线段角的轴对称性
2.4__线段、角的轴对称性(1)
如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，∵点Q在AB 的垂直平分线上，∴QA＝QB． ∴PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
A
∵三角形的两边之和大于第三边，
∴PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
A E B D C
3. 如图，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂 直平分线，且∠BAD，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.
C
D
A
E
B
4.如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连结P1P2, 分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm， 则△PMN的周长为_________________.
l
∵点P是线段AB的垂直平分线上的点 ∴PA＝PB ．
P
或
∵PO⊥AB，OA=OB
∴PA＝PB ．
1 A
2 O
B
问题：到一条线段两端距离相等的点有
个.
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B O P
初中数学 八年级(上册)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
l 1 2 B
线段、角的轴对称性(4)
∴点Q在∠AOB的平分线上
例1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供 大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 () A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
问：如果改成到三个顶点距离相等，那么凉亭应该建在哪？
建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离 相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位 置．
l1
B
A
l2
例7. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分 线AP相交于点P，PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线 AD与BC间的距离为_______．
例8. 已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一 点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断 ∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
l2 BAD CAD
例3 已知：如图，AD是△ABC的角平分线DE⊥AB， DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
A
E F C
B D
例4. 如图，在△ABC中，AB>AC，DF垂直平分
BC，交△ABC的外角平分线AD于点D，F为垂足，
DE⊥AB于E，连接BD、CD．求证：∠DBE＝
∠DCA．
D
G
A E
B
F
C
例5. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交 ∠BAC的平分线于E，EF⊥AB交AB于F，EG⊥AC，交 AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何? 证明你
的结论．
例6. “西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有
两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备
八年级数学上册 线段和角的轴对称性课件 苏科版
ＣＦ
Ａ
书写规范解题(jiě tí)过
程！
第十页，共16页。
D 到三角形的三个顶点距离(jùlí)相等的点是
（） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
A 到三角形的三条边距离(jùlí)相等的点是（
）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
（3）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （4）AD上任意一点到BC两端的距离相等，其 中正确(zhèngquè)的语句有（ ）
Ａ、１个
Ｃ、３个
Ｂ、２个
Ｄ、４个
第三页，共16页。
2、如图：在△ABC中，∠B=90°， BC=18cm，AD是角平分线，且BD： CD=1：2，则点D到AC的距离(jùlí)是 ______cm.
线段(xiànduàn)和角的轴对称 性
第一页，共16页。
0、如图，AC、BD互相垂直平分，那么 (nàme)图中共有等腰三角形（ ）
Ｂ
Ａ、１个 Ｂ、２个
Ｃ、３个 Ｄ、４个
Ａ
Ｃ
Ｄ
第二页，共16页。
1、如图：在△ABC中，AB=AC，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB，DF⊥ＡＣ，垂足分别为Ｅ、 Ｆ，则下列结论：（1）DE=DF；（2） BD=CD
第十四页，共16页。
线段：轴对称图形 对称轴：线段的垂直平分线和线段本身 (běnshēn)所在的直线
角：轴对称图形 对称轴：角平分线所在(suǒzài)的直线
第十五页，共16页。
线段垂直平分线性质(xìngzhì)和角平分线性质(xìngzhì) 类比 线段(xiànduàn)垂直平分线上的点到线段(xiànduàn)两端的 距离相等 角平分线上的点到角的两边距离(jùlí)相等 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
线段角的轴对称性ppt课件
已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
E
M
D
B
NF
C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
动脑筋
已知：在∠ABC中，D是
线段AD与EF有何关系?并说明理由.
C E
D
A
B
F
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
●本节课你还有哪些疑问?
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图,已知:直线CD是线段AB的垂直
平分线,点M是直线CD上任一点,连结
MA、MB,则MA=MB，你能说明理
由？
C
M
A
0
B
结论
D
线段的垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2.4 线段、角的轴对称性(2)
2.4 线段的轴对称性
【操作】
（1）用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线；
A
A
B
B
C
（2）分别作△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O， 证明：点O在BC的垂直平分线上.
2.4 线已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4， AC、BD相交于点E.
求证：AC是线段BD的垂直平分线.
D
1 A
2
E
3
C
4
B
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
练习：如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上 取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD＝DC. 求证：点E在线段AC的垂直平分线上.
A
B
D
E
C
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例2、直线 l 外有点A、B，若要在l上找一点， 使这点与点A、B的距离相等，这样的点一定 能找到吗？请你画图表示各种可能的情况.
