高二数学(人教A版)空间向量基本定理1教学设计
1.1.1+空间向量及其线性运算+教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计一、教学内容解析《1.1空间向量及其运算》是人教A版《普通高中教科书·数学(选择性必修)》第一册(以下简称“教科书”) 第一章《空间向量与立体几何》的第一节内容，包括“空间向量及其线性运算”和“空间向量的数量积运算”两小节内容，其中第1课时“空间向量及其线性运算”要学习的核心知识有: 空间向量的概念;零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量；空间向量的加法、减法以及数乘运算．这些核心知识是后续学习空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示、应用空间向量解决立体几何图形位置关系与度量关系的基石．二、学情分析在学习本节课内容之前，学生已在人教A版必修第二册中学习了《平面向量及其应用》和《立体几何初步》内容．大致了解了平面向量的基本研究思路与框架即“实际背景→基本概念→向量运算( 线性运算、数量积) →向量基本定理及坐标表示→向量的应用”，这也是研究和学习空间向量的基本研究思路．三、教学目标（1）了解空间向量的实际背景；理解空间向量及相关概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；（2）经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程；通过空间向量加法结合律的证明体会维数增加对向量推广带来的变化；（3）在借助几何图形解释空间向量相关概念中进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力; 从平面向量推广得到空间向量、空间向量问题转化为平面向量问题的过程中提升数学抽象素养，领悟类比、特殊与一般、转化与化归等思想.四、教学重难点重点: 空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算；难点: 空间向量加法结合律的证明，空间向量的线性运算．五、教学策略分析本节课采用创设问题情境，设置问题链引导学生类比平面向量层层深入学习空间向量的概念、线性运算、运算律和位置关系等内容．学生通过自主探究、交流、师生互动等教学活动参与学习过程，突破学习中的难点和疑点．利用PPT等教学软件绘制图形、平移图形、展示图片，借助几何直观图形帮助学生分析和理解概念．六、教学过程设计1、情境引入如图所示，一只蚂蚁从A点出发，一直沿着棱爬行，先爬行到B点，再爬行到C点，那么它的实际位移是什么？若蚂蚁继续沿着棱从C点向上爬行到C1点，那么它的实际位移是什么？追问：位移在数学中可以用什么概念表示？这些向量是否位于同一平面？【设计意图】通过学生情境引入，引导学生回忆熟悉的平面向量，同时发现空间向量，感受到与平面向量的差异，进而激发学生的求知欲．师：通过平面向量及其应用的学习，我们知道平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系，可以通过平面向量运算得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。
1.2-空间向量基本定理-教案-2023学年高二年级数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理1. 教学内容空间向量基本定理及其相关概念（基底、基向量、单位正交基、正交分解）和定理的简单应用.2. 教学目标（1）通思考现实情境问题，学生能借助实物图形进行联想，感受引入空间向量基本定理的必要性，发展学生的数学抽象和直观想像素养.（2）通过学生对教师提出的问题的思考、讨论等活动，能提高学生解决问题的能力和数学表达、交流的能力，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.（3）通过实例，能加深学生对空间向量基本定理的理解，发展学生的数学运算素养.3. 教学重点与难点教学重点：空间向量基本定理的理解及简单应用.教学难点：空间向量基本定理的证明思路的发现，基底的恰当选择.4. 教学过程设计：引导语：同学们好！前面我们学习了空间向量的概念及其表示（可以用一条有向线段来表示），空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算.知道任意两个共线的空间向量a →，b →(b →≠0→)的充要条件是a →=λb →;也知道，如选任意两个不共线的向量a→，b→作为基底(我们常常选择两个互相垂直的单位向量作为基底)，则可以利用平面向量的基本定理，所有与之共面的任意一个向量p →都可以用这个基底唯一地示出来：p→=x a →+y b→.这为向量的运算化归为数的运算奠定了基础，这也是平面向量最数学化的表示方法.同时我们也知道任意两个空间向量是共面的，任意三个向量空间向量不一定是不共面的.例如，在我们的教室中，我们若选定地面上的任意两个位置A ，B ，可以得到从墙角处为起点，以A,B 为终点的两个向量，它们可以表示地面上的任意一个位置，但是，它们还可以表示天花板上某盏灯的位置（也就是从墙角出发到等处的向量）吗？平面内的任意一个向量p →都可以用两个不共线的向量a →,b→表示（平面向量基本定理），这样，同一平面上所有的向量的位置关系和数量关系的研究就可以转化为对有限的两个不共线的向量的关系的研究。
