高二数学空间向量与立体几何.ppt
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【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
使 OE OF OG OH k. OA OB OC OD
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
【课件】空间中点、直线和平面的向量表示第1课时 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
解析
因为 AB ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，
所以AB∥平面yOz.
课堂小结
1．空间中点的位置向量；
2．空间中直线的向量表示式；
D．(－3，0，1)
典例分析
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，
1
2
AD＝ ，求平面SCD与平面SBA的法向量．
解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以、、的方向
z
S
y
为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，
B
1
解决了一些立体几何问题.
本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究
的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形. 为了
用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的
位置用向量表示出来.
走进教材
知识点一：空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可
以用向量 OP 来表示．我们把向量 OP 称为点P的位置向量．
P
O
走进教材
知识点二：空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以
Ԧ
得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋t，①
Ԧ
P
把＝代入①式得
Ԧ
＝＋t，②
B
A
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
平面( C )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
解析
因为 AB ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，
所以AB∥平面yOz.
课堂小结
1．空间中点的位置向量；
2．空间中直线的向量表示式；
D．(－3，0，1)
典例分析
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，
1
2
AD＝ ，求平面SCD与平面SBA的法向量．
解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以、、的方向
z
S
y
为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，
B
1
解决了一些立体几何问题.
本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究
的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形. 为了
用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的
位置用向量表示出来.
走进教材
知识点一：空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可
以用向量 OP 来表示．我们把向量 OP 称为点P的位置向量．
P
O
走进教材
知识点二：空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以
Ԧ
得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋t，①
Ԧ
P
把＝代入①式得
Ԧ
＝＋t，②
B
A
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
111空间向量及其线性运算课件-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(2)结合律：(a b) c a (b c)，(a) ()a (3)分配律：( )a a a ，(a b) a b
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
返 首 页
3
情景 导学 探新 知
返 首 页
4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
3.4.3第3课时用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-高二上学期数学北师大版选择性
新授课 3.4.3 第3课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系
学习目标
新课讲授
课堂总结
能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相 互平行的平面间的距离问题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题引入
空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点 到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平 面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题，如何用 向量方法求解这些距离呢？
1,
1 2
,
1 2
.
设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则
n
AC
x
y
0
.
n AD x z 0
取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).
CM n 1 1 1 0, 22
又C'M 平面ACD'，
∴ CM ∥平面ACD'. ∴C'M∥平面ACD'.
∴直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线
又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'， ∴ AC⊥平面A'BD，即 AC是平面A'BD的一个法向量.
2 BC 0,1,1,
∴点C'到平面A'BD的距离为
BC AC 2 2 3 . AC 3 3
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结 用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤
1.确定一个法向量； 2.选择参考向量； 3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量； 4.求投影向量的长度.
过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′， 则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离， 而 PP n0, ∴向量PA 在法向量n0方向上的投影向量的长度 PA n0 就等 于线段PP′的长度.
学习目标
新课讲授
课堂总结
能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相 互平行的平面间的距离问题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题引入
空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点 到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平 面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题，如何用 向量方法求解这些距离呢？
1,
1 2
,
1 2
.
设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则
n
AC
x
y
0
.
n AD x z 0
取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).
CM n 1 1 1 0, 22
又C'M 平面ACD'，
∴ CM ∥平面ACD'. ∴C'M∥平面ACD'.
∴直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线
又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'， ∴ AC⊥平面A'BD，即 AC是平面A'BD的一个法向量.
2 BC 0,1,1,
∴点C'到平面A'BD的距离为
BC AC 2 2 3 . AC 3 3
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结 用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤
1.确定一个法向量； 2.选择参考向量； 3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量； 4.求投影向量的长度.
过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′， 则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离， 而 PP n0, ∴向量PA 在法向量n0方向上的投影向量的长度 PA n0 就等 于线段PP′的长度.
