(完整版)概率论起源的故事
概率论的起源和发展
概率论的起源和发展概率论作为一门数学分支学科，旨在研究随机事件发生的规律和概率分布。
它的起源可以追溯到17世纪，而在此之前，人们对于随机事件的认识和理解很有限。
本文将以概率论的起源和发展为主题，探讨它在过去几百年中的重要里程碑和发展趋势。
概率论的起源可以追溯到17世纪，最早的概率论研究可以追溯到法国数学家帕斯卡尔和费马。
他们在解决赌博游戏的问题中，开始思考和研究随机事件的规律。
帕斯卡尔和费马的研究为概率论的发展奠定了基础，他们的工作被视为概率论的开山之作。
18世纪，瑞士数学家伯努利家族对概率论的研究做出了重要贡献。
伯努利家族通过研究大量重复试验，发现了概率的均值和方差的重要性。
他们提出了大数定律和中心极限定理，为概率论的进一步发展奠定了基础。
此外，伯努利家族还对概率分布进行了系统研究，提出了伯努利分布和二项分布等重要概率分布。
19世纪，法国数学家拉普拉斯对概率论进行了系统的建设和发展。
他提出了拉普拉斯原理，用于计算概率的近似值。
拉普拉斯还对概率论的基本概念和公理进行了严格的定义和证明，奠定了概率论的数学基础。
拉普拉斯的工作对后来的概率论研究产生了深远的影响。
20世纪，概率论经历了快速的发展和广泛的应用。
在统计学的推动下，概率论成为了现代科学的重要工具。
概率论在贝叶斯统计学、信息论、金融工程等领域得到了广泛应用。
此外，随着计算机技术的发展，概率论在机器学习和人工智能等领域也发挥了重要作用。
概率论的发展离不开数学家们的不懈努力和创新思维。
他们通过建立数学模型和推导数学公式，对随机事件进行了深入研究。
概率论的发展也离不开实际问题的需求和应用场景的拓展。
概率论的应用范围越来越广泛，不仅涉及自然科学领域，还涉及经济学、社会学、医学等各个领域。
总结起来，概率论作为一门数学分支学科，起源于17世纪的帕斯卡尔和费马的研究。
随着伯努利家族、拉普拉斯等数学家的贡献，概率论得到了进一步的发展和完善。
在20世纪，概率论得到了广泛的应用，并成为现代科学的重要工具。
概率论的发展简史
概率论的发展简史一、概率论的起源概率论起源于17世纪中叶，那时候人们对赌博中的一些问题特别感兴趣呢。
比如说掷骰子，那些赌徒们就想知道各种点数出现的可能性。
像意大利的一些数学家就开始思考这些问题啦，他们想要找到一种数学方法来计算赌博中的概率。
这就像是在黑暗中摸索着打开一扇通往新世界的门。
当时有个叫吉罗拉莫·卡尔达诺的家伙，他可算是早期对概率有深入思考的人。
他写了一些关于赌博中的概率计算的东西，虽然那时候还没有形成完整的概率论体系，但已经算是迈出了很重要的一步啦。
二、概率论的初步发展1. 法国数学家帕斯卡和费马的贡献到了17世纪，法国那可是数学发展的一个重要地方呢。
帕斯卡和费马就开始对概率论进行了更加深入的研究。
他们之间还通过书信交流对赌博中的概率问题进行讨论。
比如说掷骰子几次能出现某个特定的点数组合之类的问题。
他们的研究为概率论奠定了更坚实的基础，就像给一座大楼打了很牢固的地基一样。
2. 雅各布·伯努利的工作雅各布·伯努利也对概率论贡献很大哦。
他写了一本猜度术，在这本书里，他提出了很多重要的概念，像大数定律的雏形就在这本书里出现啦。
这就好比在概率论的花园里种下了一棵很茁壮的树苗。
三、概率论的成长与成熟1. 拉普拉斯的推动拉普拉斯是个很厉害的数学家。
他在概率论方面的工作让概率论更加成熟了。
他写了概率的分析理论，这本书就像是概率论发展史上的一座丰碑。
他把概率论应用到很多实际的领域，比如天文学等。
他的工作让概率论不再只是赌徒们的小玩意儿，而是成为了一门真正有广泛应用价值的学科。
2. 泊松分布的出现泊松也是概率论发展过程中的一个重要人物呢。
他提出的泊松分布，在很多领域都有应用，像描述一些稀有事件发生的概率之类的。
就好像是在概率论的百宝箱里又多了一件很有用的工具。
四、现代概率论的发展1. 概率论与其他学科的融合现在呀，概率论已经和很多学科融合在一起啦。
比如在物理学中，量子力学里就有概率论的影子。
概率论发展简史
一、概率论发展简史120世纪以前的概率论概率论起源于博弈问题;15-16世纪,意大利数学家帕乔利L.Pacioli,1445-1517、塔塔利亚N.Tartaglia,1499-1557和卡尔丹G.cardano,1501-1576的着作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题;1657年,荷兰数学家惠更斯C.Huygens,1629-1695发表了论赌博中的计算,这是最早的概率论着作;这些数学家的着述中所出现的第一批概率论概念与定理,标志着概率论的诞生;而概率论最为一门独立的数学分支,真正的奠基人是雅格布伯努利Jacob Bernoulli,1654-1705;他在遗着猜度术中首次提出了后来以“伯努利定理”着称的极限定理,在概率论发展史上占有重要地位;伯努利之后,法国数学家棣莫弗A.de Moivre,1667-1754把概率论又作了巨大推进,他提出了概率乘法法则,正态分布和正态分布率的概念,并给出了概率论的一些重要结果;之后法国数学家蒲丰C.de Buffon,1707-1788提出了着名的“普丰问题”,引进了几何概率;另外,拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步奠基性工作;特别是拉普拉斯,他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者,在1812年出版的概率的分析理论中,拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容,实现了从组合技巧向分析方法的过渡,使以往零散的结果系统化,开辟了概率论发展的新时期;泊松则推广了大数定理,提出了着名的泊松分布;19世纪后期,极限理论的发展称为概率论研究的中心课题,俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献;他建立了关于独立随机变量序列的大数定律,推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理;切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大,影响了20世纪概率论发展的进程;19世纪末,一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要,另一方面,科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处;这些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察;2概率论的公理化俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯米西斯R.von