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例4、如图，已知直线l及其两侧两点A、B. （1）在直线l 上求一点P，使PA＝PB，并说明理由； （2）在直线l 上求一点Q，使l 平分∠AQB，并说明理由； （3）能否在直线l 上找一点，使该点到点A、B的距离之 差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置；若不能， 请说明理由.
A
A
A
l
l
l
B
B
B
2.3 设计轴对称图案
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的轴对称 性（2）
2.4 线段的轴对称性
【情境创设】
如果一个点在一条线段的垂直平分 线上，那么这个点到这条线段两端的距 离相等．
反过来，如果一个点到一条线段两 端的距离相等，那么这个点在这条线段 的垂直平分线上吗？
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性【基础知识点】：1．线段的轴对称性：① 线段是轴对称图形，对称轴有两条：一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【结论】：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2．角的轴对称性：①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
【结论】：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合【课后练习题】一、选择题1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段2.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点二、填空题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D.①若BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 。
②若BD:DC=3:2,点D 到AB 的距离为6,则BC 的长是多少？2、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝，理由是三、应用题1、已知∆ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知∆BEC的周长是16。
求∆ABC的周长.2、如图在△ABC 中，AB>AC,BC的垂直平分线DE,分别交AB,BC于D,E,AB=12cm,△ACD的周长为21cm,求AC长。
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
《线段、角的轴对称性》教案 (同课异构)2022年苏科版
2.4 线段、角的轴对称性〔1〕教材：义务教育教科书·数学〔八年级上册〕3.3代数式的值〔2〕教学内容年级学科七年级数学教学课时共 2 课时第 2 课时课型新授教学目标1．能读懂计算程序图〔框图〕，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法〞的思想。
2. 在计算代数式的值的过程中，感受数量的变化及其联系。
教学重点会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序,初步感受“算法〞的思想.教学难点会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序,初步感受“算法〞的思想.教学准备多媒体教学过程二次备课输入8800×(1+3.9%×2) >10000 输出是否一、问题 小明的爸爸存入3年期的教育储蓄8800元〔3年期教育储蓄的年利率为3.9%，免缴利息税〕，到期后本息和〔本金与利息的和〕自动转存2年期的教育储蓄，像这样至少要储蓄几次才能使本息和超过10 000元。
请你用如以下列图的程序，用计算器帮小明的爸爸算一算。
〔引导学生讨论交流，继而组织学生阅读课本的计算框图，并向学生说明设计计算框图的标准要求〕 一、例题研究 1〕按计算程序计算并填写下表：〔程序—代数式—求值〕 师生共同操作“做一做〞输入10003 87输出三、归纳总结1．如果先给你计算程序，第一步把计算程序要表达的代数式表示出来。
第二步实质在做求代数式值的工作。
2．如果给你代数式让你设计计算程序，只要严格按照有理数混合运算的运算顺序再结合设计计算框图的标准要求来设计。
3．通过本节课的学习你收获了哪些？还有什么疑问？四、课堂作业T78 T2/ T3板书设计教学反思。
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2.4 线段、角的对称性（4）
作业：
P58-59习题2.4，分析第9、10题的思 路，并写出过程．
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的对称性（4）
学习目标：
• 1、熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的 性质与判定，学会有条理的思考与表达．
• 2、能够灵活运用线段垂直平分线和角平分 线的判定定理，知道三角形内角的平分线 交于一点．
l2
2.4 线段、角的对称性（4）
例2 已知：如图，△ABC的两内角∠B、∠C 的 角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线 上．
A
D
E
P
C F B
l 2 BAD CAD
2.4 线段、角的对称性（4）
例3 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂
直平分EF．
A
E F
C BDຫໍສະໝຸດ 2.4 线段、角的对称性（4）
说说你本节课你有什么收获？
当堂检测：
•1、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别 为A、B．下列结论中，不一定成立的是 ( )
•4、如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建 一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择 的地点有_______处．
• 5、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有 两条高速公路l1、l2和两个小镇A、B（如图）， 准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条 公路的距离相等且最短，并且到两个小镇的距离 相等且最短，请你作出中心站的位置（保留作图 痕迹，不写作法）．
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D． AB垂直平分OP
•2、到三角形三边距离相等的点是这个三角形 ( )
A．三条高的交点
B．三条中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
•3、如图，点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于点E， PF⊥OB于点F．若PE＝3，则PF＝_______．