类似地，前面我们学习了空间向量，知道任意一个空间向量可以用一条有向线段来表示，但是这并不是空间向量最数学化的表示方式，为了研究空间中的所有向量的位置关系和数量关系，能否把它们也转化成有限的少数几个向量的关系来研究呢？由此，你想要提出什么问题来进行研究？我们能否利用类比的思想，也用较少的几个向量去表示空间中的所有向量呢？这节课我们就来研究一下这个问题.问题1 在平面向量的学习中，我们知道利用平面向量基本定理可以确定空间中一个点的位置.那么在空间向量的学习中，如何确定空间中一个点的位置呢？例如，在我军近期在台海的军演中出动了很多战机，你如何确定空中一架战机的位置呢？师生活动：学生分组讨论后自由发表意见，教师追问：如果在地面上选定三个地点，以其中一个地点为起点，另两个地点和战机所处的位置为终点，得到三个向量，战机所处的位置对应的向量能用地面的两个向量表示吗？设计意图：让学生引起认知冲突，感受引入空间向量基本定理的必要性.同时，也让学生熟悉在空间中利用空间向量的自由性如何做出一个向量等于一个已知向量.问题2 空间中的任意一个非零向量a→可以表示空间中的所有向量吗？任意两个不共线的向量呢？师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.教师可以在此穿插复习共线向量的充要条件和向量加法的三角形法则、共面向量以及平行四边形法则和平面向量基本定理.(1) 空间向量共线:对于任意两个空间向量a →，b →(b →≠0→),a →//b→⟺ 存在实数λ ，使 a →=λb→ (2) 平面向量基本定理：如果两个向量a →，b →不共线，那么向量p →与向量a →，b→共面⟺ 存在唯一的有序数对(x,y ) ，使 p →=x a →+y b→.师生明确：任意一个空间向量不能用两个不共线的向量来表示.任意两个不共线的向量只能表示与之共面得得向量（空间两个不共线向量的充要条件或反证法）.教师随后增加以下追问： baa b N p A CB O AM B追问1：在长方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇中，我们可以选定底面矩形ABCD 中两个互相垂直的向量DA,→ DC → 作为基底来表示向量ＤB ＇→ 吗？为什么？ 追问2：空间中至少需要多少个向量才能用来表示空间中的所有向量呢？你有什么猜想？追问3 :共面的任意三个向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？追问4： 既然共面的任意三个向量不可以表示空间中的所有向量，那么任意三个不共面的向量可以表示空间中的所有向量吗？我们研究一个未知的问题，往往是从特殊的情形着手开始研究，你认为三个不共面的向量最特殊的情形是什么？师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.对于追问1，由学生观察向量DB′→ 与底面不在同一个平面内，不能利用共面定理,反之，如能用底面的两个不共线的向量表示，则共面.由追问2，学生可以猜测应该要三个向量才可能表示空间中所有的向量.通过追问3,学生观察图2，共同明确：共面的任意三个向量（即使两两不共线）也只能表示与之共面的向量，不可以表示与之不共面的任意一个空间向量..设计意图：通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，“为什么在空间中必须要有三个向量才可能表示空间所有的向量”，使学生积累基本的活动经验，由追问4，引出空间向量基本定理的特殊情形,并引出下一个问题.问题3 任意三个互相垂直的向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？师生活动：学生分小组讨论交流，自由发表意见.然后教师利用以下追问引导学生思考：追问1：假设空间向量ＤB ＇→ 是作用于点D 的一个力，从力的作用效果的角度我们可以将它进行力的正交分解，分解为水平和竖直两个方向上的分力，也就是向量ＤB → 和ＤD ＇→ 的方向.由此可以启发你怎样将向量ＤB ＇→ 分解吗？ 图2图1A B A'B'D'C'DC追问2 ：我们知道向量的投影可以把空间向量的问题转化为平面向量的问题，怎样才能把不与底面平行的向量ＤB ＇→ 转化为与底面平行的向量呢？转化的关键是什么？你有什么猜想？追问3：你可以选择三个两两垂直的向量来表示空间向量ＤB ＇→ 吗？如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ ,你能用它们来表示空间向量ＤB ＇→ ，更进一步地去表示空间中的任意一个向量吗？追问4 如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ 来表示空间中的任意一个向量时，你是如何让思考的？任意一个空间宪向量如何表示？它与已知的三个向量会存在哪几种位置关系？可以转化为已知的问题吗？可以用平面向量基本定理吗？学生有困难时，教师引导学生观察，注意到ＤB ＇与ＤD ＇是共面的，故可以用平面向量基本定理，而ＤB ＇与ＤD ＇所确定的平面与另两向量DA → ,DC→ 所确定的平面由于有一个交点D,从而有一条过该点D 的直线，这条直线同时在两个平面内，所以非常关键，它是联系ＤD ＇与DA → ,DC→ 的纽带，然学生思考，如何转化才能用到旧知：平面向量基本定理。
空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3 x y 1
因此 x y 2 ，此方程组无解，
2 x y 1
即不存在实数 x, y 使 OA xOB yOC ，
所以 OA, OB, OC 不共面.故{ OA, OB, OC }能作为空间的一个基底.
思
典例解析
例1：如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线
段上，且 =
1
，
2
=
3
，用向量，��，表示.
4
O
3
4
解: = + = +
3
4
= + ( − )
= +
=
1
4
1
4
3
4
+
−
3
4
3 1
(
4 3
1
+ )
= + + .
P N
A
M
B
思
典例解析
例2：如图, 在平行六面体 − 1111中, = 4, = 4,1 = 5,
∠ = 60°, ∠1 = 60°, ∠1 = 60°, , 分别为11, 11的中点.
Ԧ
共面；
Ԧ
B、 Ԧ + , Ԧ − 均不与共面；
Ԧ
C、 ,
Ԧ Ԧ + , Ԧ − 均与Ԧ 、共面；
D、 Ԧ + + Ԧ = Ԧ + + ，所以共面
Ԧ
)
练习巩固
2.已知{ e1 , e2 , e3 }是空间的一个基底，且OA = e1 2e2 e3 ， OB = 3e1 e2 2e3 ，
【新教材教案】1.2 空间向量基本定理(教学设计)-人教A版高中数学选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量基本定理。
空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．1.教学重点：理解空间向量基本定理及其证明.2.教学难点：运用空间向量基本定理解决有关问题.多媒体如图1.2-1，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量i,j所确定的平面上的投影向量，⃗⃗⃗⃗⃗线，因此存在唯一实数z，使得QP所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，（1）用向量，，表示和．（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求•的值．解：（1）＝，＝，∴＝++＝++＝+（）+（）＝﹣++，∴＝＝+＝﹣++＝++．＝＝+＝﹣++＝++．（2）＝（++）•（++）＝2+•+++2+ +++2＝++++++++＝(1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA ′―→)＝12(2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD ―→′)＝12例2.在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是DD 1,BD 的中点,点G 在棱CD 上,且CG =13CD (1)证明:EF ⊥B 1C ;(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值.思路分析选择一个空间基底,将EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用基向量表示.(1)证明EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可;(2)求EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值即可. (1)证明:设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k , 则{i ,j ,k }构成空间的一个正交基底.所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12k +12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12i +12j -12k ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-i -k , 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12i +12j -12k)·(-i -k )=-12|i |2+12|k |2=0,所以EF ⊥B 1C. (2)解:EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12j -12k ,C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k -13j , |EF⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(12i +12j -12k)2=14|i |2+14|j |2+14|k |2=3, |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-k -13j)2=|k |2+19|j |2=4+49=409,|C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103,∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1G⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(12i+12j -12k)·(-k -13j)√3×2√103=432√303=√3015. 延伸探究：设这个正方体中线段A 1B 的中点为M ,证明:MF ∥B 1C.解:设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k , 则B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-i -k ,MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12j -12i)−(12j +12k)=-12i -12k =12(-i -k )=12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MF ∥B 1C.D 项中因为基底不唯一,所以D 错.故选C.4.在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,E 为PD 中点,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:12a -32b +12c解析: BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-b +BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12b +12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12b +12(a +c -2b )=12a -32b +12c . 