）=80，则□等于多少？ 【分析】 7*14=（7+9+11+13)/4=10 这里可以转化成 7*14=（7+13）/2=10 该定义运算既算 a、b 间最大和最小两个奇（偶）数的平均值
给孩子受益一生的教育 【超常挑战】 [a]表示取 a 的整数部分，{b}表示取 b 的小数部分，已知：x+[y]=2013;{x}+y=20.13，求： x 等于多少？ 【分析】x+[y]=2013，2013 是整数，[y]为整数，所以 x 为整数，则{x}+y=20.13 中{x}=0， 则 y=20.13，则[y]=20，x=2013-20=1993
给孩子受益一生的教育 所以 19*99=（19+99）/2=59 填入的数为 x x 为奇数时，x*59=（x+59）/2=80，x=101 x 为偶数时，x*59=（x+60）/2=80，x=100
【规律型运算】
提高、尖子【例 5】2○3=2+3+4；7○2=7+8；3○5=3+4+5+6+7 （1）9○6=_______ （2）n○4=86，则 n=_______ （3）m○7=42，则 m=_______ （4）x○8=68，则 x=_______
提高、尖子【例 1】 A→B=A，例如：警察→小偷=警察，小偷→警察=小偷，求： （猎人→白菜）←（山羊←白 菜=________
A 册子同步练习 1 我们规定： 符号←表示两数中左边的数，例如 3←2=3 符号→表示两数中右边的数，例如 5→8=8 (1)计算 3→2←1 (2)求： （2014→2013）←（2012→2011）←（2010→2009）……（2→1）=________
给孩子受益一生的教育 提高例 3 尖子练一练 a△b=（a+ b）－（a－b） ，计算： （2△1）+（3△2）+（4△3）+…+（10△9）=_________
提高例 3 练一练 a△b=（a-b）－（b－a） ，计算： （2△1）+（3△2）+（4△3）+…+（10△9）=_________
【例 4】对于任意的两个自然数 a 和 b，规定新运算*表示为： a*b=a+(a+1)+…+(a+b-1) (1) 求 1*10 的值 (2) 已知 x*10=75,求 x 为多少？ (3) 如果（x*2）*3=30，求 x 为多少？
【操作型运算】
尖子【例 6】 有四种运算：A→×5 B→+3 C→÷4 D→－6，而且这四种运算可以相互连接运算 （1）输入 16，经过 A、C、D 三个运算，结果为多少？ （2）输入一个数，经过 D、C、B、A 四个运算，结果是 95，求这个数是多少？
【蘑菇老师的联系方式汇总——有问题找蘑菇】
手机：18040512675 微运算】
【例 2】规定：a※b=3a-2b，规定：a○b=3a+2b （1）5※4=_______；4※5=_______；2○3=_______；3○2=_______ （2）（8※7）※9=_______； （2※3）○5=_________ （3）5※4○3 尖子班 （3）5※4○3※2○1 （4）（1※1）+（2※2）+（3※3）+……+（100※100）
【挑战】在地球的另外一边生活着一个族群，它们的名称叫做红毛族，它们跟人类一样发明 出了数，写法与我们使用的数字一模一样，但代表的数量却是完全不同的。在红毛族的算式 中，有：8×8=8、9×9×9=5、9×3=3、 （93+8）×7=837，请问：在红毛族的运算中，89 ×57 等于多少？ 【分析】 由 9*9*9=5 可知 9 相当于我们的 2，5 相当于我们的 8
给孩子受益一生的教育
第一讲：定义新运算课堂例题及拓展题
一、基础知识 1、四则运算规则 2、新运算意义 二、四大题型 1、选择型运算 2、公式型运算 ①条件型 ②化简型 ③方程型 3、规律型运算 ①符号型 ②数字型 4、操作型运算
【选择型运算】
A 册子同步练习 2 定义：○表示选择两数中较大的数，例如：5○3=5，则 7○8=_______，9○100=_______ 定义：△表示选择两数中较小的数，例如：2△3=2，则 5△6=_______，100△1000=_______ 【练】 （3○5）△1=_______ （9△2）○1=_______ （12△14）○（13△15）=_______ （5△7）+（6○8）=_______ （6○9）×（7△3）=_______
(完整版)定义新运算(最新整理)
例 1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9 的值？
练习：（1）对定义运算※为 a※b=（a+b）×2。 求 5※7 和 17※5 的结果？
（2）对于任意的两个数 a 和 b，规定 a b= 3a-b÷3。求 6 9 和 9 6 的值。
1
例题延伸：若 A * B 表示（A+3×B）×B，求 5 * 7 的值。
小结：在没有算式的新运算符号问题中，解决问题的关键在于要将题干中的文字语言转化为 数学语言，能够根据题意列出新符号代表的数学算式。
PQ
例 4：P、Q 表示两个数，P△Q=
，求 4△（6△9）的值是多少？
3
2
练习：（1）如果 a b= a b ，那么 1998 2000 的值是多少？ 2
a 1
二、教学重难点：
1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。
2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
三、教学方法：引导发现法
四、教学过程：
（一）导入：
1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。
2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。
3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。
5、已知符号“#”表示 a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13 的值？ （体现对应思想和解题的三