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
A.90°
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
1.3空间向量及其运算的坐标表示(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
所以点 D 的坐标是(0,0,2) ．同理，点 C 的坐标是 (0,4,0) ．
点 A 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，O， D ， 它们在坐标轴上的坐标分别为 3，0，2， 所以点 A 的坐标是 (3, 0, 2) ． 点 B 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，C， D ， 它们在坐标轴上的坐标分别为 3，4，2， 所以点 B 的坐标是 (3,4,2) ．
AB b1 a1,b2 a2 .
新课探究
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设i, j, k为空间的一个单位正交基底，
则
a i
a1i
a2
j
a3k，b
b1i
b2
j
b3k，
i
所以 a b a1i a2 j a3k b1i b2 j b3k
a1b1i i a1b2i j a1b3i k a2b1 j i a2b2 j j a2b3 j k a3b1k i a3b2k j a3b3k k. y
方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
z
z
k
O
y
ij
x
k
O
y
i
x
新课探究
问题2
在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数 （即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向 量,是否也有类似的表示呢?
y
j
A
a
O
i
x
z
A
O
y
x
新课探究
追问1：在空间直角坐标系中如何定义 OA的坐标呢？
a a a a12 a22 . cos a, b a b
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
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⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
方程组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
若. a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
l a // u a ku a1 ka2,b1 kb2,c1 kc2.
当. a2 ,b2 , c2
个定点 A 以及一个定方向确定.对于直线 l 上的任一点P ,
存在实数 t 使得 AP t AB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
. 于（点G0，, 1连, 1结）EG，依因题为意底得面A（AB1C，D0是，正0）方P形（，0，所0以，点1）G是E 此正
任一点 P ,存在实数 t
使得 AP t AB
P
或AP ta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
OP xa yb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
面面平行 ∥ u ∥ v u k v .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设直线l的方向向量为a (a1, b1, c1), 平面的
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
。 p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0, l与内的任一直线垂直.即l .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB (2, 1, 4) ，AD (4, 2,0) ，AP (1, 2, 1)
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
AP
ABCD
。| AB | (2)2 (1)2 (4)2 21 | AD | 42 22 02 2 5
。AB AD (2, 1, 4) (4, 2,0) 6
cos(AB, AD)
6 3 105 212 5 105
sin BAD 1 9 32 105 35
S ABCD | AB | | AD | sin BAD 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
D
C
(2)求证PB⊥平面EFD
G
(3)求二面角C---PB---D的大小 A
B
.解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC，AC交BD
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
0时,a // u
a1 a2
b1 b2
c1 c2
（二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面叫。做平,记面作n
⊥ ，如果
的法向量.
n⊥
，那
么
向
量n
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量mБайду номын сангаас是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
方程组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
4、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
若. a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
l a // u a ku a1 ka2,b1 kb2,c1 kc2.
当. a2 ,b2 , c2
个定点 A 以及一个定方向确定.对于直线 l 上的任一点P ,
存在实数 t 使得 AP t AB
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
. 于（点G0，, 1连, 1结）EG，依因题为意底得面A（AB1C，D0是，正0）方P形（，0，所0以，点1）G是E 此正
任一点 P ,存在实数 t
使得 AP t AB
P
或AP ta
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
OP xa yb
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
面面平行 ∥ u ∥ v u k v .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
设直线l的方向向量为a (a1, b1, c1), 平面的
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
。 p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0, l与内的任一直线垂直.即l .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB (2, 1, 4) ，AD (4, 2,0) ，AP (1, 2, 1)
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
AP
ABCD
。| AB | (2)2 (1)2 (4)2 21 | AD | 42 22 02 2 5
。AB AD (2, 1, 4) (4, 2,0) 6
cos(AB, AD)
6 3 105 212 5 105
sin BAD 1 9 32 105 35
S ABCD | AB | | AD | sin BAD 8 6 P
例3：如图在四棱锥P—ABCD中
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
D
C
(2)求证PB⊥平面EFD
G
(3)求二面角C---PB---D的大小 A
B
.解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC，AC交BD
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
0时,a // u
a1 a2
b1 b2
c1 c2
（二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面叫。做平,记面作n
⊥ ，如果
的法向量.
n⊥
，那
么
向
量n
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量mБайду номын сангаас是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )