最新高二数学暑假预科讲义 第六讲 空间向量 基础学生版

目录

空间向量的概念与运算 (2)

考点1：空间向量的运算 (2)

题型一：空间向量的运算 (3)

考点2：用空间向量证明平行垂直 (5)

题型二：空间向量证明线面平行、垂直 (5)

考点3：用空间向量求点面距离与线面角 (7)

题型三：空间向量求点面距离 (8)

题型四：空间向量求线面角 (9)

考点4：用空间向量求二面角 (11)

课后综合巩固练习 (12)

空间向量的概念与运算

考点1：空间向量的运算

1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：

共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+．

空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．

表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．

上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．

由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

四点共面定理：设点O 为空间任意一点，点A B C ，，是空间不共线的三点，又点P 满足等式：

OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，，

则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=．

3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，

，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??，

．通常规定0πa b ??≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??，

，． 如果90a b ??=?，

，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积：

已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ?=??， 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0a

b a b ??=；⑵ 2

a a a =?；⑶ a

b a b ?≤．

空间两个向量的数量积满足如下运算律：

⑴ ()()a b a b λλ?=?；⑵ a b b a ?=?；⑶ ()a b c a c b c +?=?+?．

题型一：空间向量的运算

例1.1．（2020春?和平区期中）在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111

532

OM OA OB OC =++

C ．0MA MB MC ++=

D ．0OM OA OB OC +++=

例1.2．（2019秋?龙岩期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，

AB a =，AD b =，1AA c =，M 是1D D 的中点，点N 是1AC 上的点，且11

3

AN AC =，用,,a b c 表示向量MN 的

结果是( )

A ．1

2

a b c ++

B ．114555

a b c ++

C ．131

5105

a b c --

D ．121

336

a b c --

例1.3．（2019秋?泰安期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点M ，设1,,AB a AD b AA c ===，则1(B M = )

A ．11

22a b c ---

B ．11

22a b c +-

C ．11

22a b c --

D ．11

22

a b c -+-

例1.4．（2020?东湖区校级一模）如图：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11

B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是( )

A ．11

22

a b c -++

B ．11

22

a b c ++

C ．11

22

a b c --+

D ．11

22

a b c -+

例1.5．（2016秋?大石桥市校级期中）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123BC e e =+，122CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值为 ．

例1.6．（2009春?北林区校级期末）若ABC ?中，90C ∠=?，(1A ，2，3)k -，(2B -，1，

0)，(4C ，0，2)k -，则k 的值为( )

A B ．C ．D ．

例1.7．（2019秋?天津期末）已知空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-，若a b ⊥，则实数

(m = ) A ．2- B ．1-

C ．1

D ．2

例1.8．（2019秋?深圳期末）若向量(0a =，1，1)-，(1b =，1，0)，且()a b a λ+⊥，则

实数λ的值是( ) A ．1-

B ．0

C ．2-

D ．1

例1.9．（2016秋?伊春区校级期末）(2a x =，1，3)，(1b =，2y -，9)，如果a 与b 为共线向量，则x y += ．

例1.10．（2016秋?湛江期末）已知空间三点(1A ，1，1)、(1B -，0，4)、(2C ，2-，3)，则AB 与CA 的夹角θ的大小是 ．

考点2：用空间向量证明平行垂直

1．直线的方向向量与平面的法向量的概念； 2．线、面平行与垂直：

（设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，

） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ?∥2v ；

线面的平行关系：1l ∥α或1l α??存在实数x y ，，使1v xm yn =+110v n ??= （其中m n ，

为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）?1n ∥2n ； ⑵线线垂直：1

2l l 12120v v v v ???=；

⑶线面垂直：1l α⊥11v n ?∥； ⑷面面垂直：12120n n n n α

β???=；

题型二：空间向量证明线面平行、垂直

例2.（2019秋?河西区期末）若两个向量(1AB =，2，3)，(3AC =，2，1)，则平面ABC 的一个法向量为( )

A ．(1-，2，1)-

B ．(1，2，1)

C ．(1，2，1)-

D ．(1-，2，1)

例3.1 （2019?西湖区校级模拟）给出下列命题：

①直线l 的方向向量为(1a =，1-，2)，直线m 的方向向量(2b =，1，1

)2

-，则l 与m 垂直；

②直线l 的方向向量(0a =，1，1)-，平面α的法向量(1n =，1-，1)-，则l α⊥； ③平面α、β的法向量分别为1(0n =，1，3)，2(1n =，0，2)，则//αβ；

④平面α经过三点(1A ，0，1)-，(0B ，1，0)，(1C -，2，0)，向量(1n =，u ，)t 是平面

α的法向量，则1u t +=．

其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）

例3.2 （2019秋?滁州期末）设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l α?/，则使

//l α成立的是( )

A ．(1a =，1-，2)，(1n =-，1，2)-

B ．(2a =，1-，3)，(1n =-，1，1)

C ．(1a =，1，0)，(2n =，1-，0)

D ．(1a =，2-，1)，(1n =，1，2)

例3.3 （2019秋?咸阳期末）若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2n =-，0，4)-，则( ) A ．//l α B ．l α⊥

C ．l α?

D ．l 与α斜交

例3.4 （2018秋?西城区期末）平面α经过三点(0O ，0，0)，(2A ，2，0)，(0B ，0，2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1，0，1) B ．(1，0，1)-

C ．(0，1，1)

D ．(1-，1，0)

例3.5 （2017秋?让胡路区校级期末）若直线l 的一个方向向量(2,2,2)a =-，平面α的一个法向量为(1,1,1)b =-，则( )