条件数学期望例题共59页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
条件数学期望例题
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
条件期望
令Y0 0, X 0 0, X n X 0 Yk .
k 1
n
求E ( X 3 | X 2 )的示性函数表示式及 E ( X 3 | X 2 0), E ( X 100 | X 2 ), E ( X 100 | Y1 ).
解：
E( X 3 | X 2 )
由 X2和Y3独立
E ( X 2 Y3 | X 2 ) X 2 E (Y3 | X 2 ) X 2 EY3 X 2 ( p q ) (2 p q ) I ( X 2 2 ) ( p q ) I ( X 2 0 ) (2 p q ) I ( X 2 2 )
条件分布、条件期望和条件方差
条件分布 二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列：
pij P( X xi , Y y j ) i 1,2,, j 1,2,
pi j P( X xi Y y j )
pij p j
i 1,2,
为Y y j合密度函 数为 f ( x, y) ，则
推广至一般随机变量
求条件数学期望的一般步骤
先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条 件密度函数； 根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件 下的数学期望；
将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)
条件数学期望的性质
设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则
用示性函数表示X2
E ( X 3 | X 2 0) E ( X 2 Y3 | X 2 0) E ( X 2 | X 2 0) EY3 0 P ( X 2 0 | X 2 0) 2 P ( X 2 2 | X 2 0) EY3 p2 2 2 ( p q) p 2 pq
条件数学期望与条件方差
称之为随机变量X
D(Y | X )
2、条件方差的性质
条件下随机变量Y的条件
D ( 方Y 差，|记X 为 ) E { Y 2|X E (Y |X )2 }
D (X |Y ) E { X 2|Y E (X |Y )2 }
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
E(X|Yyi) xipi j
i1
i 1xi p p.ijjuj
所以E(X |Y)的分布律
E(X |Y) u1 u2
uj
P
p.1 p.2
p. j
E[E(X |Y)]
uj p. j
j1
j1
xi
i1
pij p. j
p. j
EX
若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则
E[E(X |Y)]
x1 2
2(12) 1
x1 y2 1 2
y2 2 2
[( )] 1
x1
2(12) 1
y2 2 2
( y2 ) 222
pXY(xy)
1
21 12
exp{212(112)[x112(y2)]2}
所 以 E(XYy)112(y2) 同 理 E(YXx)212(x1)
二、条件方差
E { [YE (Y|X )]2|X } 存{Y2|XE(Y|X)2}
EY2EXE(Y|X)2
D E ( Y |X ) E X [ E ( Y |X ) ] 2 ( E Y ) 2
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
总条件方差结
条件数学期望
一、条件数学期望
0 1 离散型r.v. 的条件数 学期望
条件期望练习题
条件期望练习题条件期望是概率论中的一个重要概念，应用广泛。
在统计学、金融学、经济学以及其他领域中，条件期望被广泛用于预测、评估和决策等方面。
在本文中，我们将介绍条件期望的定义、性质和计算方法，并提供一些练习题，以帮助读者更好地理解和应用条件期望。
一、条件期望的定义条件期望是给定一个事件发生的条件下，对另一个事件的期望值。
通常用E(Y|X)表示条件期望，其中Y是一个随机变量，X是事件。
条件期望的计算公式如下：E(Y|X) = ∑(y·P(Y=y|X))其中，y是随机变量Y的取值，P(Y=y|X)是在事件X发生的条件下，随机变量Y等于y的概率。
二、条件期望的性质条件期望具有以下性质：1. 常数性质：如果Y是一个常数，那么E(Y|X) = Y。
2. 线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量Y1和Y2，有E(aY1+bY2|X) = aE(Y1|X) + bE(Y2|X)。
3. 唯一性性质：如果两个随机变量Y1和Y2满足对于任意的事件X，有E(Y1|X) = E(Y2|X)，则必须有P(Y1=Y2|X) = 1。
三、条件期望的计算方法根据条件期望的定义，可以使用以下方法来计算条件期望：1. 使用条件概率分布表：根据条件概率分布表中给定的概率值，对随机变量Y的取值进行加权求和，即可得到条件期望的值。
2. 使用条件期望的计算公式：根据条件期望的计算公式，对随机变量Y的取值进行加权求和，即可得到条件期望的值。
3. 使用边际分布和条件分布：根据边际分布和条件分布的关系，可以通过计算边际分布和条件分布的乘积，再进行加权求和，得到条件期望的值。
四、练习题1. 设X和Y是两个独立的随机变量，且X服从正态分布N(0,1)，Y 服从正态分布N(1,1)。
求E(X+Y|X=Y)的值。
2. 设随机变量X和Y服从二项分布B(n,p)，且Y|X的条件分布为二项分布B(X,p)，其中p是一个常数。
求E(Y|X=k)的值。
条件数学期望例题 PPT
