31空间向量的标准正交分解与坐标表示32空间向量基本定理
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理.
c D b
A a
C′ M
B′
C N B
解: 因为MN MC CC CN,
而MC
1
AC
1
AC
1
(a
b ),
2
2
2
CC
-c ,
CN
1
CB
-
1
b,
2
2
所以MN
1
(a
b)
-c
-
1
b
1
a
-
c.
2
22
1.已知 a, b, c 是不共面的三个向量，则能构成
所以OP xi yj zk.
探究点2 空间向量的坐标表示
在给定的空间直角坐标系中，令i , j, k分别为空间直角坐标系中 x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设a是空间任意向量，
存在唯一一组三元有序实数 x, y, z, 使得a xi yj zk.我们把
a xi yj zk叫作a的标准正交分解，把i , j, k叫作标准正交基.
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b,c 在空间中不共面，那么对空间
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，
使 p xa yb zc.
空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个 基底.
a, b, c都叫作基向量
特别提示：对于基底 a, b,c, 除了应知道 a, b,c, 不共面， 还应明确：
例2.如图，已知单位正方体ABCD ABCD.求：
（1）向量CA在CB上的投影；
（2）向量CA在BC上的投影.
A a
C′ M
B′
C N B
解: 因为MN MC CC CN,
而MC
1
AC
1
AC
1
(a
b ),
2
2
2
CC
-c ,
CN
1
CB
-
1
b,
2
2
所以MN
1
(a
b)
-c
-
1
b
1
a
-
c.
2
22
1.已知 a, b, c 是不共面的三个向量，则能构成
所以OP xi yj zk.
探究点2 空间向量的坐标表示
在给定的空间直角坐标系中，令i , j, k分别为空间直角坐标系中 x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设a是空间任意向量，
存在唯一一组三元有序实数 x, y, z, 使得a xi yj zk.我们把
a xi yj zk叫作a的标准正交分解，把i , j, k叫作标准正交基.
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b,c 在空间中不共面，那么对空间
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，
使 p xa yb zc.
空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个 基底.
a, b, c都叫作基向量
特别提示：对于基底 a, b,c, 除了应知道 a, b,c, 不共面， 还应明确：
例2.如图，已知单位正方体ABCD ABCD.求：
（1）向量CA在CB上的投影；
（2）向量CA在BC上的投影.
空间向量基本定理正交分解及坐标表示-精品
空间向量基本定理、正交分解及坐标表示1.空间向量基本定理如果三个向量W，b，7不共面，那么对空间任一向量V存在一个唯一的有序实数组X，—> —•TTy，z,使p=xa+yb+za任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，b，W都叫做基向量.2.单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，常用｛£,最，£｝表示.3.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底｛£,二｝,以点。
为原点，分别以3，荒，工的正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-孙Z.其中，点。
叫做原点，向量司，司，司都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.4.空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量总一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量而=P，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛斯- z},使得P=+ye2+223.把x,y,z称作向量p在单位正交基底最，£卜的坐标，记作p=(x,y,z).【解题方法点拨】1.基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,假设不能作为一个基底, 看是否存在一对实数入、四使得G+W)+w(W+W),若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立.2.空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用己知的基向量表示出来.3.用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.（2）若没给定基底时，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.。
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算 人教课标版精品课件
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
的夹角在什么范围内？
六、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}
或{e1,e2,e3}表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底
{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、
y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,
点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是(
)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量a,b,c共面,
故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称
它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O
(教师用书)高中数学 2.3.(1+2)空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理课件
●教学建议 在前面必修 4 中已学习了平面向量基本定理，所以将其 拓展到空间引出空间共线向量定理是比较自然的；对于空间 向量基本定理，有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问 题本质的理解，所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反 思，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一 个途径，这一过程是隐性的、长期的，但也是必须的．
→ ＝λ e ，OB → ＝λ e ，OC → ＝λ e ， 在一组实数 λ1，λ2，λ3，使得OA 1 1 2 2 3 3 即 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.
2．由 1 知 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，请问 λ1，λ2，λ3 唯一吗？ 【提示】 唯一．
1．如果向量 e1、e2、e3 是空间三个不共面 的向量，a 是 空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1、λ2、λ3，使得 a＝
xi＋yj＋zk 叫作 a 的标准正交分解，把 i，j，k 叫作标准正交
基．
(x，y，z) 叫作空间向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y，z) ，a＝ (x，y，z) 叫作向量 a 的坐标表示．
→ 在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为(x，y，z)，向量OP 的坐标也是 (x，y，z) .