Mises,1883-1953对概率论的严格化做了最早的尝试;但它们提出的公理理论并不完善;事实上,真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立;测度论的奠基人,法国数学家博雷尔E.Borel,1781-1956首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究,并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索;特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓着;他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件;后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果,从而解决了概率论的中心课题之一——大数定律,成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏;1933年,科尔莫戈罗夫出版了他的着作概率论基础,这是概率论的一部经典性着作;其中,科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念,提出了六条公理,整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来;科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可;由于公理化,概率论成为一门严格的演绎科学,并通过集合论与其它数学分支密切地联系者;科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一,他不仅仅是公理化概率论的建立者,在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献,同时,他还是出色的教育家;由于概率论等其它许多领域的杰出贡献,科尔莫戈罗夫荣获80年的沃尔夫奖; 3进一步的发展在公理化基础上,现代概率论取得了一系列理论突破;公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点;1931年,科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础;科尔莫戈罗夫之后,对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维P.Levy,1886-1971、辛钦、杜布和伊藤清等;1948年莱维出版的着作随机过程与布朗运动提出了独立增量过程的一般理论,并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究;1934年,辛钦提出平稳过程的相关理论;1939年,维尔J.Ville引进“鞅”的概念,1950年起,杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支;从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,不仅开辟了随机过程研究的新道路,而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础;像任何一门公理化的数学分支一样,公理化的概率论的应用范围被大大拓广; 二、数理统一在18、19世纪就出现了统计推断思想的萌芽并有了一定发展,但以概率论的基础,以统计推断为主要内容的现代意义上的数理统计学,则到20世纪才告成熟;1763年,自学成材的英国数学家贝叶斯T.Bayes,1702-1761给出的“贝叶斯定理”贝叶斯公式可以看作是一种最早的统计推断程序,在现代概率论和数理统计中仍有重要作用;拉普拉斯和高斯等人利用贝叶斯公式进行参数估计,高斯由于计算行星轨道的需要而建立了以“最小二乘法”为基础的误差分析;这些都促使统计学摆脱对观测数据的单纯描述而向强调推断的阶段过渡;英国统计学家K皮尔逊对现代数理统计的建立起了重要作用;他在19世纪末、20世纪初发展了他老师高尔顿首先提出的“相关”与“回归”的理论,成功地建立了生物统计学;皮尔逊明确指出统计学不是研究样本本身,而是要根据样本对总体进行推断,并据此提出了“拟合优度检验”;皮尔逊的工作是所谓“大样本统计”的前驱,他的学生戈塞特S.Gosset1908年发表的“学生分布”着述则开创了小样本统计理论,从而使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象;现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔;20世纪20和30年代,费希尔提出了许多重要的统计方法,开辟了一系列的统计学的分支领域;他发展了正态总体下的各种统计量的抽样分布,将已有的相关、回归理论建造为系统的相关分析和回归分析;1923年,费希尔提出了方差分析这一重要的数据分析方法;1925年,他与叶茨合作创立了试验设计这一重要的统计分支,他还是假设检验和多元统计分析等重要统计分支的先驱;费希尔做过中学教员,曾长期在农业试验站工作,并致力于数理统计在农业科学和遗传学中的应用;在20世纪20-50年代,费希尔是数理统计学研究的中心人物;1928年,维夏特J.Wishart将费希尔的狭义的多员分析发展为统计学中的一个独立分支;中国数学家许宝禄和美国数学家霍太林H.Hotelling也是多元统计分析的奠基人;1946,瑞典数学家克拉默H.Cramer的着作统计学的数学方法,用测度论系统总结了数理统计的发展,标志着现代数理统计学的成熟;第二次世界大战期间,数理统计学的研究出现了一些重要的动向,这些新的动向在很大程度上决定了战后数理统计学的发展方向;其中最有影响的是沃尔德A.Wald,1902-1950提出的序贯分析和统计决策理论;序贯分析的主旨是以“序贯抽样方案”代替统计推断中的传统的固定抽样方案;为了解决二战中军方提出的实际问题,沃尔德提出序贯分析这一崭新的统计方法;1947年,沃尔德发表了序贯分析专着,使序贯分析在战后发展为数理统计中的一个重要分支;1950年,沃尔德出版了着作统计决策函数;他的统计决策理论用博弈的观点看待数理统计问题,对于推断所获得的论断会产生什么后果,应采取何种对策或行动等这些不属于经典统计的内容,统计决策理论也将其纳入统计的范畴;沃尔德的思想方法对20世纪下半叶整个数理统计学的发展有着重要影响;数理统计在近些年来有所发展,但理论上突破不大,最引人注目的是它的普及和广泛的应用;它几乎渗透到一切学科之中,哪里有试验,哪里有数据,哪里就少不了数理统计;它已成为现代最基本的工具之一,没有数理统计就无法应付大量的数据和信息;数理统计还将为社会的进步作出更大贡献;。
