2010矩阵分析试题A110118

A 第 1 页 共 3 页 考试方式： 闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A) 适用专业：2010级硕士研究生 考试日期： 2011. 1.18 时间： 120 分钟 共 8 页

一．单项选择题(每小题3分，共15分) 1．线性空间},|{A A R A A V T n n =∈=⨯)2(≥n 的维数是 （ ） （A ）)1(+n n ； （B ）)1(-n n ； （C

）2)1(+n n ； （D ）2)1(-n n . 2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1100010000100001A ，则A 的最小多项式为 （ ） （A ）)1()1(3+-λλ； （B ）)1)(1(2--λλ； （C ）)1)(1(+-λλ； （D ）)1)(1(2+-λλ. 3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110110321A ，则=+-2009201020112A A A （ ） （A ）0； （B ）E ； （C ）A ； （D ）2A ． 4.设A 是正规矩阵，则 （ ） （A ）A 是正定矩阵； （B ）A 的特征值均为实数； （C ）A 是正交矩阵； （D ）A 可对角化． 5．下列命题不正确的是 （ ） （A ）矩阵A 存在左逆矩阵的充分必要条件是A 列满秩； （B ）任意矩阵的加号逆总是唯一的； （C ）对任意矩阵A ，恒有A A =--)(； （D ）b Ax =有解时，通解可表示为：z A A E b A x )(---+=，其中z 是与x 同维数的任意列

向量.

二．填空题(每小题3分，共15分)

6．设可逆线性变换T 在基n ααα

,,,21 下的矩阵为A ，则从基n ααα,,,21 到基n T T T ααα,,,21 的过渡矩阵为 . 7．设⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

---=λλλλλ20011001)(A ，则)(λA 的不变因子为 . 8．如果实对称矩阵A 满足0≠+E A ，而0)2)((=-+E A E A ,则=2||||A .

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9. 设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πππ100100A ，则A cos =

10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=6016514035322051340A ，则A 的实特征值的个数为 . 三．证明与计算题(每小题10分，共70分)

11．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=000430002A ，求 1||||A ，∞||||A ，F A ||||，2||||A ，)(A ρ。

12．设n n R A ⨯∈，},|{n R x x Ax x V ∈==λ，

（1）证明V 是n R 的一个线性子空间；

（2）当⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=200020001A 时，对λ的不同取值，求V 的一个基与维数.

13．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=111010101A ，在3R 上定义变换T 为：Ax Tx =，

（1）验证T 是3R 上的线性变换；

（2）求T 在基T T T )1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(321===ααα下的矩阵。

14．复数域C 作为实数域R 上的一个2维线性空间，

（1）求由基i e e ==21,1到基i +==1,121αα的过渡矩阵，并给出复数yi x z +=在基21,αα下的坐标；

（2）定义C 上的一个内积，使21,αα在该内积下成为C 的一个标准正交基，并求向量i -=1α在该内积意义下的长度。

15．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=502613803A ，A E A -=λλ)(，

（1）求)(λA 的Smith 标准形；

（2）求A 的Jordan 标准形。

A 第 3 页 共 3 页 16．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211101001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t f 1)(，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1110x ， （1）求At

e ； （2）求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0

)0()(x x t f Ax dt dx .

17．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011112101A ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=001b

（1）求A 的满秩分解；

（2）求A 的加号逆+

A ；

（3）求矛盾方程组b Ax =的最小二乘解的通解。