投影
【问题导思】 1． 在平面向量中， 向量 a 在向量 b 方向上的投影如何求？ a· b 【提示】 |a|cos〈a，b〉或 . |b| 2．在平面向量中，非零向量 a 在向量 b 方向上的投影与 向量 b 在向量 a 方向上的投影相等吗？ 【提示】 当|a |＝|b |或 a⊥b 时，相等；当|a|≠|b|且 a 不
空间向量基本定理
【问题导思】 1．已知 e1、e2、e3 是空间中不共面的三个向量，如何用 向量 e1、e2、e3 表示向量 a?
原创2：3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
C．若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
典例导航
选项
判断
原因分析
A
×
由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由
不共面的三个向量才能表示
B
√
基向量不共面，因此不可能有零向量
C
×
基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个
基向量两两垂直
2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，
叫做把向量 正交分解 .
．
启动思维
3．在各棱长均为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
O为面A1B1C1D1的中心，
设AB＝a，AD＝b，AA1＝Ԧc，
A1
B1
你能否用a，b，Ԧc表示出AO？
D1
O
C1
A
D
表示出的结果还有没有其他表示方法？
B
C
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向
标表
p＝(x，y，z)
量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作
.
示
序实数组{x，y，z}，使得p＝
自主练习
1．已知a，b，Ԧc是不共面的三个向量，则能构成一个基底的
一组向量是( C )
A．2a，a－b，a＋2b
B．2b，b－a，b＋2a
C．a, 2b，b－Ԧc
空间四面体OABC中，M在OA上， OM＝3MA，N在BC上，且BN＝2NC，设
＝a，＝b，＝Ԧc，用向量a，b，Ԧc表示 ，.
【解析】
= +
2
= +
3
= − +
2
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
典例导航
选项
判断
原因分析
A
×
由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由
不共面的三个向量才能表示
B
√
基向量不共面，因此不可能有零向量
C
×
基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个
基向量两两垂直
2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，
叫做把向量 正交分解 .
．
启动思维
3．在各棱长均为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
O为面A1B1C1D1的中心，
设AB＝a，AD＝b，AA1＝Ԧc，
A1
B1
你能否用a，b，Ԧc表示出AO？
D1
O
C1
A
D
表示出的结果还有没有其他表示方法？
B
C
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向
标表
p＝(x，y，z)
量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作
.
示
序实数组{x，y，z}，使得p＝
自主练习
1．已知a，b，Ԧc是不共面的三个向量，则能构成一个基底的
一组向量是( C )
A．2a，a－b，a＋2b
B．2b，b－a，b＋2a
C．a, 2b，b－Ԧc
空间四面体OABC中，M在OA上， OM＝3MA，N在BC上，且BN＝2NC，设
＝a，＝b，＝Ԧc，用向量a，b，Ԧc表示 ，.
【解析】
= +
2
= +
3
= − +
2
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!高考数学知识点之空间向量的.正交分解及坐标空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。
基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
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本定理） .对于空间任意一个向量，有没有类似的结 论呢？
OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.
OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
r
ur p
P
（x,y,z）使得 p ? xi ? y j ? zk.
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
下图是一个房间的示意图 ,我们来探讨表示电
灯位置的方法 .
z
墙
墙 地面
4
3
2
1
A(4,5,3)
O
32
1
1
23
4
5
y
4
x
向量OA的坐标怎么表示？
1.掌握空间向量的标准正交分解与及其坐标表示 . (重点 ) 2.理解空间向量基本定理及其应用 .（重点） 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的 向量唯一表示，并能用给定的基底表示空间向量 .
推论： 设O、A、 B、C是不共线的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
OP ? xOA? yOB? zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面 .
例3.如图，在平行六面体ABCD? A?B?C?D?中，M是
平行四边形A?BБайду номын сангаасC?D?的对角线的交点，N是棱BC的
?
r yj
?
zkr 叫作ar的标准正交分解，把
r i,
rr j,k
叫作标准正交基.
?x,
y,z
?
叫作空间向量
ar 的坐标，记作
r a
?
?x,
y,z
?.
r a
?
?x,
y,z
?
叫作向量
ar 的坐标表示
.