概率的来历——精选推荐
概率的来历概率的来历 概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展⽽产⽣起来的，但刺激数学家思考概率论问题的却来⾃赌博者的请求． 1651年，法国⼀位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了⼀个⼗分有趣的“分赌注”问题． 问题是这样的，⼀次梅累和赌友掷骰⼦，各押赌注32个⾦币．双⽅约定，梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷三次4点，就并赢了对⽅．赌好进⾏了⼀段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经⼀次掷出4点，这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了．请问：两个⼈应该怎样分这64个⾦币才算合理呢？ 赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上⼀次6点就算赢，所以他有权分得梅累的⼀半，即梅累分64个⾦币的，⾃⼰分64个⾦币的．梅累争辩说，不对，即使下⼀次赌友掷出了4点，他还可以得到，即32个⾦币；再加上下⼀次他还有⼀半希望得到16个⾦币，所以他应该分得64个⾦币的，赌友只能分得64个⾦币的．两⼈到底谁说得对呢？ 帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家．可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉⽬，于是写信给他的好友费马，两⼈讨论结果，取得了⼀致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个⾦币的，赌友应得64⾦币的．这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻；也参加了他们的讨论．讨论结果，惠更斯把它写成⼀本书叫做《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的⼀部著作． 概率论现在已经成了数学的⼀个重要分⽀，在科学技术各领域⾥有着⼗分⼴泛的应⽤．扩展资料数学世家伯努利家族 伯努利家族，⼜译贝努利家族．17－18世纪瑞⼠巴塞尔的数学和⾃然科学家的⼤家族，祖孙三代，出过⼗多位数学家原籍⽐利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居巴塞尔，主要成员的世系如下。
最重要的是雅各布第⼀·伯努利、约翰第⼀·伯努利和丹尼尔第⼀·伯努利。
概率论的起源
概率论的起源及公理化概率论起源于博奕问题。
15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。
1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。
他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。
惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。
一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有P {|nm - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。
伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。
其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。
特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。
正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。
科学故事：概率论的产生
科学故事：概率论的产生足球比赛：掷硬币决定谁先开球我们生活在概率的时代。
大家都知道，掷硬币的话会出现正面或者背面的情况，但没有人能够预测到底会出现哪一面。
解决这种不确定问题的数学理论就是概率理论。
1494 年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书，书中叙述了这样的一个问题：在一场赌博中，某一方先胜6 局便算赢家，在一次比赛中，甲方胜了4局，乙方胜了3局，因出现意外，赌局不得不被中断，此时，赌金应该如何分配？帕西奥尼的答案是：应当按照4：3的比例把赌金分给双方，当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理，因为，已胜了4局的甲方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而乙方则需要胜3局，并且只少有2 局必须连胜，这样要困难得多，但是，人们又找不到更好的解决方法。
帕斯卡在这以后的 100 多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案，直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”，引起了这位法国天才数学家的兴趣，由此引导他深人研究，并与地处偏远南方山区的费马频频通信，他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题。
费马费马的解法是,如果继续赌局,最多只要再赌4轮便可决出胜负,如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜,那么最后4轮的结果,不外乎以下 16 种排列：在这16种情形种，甲只需再胜两局便可赢得比赛，这样的情形有11 种。