47
证明：
EvarX Y E E X 2 Y EX Y 2 EEX 2 Y E EX Y 2 EEX 2 Y E EX Y 2 EX 2 E EX Y 2 ．
varX Y y E X 2 Y y EX Y y2 ．
以 varX Y 记 Y 这样的函数，它在 Y y 的值就 是 varX Y y，我们有下面的结果：
46
命 题 3.1 （ 条 件 方 差 公 式 ）
varX EvarX Y varEX Y ．
出席的轮数．求 ERn ．
23
解： ⑴ 由上例推出，不论留在那里的人有多少，平均每轮有一 次匹配．这就使人想到
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明．
由 于 显 然 有 ER1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有 ERk k ．
通过对 k 1 次相继的成功所必须试验的次数 Nk 1 取条件，我们将得到 Mk 的一个递推方程．由此推出
Mk ENk EENk Nk1 ．
30
现在，
E Nk Nk1 Nk1 1 1 pENk ，
其中上式是得自若取 Nk 1 次试验得到 k 1 次相继的 成功，则或者下一次是成功，我们就会接着得到第 k 次成功，或者下一次是失败，我们必须重新开始．
他们自己的 n 1个帽子中选取的匹配数的期望数，显
示出
EX X1 1 2，
所以，我们得到结果
EX
X1
0
n2． n 1
38
例 3.17（几何随机变量的方差） 连续地做 每次成功的概率为 p 的独立试验．N 是首次成
条件数学期望例题
记 X 表示该读者遇到的印刷错误
数．令
1 Y 2
如果读者选取数学书 ， 如果读者选取历史书
则由全期望公式，得
EX EEX Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
12 15 7 ． 222
例 2（随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4．又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
条件数学期望例题
例 1 某人准备读一章数学书或者一章历史 书．如果他在读一章数学书中印刷错误数是服从 均值为 2 的 Poisson 分布，而他在读一章历史 书中的印刷错误数是服从均值为 5 的 Poisson 分布．假设该读者选取哪一本书是等可能时，求 该读者遇到的印刷错误数的期望是多少？
解：
解：
以 N 记事故次数，以 X i 记在第 i 次事故中的受伤人
数 ， i 1, 2, ， 那 么 伤 者 总 数 可 以 表 示 为
N
X i ．现在
i 1
E
N i 1
Xi
E
E
N i 1
Xi
N
．
但是
N
n
E i1 Xi N n E i1 Xi N n
n
E Xi i1
果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到
矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
EX ．因此，
EX Y 2 3 EX ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．
因此，
EX 1 2 3 EX 5 EX ，
高中数学期望试题及答案
高中数学期望试题及答案一、选择题1. 设随机变量X的分布列为：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5，则E(X)=（）。
A. 1.4B. 2C. 3D. 42. 某射击运动员射击一次命中10环的概率为0.7，射击一次命中9环的概率为0.2，射击一次命中8环的概率为0.1，则该运动员射击一次的期望环数为（）。
A. 9.5B. 9.3C. 9.2D. 9.13. 一个袋中有5个球，其中3个红球，2个白球。
从袋中随机取出2个球，设取出的红球数为X，则E(X)=（）。
A. 1B. 1.2C. 1.4D. 1.6二、填空题4. 设随机变量X服从二项分布B(3, 0.5)，则E(X)=____。
5. 一个工厂生产的某种零件寿命服从正态分布N(100, 9)，那么该零件寿命的期望值是____。
三、解答题6. 某工厂生产一种零件，其寿命（以小时计）服从正态分布N(500, 100)。
若该零件寿命超过600小时，则认为合格。
试求该零件的合格率。
7. 一袋中有10个球，其中5个红球，3个白球，2个黑球。
从袋中随机取出3个球，设取出的红球数为X，求E(X)。
四、答案1. 答案：A解析：根据期望的定义，E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=1.4。
2. 答案：A解析：根据期望的定义，E(X)=10×0.7+9×0.2+8×0.1=9.5。
3. 答案：B解析：根据超几何分布的期望公式，E(X)=5×2/5=2。
4. 答案：1.5解析：根据二项分布的期望公式，E(X)=np=3×0.5=1.5。
5. 答案：100解析：根据正态分布的期望公式，E(X)=μ=100。
6. 答案：0.9772解析：根据正态分布的性质，P(X>600)=1-P(X≤600)=1-Φ((600-500)/√100)=1-Φ(1)=0.9772，其中Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
条件分布与条件数学期望
(X，Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而， F (xε,y)-F (x ,y)
F Y |X(y|x)ε l 0 iF m (xε, )-F (x , ) lim F X(xε)F Y(y)-F X(x)F Y(y) ε 0 F X(xε)F Y( )-F X(x)F Y( )
.
