空间向量基本定理及其应用

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第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)

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+ − ＝ − − ，
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所以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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+ + ＝－ − + .因为＝
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+ ，所以x＝－，＝ − ，＝ .
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−
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问题式预习

第5节空间向量及其应用

第5节空间向量及其应用知识梳理1.空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积：非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； (2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 5.空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.7.空间位置关系的向量表示1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.4.在利用MN →＝xAB →＋yAC →证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC 内.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a ⊥α；(3)若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故不正确.2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF→|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2.所以|EF→|＝2，所以EF 的长为 2.4.(多选题)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A.a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B.c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C.e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) D.g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，－24，40) 答案 ABC解析对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量；对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量；对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255D.35答案 A解析不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 18解析因为OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以根据空间向量共面的条件可知34＋18＋t ＝1，解得t ＝18.考点一空间向量的运算及共线、共面定理1.(多选题)(2020·威海调研)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON→＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( ) A.OM→＝12b －12c B.AN→＝13b ＋13c －a C.AP→＝14b －14c －34aD.OP→＝14a ＋14b ＋14c 答案 BD解析对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM→＝12OB →＋12OC →＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN→＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP→＝34AN →＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误；对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD. 2.(多选题)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A.|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B.若AB→，CD →共线，则AB ∥CD C.A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D.若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件答案 CD解析由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB→，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确；由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得P A →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确. 3.在空间四边形ABCD 中，若AB→＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A.(2，3，3)B.(－2，－3，－3)C.(5，－2，1)D.(－5，2，－1)答案 B解析因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE→，OF →＝12(OA →＋OD →)，2所以EF→＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3).4.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP→＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案平行解析如图所示，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC→＝c ，则VD→＝a ＋c －b ，由题意知PM→＝23b －13c ，PN→＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA→＝32PM →＋32PN →， ∴VA→，PM →，PN →共面.又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .感悟升华 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点O ，OP→＝xOA →＋yOB →，若x ＋y ＝1，则点P ，A ，B 共线. (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法.②对空间任一点O ，OP→＝OM →＋xMA →＋yMB →.考点二空间向量的数量积及应用【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点. (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. (1)证明设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，由题意知EG→＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG→·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG→⊥AB →，即EG ⊥AB . (2)解由(1)知EG→＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ， CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.感悟升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 【训练1】如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD . (3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 考点三利用空间向量证明平行、垂直【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明： (1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量，而BE→·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ，又BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .感悟升华 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误. 【训练2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1).∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM→.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)法一由(1)知，BA→＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .法二如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE→·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA . 又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ⊂平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .A 级基础巩固一、选择题1.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2，3，3) B.P (－2，0，1) C.P (－4，4，0)D.P (3，－3，4)答案 A解析逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP→·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.2.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3C.π3D.π6答案 D解析因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1，所以b ＝(1，1，2)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝32×6＝32，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π6. 3.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案 C解析如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE→＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.5.(多选题)(2020·济南调研)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB→－CB →＝AC → B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C.AA′→＝CC ′→ D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 答案 ABC解析如图，作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确； C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB→＋BC →＝AC →，则D 不正确.综上，正确的有ABC.6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行C.垂直D.MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7.已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案 α∥β解析设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB→＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，由m ·AC→＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.8.在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点A (1，0，2)，B (0，2，1)，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD ⊥BC ，那么|CD →|的最小值是________.答案255解析设C (x ，0，0)，D (0，y ，0)，因为A (1，0，2)，B (0，2，1)，所以AD→＝(－1，y ，－2)，BC →＝(x ，－2，－1). 因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝－x －2y ＋2＝0，即x ＋2y ＝2.因为CD→＝(－x ，y ，0)，所以|CD →|＝x 2＋y 2＝（2－2y ）2＋y 2 ＝5y 2－8y ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋45≥255. 9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________.答案 ①②③解析 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确；又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确； ∵BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误. 三、解答题10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)， C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0， P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).因为EF→·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则需FG→·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG→·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点.11.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证： (1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz . 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a ，0，0)，P (0，0，a )，C (0，a ，0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2，则P A →＝2EG→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ，所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a ，0)，所以PB →＝(a ，a ，－a ). 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .B 级能力提升12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A.(1，1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点.在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13.(多选题)(2021·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( ) A.AC 1＝66 B.AC 1⊥DBC.向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D.BD 1与AC 所成角的余弦值为63答案 AB解析因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA 1→·AB →＝AA 1→·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18， (AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1→·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝|AA 1→＋AB →＋AD →|＝66，所以A 正确； AC 1→·DB →＝(AA 1→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1→·AB →－AA 1→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD→2＝0，所以B 正确；显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且向量A 1D →与AA 1→的夹角是120°，所以B 1C →与AA 1→的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA 1→－AB →）2＝62，|AC→|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D不正确.14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC .(2)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值. 解如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，DF ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，3，0)，D (0，0，0)，C (－3，3，0). 设PD ＝a ，则P (0，0，a )，(1)证明 BD→＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )，因为BD →·PC →＝3－3＝0，所以BD ⊥PC .(2)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0，0，a )，P A →＝(1，0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )，因为PE→＝λPC →，所以PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE→＝DP →＋PE →＝(0，0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ).设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，所以n ＝(a ，0，1)，因为DE ∥平面P AB ，所以DE→·n ＝0，所以－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，因为a ≠0，所以λ＝14.。