5.若{a ,b ,c }是空间的一个基底,试判断{a +b ,b +c ,c +a }能否作为空间的一个基底.解:假设a +b ,b +c ,c +a 共面,则存在实数λ,μ,使得a +b =λ(b +c )+μ(c +a ),即a +b =μa +λb +(λ+μ)c .∵{a ,b ,c }是空间的一个基底,∴a ,b ,c 不共面.∴{1=μ,1=λ,0=λ+μ,此方程组无解. 即不存在实数λ,μ,使得a +b =λ(b +c )+μ(c +a ),∴a +b ,b +c ,c +a 不共面.故{a +b ,b +c ,c +a }能作为空间的一个基底.6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．cosa b=2=，()222212222BC a c b a c b a c a b c b=+-=++-+-=．()222123AB a b a b a b=+=++=，()(BC a b a=++1111111,623AB BCAB BCAB BC<>===⨯．异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。
1.2 空间向量基本定理 教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理一、教学目标1、了解掌握空间向量基本定理；2、通过类比的方式快速掌握空间向量基本定理及其应用.二、教学重点、难点重点：空间向量基本定理的理解与掌握.难点：空间向量基本定理的应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【引入问题】平面向量中，学习了平面向量基本定理？在空间向量中，是否存在相对应的定理？平面向量基本定理如果1e 2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+. 【基底】若12,e e 不共线，则称1e 2e 为表示这一平面内所有向量的一个基底．．. 【中线定理】 在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，则1()2AM AB AC =+ 布置学生阅读课本1112P P -，类比阅读中获得的结论.（二）阅读精要，研讨新知【类比转化】类比平面向量基本定理，获取空间向量基本定理.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使得p xa yb zc =++.【基底】 若三个向量,,a b c 不共面，则{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.单位正交基底{,,}i j k 中的三个基向量两两垂直且为单位向量.a xi y j zk =++称为空间向量的正交分解.【例题研讨】阅读领悟课本12P 例1（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）例1如图1.2-2 M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上 点P 在线段AN 上 且13,24MN ON AP AN ==，用向量,,OA OB OC 表示OP . 解：34OP OA AP OA AN =+=+3()4OA ON OA =+- 131321111()444432444OA ON OA OB OC OA OB OC =+=+⨯⨯+=++【小组互动】完成课本12P 练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1. 在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为平行四边形, AC 与BD 交于点O ,点G 为BD 上一点,2BG GD =, ,,,PA a PB b PC c ===用基底{,,}a b c 表示向量PG =________.解：23PG PB BG PB BD =+=+2()3PB BA BC =++ 2212212()3333333PB PA PB PC PB PA PB PC a b c =+-+-=-+=-+ 答案：212333a b c -+2. （多选）如图，在四面体P ABC -中，下列说法正确的是（ ）A ．若,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，则AC PB ⊥B ．若四面体各棱长均为4，,M N 分别是,PA BC 的中点，则||2MN =C ．若在平面ABC 上存在一点D ，使1233CB CD CA =+，则2BD AB = D ．若该四面体为正四面体，则二面角P AB C 的大小为060解：因为,,PA PB PB PC PA PC P ⊥⊥=，所以PB ⊥平面PAC ， 因为AC ⊂平面PAC ，所以PB AC ⊥，A 正确；连接,PN AN ，因为四面体各棱长均为4，,M N 分别是,PA BC 的中点， 则224223PN AN ==-=PAN ∆是等腰三角形，所以MN AP ⊥， 从而22||12422MN PN PM =-=-=，B 错误；1233CB CD CA =+，即12()()33CB CD CA CB -=-， 所以2DB BA =，所以2BD AB =，C 正确；取AB 中点G ，连接,PG CG ，因为该四面体为正四面体，所以,PG AB CG AB ⊥⊥，则PGC ∠为二面角P AB C 的平面角， 设正四面体棱长为2a ，则3PG CG a ==则22223341cos 233a a a PGC a +-∠==⨯，所以二面角P AB C 的大小不是060，D 错误.故选AC（四）归纳小结，回顾重点 空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使得p xa yb zc =++.【基底】 若三个向量,,a b c 不共面，则{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.单位正交基底{,,}i j k 中的三个基向量两两垂直且为单位向量.a xi y j zk =++称为空间向量的正交分解.（五）作业布置，精炼双基P习题1.2 1-41.完成课本152.预习1.3 空间向量及其运算的坐标表示五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