个步骤）
加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72 的值？
小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运 算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与 定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算 （二）例题引导： 第一类：（直接运算型） 例题引导： ①表示求两个平均数的运算，则 a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15 时，求 a①b？
第1讲：定义新运算讲义
定义新运算(★★)(迎春杯试题)规定n※b＝3×n－b÷2。
例如：1※2＝1×3－2÷2＝2。
根据以上的规定，10※6＝()(★★)两个不相等的自然数a、b(b≠0)，较大的数除以较小的数商为a△b，余数记为a◇b，如3△11＝3、3◇11＝2，那么6◇(2△7)＝()。
⑴(★★★)(“从小爱数学”邀请赛)设a※b表示a的3倍减去b的2倍，即a※b＝3a－2b，例如，当a＝6，b＝5时，6※5＝3×6－2×5＝8。
①计算：(8※7)※9；②已知：x※(4※1)＝7，求：x。
⑵(★★★)规定a○b＝(3a－2b)，例如4○5＝3×4－2×5＝2，那么当x○5比5○x大5时，x等于几？⑴(★★)规定a⊗b＝a×3＋b÷2，其中a、b都是自然数。
①6⊗8的值；②8⊗6的值。
⑵(★★★)定义运算※为a ※b ＝a ×b －(a ＋b )，①求12※(3※4)，(12※3)※4；②这个运算“※”有结合律吗？③如果3※(5※x )＝3，求x 。
⑴(★★★)(“祖冲之杯”数学邀请赛)如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____。
⑵(★★★★)(中环杯试题)已知A *B ＝A ×B ＋A ＋B则101*9*9*9**9*9 共次运算＝__________。
(★★★★★)定义a *b 为a 与b 之间(包含a 、b )所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7*14＝(7＋9＋11＋13)÷4＝10，18*10＝(18＋16＋14＋12＋10)÷5＝14。
在算式□*(19*99)＝80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
2014小学初中衔接讲义(3)---定义新运算---
2014小学初中衔接讲义(3)---定义新运算---知识点：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规四则运算算式进行计算。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b)。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
练习3：1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
2．规定，那么8*5=________。
3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A是几？练习4：1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。
六年级奥数定义新运算
第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义, 从而解答某些算式的一种运算.解答定义新运算, 关键是要正确地理解新定义的算式含义, 然后严格按照新定义的计算程序, 将数值代入, 转化为常规的四则运算算式进行计算.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式, 它使用的是一些特殊的运算符号, 如：*、△、⊙等, 这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的.新定义的算式中有括号的, 要先算括号里面的. 但它在没有转化前, 是不适合于各种运算定律的.二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b), 求13*5和13*（5*4）.练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).. 求27*9.2、设a*b=a2+2b, 那么求10*6和5*（2*8）.【例题2】设p、q是两个数, 规定：p△q=4×q-(p+q)÷2. 求3△(4△6).练习2：1、设p、q是两个数, 规定p△q＝4×q－（p+q）÷2, 求5△（6△4）.2、设p、q是两个数, 规定p△q＝p2+（p－q）×2. 求30△（5△3）.【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, 4*2=4+44, 那么7*4=________；210*2=________.练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, ……那么4*4=________.2、规定, 那么8*5=________.【例题4】规定②=1×2×3, ③=2×3×4 , ④=3×4×5, ⑤=4×5×6, ……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A, 那么, A是几？练习4：1、规定：②=1×2×3, ③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A, 那么A=________.2、规定：③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ⑥＝5×6×7, ……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□, 那么□＝________.