而以需要赢得三局，才能赢得比赛，这样的情形只有5种。
所以赌金应该按照11：5 的比例分配。
帕斯卡解决这个问题则是用了他的“黄金三角形”，欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”。
帕斯卡三角形帕斯卡利用这个三角形求从n件物品中一次取出r 件的组合数，由上图可知，三角形第五行上的数恰好是赌博问题，其中1是甲出现4 次的组合数，4是甲出现3次的组合数等等。
因此赌金应按照11:5 的比例分配，这与费马得到的结果是完全一致的。
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概率论起源的故事
数学之所以有生命力，就在于有趣。
数学之所以有趣，就在于它对思维的启迪。
以下就是一则概率论起源的故事。
更早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。
他们说，他俩
下赌金之后，约定谁先赢满 5 局，谁就获得全部赌金。
赌了半天， A 赢了 4 局， B 赢了 3 局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。
那么，这个钱应该怎么分？
是不是把钱分成 7 份，赢了 4 局的就拿 4 份，赢了 3 局的就拿 3 份呢？或者，因为最早说的是满 5 局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这两种分法都不对。
正确的答案是：赢了 4 局的拿这个钱的3／4, 赢了3 局的拿这个钱的1／ 4。
为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢。
若是 A 赢满了
5 局，钱应该全归他； A 如果输了，即 A 、 B 各赢 4 局，这个钱应该对半分。
现在， A 赢、输的可能性都是 1／2, 所以，他拿的钱应该是 1／2×1＋ 1／2×1／ 2＝3／ 4, 当然， B 就应该得 1／4。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。
在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该
怎么算，这就要用 A 赢输的概率 1／2 去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。
概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。
概率论诞生的往事
博弈之学——概率论数学的每一个分支的产生，都来源于生产实践和自身的需要，自然数是祖先在同自然作斗争中，为了生存，寻找食物的过程而产生的。
起初他们是结绳为数，但随着时间的推移接绳为数不能满足于实际的需要，自然数就是这样产生了。
几何产生于测地和建筑。
燃而数学里有一个分支的产生却来源于赌博。
相传十七世纪，法国有一个很出名的赌徒叫默勒，一天，他和国王的侍卫官赌掷骰子，两人都下了30枚金币的赌注；他们商定：默勒先掷出3次6点，就可以赢得60枚金币；侍卫官若先掷出3次4点，也可以赢得60枚金币。
说好条件后，在众多赌徒和好奇人的围观下，就开始掷了，然而，正当默勒掷出2次6点，侍卫官掷出1次4点，赌博的高潮刚要来临的时候，国王的卫队来了，要求侍卫官即刻回王宫，陪同国王接见外国使团，默勒和侍卫官只好终止了赌博，然而，就是这场终止了的赌博引出一个重要的问题：如何分配赌注呢？赌徒默勒和侍卫官两人争论不休，互不让步。
默勒说：“我只要再掷出1次6点，就可以赢得全部金币，而你要掷2次4点，才能赢得60枚金币，所以我应该得到全部金币的3/4，也就是45枚金币。
”侍卫官却说：“假如继续赌下去，我要2次好机会才能取胜，而你只好一次就够了，是2：1，所以你只能取走全部金币的2/3，，即40枚金币。
”两人谁也说不服谁，互不相让，赌注也无法分配。
赌徒默勒为了得到这笔赌注，对这个问题分析了很久，越想越觉得自己提出的分法是合理的，但又说不服侍卫官。
又不敢与侍卫官胡闹，怎么办呢？一天，他灵机一动，将这个问题写信请教了当时法国著名的数学家与物理学家帕斯卡。
默勒心想，如果数学家认为我的分法是正确的，那么你侍卫官总要服从了吧。
他提出的问题是：“两人规定谁先赢S局就算赢了，若一人赢了A（A<S）局；另一人赢了B（B<S）局时，赌博终止了，应该怎样分配赌注才算公平合理？”帕斯卡看到这个问题后，很感兴趣。
他想，若以两人已赢的局数作比例来分配赌注，谁也不会服气，他们都会说；“若继续赌下去，我肯定会全部赢。
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概率论起源的故事
数学之所以有生命力，就在于有趣。
数学之所以有趣，就在于它对思维的启迪。
以下就是一则概率论起源的故事。
更早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。
他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。
赌了半天， A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。
那么，这个钱应该怎么分？
是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这两种分法都不对。
正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。
为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。
若是 A赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即 A、 B各赢4局，这个钱应该对半分。
现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,当然， B就应该得1／4。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。
在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用 A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。
概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。