《空间向量基本定理》参考教案
《空间向量基本定理》参考教案教案一：空间向量基本定理的引入与说明一、教学目标1.理解和掌握空间向量的基本概念和性质。
2.能够运用空间向量基本定理解决相关问题。
3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点与难点1.空间向量的基本概念与运算规则。
2.定义空间向量基本定理和它的推论。
三、教学过程1.导入环节：通过一个生活实例引入空间向量的概念。
T：同学们，有一天小明去买菜，在菜市场碰到了他的好朋友小红。
他们俩热情地互相问候，打招呼之后，小明突然看到小红手上拿着一袋看起来很重的东西，就好奇地问：“小红，你拿的是什么？”小红笑着回答：“这是我买的菜，你要不要帮我一起拿一拆？”小明犹豫了一下，想到自己还有很多事情要做，就婉言谢绝了。
你们有没有碰到过这种情况呢？S1：我碰到过，我帮我妈妈拎东西。
S2：我也帮过我妈妈拎水果。
T：对的，生活中我们常常会遇到这样的情况，一个人无法单独完成一些任务，需要另一个人的帮助。
我们可以把小红拿的菜称为向量，可以把拿菜的人称为向量的起点，可以把这个人被用来拿菜的手称为向量的终点。
所以，向量可以理解为一种既有大小、又有方向的量。
这就是我们所要学习的“向量”概念。
2.讲解向量基本概念T：同学们，向量是有大小和方向的，那我们该如何表示一个向量呢？S3：可以用线段来表示。
T：非常好！向量可以用线段来表示，线段的起点表示向量的起点，线段的终点表示向量的终点。
同时，我们可以给这个线段一个箭头，箭头表示向量的方向。
请大家看下面的图示，看看我们是如何用线段来表示向量的。
T：用这种方法可以表示向量的起点、终点和方向，那我们如何表示向量的大小呢？S4：可以用线段的长度来表示。
T：非常棒！向量的大小可以用线段的长度来表示，长度越大说明向量的大小越大。
同学们，你们还有什么想问的吗？S5：老师，那如果两个向量的长度相等，但是方向不同，它们算不算相等呢？T：非常好的问题！如果两个向量的大小相等但方向不同，我们称它们为反向量。
1.2 空间向量基本定理 第1 课时(课时教学设计)(莫日丽)-高中数学新教材选择性必修第一册小单元
1.2 空间向量基本定理第1 课时（课时教学设计）（莫日
丽）-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家
指导（视频+教案）
教学目标：
1. 知道什么是空间向量、基本定理的定义及其应用；
2. 能够应用基本定理解决一些简单的空间向量问题；
3. 能够用多种方式描述向量的线段、顶点、方向角和模长。
教学重难点：
重点：空间向量的定义、基本定理的应用；
难点：向量的描述方式的多样性。
教学方法：
讲授、讨论、演示。
教学过程：
1.引入（5分钟）
教师用一个小组的学生，用手中的一根木棒，让他们分别摆出
两个方向不同的向量，调整方向让它们首尾相接，分析这种情况下，这两个向量的特点，引导学生思考和探讨。
然后简单介绍向量的定义。
2.讲解（15分钟）
（1）空间向量的定义和表示方式。
（2）向量的模长、方向角和方向余弦。
（3）向量的线段表示法、点表示法、三元组表示法。
（4）空间向量的加减法。
（5）向量线性运算法则。
（6）向量共线和垂直的判定方法。
3.练习（20分钟）
（1）应用空间向量基本定理解决简单问题。
（2）多种方法描述向量的练习。
4.总结（5分钟）
教师简单总结讲解的内容并强调基本定理的重要性和应用。
教学反思：
空间向量基本定理是学习空间向量的基础和重要的定理，其应用广泛，可以帮助学生解决许多空间问题。
在教学过程中，教师需要让学生充分探讨和思考，培养学生的自主学习能力。
同时教师也需要引导学生善于从不同的角度去理解向量，多种描述方式的练习可以帮助学生掌握向量的本质。
《空间向量基本定理》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量基本定理》教学设计◆教学目标1、理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理的内容及含义.提升学生的数学抽象素养.2、会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解决空间几何中的简单问题．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：理解共面向量定理教学难点：利用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解决空间几何中的简单问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第12-13页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量基本定理第一课时共面向量定理的知识内容．（2）本节知识主要是回顾平面向量的基本定理，及由平面向量基本定理得到的共面向量定理，是平面向量相关知识向空间的推广，因此这时的教学应继续紧扣“推广”这一重要环节．它对于下一节学习空间向量基本定理做好了铺垫，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量中的共线向量基本定理和平面向量基本定理，请同学们归纳出共线向量基本定理和平面向量基本定理．（板书：空间向量及其运算第一课时）师生活动：在教师的指导下共同归纳总结共线向量基本定理和平面向量基本定理． 