复数诞生的故事

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负数的发展历史

负数的发展历史一、负数的起源与发展负数是数学中的一个重要概念，它代表着小于零的数。

负数的发展历史可以追溯到古代文明时期。

在古希腊、古印度和古中国等地的数学研究中，人们开始意识到存在着一种数，它比零还要小，但是并没有赋予其明确的定义和符号表示。

直到16世纪，意大利数学家乌尔萨利斯·卢卡·帕西奥利（Ursalis Luca Pacioli）首次提出了负数的概念，并用“-”符号表示。

这一概念的提出引起了广泛的讨论和争议，但随着时间的推移，负数逐渐被接受并成为数学中不可或者缺的一部份。

二、负数的数学性质负数在数学中具有独特的性质和运算规则。

以下是负数的一些基本性质：1. 负数与正数相加等于零：例如，-3 + 3 = 0。

这个性质被称为负数的相反数。

2. 负数与负数相加等于更小的负数：例如，-5 + (-3) = -8。

这个性质可以通过在数轴上表示负数来理解，负数的绝对值越大，表示的数值越小。

3. 负数与正数相乘得到负数：例如，-2 × 4 = -8。

这个性质可以通过考虑数的正负性来理解，正数乘以正数为正数，负数乘以负数为正数，而正数乘以负数或者负数乘以正数为负数。

4. 负数与零相乘等于零：例如，-4 × 0 = 0。

这个性质可以通过考虑乘法的定义来理解，任何数与零相乘都等于零。

三、负数在实际生活中的应用负数在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 温度计：温度的正负用于表示高温和低温。

例如，-10°C表示比冰点更低的温度。

2. 账户余额：银行账户中的负数表示欠款或者透支的金额。

3. 海拔高度：海拔高度可以是正数（山顶）或者负数（海平面以下）。

4. 股票市场：股票价格的涨跌可以用正数和负数表示。

5. 借贷关系：负数可以表示借贷关系中的债务。

四、负数在数学领域的应用负数在数学领域中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 代数运算：负数在代数运算中起着重要的作用，例如，在解方程时，负数可以表示未知数的负值。

复数民间故事简短

复数民间故事简短
相传在很早以前，南阳城西牛家庄里有个聪明．忠厚的小伙子，父母早亡，只好跟着哥哥嫂子度日，嫂子马氏为人狠毒，经常虐待他，逼他干很多的活一天，天上的织女和诸仙女一起下凡游戏，在河里洗澡，牛郎在老牛的帮助下认识了织女，二人互生情意。

后来织女便偷偷下凡，来到人间，做了牛郎的妻子。

牛郎和织女结婚后,一家人生活得很幸福。

但是好景不长，王母娘娘强行把织女带回天上，恩爱夫妻被拆散。

牛郎拉着自己的儿女，一起腾云驾雾上天去追织女，眼见就要追到了，岂知王母娘娘拔下头上的金簪一挥，一道天河就出现了。

牛郎和织女被隔在两岸，只能相对哭泣流泪。

他们的忠贞爱情感动了喜鹊，千万只喜鹊飞来，搭成鹊桥，让牛郎织女走上鹊桥相会，王母娘娘对此也无奈，只好允许两人在每年七月七日于鹊桥相会。

4复数-简单难度-讲义 (2)