第2讲空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)

第2讲空间向量基本定理、坐标运算及应用一1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量．思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求对角线1AC 的长；（3）求1cos ,AB AC 【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c ===．（1）试用,,a b c 表示出向量BM ；（2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。

第一章§1.2第1课时空间向量基本定理课件(人教版)

1234
2.已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 a＝O→A＋O→B＋O→C，向
量 b＝O→A＋O→B－O→C，则与 a，b 不能构成空间基底的是
→ A.OA
√C.O→C
→ B.OB D.O→A或O→B
解析 ∵O→C＝12(a－b)， ∴O→C与 a，b 共面，
∴a，b，O→C不能构成空间基底.
个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一个基底
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d 与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ kλa＋μkb，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；
内容索引
一、空间向量基本定理二、空间向量的正交分解三、用基底表示空间向量
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝O→P ，p 能否用i，j，k表示呢？
提示如图，设O→Q为O→P在 i，j 所确定的平面上的投影向量，则O→P＝O→Q＋Q→P. 又向量Q→P，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得Q→P＝zk，从而O→P＝O→Q＋zk. 在 i，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得O→Q＝xi＋yj.
可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.

空间向量基本定理

2
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那么我们就说向量平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线，则向量与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分新疆王新敞奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量证明：
（1） EG // AC

空间向量考点(全)

空间向量考点（全）1、空间向量的坐标及基本运算空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =， ),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a ++=⋅ ，向量平行：a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 。

向量垂直：0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。

222321a a a ++===⇒•=空间两个向量的夹角公式：232221232221332211||||,cos bb b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρρρρ空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=. 2、法向量若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量. 3、向量的应用①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||n ②.利用向量求异面直线间的距离d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.利用向量求直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). ④.利用法向量求二面角的平面角定理 21,n n 分别是二面设角βα--l 中平面βα,的法21,n 所成的角就向量，则是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π⋅-u r ru r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）. ⑤.证直线和平面平行定理已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）. 4、向量的基本概念（1）共线向量共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若∥，则存在小任一实数λ，使λ=.（×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0=.（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量] （2）共线向量定理AB对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4）证明四点共面的常用方法.①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC四点共面的充要条件.（证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）4、向量的基本定理如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=OABCD。

3.2 空间向量基本定理(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)

向量，有且只有一对实数
Ԧ
，μ，使
Ԧ ＝ 1 ＋ μ 2 ．
若 1 ， 2 不共线，我们把{1 ， 2 }叫做表示这一平面内所有向量的一个基
底．
例题1.如图３- ２- ２，在长方体ABCD-A１B１C１D１中，点E是棱AA１的中点，
点O是面对角线BC１与B１C的交点，试判断向量
发的三条棱所对应的向量作为基底.
03
空间向量基本定理的应用
1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求
证：EF⊥AB1．
→ ＝a，AA
→ ＝b，AD
→ ＝c，则EF
→ ＝EB
→ ＋B→F＝1(BB
→ ＋B→D )
证明：设AB
1
1
1
1
1 1
2
1 → → 1 → → → 1
情况一：a，b，Ԧc共面

情况二：a，b，Ԧc不共面
三个两两垂直的向量
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个
不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
P
k
O
i
α

j
Q
能够表示为
Ԧ + Ԧ + 吗？
三个两两垂直的向量
k
i
xi

j yj
P
zk
zk
k
i
xi
3
3
3
3
CE ∙ AD = b
，∴ CE ⊥ AD，即CE⊥ A’D .
1
+ cԦ
2
∙ −Ԧc
1
+ b
2
1

空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)