例1.如图，在直角坐标系中有长方体ABCD ? A?B?C?D?,
且AB ? 2，BC ? 3，AA?? 5.
uuuur
uuur
D
CA?cos ? A?CB ? CB ? 1;
A
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影为
uuuur
uuur
CA?co（s ? -? A?CB）? - CB ? -1.
B?
C B
探究点3 空间向量基本定理
思考：我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可
以用两个不共线的向量 a , b 来表示（平面向量基
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
rk iO
r j
y
i, j, k上的分向量.
Q
x
问题：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出什么结论？
空间向量基本定理：
rrr 如果三个向量 a,b,c 在空间中不共面，那么对空间
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 (x,y,z) ，
提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解
不变，故其坐标也不变.
问题3：建立以O为原点的空间直角坐标系后，向量
uuur OP
的坐
标与点P的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？
提示：在以O为原点的空间直角坐标系中，向量的坐标
（x,y,z) 与其终点P的坐标相同，这样就实现了空间基底到空
所以OP ? xi ? yj ? zk.
探究点2 空间向量的坐标表示
rrr 在给定的空间直角坐标系中，令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中
x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设 ar是空间任意向量，
存在唯一一组三元有序实数
?x,
y,z
?, 使得ar
?
r xi
?
r yj
?
r zk.我们把
ar
?
r xi
使 p ? xa ? yb ? zc.
空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个 基底 .
a, b, c都叫作基向量
特别提示： 对于基底
rrr a,b,c,
除了应知道
rrr a,b,c,
不共面，
还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底 .
（2）由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 . （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 .
中点.如果 AB ?
? a,
AD ?
? b,
AA??
? c,
试用a?,
? b,
c?表示MN.
D′ A′ r c
Dr b
Ar a
C′ M
B′
C N B
解: 因为MN ? MC?? C?C ? CN,
轴于A，B，C三点.
x
z
C
? k
? a
P
O? ?
ij
D
? a
By
根据向量加法运算，有
OP ? OA? AD? DP ? OA? OB ? OC.
? 因为OA与i 共线，根据向量共线的性质，存在
?
唯一实数x，使得OA ? xi .同理，存在唯一实数
?
?
y和z，使得OB ? yj,OC ? zk.
?? ?
探究点1 空间向量的标准正交分解
思考 ：我们学习过平面向量的标准正交分解，
空间向量应该怎样分解呢？
如图，在给定空间直角坐标系中， rrr
令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中x轴，
y轴，z轴正方向上的单位向量，设
ar是空间任意向量，作OuuPur
?
r a.
过点P作坐标平面yOz，xOz，xOy
的平行平面，分别交x轴，y轴，z A
By
所以AD??（3,0,5）.
xD
C
问题1：空间向量的坐标与它的投影有什么关系？
提示：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 .
一般地，若
r b
r 0为b的单位向量，称
ar
r ?b0
?
ar cos
ar,br
为向量ar在向量br 上的投影.
问题2：向量可以平移，向量
r p
在坐标系中的坐标唯一吗？
uuur r r r （1）写出点C?的坐标，给出AC?关于 i, j,k 的分解式；
uuur
（2）求AD?的坐标.
z
解: (1)因为AB? 2，BC ? 3，AA?? 5， D?
A?
B?
C?
所以点C?的坐标为（3,2,5），
???
从而AC??（3,2,5）? 3i ? 2 j ? 5k； （2）因为点D?的坐标为（3,0,5）， A
间坐标系的转换.用坐标表示空间向量，可以把空间向量坐标
化，然后再通过计算解决问题，为解决空间向量问题提供了
新的思路.
例2.如图，已知单位正方体ABCD ? A?B?C?D.?求：
uuuur uuur
（1）向量CA?在CB上的投影；
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影.
D?
C?
解:（1）向量CuuAuur?在CuuBur上的投影为 A?
OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.
OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
r
ur p
P
（x,y,z）使得 p ? xi ? y j ? zk.
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
下图是一个房间的示意图 ,我们来探讨表示电
灯位置的方法 .
z
墙
墙 地面
4
3
2
1
A(4,5,3)
O
32
1
1
23
4
5
y
4
x
向量OA的坐标怎么表示？
1.掌握空间向量的标准正交分解与及其坐标表示 . (重点 ) 2.理解空间向量基本定理及其应用 .（重点） 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的 向量唯一表示，并能用给定的基底表示空间向量 .