复数引入复数的引入（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：5与5（二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”．（三）复数的意义引入n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）解读一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i =-=，2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（plex number ），复数通常用小写字母z )b ∈R z 的实部，z 的虚部．教师内容:注意虚部是一个实数．如34i +的实部为3，虚部为4；34i -的虚部为4-．3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） z 为实数（real number ）；z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．如34i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？ z 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，．常见数集的关系为：*N NZQRC ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别． 5．复数相等与比较大小：⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．教师内容:注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的．两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根2b x a =-互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）二、复数的几何意义教师内容:如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系．这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，|i |a b +=三、复数的运算教师内容:复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++．复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3．定义：(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．教师内容:“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．教师内容:讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ． ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z 称为复数z （0z ≠）的倒数．教师内容:复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如1i +45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒如(34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了．这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．典例精讲一．选择题（共20小题）1．（2017秋•嘉兴期末）若复数z=2﹣i ，i 为虚数单位，则（1+z ）（1﹣z ）=（） A ．2+4iB ．﹣2+4iC ．﹣2﹣4iD ．﹣4【分析】把z=2﹣i 代入（1+z ）（1﹣z ），再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=2﹣i ，∴（1+z ）（1﹣z ）=（3﹣i ）（﹣1+i ）=﹣2+4i ．故选：B ．2．（2017秋•海南期末）设复数z=1+2i （i 是虚数单位），则在复平面内，复数z 2对应的点的坐标为（） A ．（﹣3，4）B ．（5，4）C ．（﹣3，2）D ．（3，4）【分析】把z 代入z 2，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1+2i ，∴z 2=（1+2i ）2=﹣3+4i ，则复数z 2对应的点的坐标为（﹣3，4），故选：A ．3．（2018春•海珠区期末）若复数Z 满足（1+i ）z=1﹣2i ，则复数Z 的虚部为（）A ．32B ．−32C ．32iD ．−32i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i ）z=1﹣2i ，得z=1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴复数z 的虚部为﹣32．故选：B ．4．（2017秋•赣州期末）复数11+i+(1−i)3（i 为虚数单位）的虚部是（）A ．32iB ．32C ．−52iD ．−52【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵11+i +(1−i)3=1−i (1+i)(1−i)+(1−i)2(1−i)=12−12i −2i(1−i)=12−12i −2−2i =−32−52i ． ∴数11+i +(1−i)3的虚部是﹣52．故选：D ．5．（2017秋•白山期末）已知复数z 的实部为﹣1，虚部为2，则5iz对应的点位于（） A ．第四象限B ．第一象限C ．第三象限D ．第二象限【分析】由已知求得z ，代入5iz，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意可知，z=﹣1+2i ，则z =−1−2i ，∴5i z =5i −1−2i =5i(−1+2i)(−1−2i)(−1+2i)=−2−i ，则5iz对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C ．6．（2017秋•漳州期末）在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A （2，1）和B （0，1），则z 1z 2=（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由已知得z 1=2+i ，z 2=i ，∴z 1z 2=2+i i =i(2+i)i 2=−1+2i −1=1﹣2i ．故选：C ．7．（2017秋•城阳区期末）z 为虚数，i 为虚数单位，若z(1+i)=2i ，则z =（） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z （1+i ）=2i ，得z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，则z =1−i ．故选：B ．8．（2017秋•沧州期末）已知（a +b i ）（1﹣2i ）=5（ i 为虚数单位，a ，b ∈R ），则a +b 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、复数相等的定义即可得出．【解答】解：（a +bi ）•（1﹣2i ）=5（i 为虚数单位，）， ∴（a +bi ）•（1﹣2i ）（1+2i ）=5（1+2i ）， ∴a +bi=1+2i ，可得a=1，b=2． ∴a +b=3．故选：D ．9．（2018春•张家口期末）若复数z 满足z （2﹣i ）=18+11i ，则|z −4i|=（） A ．√13B ．√15C ．13D ．15【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z （2﹣i ）=18+11i ，得z=18+11i 2−i =(18+11i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+8i ，∴z −4i =5−12i ，则|z −4i|=√52+(−12)2=13．故选：C ．10．（2017秋•岳阳县期末）复数2i−1的共轭复数是（）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1﹣iD ．1+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵2i−1=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i ， ∴复数2i−1的共轭复数是﹣1+i ．故选：A ．11．（2017秋•池州期末）若复数z =i2−i ，则复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再求出z 对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，∴z=−15−25i．