【例题5】设a⊙b=4a－2b+ ab /2,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x.练习5：1、设a⊙b=3a－2b, 已知x⊙（4⊙1）＝7求x.2、对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b= , 求6△4+9△8.3、设M、N是两个数, 规定M*N＝M/N+N/M, 求10*20－1/4.三、课后作业1、设a*b=3a－b×1/2, 求（25*12）*（10*5）.2、如果2*1=1/2, 3*2=1/33, 4*3=1/444, 那么（6*3）÷（2*6）=________.3、如果1※2＝1+2, 2※3＝2+3+4, ……5※6＝5+6+7+8+9+10, 那么x※3＝54中, x＝________.4、对任意两个整数x和y定于新运算, “*”：x*y＝（其中m是一个确定的整数）. 如果1*2＝1, 那么3*12＝________.面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。
(完整)第一讲定义新运算(精)
第一讲定义新运算【专题解析】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算.【教学重点】解答定义新运算，关键是要正确理解新定义的算式含义，并严格按照新定义的计算程序进行数值带入,转化为常规的四则运算算式进行计算。
【知识梳理】定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：□、※、△、＊、⊕、⊙等，这是与四则运算中的“+、-、x、÷”不同的.新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合各种运算定律的.本节课主要涉及4个方面：(1 找位置。
找准数字对应字母的位置，并注意运算顺序。
（2 找规律.一些题目不是直接给出定义的运算内容，需要总结归纳出算式的规律，方可运用.(3 解方程。
小升初常考内容，将数字带入定义的运算式子里，求x。
因此本节内容还会涉及去括号、乘法分配律和移项的知识。
（4 综合应用。
课外练习（12道配套作业+3道小升初链接）1. 设a*b=（a+bx（a-b，求27*9是多少。
2。
a*b=4xa-b，求（5＊4）＊(10*6）。
3. 设p、q是两个数，规定p△q=4xq—(p+q÷2，求5△(6△4。
4。
设x*y= - ，求18*3-.5. 对两个整数a和b,定义新运算“▽”：a▽b=，求6▽4+9▽8。
6. x、y是自然数，规定x*y=4x—3y，如果5*a=8,那么a是几？7。
规定A▽3=A+AA+AAA,已知2▽x=2468,求x。
8。
设a⊙b=5a—3b，已知x⊙（3⊙2）=18，求x。
9。
如果1＊5=1+11+111+1111+11111,2＊4=2+22+222+2222，3*3=3+ 33+333，……那么，4*4=?，18*3=?10. 规定a*3=a+（a+1)+（a+2），如果x*5=45，那么x=？11. x，y，x＇,y＇是自然数，定义(x，y，x＇，y＇）= xy+ x＇y＇，计算(1，2,3，4)，（3,4,1,2），（2,3,4,1），(4，1，2，3）,（14，10，14,10）的值。
四年级下册数学扩展专题练习-第一讲 定义新运算 无答案 -全国通用
第一讲定义新运算【一】有a、b两个数，规定a◎b=a＋（b－2）。
那么5◎2=？练习1、有a、b两个数，规定a※b=a＋2－b。
那么2※3=？2、有a、b两个数，规定a#b=a＋2－b＋9。
那么6#8=？【二】如果规定a◎b=a－b×2，那么a=8、b=3时，求8◎3=？练习1、如果规定a△b=a×3＋b，那么a=3、b=10时，求3△10=？2、如果规定a△b=（a＋b）÷4，那么a=1、b=7时，求1△7=？【三】设a、b都表示数，规定a△b表示a的3倍减去b的2倍。
试计算：①4△5，②6△7。
练习1、设a、b都表示数，规定a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、设a、b都表示数，规定a﹡b=3×a＋2×b。
试计算：①（5﹡6）﹡7；②5﹡（6﹡7）。
【四】对于两个数a与b，规定a※b=a×b＋a＋b。
试计算：6※2。
练习1、对于两个数a与b，规定a※b= a×b－（a＋b）。
试计算：3※5。
2、对于两个数A与B，规定A※B=A×B÷2.试计算：6※4。
【五】如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算：3△5。
练习1、如果5◎2=5×6，2◎3=2×3×4，按此规律计算：3◎4=？2、如果2◎4=24÷（2＋4），3◎6=36÷（3＋6），按此规律计算：8◎4=？【六】有一个数学运算符号“◎”，使下列算式成立：2◎4=8，5◎3=13，3◎5=11，9◎7=25。
按此规律计算：7◎3。
练习1、有一个数学运算符号“◎”，使下列算式成立：6◎2=12，4◎3=13，3◎4=15，5◎1=8。
按此规律计算：8◎4。
2、有一个数学运算符号※，使下列算式成立：2※3=9，7※2=15，3※5=25。
按此规律计算：16※4。
【七】对于两个数a与b，规定a□b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋……＋（a＋b－1）。
定义新运算附答案