教师讲解：平面向量中的结论(1)共线向量基本定理:如果a ≠0且b ∥a ,则存在唯一的实数λ,使得b =λa .(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a 与b 不共线,则对该平面内任意一个向量c ,存在唯一的实数对(x ,y ),使得c =x a +y b .设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,发展学生数学学科核心素养,使学生加深理解共线向量基本定理和平面向量基本定理,为下面学习空间向量基本定理打下坚实的基础.2、形成定义观察上述共线向量基本定理和平面向量基本定理,思考上述结论在空间中是否仍然成立？如何判断空间中的三个向量是否共面？师生活动：通过类比，学生自己得出共面向量定理的内容．教师讲解：可以看出,共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立． 例如,如图1-1-16所示的正方体1111-ABCD A BC D 中,P 在直线1AA 上的充要条件是,存在实数λ,使得1λ=AP AA ,如果M 在底面ABCD 内,则一定存在实数s 与t,使得=+AM sAB t AD ,而且,若ME⊥AD,MF⊥AB,则,t ==AF sAB AE AD ,另外,在空间中,由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形法则,还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量a ,b,c 共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c =x a +y b .设计意图：通过引入正方体的具体实例让学生进一步验证了共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立.由学生自己动手实践、观察、比较,抽象概括得出定理,让学生体会由特殊到般的思维方法,发展学生的理性思维能力.问题3：如何证明共面向量定理？师生活动：学生自己写出证明过程，教师给出答案．预设的答案：在共面向量定理的证明中,证明必要性时,因已知条件和求证结论与平面向量基本定理吻合,充分性的证明如下:因为,xa yb 分别与,a b 共线,所以,xa yb 都在,a b 确定的平面内,又因为+xa yb 是以,xa yb 为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在,a b 确定的平面内,所以=+c xa yb 在,a b 确定的平面内,即c 与,a b 共面．设计意图：通过对定理的证明，强化共面向量定理的理解．三、初步应用例1例1如图1-1-17所示,已知斜三棱柱111-ABC A B C , 1,,===AB a AC b AA c ,在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N,且1,==AM k AC BN kBC ,其中01≤≤k ，求证:,,MN a c 共面．师生活动：学生尝试自行解答，由老师指定学生给出证明，教师给出规范解答． 预设的答案：证明因为1==+AM k AC kb kc ，()=+=+=+-+AN AB BN a kBC a k a b=(1)-+k a kb ，所以(1)(1)=-=-+--=--MN AN AM k a kb kb kc k a kc由共面向量定理可知,,,MN a c 共面．设计意图：例1旨在说明共面向量定理的应用，可以通过分析，明确证明目标，应注意让学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立分析问题解决问题的能力．练习：已知A,B,C 三点不共线，对平面ABC 外任意一点O ，确定在下列条件下，点M 是否与A,B,C 共面： 111(1);333=++OM OA OB OC (2)2=--OM OA OB OC师生活动：学生根据例1做出解答，并由教师给出答案．预设的答案：（1）共面；（2）不共面．设计意图：加强对共面向量定理的应用，培养学生独立分析问题解决问题的能力．问题4：由共面向量定理是否可得到判断空间中四点是否共面的方法？师生活动：学生尝试总结，并相互交流，教师给出答案．预设的答案：如果A,B,C 三点不共线,则点P 在平面ABC 内的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使=+AP xAB yAC .设计意图：通过对共面向量定理的理解，得到判断四点共面的方法，提升学生逻辑推理素养．例2：如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接P A ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM ．应用向量共面定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面．师生活动：学生先尝试识图，并给出解题思路，教师给出规范证明过程．预设的答案：∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 为所在边的中点，顺次连接M ，N ，Q ，R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →． ∵四边形MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →)＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →)＝23⎝⎛⎭⎫32PF →－32PE →＋23⎝⎛⎭⎫32PH →－32PE → ＝EF →＋EH →，∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E ，F ，G ，H 四点共面．