∴z对应的点的坐标为（−15，−25），在第三象限．故选：C．12．（2017秋•菏泽期末）已知z（1+3i）=2i，则复数z的共轭复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+3i）=2i，得z=2i1+3i =2i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=6+2i10=35+15i，∴z=35−15i，则z在复平面内所对应的点的坐标为（35，−15），位于第四象限．故选：D．13．（2017秋•泉州期末）已知复数z满足（1+i）•z=2，则其共轭复数z=（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）•z=2，得z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则其共轭复数z=1+i．故选：B．14．（2017秋•马鞍山期末）i是虚数单位，复数z=i2+11+i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=i2+11+i=﹣1+1−i(1+i)(1−i)=﹣12﹣12i在复平面内对应的点(−12，−12)在第三象限．故选：C ．15．（2017秋•昭通期末）若复数Z 满足（1﹣z ）（1+2i ）=i ，则在复平面内表示复数Z 的共轭复数z 的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算，求出z 的坐标得答案．【解答】解：由（1﹣z ）（1+2i ）=i ，得1﹣z=i1+2i =i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=25+15i ，∴z=35−15i ，则z =35+15i ，∴在复平面内表示复数Z 的共轭复数z 的点的坐标为（35，15），位于第一象限．故选：A ．16．（2017秋•台州期末）若复数z =(i1−i )2（i 为虚数单位），则|z |=（） A ．2 B ．1 C ．12D ．√22【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=i 2(1−i)2=−1−2i =−i 2i(−i)=﹣12i ，∴|z |=12．故选：C ．17．（2018春•城阳区期末）已知i 为虚数单位，记z 为复数z 的共轭复数，若z=（1+i ）（2﹣i ），则|z |=（） A ．4B ．√10C ．1D ．10【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=（1+i ）（2﹣i ）=3﹣i ， ∴|z |=√32+(−1)2=√10．故选：B ．18．（2018春•天门期末）设复数z =|3+4i|−2i2，则复数z 的共轭复数是（） A ．52−iB ．52+iC ．−52+iD ．−52−i【分析】求解复数的模化简z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=|3+4i|−2i2=5−2i2=52−i，∴z=52+i．故选：B．19．（2018春•辽阳期末）复数13i2+3i的共轭复数为（）A．3+2i B．3﹣2i C．2+3i D．2﹣3i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵13i2+3i=13i(2−3i)(2+3i)(2−3i)=39+26i13=3+2i，∴复数13i2+3i的共轭复数为3﹣2i．故选：B．20．（2018春•济宁期末）若i为虚数单位，a，b∈R，且a−ii=b+2i，则ab（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由a−ii=b+2i，得a﹣i=（b+2i）i=﹣2+bi，∴a=﹣2，b=﹣1，则ab=2．故选：D．二．填空题（共6小题）21．（2018春•东莞市期末）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）•z=2i，则z 的虚部为1．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）•z=2i，得z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴z的虚部为1．故答案为：1．22．（2017秋•宁波期末）设i 为虚数单位，则复数2+3i i 的虚部为 ﹣2 ，模为√13 ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模求解．【解答】解：∵2+3i i =(2+3i)(−i)−i 2=3−2i ， ∴复数2+3i i的虚部为﹣2；模为√32+(−2)2=√13．故答案为：﹣2；√13．23．（2017秋•南京期末）已知复数z 满足z （1+i ）=i ，其中i 是虚数单位，则|z |为 √22．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z （1+i ）=i ，得z=i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故答案为：√22． 24．（2018春•吉安期末）若复数z 满足z （1﹣i ）=|1﹣i |+i ，则z 的虚部为 √2+12．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z （1﹣i ）=|1﹣i |+i ，得z=√2+i 1−i =(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i ． ∴z 的虚部为√2+12，故答案为：√2+12． 25．（2018春•朝阳区期末）在复平面内，复数z=21−i对应的点的坐标为（1，1）．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．26．（2018春•淮安期末）设复数z=（1﹣i ）2（i 是虚数单位），则z 的模为 2 ．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z=（1﹣i ）2=﹣2i ，∴|z |=2．故答案为：2．三．解答题（共3小题）27．（2017秋•上饶期末）已知复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i ．m ∈R ，i 是虚数单位．（1）当z 是实数时，求m 的值；（2）当z 是纯虚数时，求m 的值．【分析】（1）由复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i 是实数，列出方程组，能求出m 的值．（2）由复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i 是纯虚数，列出方程组，能求出m 的值．【解答】解：（1）∵复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i ．m ∈R ，i 是虚数单位． z 是实数，∴{m 2−2m −15=0m +3≠0，解得m=5时，z 的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z 是实数．…………（5分）（2）∵复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i ．m ∈R ，i 是虚数单位． z 是纯虚数，∴{m 2−2m −15≠0m +3≠0m 2−m −6=0，解得m=﹣2或m=3， ∴当m=﹣2或m=3时，z 是纯虚数．…………（10分）28．（2018春•中山市期末）已知复数z=（1﹣i ）2+1+3i ．（1）求|z |；（2）若z 2+az +b =z ，求实数a ，b 的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；（2）化简z =z 2+az +b ，结合z =1−i 列式即可求得a ，b 的值．【解答】解：（1）∵z=（1﹣i ）2+1+3i=1﹣2i ﹣1+1+3i=1+i ，∴复数z 的模|z|=√12+12=√2；（2）∵z =z 2+az +b=（1+i ）2+a （1+i ）+b=1+2i ﹣1+a +ai +b=（a +b ）+（a +2）i ，而z =1−i ，∴{a +b =1a +2=−1，可得{a =−3b =4． 29．（2017秋•平罗县校级期末）设复数Z 满足Zi ﹣Z=2i ，求：（1）复数Z 的共轭复数；（2）复数Z 的模|Z |．【分析】（1）先根据复数的运算可得z ，再求出共轭复数即可，（2）根据复数的模的定义即可求出．【解答】解：（1）zi ﹣z=2i ，∴z=2i i−1=2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1﹣i ， ∴z =1+i ，（2）|z |=√12+(−1)2=√2。