归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r＝0；②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，则M 、P 、A 、B 共面；③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面．其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 可判断①②③正确．4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12OD u u u r＝12OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2；②1A C u u u u r ·(11A B u u u u r －1A A u u u u r )＝0；③向量1AD u u u u r 与向量1A B u u u u r的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u ur |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2＝3，故①正确；②中11A B u u u u r －1A A u u u u r ＝1AB u u u u r，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD u u u u r 与1A B u u u u r 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u u r|＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB u u u r为直线l 的方向向量，与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC u u u u r ，AG u u u r .[自主解答] 1AC u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r＝a ＋b ＋c .AG u u u r ＝1AA u u u u r ＋1A G u u u u r＝1AA u u u u r ＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝1AA u u u u r ＋13(AD u u u r －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝131AA uu u u r ＋13AD u u u r ＋13AB u u u r ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG u u u u r.解：如图，MG u u u u r ＝1MA u u u u r ＋1A G u u u u r＝－12(11A B uu u u r ＋11A D u u u u r )＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝－12a －12b ＋13(AD u u ur －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG u u u u r ＝2GN u u u r ，若OG u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG u u u r ＝OM u u u u r ＋MG u u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r ) ＝12OA u uu r ＋23ON u u u r －23OM u u u u r ＝12OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )－23×12OA u u u r ＝16OA u uu r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED 'u u u u r ＝a ，EF u u u r ＝b ，EH u u u r ＝c ，则HG u u u r ＝HBu u u r ＋BC u u u r ＋CG u u u r ＝D F 'u u u u r ＋2ED 'u u u u r ＋12AA 'u u u r＝b －a ＋2a ＋12(AH u u u r ＋HE u u u r ＋EA 'u u u r )＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG u u u r 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面．解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA u u u r ＝λPB u u u r且同过点P MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OA u u u r →＋t AB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OM u u u u r ＋x MA u u u r＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OA u u u r ＋(1－x ) OB u u u r 对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OM u u u u r ＋y OA u u u r＋(1－x －y ) OB u u u r以题试法2.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)连接BG ，则EG u u u r ＝EB u u u r ＋BG u u ur＝EB u u u r ＋12(BC u u u r ＋BD u u u r)＝EB u u u r ＋BF u u u r ＋EH u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ，由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r＝12AD u u ur －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u u r ，又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE u u u r ＝(a ，3a ，a )，BC u u u r ＝(2a,0，－a )， ∵AF u u u r ＝12(BE u u u r ＋BC u u ur )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD u u u r ＝(－a ，3a,0)，ED u u u r ＝(0,0，－2a )，∴AF u u u r ·CD u u u r ＝0，AF u u u r ·ED u u u r＝0， ∴AF u u u r ⊥CD u u u r ，AF u u u r ⊥ED u u u r，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED .又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)．则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3．如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)，∴1OD u u u u r＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM u u u u r＝(－1，－1，2)， ∴1OD u u u u r ＝BM u u u u r ，又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD u u u u r ·1OB u u u r ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD u u u u r ·AC u u ur ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD u u u u r ⊥1OB u u u r ，1OD u u u u r ⊥AC u u u r ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1，只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则下列向量中与BM u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM u u u u r ＝1BB u u u u r ＋1B M u u u u r ＝1AA u u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC＝π3，则cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA u u u r ·BC u u u r ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉＝0. 5．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB u u u r 、AD u u u r 、1AA u u uu r 两两的夹角均为60°，且|AB u u u r |＝1，|AD u u u r|＝2，|1AA u u u u r |＝3，则|1AC u u u u r |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则1AC u u u u r＝a ＋b ＋c ，1AC u u u u r2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|1AC u u u u r|＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ u u u u r＝λMN u u u u r的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM u u u u r ＝2OA u u u r －OB u u u r －OC u u u r ；②OM u u u u r ＝15OA u u u r ＋13OB u u u r ＋12OC u u u r ；③MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u uu r ＝0；④OM u u u u r ＋OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0.解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u u u r ，则MA u u u r 、MB u u u r 、MC u u uu r 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E u u u u r ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB u u u r ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB u u u r ―→·1B E u u u u r ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP u u u r ＝(0,0，a )，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC u u u r ·CD u u u r ＝0，即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE u u u r ·CD u u u r ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE u u u r ⊥CD u u u r ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE u u u r ·PD u u u r ＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD u u u r ⊥AE u u u r ，即PD ⊥AE .∵AB u u u r ＝(1,0,0)，∴PD u u u r ·AB u u u r ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB u u u r ＝(1,0,0)，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD u u u r ＝33n . ∵PD u u u r ∥n ，∴PD u u u r ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABE ；(2)求证：AC ⊥BE .证明：(1)如图1，设M 为BC 的中点，连接DM 、MF .∵F 为AC 的中点，M 为BC 的中点，∴MF ∥AB .又∵BM 綊DE ，∴四边形BMDE 为平行四边形，∴MD ∥BE .∵MF ∩MD ＝M ，AB ∩BE ＝B ，∴平面DFM ∥平面ABE .又∵PD ⊂平面DFM ，FD ⊄平面ABE ，∴FD ∥平面ABE .(2)在矩形ABCD (如图2)中，连接AC ，交BE 于G .BE u u u r ·AC u u u r ＝(BA u u u r ＋AE u u u r )·(AB u u u r ＋BC u u u r ) ＝－AB u u u r 2＋AE u u u r ·BC u u u r ＝－36＋36＝0. ∴AC ⊥BE .∴在图3中，AG ⊥BE ，CG ⊥BE .又∵AG ∩GC ＝G ，∴BE ⊥平面AGC .又∵AC ⊂平面AGC ，∴AC ⊥BE .12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)设点E 在棱PC 上，PE u u u r ＝λPC u u u r ，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD u u u r ＝(－1，－3，0)，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵BD u u u r ·PC u u u r ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB u u u r ＝(0，3，0)，DP u u u r ＝(0,0，a )，PA u u u r ＝(1,0，－a )，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵PE u u u r ＝λPC u u u r ，∴PE u u u r ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE u u u r ＝DP u u u r ＋PE u u u r ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB u u u r ·n ＝0，PA u u u r ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)， ∵DE ∥平面P AB ，∴DE u u u r ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14. 1．已知AB u u u r ＝(1,5，－2)，BC u u u r ＝(3,1，z )，若AB u u u r ⊥BC u u u r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB u u u r ⊥BC u u u r ，∴AB u u u r ·BC u u u r ＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC u u u r ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP u u u r ＝OA u u u r ＋t AB u u u r ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC u u u u r ＝(0,2,1)，DA u u u r ＝(2,0,0)，AE u u u r ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA u u u r ，n 1⊥AE u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA u u u r ＝2x 1＝0，n 1·AE u u u r ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC u u u u r ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC u u u u r ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B u u u u r ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC u u u u r ，n 2⊥11C B u u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC u u u u r ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B u u u u r ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，AC u u u r ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD u u u r |2＝|CA u u u r ＋AB u u u r ＋BD u u u r |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD u u u r |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．解：(1)证明：设CD u u u r ＝a ，CB u u u r ＝b ，1CC u u u u r ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD u u u r ＝CD u u u r －CB u u u r ＝a －b ，1CC u u u u r ·BD u u u r ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C u u u u r ⊥BD u u u r ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA u u u r ＝a ＋b ＋c ，1C D u u u u r ＝a －c .∴1CA u u u r ·1C D u u u u r ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB u u u r ＝(2,0，－2)，FE u u u r ＝(0，－1,0)，FG u u u r ＝(1,1，－1)，设PB u u u r ＝s FE u u u r ＋t FG u u u r ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB u u u r ＝2FE u u u r ＋2FG u u u r ，又∵FE u u u r 与FG u u u r 不共线，∴PB u u u r 、FE u u u r 与FG u u u r 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。

