第3节 全称量词与存在量词

第3节全称量词与存在量词知识梳理1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.2.全称命题和特称命题1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.()(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题.()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥03.命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题(填“真”或“假”).答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.4.(多选题)(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.∃x0∈R，x20－x0＋14＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.6.若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－1]解析命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1].考点一含有一个量词的命题的否定1.已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则綈p为()A.∃x0∈R，e x0－x0－1≥0B.∃x0∈R，e x0－x0－1＞0C.∀x∈R，e x－x－1＞0D.∀x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1＞0”，故选C.2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为()A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A，|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A，|f(x)|∉BD.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B答案C解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.4.若命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p是________________.答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1感悟升华 否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.考点二 全称命题、特称命题的真假判断【例1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是( ) A.∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0B.∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0C.∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xD.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x ，使x 2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x ，使1x ＞2 答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，故A 是假命题；对于B ，当x ＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故B 是真命题；对于C ，当0＜x ＜12时，log 12x ＞1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，故C 是假命题；对于D ，∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1＜log 13x ，故D 是真命题.(2)A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x ＜0，不满足1x ＞2，所以D 是假命题.感悟升华 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有( ) A.∀x ∈R ，2x －1＞0 B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C.∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2(2)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B.∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x ) C.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 (1)ACD (2)C解析 (1)当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 为假命题，其余都是真命题，故选ACD. (2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)(－∞，－2] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 (1)由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.感悟升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.【训练2】 (1)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________.(2)(2020·潍坊调研)若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈ [－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1.(2)由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[－1，3]，因为a ＞0，所以函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.A 级 基础巩固一、选择题1.命题p ：“∀x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.∀x >1，x 2－1≤0 B.∀x ≤1，x 2－1≤0 C.∃x 0>1，x 20－1≤0D.∃x 0≤1，x 20－1≤0答案C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x20－1≤0.2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x0∈R，log2x0＝0B.∃x0∈R，cos x0＝1C.∀x∈R，x2＞0D.∀x∈R，2x＞0答案ABD解析因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x＞0，选项D为真命题.3.下列命题是真命题的为()A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R，x2＋1≥0C.对于每一个无理数x，x2是有理数D.∀x∈Z，1x∉Z答案B解析对于A，2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D，1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.4.已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，故选C.5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()A.任意x∈R，3x>0B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0C.任意x ∈R ，sin x <2xD.存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1 答案 AD解析 ∀x ∈R ，3x >0恒成立，A 是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴B 是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知C 是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则D 为真.6.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.7.已知函数f (x )＝x 12，则( ) A.∃x 0∈R ，f (x 0)＜0 B.∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0 C.∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0D.∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)＞f (x 2) 答案 B解析 幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误；D 选项中当x 1＝0，结论不成立.8.(2020·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1.此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是________. 答案 ∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤010.下列命题中的假命题是________(填序号).①∃x 0∈R ，lg x 0＝1；②∃x 0∈R ，sin x 0＝0；③∀x ∈R ，x 3＞0；④∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2，则④为真命题.11.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.12.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).B 级 能力提升13.命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)≤n 0”的否定形式是( ) A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 B解析 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *且f (n 0)≤n 0”的否定形式是“∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n ”. 14.(多选题)(2021·青岛质检)下列说法正确的是( ) A.“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件B.定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30C.命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x ＞2”D.“所有的分数都是有理数”的否定是“有的分数不是有理数” 答案 ABD解析 由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是 “tan x ＝1”的充分不必要条件，所以A 正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则⎩⎨⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5，其在[－5，5]上的最大值为30，所以B 正确；显然C 错误，D 正确.15.若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.答案 (－∞，22]解析 若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x 0＋1x 0成立”是假命题， 则“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 成立”是真命题， x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22， 故实数λ的取值范围为(－∞，22].16.已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.。