复数的产生和发展历史__概述说明以及解释

复数的产生和发展历史概述说明以及解释1. 引言1.1 概述复数是语言中一种用来表示多个事物的形式。

它在不同语言和文化中有着丰富而多样的表达方式。

本篇文章将探讨复数的产生和发展历史，并分析复数概念在不同语言、文化以及社会中的意义。

1.2 背景复数作为一个语法概念，在人类语言发展的早期就已经出现。

随着人类社会的进步，复杂性和多样性也逐渐增加，对于数量词描述多个事物的需求也变得更为迫切。

因此，人们开始创造并演变出各种方法来表达复数概念。

1.3 目的本文旨在回顾复数产生和发展的历史，并比较不同语言中复数形式的表达方式。

同时，我们将探讨复数概念对文化和社会结构的影响，并提供对于未来可能带来多样性和文化交流发展方向的展望。

以上是“引言”部分内容，介绍了文章对于复数产生和发展历史这一主题的背景和目标。

2. 复数产生的历史2.1 早期语言发展在人类语言的起源阶段，人们主要使用单数形式表达物体和概念。

这是因为早期人类社会的生活方式非常简单，没有出现大规模的集体行动或群居。

因此，单数形式足以满足沟通需求。

然而，随着人类社会进化和发展，社会结构变得更加复杂。

人们开始组成部落、家族和其他群体形式。

为了更准确地表示众多对象的存在，复数形式逐渐产生。

2.2 多种复数形式出现不同语言中对复数的处理方式存在差异。

有些语言仅仅在名词后面添加一定的标志符号来表示复数形式，例如英语中加上“-s”或“-es”。

而另一些语言则通过改变词根本身来表示复数。

这可能包括变化词尾、重音位置或者词干整个变化等。

早期的复数形式并不稳定，不同地区和文化之间也存在差异。

随着时间推移，一些用于表示复数的规则逐渐固定下来，并在特定语言中得到共享和传承。

2.3 文明交流中的影响随着不同文明之间的交流和贸易增加，语言之间也产生了相互影响。

这导致了复数形式在不同文化和语言之间的进一步交融。

通过文化交流，人们开始学习其他语言，并将外来语词汇纳入自己的语言系统。

这个过程中，复数形式也可能被借鉴或逐渐融合到现有的语法规则中。

复数的概念发展过程

复数的概念发展过程复数的概念发展过程经历了多个阶段，从早期对负数的困惑到最终复数作为数学体系中的基本元素的确立，以下是其主要发展历程概要：1. 古希腊时期：-在古希腊数学中，数学家们最初仅考虑正数和零，对于负数以及后来的虚数持怀疑态度，因为它们当时被认为缺乏直观的几何解释或物理意义。