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空间向量基本定理及其应用
教学目的：
1、了解空间向量基本定理；
2、能利用基向量法解一些简单的空间问题. 教学重点：教学难点：教学过程：一、复习引入： 1、（1）向量的平行四边形法则：（2）向量的三角形法则：（3）向量的多边形法则：
2、平面向量基本定理：在平面上，取两个不共线的向量1e 、2e 作基底，则平面内的任一向量a 都可以用1e 、2e 表示，即存在唯一的实数x 、y ，使得12a xe ye =+.
二、讲授新课：
1、空间向量基本定理：在空间，取三个不共面的向量1e 、2e 、3e 作基底，则空间的任一向量a 都可以用1e 、2e 、3e 表示，即存在唯一的实数x 、y 、z ，使得123a xe ye ze =++.
2、将ABCD （包括它的内部）按向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，记作平行六面体
ABCD A B C D ''''-. 它的六个面都是平行四边形，
每个面的边叫做平行六面体的棱
三、讲解范例：
例1、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：ΔABC 为锐角三角形.
例2、设两异面直线a 、b 所成的角为θ，直线a 上两点A 、B 在b 上的射影分别是A′、B′，
则cos θ=
A B AB
''
. 证：∵AA′⊥A′B ′, BB ′⊥A′B ′，
∴cos <AB ,A B ''> =
|| | |
AB A B AB A B ''
⋅''
=()|| | |AA A B B B A B AB A B ''''''++⋅''=2|||||| | |||
A B A B AB A B AB ''''=
'', 故cos θ=
A B AB
''
. 练习：三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a ，则异面直线PB 与
AC 所成角的正切值等于________．答：2
例3、已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，
4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，
（1）用向量AB 、AD 、AA '表示AC '；（2）求AC '的长
解：（1）AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++
（2）22
||()AC AB AD AA ''=++
222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅
222435243cos90245cos60235cos60
=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
169250201585=+++++=
所以，||85AC '=
例4、已知O 为空间任意一点，G 为ΔABC 的重心，试用向量OA 、OB 、OC 表示OG ；
A
B
A′
B ′
a
b。