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是共线向量基本定理？（2）什么是平面向量基本向量？（3）什么是共面向量定理？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)共线向量基本定理:如果a ≠0且b ∥a ,则存在唯一的实数λ,使得b =λa .(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a 与b 不共线,则对该平面内任意一个向量c ,存在唯一的实数对(x ,y ),使得c =x a +y b .（3）共面向量定理:如果两个向量a 与b 不共线,则向量a 、b 、c 共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x ,y ),使c =x a +y b .. 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识． 布置作业：教科书第16页练习A1,2题．五、目标检测设计1.O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA →，OB →，OC →共线B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面设计意图：考查学生对共线向量基本定理的应用．2.对于空间的任意三个向量a ，b,2a －3b ，它们一定是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量设计意图：考查学生对共面向量定理的简单应用．3．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．设计意图：考查学生对共线向量基本定理的应用． 参考答案：1．D [由OA →，OB →，OC →不能构成基底知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．]2．A [根据共面向量定理知a ，b,2a －3b 一定共面．] 3．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ． ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ．∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →．∴E ，F ，B 三点共线．。
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四、总结提升
问题4平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
意图：引导学生发现基底中向量个数与空间维数之间的联系，并将一维情形也纳入知识体系.
五、布置作业
教材第12页第3题和第15页第3题.
总结出“{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面．”
3.由一般到特殊给出单位正交基底以及正交分解的定义
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
高二
学期
上
课题
空间向量基本定理（1）
教科书
书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：了解空间向量基本定理及其意义．
教学重点：空间向量基本定理．
教学难点：空间向量基本定理．
问题1空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
通过几个追问引导学生猜想空间基底中基向量的个数.
追问1为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？
追问2两个不共线的向量还够用吗？
意图：说明至少需要三个向量。
追问3任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
意图：说明当三个向量共面时无法表示与其不共面的向量，因而三个基向量必须要求不共面。
（2）GGB软件验证：验证任意存在唯一性
三、形成定理
1.类比表述空间向量基本定理
问题2你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？
逐句对比平面向量基本定理的表述，形成空间向量基本定理.
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
二、操作确认
1.当给定的三个向量两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。
（1）几何做图验证：说明分解方法
（2）GGB软件验证：验证任意存在唯一性
2.当给定否可以表示为给定三个向量的线性组合。
（1）几何做图验证：类比两两垂直的情况说明分解方法
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、类比猜想
1.复习平面向量基本定理的内容：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2.类比平面向量基本定理的功能，提出问题1.
那么，所有空间向量组成的集合就是{p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
2.给出基底相关概念
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(base vectors)．
问题3空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
意图：说明任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．空间的基底有无穷多个．