2. 负数的接受：-到了中世纪，随着数学问题解决的需求增加，负数逐渐被接受并在代数运算中开始应用。

3. 虚数的萌芽：-在解代数方程的过程中，尤其是遇到像x²=-1这样的二次方程无实数解时，数学家们开始意识到需要扩展数系。

16世纪初，意大利数学家Scipione del Ferro和NiccolòFontana Tartaglia等人在解三次方程时，实际上已经涉及到类似于虚数的运算。

4. 正式引入：-16世纪中期，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在探讨代数方程的解时，首次提出了“想象数”（imaginary numbers）的概念，这可以看作是虚数的初步形式。

5. 虚数的符号化：-17世纪，笛卡尔在自己的工作中，虽然他本人对虚数持保留意见，但首次使用了类似“实”和“虚”的术语来区分不同的数，并将虚数表示为直角坐标系中的垂直轴上的量。

6. 复数的规范化：-18世纪，欧拉在1777年开始使用现在通用的符号"i" 表示虚数单位，即i²= -1，并明确地提出了形如a + bi 的复数表达方式。

7. 理论完善：-19世纪，德国数学家高斯对复数进行了系统的理论研究，建立了复数的代数和几何基础，包括引入极坐标形式、复共轭、复数的加法和乘法法则等，并且证明了每一个复系数多项式都可以分解成线性因子（一次和二次的复数因子），这是复数理论的重大突破。

8. 广泛接受与应用：-随着复数理论的成熟，它逐渐被数学界接受并成为现代数学的基础之一。

到了19世纪及以后，复数在工程、物理学（特别是电磁学和量子力学）、信号处理、控制论以及现代数学的各个分支，如复分析、泛函分析等领域中找到了丰富的应用，从而确立了复数在现代数学和科学技术中的重要地位。

复数的产生——精选推荐

复数的产⽣形如的形式在数学中被定义为复数，其中为虚数单位，、为任意实数。

要说复数的产⽣，先从数的演变史开始说起。

最初，⼈们从⾃然界中启发，得到了数字1、2、3……，当然还有0，这就是⾃然数，来源⼈们对现实世界的认知。

接着，如果1个馒头要均分给5个⼈，要怎么分，每⼈分多少呢？1段树枝被折成相等的2半，那⼀半是多少，怎么表⽰呢？⼈类为了知识的记录和⽂化的传播，⼀切从简，就发明了分数，当然也可以写成⼩数的形式：=0.2，=0.5，=0.6等等。

到⽬前为⽌，来⾃于⼈们对现实世界的直观总结所建⽴的数字表达，它有明显的可参照对象、有轨迹可循、看得见、摸得着、想得到，⼈们后来就认为这些都是理所当然的，所以就叫它们为有理数。

即所有可以表⽰为分数形式的数都叫有理数，当然⾃然数也可以表⽰为分数=0，=1，=3，=2，=5……。

随着⼈类⽂化的不断迭代发展，数学运算和数学表⽰在不断的丰富，除了法、-法，根据类似22 2（3个2相加）难道就不能表⽰为更简单的形式么？3x2，于是乘法诞⽣，因为对于3 3 3 3 3 33 3这样的繁琐的运算，可以⽤更简单的表⽰8x3，so easy！⽂化再次不停地迭代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再简单地表达？⼈类总是向着⼤道⾄简的⽬标前进，于是5x5==25，2x2==4……，有了平⽅数。

⼈类⽂化在迭代中不断地向前狂奔，有些⼈就脑洞⼤开了，不对呀！4是2的平⽅，9是3的平⽅，16是4的平⽅，妈呀！也就是说1的平⽅是1，0的平⽅是0，那么在平⽅结果中，只有0、1、4、9、16、25……会出现，那中间是不是少了很多数啊，谁的平⽅是2呢？⼜谁的平⽅是3呢？谁的平⽅是5？……连续⾃然数平⽅的结果并不是连续的⾃然数！好吧，既然谁也不知道？那就给它个定义吧，难道还有数学不能描述的世界吗？数学就是为⼤世界服务的，必须补上这个漏洞，好嘞，的平⽅就是2，它表⽰=2，类似的=3，甚⾄还有=5等等。