定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常⽤运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算⽅式不同，实际是对应法则不同.可见⼀种运算实际就是两个数与⼀个数的⼀种对应⽅法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有⼀个唯⼀确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这⼀讲中，我们定义了⼀些新的运算形式，它们与我们常⽤的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表⽰数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：⽤运算符号前⾯的数的3倍减去符号后⾯的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例⼦可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第⼆步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例⼦可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第⼆步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例⼦可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满⾜交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满⾜交换律.再看“⊕”是否满⾜结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满⾜结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满⾜分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有⼀个数学运算符号“?”，使下列算式成⽴：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这⼏个算式的观察，找到规律： a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表⽰两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为⾃然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采⽤分析法，从要求的问题⼊⼿，题⽬要求1△2）*3的值，⾸先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以⾸先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.⼜因为m 、n 均为⾃然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是⾃然数⽭盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上⾯这⼀类定义新运算的问题中，关键的⼀条是：抓住定义这⼀点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代⼊数值.还有⼀个值得注意的问题是：定义⼀个新运算，这个新运算常常不满⾜加法、乘法所满⾜的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运⽤这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表⽰a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ⼀b ＝b1a +，①求2⼀（3⼀4）的值；②若x ⼀4＝1.35，则x ＝？ 3.有⼀个数学运算符号○，使下列算式成⽴： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“?”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是⼀个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成⽴，求a 的值.7.“*”表⽰⼀种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为⾃然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表⽰选择两数中较⼤数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表⽰选择两数中较⼩数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致⼒为企业和个⼈提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全⽹⼀站式需求。
六年级小升初常考奥数题型 第1讲定义新运算(例题和答案、讲解)
第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2、设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3、设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【答案】1.648 2.112、65 3.193.25【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3、设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