例题 3
一个工人看管分布在一直线上的 n 台同 类型机床，相求工人两次
调整机床之间所走路程的数学期望。
设Y ：工人两次调整机床之间所走路程
X ：第一次调整的机床号码 Y | X=i (i -1)a … a 0 a … (n- i) a
P 1/n … 1/n 1/n 1/n … 1/n
条件分布函数
lim P{Yy|xXxε} ε 0
的
计算公式
F X |Y(x|y)ε l 0 iF m F (( x,,y y ε ε) )- -F F ( ( x,,y y ))
F Y |X(y|x . )ε l 0 iF m F ((x x ε ε,, y) )- -F F ( (x x,, y))
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )
(X,Y)连续 E (Y|： x) yY f|X(y|x)dy
-
全数学期望公式的证明：假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得
E{E(Y|X)} E(Y|x)fX(x)dx {[yY f|X(y|x)d]yfX(x)} dx
若对于固定的 x ， f X ( x ) > 0，则
理科数学数学期望练习题
理科数学数学期望练习题
1. 定义随机变量X，其可能的取值为1, 2, 3, 4，对应的概率分别为0.1, 0.2, 0.3, 0.4。
求X的数学期望E(X)。
2. 假设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5。
计算Y 的数学期望E(Y)。
3. 一个骰子被投掷两次，设随机变量Z为两次投掷结果的和。
求Z的
数学期望E(Z)。
4. 某工厂生产的产品合格率为0.95，不合格率为0.05。
设随机变量W 表示检查100件产品中不合格产品的数量。
求W的数学期望E(W)。
5. 考虑一个几何分布的随机变量U，其成功概率为p=0.3。
计算U的
数学期望E(U)。
6. 随机变量V表示从1到10中随机选择一个整数，求V的数学期望
E(V)。
7. 一批产品中有5%是次品。
如果随机抽取100件产品，设随机变量T
表示其中次品的数量。
求T的数学期望E(T)。
8. 某彩票的中奖概率为0.01，未中奖概率为0.99。
设随机变量S表
示购买100张彩票中奖的次数。
求S的数学期望E(S)。
9. 随机变量Q表示抛掷一枚公平硬币直到第一次出现正面所需的次数。
求Q的数学期望E(Q)。
10. 某银行账户的日利率为0.05%，设随机变量R表示账户余额在一年内增长的期望值，假设初始余额为1000元。
求R的数学期望E(R)。
条件概率、条件分布与条件数学期望
练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
数学期望的性质与条件期望
9
i P
1
2
0.16
9
0 .8
9
3 0.04
E i 0.8 2 0.16 3 0.04 1.24
E E ( i ) E i 9 1.24 11.16
i 1
i 1
例4
某种无线电元件的使用寿命 是一个随机变量，
其概率密度是
e x x 0 ( x) , x0 0 其中 0 ，求这种元件的平均使用寿命. 1 E x 解 x ( x )dx xe dx 0
n
n
i 1
6 若与独立，则 E ( ) E E
证 假设 , 是离散型随机变量， 由于 与 独立
(1) i ( 2) j
所以pij p p , E ( ) xi y j pij xi y j p(i 1) p(j2)
i j i j
E ( b) E ( ) x ( x )dx x ( x b)dx
令 z x b, 有
E ( b) ( z b) ( z )dz z ( z )dz b ( z )dz
E ( k b) E ( k ) b kE b
(2)若 则
k
是连续型随机变量，其概率密度为
( x)
E Ef ( ) f ( x ) ( x )dx
例2
设 , 的分布如下，
求 E ( ), E ( )
0 1 2
0
与
独立，
1 2
P 1/ 4 1/ 2 1/ 4