复数的由来

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月•复数是16世纪人们在解代数方程时引入的.1545年，意大利数学物理学家H （ardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x（10_x）的根，它求出形式的根为5 、、TT5和5 八-75，积为25 -（-15）=40 •但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的•因而复数在历史上长期不能为人民所接受. “虚数”这一名词就恰好反映了这一点.直到十八世纪，D'Alembert （达朗贝尔）：L_Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕AL.Cauchy （柯西），K|_Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和吐Riemann （黎曼）三人的工作进行的.到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用.第一章§ 1复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商、幕与根运算.重点：德摩弗（DeMoiVre ）公式•难点：德摩弗（DeMoiVre ）公式•课时：2学时•1.复数域形如z = x，iy或z=z，yi的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚部，记为x = Rez , y =lmz i-1，称为虚单位.两个复数z^ x1 iy1，与Z2伙2 y 2相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即为=X2且％=丫2虚部为零的复数可看作实数，即x • i L o=x，特别地，0 • iL0 = 0，因此，全体实数是全体复数的一部分.实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy和x - iy称为互为共轭复数，记(x iy)二 x _ iy 或 x _ jy = x jy设复数乙=X i • iy i , z 2 = x 2 iy 2，则复数四则运算规定:Z i _Z 2 二任 _X 2)—i(y i — y 2)缶2 =&必2 -y 』2)i(x 』2 X 2%)一确定.因此，如果我们把平面上的点（x, y ）与复数z 二* iy 对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的对应关系.由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称 x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面.弓I 进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”3•复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数x iy 与从原点到点z 所引的向量oz 也构成 ------- 对应关系（复数0对应零向量）•从而，我们能够借助于点 z 的极坐标r 和二来确定点x iy ,r =|z = \/x 2 + y 2 色0显然，对于任意复数 z = x + iy 均有x^|z , y^|z , z^x+|y (1. 1)Z 2 X 2 y ?竺匸警亿=0）x2y 2容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是,比较大小的.2 .复平面在复数域中，复数是不能从上述复数的定义中可以看出，一个复数z = x • iy 实际上是由一对有序实数（x, y ）唯另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式W 十勺兰N +勺（三角形两边之和 _第三边，图1.2）（1.2）与（1.3）两式中等号成立的几何意义是：复数 Z 1，Z 2分别与Z 1 - Z 2及乙-乙?所表示的三个向量共线且同向.向量oZ 与实轴正向间的夹角二满足tan v - y 称为复数Z 的幅角（Argument ），记为x-ArgZ 由于任一非零复数 Z 均有无穷多个幅角，若以 Argz 表示其中的一个特定值，并的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有 -二 Argz 二 arg z 2k 二（k =0, 一1,一2川1）注意：当z =0时，其模为零，幅角无意义.从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数(1.2)图1.2I Z i-Z 2^|z i - Z 2（三角形两边之差空第三边，图1.3）(1-3)称满足条件-二：：Argz -二(1-4)(1-5)z ，即有e°=cos 日+isi n B(1.7) 则(1.6)可化为 z 二 re^(1.8)可推得复数的乘除有Argz Z 2 二 Argz 「Argz ?乙Arg( 一)二 Argz — Argz ?Z 2乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当z? =1时可得砂2 = 9饰田）此即说明单位复数（|z 2| =1 ）乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度.另外，也可把公式（1.11）中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2二的整数倍，即有Arg （狂）=argz argz ? 2k 二 z i 卜 Arg （一）=argz 1 —argz ： 2k- z 2公式（1.9）可推广到有限个复数的情况，特别地，当N =z 2二川=z n 时，有ni' x n n in ■ nz (re ) r e r (cos i sin )当r =1时，就得到熟知的德摩弗（DeMoiVre ）公式:(cos^ i sin^)n 二 cos n^ i sin n^ (1. 1 3 )因此牛2 —— z 1 Z 2召=-Z 2Z 2Z 1 能旧r 1 e i （0马）ZT 产飞e(z ? - 0) (1. 1 0)（1.6）与（1.8）式分别称为非零复数 z 的三角形式和指数形式，由（1.8）式几指数性质即(1.9) (1.11)公式（1.10）与（1.11）说明：两个复数乙，Z 2的乘积（或商），其模等于这两个复数模的 (1. 12)例1.1求cos3）及sin3^用cos^与sin二表示的式子解：：（cos3 v i sin3=）=（cos v i sin v）3=cos% 3i cos% si n v - 3cos v si nJ - i s in3 v3 2 3.cos3 v - cos 3cos vsin =4cos 3cossin3 v - 3cos2 v sin v - sin3 v - 3sin r - 4sin 3 v4•曲线的复数方程例1.2连接z i及z2两点的线段的参数方程为z = Z i • “互-Z i）（0_t_1）过Z-!及z2两点的直线（图）的参数方程为z =乙• t（z2-zj （-：： _t _ •：：）例1.3 z平面上以原点为心，k为半径的圆周的方程为z=Rz平面上以z o为心，R为半径的圆周的方程为Z-z°|=R例1.4 z平面上实轴的方程为Im z二0,虚轴的方程为Rez=0.作业:第42页2,3,4§2复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念；掌握区域的概念；了解约当定理.重点：区域的概念，约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1.几个基本概念定义1.1满足不等式z-Z° £ P的所有点z组成的平面点集（以下简称点集）称为点Z。

复数数学史

复数数学史复数，是数学领域一个非常基础的概念。

它与实数一同构成了数学中的数域。

在数学史上，复数的概念也是一个漫长而且曲折的历程。

本文将围绕”复数数学史”来进行分步骤的阐述。

1. 复数的起源在数学史上，复数的起源可以追溯到16世纪的意大利。

当时，由于方程 $ax^2+b=0$ 无法用实数解决，数学家们开始思考一个新的数系统，这就是现在所谓的复数。

然而，当时的数学家们并没有真正完全理解复数，因此在当时，复数被称为“虚数”。

2. 复数扩展虚数被发现之后，并没有得到广泛的应用。

直到18世纪，数学家们才开始尝试将虚数与实数结合，形成一种新的数系统：复数。

1777年，法国数学家欧拉将虚数定义为 $i = \sqrt{-1}$，并将其引入到数学系统中。

复数又被称为复数因为它具有实部和虚部两个部分。

3. 复数在几何中的应用19世纪，复数在几何中得到了广泛应用。

法国数学家阿贝尔利用复数来解释出花瓶的结构、切比雪夫利用复数来解释出正n边形的结构、黎曼则将复数引入到复变函数领域。

复数的几何应用也为数学的发展和应用带来了许多新的思路和方法。

4. 复数在物理学中的应用20世纪，复数在物理学中得到了广泛的应用。

量子力学中的波函数也可以用复数来表示，复数的模方可以表示概率密度，实部和虚部可以分别表示不同的物理量。

在电路中，复数的应用也是十分重要的。

复数在物理学领域中的应用，尤其是在量子力学和电路中，更是引领了数学与工程学科的无止尽交流与融合。

总之，复数概念的演化过程由虛数到复数，具有一个漫长而又曲折的历程。

复数的几何应用极大地拓展了数学的新思路和新方法，而在物理学中，复数的应用也是不可或缺的，它深刻地影响和改变了人们对于自然科学和数学领域的认识。

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卡丹諾公式
解方程 x3 = mx + n 。公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
Hale Waihona Puke 23例一解 x3 + 6x = 20
注意：m = 6、n = 20
x =
3
虛數
• 笛卡兒（RenéDecartes; 1596 1650） • 法國著名的哲學家 • 坐標幾何的創始人 • 1637 年，他稱一個負數的開方為「虛數」 (imaginary number)。 • 但他不承認虛數是數字的一種。
一大突破
• 棣美弗（Abraham de Moivre; 1667 1754）
怪傑
• 卡丹諾 (Girolamo Cardano; 1501 1576) • 一個多才多藝的學者 • 一個放蕩不羈的無賴 • 他精通數學、醫學、語言學、天文學、占星學 • 一生充滿傳奇，人們稱為他「怪傑」。
怪傑
• 1545 年，卡丹諾在他的著作《大術》（Ars Magna）中，介紹了解三次方程的方法。 • 從此，解三次方程的方法，就被稱為「卡丹諾公式」。
複變函數的引入
• 1748 年，歐拉發現了複指數函數和三角函數的關係，並寫出以下公式： e ix = cos x + i sin x • 1777 年，在他的著作《微分公式》中，首次使用 i 來表示。 • 他創立了複變函數論，並把它們應用到水力學、地圖製圖學上。
幾何解釋
• 1797 年，挪威數學家維塞爾（Caspar Wessel; 1745 1818）提出複數的幾何解釋。
b b 4ac x 2a
2
例二解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （無解） 2
虛軸
• 1806 年，法國數學家 a + bi = r (cos + i sin) 阿根（Jean Robert
r O 實軸