【答案】1.36 2.902 3.412【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104203*3=3+33+333，……那么4*4=________。
第一讲定义新运算
第一讲：定义新运算加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉。
除了这四种运算，我们还可以定义一些其他的运算，这里所说的定义，是指按照某种约定，给这种新运算一个明确的含义，只要弄明白这种含义，就可以正确的计算出有关算式的结果。
注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▢、★、◎、Δ、▤、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例题精选例1．P★Q=2PQ,求3★5的值。
【思路点拨】看起来和以前的加、减、乘、除不一样。
那么这里的新运算和加、减、乘、除有什么联系呢？按照题目中的定义，这里的“★”表示左右两个数乘积的2倍。
解：3★5=2×3×5=30.我能行！1．a※b=a+b,求13※8的值。
(5分) 2．a□b =3a－b,求（2□5）×7的值。
(5分)例2．如果2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26。
求：9※5的值是多少？【思路点拨】这里的“※”表示求连续自然数的和，“※”前的数字表示第一个数（首项），“※”后面的数表示连续自然数的个数（项数）。
解：9※5=9+10+11+12+13=55。
我能行！1．如果5◎3=5+7+9=21，9◎4=9+11+13+15=48.求7◎3的值是多少？ (10分)2．1※4=1+11+111+1111, 2※3=2+22+222，求6※4的值是多少？ (10分)例3．规定“○”的运算法则如下，对于任何整数a，b，有：2a+b－1 (a+b≥10)a○b=2×a×b (a+b<10)求：（1） 3○5的值（2）5○6的值【思路点拨】这道题实际上定义了两种运算，必须根据两个数的和的大小，确定进行哪种运算。
解：（1）3○5=2×3×5=30 （2）5○6=2×5＋6－1=15我能行！1．规定“※”的运算法则如下，对于任何整数p ，q ，有： p ＋q －10 (p+q ≥10)p ※q= ， 求 （2※4）+（6※8）的值？ (10分)p+2q (p+q<10 )2．规定“☆”的运算法则如下，对于任何整数p ，q ，有：p ＋q (p>q)p ☆q= p-q+1 (p=q) ，那么（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=？ (10分) p ×q (p<q )我很棒！1．若a*b=a ×b －a ，求2*5的值。
数学：第一讲《除法巧算与定义新运算》讲义
三年级尖子班第一讲除法巧算与定义新运算【例1】(难度★)计算下面算式的结果（1）5000÷125÷8=（）÷÷÷÷=（2）375000001252584（）【分析】（1）5000÷125÷8=5000÷﹙125×8﹚＝5.（2）37500000÷（125×8）÷（25×4）=375【例2】(难度★)计算下面算式的结果：（1）1(23)(34)÷÷÷÷（）(45)(56)÷÷÷÷=⑵2(46)(68)÷÷÷÷÷÷÷÷(810)....（）÷= (20122014)【分析】⑴1(23)(34)÷÷÷÷(45)(56)÷÷÷÷÷×÷×÷×÷×=123344556=162(33)(44)(55)×÷×÷×÷×÷=3⑵2(46)÷÷÷÷÷÷(68)(810) (20122014)÷÷÷×÷×÷÷=÷×÷8810 (2466)×20122014×÷×÷24(66)=÷×÷(88)(10÷×....2012)2014=÷×242014=1007【例3】(难度★★)计算下面算式的结果：2357××××（11131719×××）385165÷××（77×） 【分析】原式 =（2×19）×（3×17）×（5×13）×（7×11）÷（38×51×65×77）= 38×51×65×77÷（38×51×65×77） = 1【例4】(难度★★)计算下面算式的结果. ⑴(110121143++154165176+++187)11+÷=（ ）. ⑵120152÷+÷201532015+÷ ......2015++÷2015=（ ）⑶1201322013+÷+÷+÷32013...... +÷= 20132013（）【分析】（1）(110121143+++++187)11 154165176+÷=110÷11+121÷11+132÷11+14 3÷11+154÷11+165÷11+176÷11+187÷11=11+12+13+14+15+16+17=14×7=98⑵1÷2015+2÷2015+3÷2015+……+2015÷2015=（1+2+3+……+2015）÷2015=（1+2015）×2015÷2÷2015 =2016÷2=1008⑶1201322013÷+÷32013......+÷++20132013÷(123......2013)2013=++++÷(12013)201322013=+×÷÷1007=【例5】(难度★★)（1）（2014年第四届全国学而思综合能力测评（学而思杯）四年级北京卷）定义：一天的“幸福指数”是1015，其中M代表今天是星期几．例如，今天是4月7日星期一，那么今天的幸福指数就是1417．那么，2014年劳动节（5月1日，星期四）的幸福指数是（2）（2014年第四届全国学而思综合能力测评（学而思杯）五年级北京卷）定义：1417，1819⑶(难度★)（第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动三年级选拔赛）对于两个数字a、b，定义新运算：a*b=a×b+a+b，则1*2+2*3=__________.【分析】⑴181 9⑵14120.14 7≈⑶根据定义，得1*2+2*3=（1×2+1+2）+（2×3+2+3）=5+11=16【例6】(难度★★)⑴规定新运算※：a※b=3a-2b。