空间向量基本定理
空间向量的基本定理
是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面）
OB OC
1 2
OA
OG
1
OA
1 OB
1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中 选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空 间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b， 对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）
2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。
1.2空间向量基本定理 课件(共16张PPT)
谢 谢
.
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量， 那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）， 使得 p xi yj zk .我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量.
探究二:空间向量的正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直， 且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知， 对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk， 使 a xi yj zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解.
22
22
222
练一练
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点 M,A,B,C 共面的是( C )
A. OM 2OA OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 532
C. MA MB MC 0
D. OM OA OB OC 0
解析
要使空间中的四点 M,A,B,C 共面，只需满足 OM xOA yOB zOC ，且 x y z 1即可.
333
333
D 中， OM OA OB OC 0 ，则 OM OA OB OC ， x y z 111 3 ，
故此时 M,A,B,C 四点不共面.故选 C.
练一练
3. 已知空间 A、B、C、D 四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点
且 PA 5 PB xPC 1 PD ，则实数 x 的值为( A)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标：
1. 了解空间向量基本定理及其推论； 2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.
空间向量的基本定理
a， ＝b， ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 AD AA' 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且
A 1 1)AP (a b c) ； 2 B 2)AM 1 a b 1 c P 2 2 1 A 3)AN a b c 2
1 1 4 a b c 4） AQ 5 5 5 B
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0）， b的 （ b a// 充要条件是存在实数λ，使a ＝λ 。 b
共面向量定理:
如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p a b。 ＝x ＋y
平面向量基本定理：
如果e1， 是同一平面内的两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ，λ ，使a ＝λ e1＋λ e2。 1 2 1 2 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底） e
OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC xa y b zc
A'
P'
可以证明此表达式是唯一的
例题:
已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M、N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ ，c a b， ｝表示以下向量：
D C
Q
M
N
D C
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa ＋yb＋zc 。 空间所有向量的集合可表示为
向量基本定理证明
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
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回顾复习
一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
则这些向量叫做共线向量或平行向量．
r
r
r a
平行于
r b
记作
r a
//
r b
．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
rrr r
2、共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a 0),
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
请证明
A
r a
B
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
ur
rC
p
br Aa
B
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuuur uuuur uuuur (4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ur ur
2.
已知uue1ur, e2
是平面内两个不共线的向量,
ur uur uuur ur uur
uuur
ur
uur
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
uuur OP
2
uuur OA1来自uuur OB2
uuur OC
;
555
uuur uuur uuur uuur
(2) OP 2OA 2OB OC ；
uuur r uuur r
例1.如图三棱柱,设AB a, AC b, A1
C1
uuur r uuuur uuuur uuur uuur
AA1
c, AM uuuur
使pr
uur xe1
uur ye2
uur ze3 .
uur uur uur
uur uur uur
把 e1、e2、e3 称为空间的一个基底,e1、e2、e3叫做基向量.
说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与 任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面） ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量。
猜想:
如 果 三 个 向 量e1、e2、e3不 共 面 ， 那 么 空 间 任 一 向 量p， 存 在 一 个 唯 一 的 有 序实 数 组 x ， y ， z ， 使p xe1 ye2 ze3。
类似地, 空间向量分解定理 rr r
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向 ur
r b
C
P
它们之间存在怎样 的关系呢？
A
r a
B
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a
间任意三个向量就不
一定r共面r 的了
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
ur
rr
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
rr b与a共线的充要条件是存在实数λ,
rr
使b a.
平面向量基本定理：
ur uur 如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的 向量r 量ar ，，ur那有么且对只uur于有这一一对平实面数内1，的任2，一使向
a 1e1 2e2
r a
思考ur 1：空间任意向
r b
量的向p 与量两ar ，个br 共不面共时线，
量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y, z 使
ur r r r
p xa ryb zc .
证明思路：先证存在性
ur
Eb p A
对向量
p
进行分解,
r
r
r
作 AB // b, BD // a, BC // c
O
D
r c
ur p
uuur uuur
OB rBA
uuur uuur uuur
k
ArC1
, BN r
k BC ,
求证 : MN与向量a和c共面.
r c
B1 M
r
追问:求证 : MN P平面.AA1B1B
A
b
r
C
a
N
B
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
问题 情境
如 果e1，e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 一 向 量a， 有 且 只 有
2.对空间任一点O,有
uuur uuur uuur uuur OP OA x AB y AC
3.能转uuu化r 为都以O为uu起r 点u的uur向量uu吗ur ？ OP （1 x y)OA xOB yOC
uuur uuur uuur uuur OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
一 对 实 数 λ1， λ2， 使a＝ λ1e1＋ λ2 e2。
（e1、e2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所有 向 量 的 一 组 基 底 )
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示.
能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢?
即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?
可证明或判断四点共面
练 习2:
1.下列ur 命题r中正r确的ur有：r
B
r
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ;
ur r r
ur r r
(2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
uuur uuur uuur (3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
OrC OrD OE
Cr
B
xa yb zc
a
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
r r r
间的一个基底.如： a, b, c
看书P83
三.空间向量基本定理：
uur uur uur 如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间任一 向量pr ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O，
uuuur OM
A. 1
uuur xOA ＋
B.
1 uuur 3 OB
0
＋
1 3
uuur OC
C.
,则x的值为：
3
D. 1
D
3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点
O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1)
三.空间向量基本定理：
uur uur uur 如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间任一 向量pr ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使pr
uur xe1
uur ye2