推论： 设O、A、 B、C是不共线的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
OP ? xOA? yOB? zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面 .
例3.如图，在平行六面体ABCD? A?B?C?D?中，M是
平行四边形A?BБайду номын сангаасC?D?的对角线的交点，N是棱BC的
?
r yj
?
zkr 叫作ar的标准正交分解，把
r i,
rr j,k
叫作标准正交基.
?x,
y,z
?
叫作空间向量
ar 的坐标，记作
r a
?
?x,
y,z
?.
r a
?
?x,
y,z
?
叫作向量
ar 的坐标表示
.
例1.如图，在直角坐标系中有长方体ABCD ? A?B?C?D?,
且AB ? 2，BC ? 3，AA?? 5.
uuuur
uuur
D
CA?cos ? A?CB ? CB ? 1;
A
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影为
uuuur
uuur
CA?co（s ? -? A?CB）? - CB ? -1.
B?
C B
探究点3 空间向量基本定理
思考：我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可
以用两个不共线的向量 a , b 来表示（平面向量基
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
rk iO
r j
y
i, j, k上的分向量.
Q
x
问题：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出什么结论？
空间向量基本定理：
rrr 如果三个向量 a,b,c 在空间中不共面，那么对空间
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 (x,y,z) ，
提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解
不变，故其坐标也不变.
问题3：建立以O为原点的空间直角坐标系后，向量
uuur OP
的坐
标与点P的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？
提示：在以O为原点的空间直角坐标系中，向量的坐标
（x,y,z) 与其终点P的坐标相同，这样就实现了空间基底到空
所以OP ? xi ? yj ? zk.
探究点2 空间向量的坐标表示
rrr 在给定的空间直角坐标系中，令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中
x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设 ar是空间任意向量，
存在唯一一组三元有序实数
?x,
y,z
?, 使得ar
?
r xi
?
r yj
?
r zk.我们把
ar
?
r xi
使 p ? xa ? yb ? zc.
空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个 基底 .
a, b, c都叫作基向量
特别提示： 对于基底
rrr a,b,c,
除了应知道
rrr a,b,c,
不共面，
还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底 .
（2）由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 . （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 .
中点.如果 AB ?
? a,
AD ?
? b,
AA??
? c,
试用a?,
? b,
c?表示MN.
D′ A′ r c
Dr b
Ar a
C′ M
B′
C N B
解: 因为MN ? MC?? C?C ? CN,
轴于A，B，C三点.
x
z
C
? k
? a
P
O? ?
ij
D
? a
By
根据向量加法运算，有
OP ? OA? AD? DP ? OA? OB ? OC.
? 因为OA与i 共线，根据向量共线的性质，存在
?
唯一实数x，使得OA ? xi .同理，存在唯一实数
?
?
y和z，使得OB ? yj,OC ? zk.
?? ?
探究点1 空间向量的标准正交分解
思考 ：我们学习过平面向量的标准正交分解，
空间向量应该怎样分解呢？
如图，在给定空间直角坐标系中， rrr
令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中x轴，
y轴，z轴正方向上的单位向量，设
ar是空间任意向量，作OuuPur
?
r a.
过点P作坐标平面yOz，xOz，xOy
的平行平面，分别交x轴，y轴，z A
By
所以AD??（3,0,5）.
xD
C
问题1：空间向量的坐标与它的投影有什么关系？
提示：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 .
一般地，若
r b
r 0为b的单位向量，称
ar
r ?b0
?
ar cos
ar,br
为向量ar在向量br 上的投影.
问题2：向量可以平移，向量
r p
在坐标系中的坐标唯一吗？
uuur r r r （1）写出点C?的坐标，给出AC?关于 i, j,k 的分解式；
uuur
（2）求AD?的坐标.
z
解: (1)因为AB? 2，BC ? 3，AA?? 5， D?
A?
B?
C?
所以点C?的坐标为（3,2,5），
???
从而AC??（3,2,5）? 3i ? 2 j ? 5k； （2）因为点D?的坐标为（3,0,5）， A
间坐标系的转换.用坐标表示空间向量，可以把空间向量坐标
化，然后再通过计算解决问题，为解决空间向量问题提供了
新的思路.
例2.如图，已知单位正方体ABCD ? A?B?C?D.?求：
uuuur uuur
（1）向量CA?在CB上的投影；
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影.
D?
C?
解:（1）向量CuuAuur?在CuuBur上的投影为 A?