Argand; 1768 1822）亦提出類似的解釋。 • 自此，人們亦稱複數平面為「阿根圖」。
代數基本定理
• 高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777 1855） • 德國數學家，人稱「數學王子」。 • 18 歲時，運用一些複數運算原理，以尺規畫出正十七邊形。 • 20 歲取得博士學位，並成功地證明了「代數基本定理」。
• 法國數學家，早期概率理論著作者之一 • 最著名的成就，是發現「棣美弗定理」，把三角函數引入複數運算之中。
複變函數的引入
• 歐拉（Leonhard Euler, 1707 1783） • 瑞士數學家。 • 13 歲入大學，17 歲取得碩士學位，30 歲右眼失明，60 歲完全失明。 • 著作非常多，深入每個數學分支，對後世影響深遠。
注意：m = 15、n = 4
x =
3
2 121 3 2 121 （無解）
但非常明顯，x = 4 是方程的一個解！
另闢蹊徑
• 韋達（Franç ois Viè te; 1540 1603） • 法國人，律師兼業餘數學家。 • 在三角學、代數學、方程理論及幾何學都有傑出貢獻。 • 1591 年，利用恆等式 cos3A = 4cos3A 3cosA，解三次方程。
10 108 3 10 108
= 2
卡丹諾公式
解方程 x3 = mx + n 。公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
2
3
例二解 x3 = 15x + 4
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。公式：
b b 4ac x 2a
2
例二解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （無解） 2
複數誕生的故事
中六教學版
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。公式：
b b 4ac x 2a
2
例一解 5x2 9x 18 = 0
注意：a = 5、b = 9、c = 18 ( 9) ( 9) 2 4(5)( 18) x 2(5) 6 9 441 = 3 或 5 10
複數名稱的確立
注意：
• 定義
36 36 1 6i
• i 1 = i , i 2 = 1 , i 3 = i , i 4 = 1 • i 4n + 1 = i , i 4n + 2 = 1 , i 4n + 3 = i , i 4n + 4 = 1
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。公式：
複數名稱的確立
• 複數 z 是一種可以表示為 a + bi 形式的數，其中 a 和 b 都是實數，i = 1 。 • 我們稱 a 為複數 z 的「實部」，記為 Re(z)。 • 又稱 b 為複數 z 的「虛部」，記為 Im(z)。 • 若 a = Re(z) = 0，則稱 z 為「純虛數」。 • 若 b = Im(z) = 0，則稱 z 為「純實數」。
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。公式：
b b 4ac x 2a
2
• 此公式早於公元前四百年，已被巴比倫人發現和使用。 • 在中國的古籍《九章算術》中，亦有提及與二次方程有關的問題。
由二次方程到三次方程
• 由於實際應用上的需要，亦由於人類求知慾的驅使，很自然地，人類就開始尋找三次方程的解法。 • 即尋找方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 一般根式解。 • 很可惜，經過了差不多二千年的時間，依然沒有很大的進展！