机械振动 课后习题和答案 第四章 习题和答案

4.1 按定义求如图所示三自由度弹簧质量系统的刚度矩阵，并用
能量法检验。

求系统的固有频率和振型。

（设132142356;2;;2;3;m m m m m k k k k k k k k k =========）
解：1)以静平衡位置为原点，设123,,m m m 的位移123,,x x x 为广义坐标，画出123,,m m m 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
11112122222132352623333243()0()()0()0
m x k x k x x m x k x x k x x k x k x m x k x x k x ++-=⎧⎪
+-+-++=⎨⎪+-+=⎩
所以：
[][]1
2312
2
22356
33
340010000020;0
10
3
202
1020
02
3m M m m m k k k K k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
+--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+++-=--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ⎧⎫⎧⎫
+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
…… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
=
++ 2
2
2
1122331112
2
2
T E m x
m x
m x
=
+
-+
-+
+
+2
2
2
2
2
1121232343562
11111()()()2
2
2
2
2
U k x k x x k x x k x k k x
=
++
++++
+--2
2
2
12123562343212323111()()()2
2
2
U k k x k k k k x k k x k x x k x x
求偏导也可以得到[][],M K
2)设系统固有振动的解为： 112233cos x u x u t x u ω⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪
=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
，代入（a ）得：
[][]12
23()0u K M u u ω⎧⎫⎪⎪-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
…… (b)
得到频率方程：2
22
2
320()210220
23k m
k k k m
k k
k m
ωωωω--=
---=--
即：222422()(3)(21622)0k m m km k ωωωω=--+=
解得：2(4k m
ω=±和23
k m
ω=
所以：
123ωωω=
<=
<=
………… (c)
将（c）代入（b）可得：
1
2
3
3(420
2102(420
023(4
k
k m k
m u
k
k k m k u
m
u
k
k k m
m
⎡⎤-±-
⎢⎥
⎧⎫
⎢⎥
⎪⎪
⎢⎥--±-=
⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪
⎢⎥⎩⎭
⎢⎥
--±
⎢⎥
⎣⎦
和
1
2
3
3320
2102320
0233
k
k m k
m u
k
k k m k u
m
u
k
k k m
m
⎡⎤
--
⎢⎥
⎧⎫
⎢⎥
⎪⎪
⎢⎥
---=
⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪
⎢⎥⎩⎭
⎢⎥
--
⎢⎥
⎣⎦
解得：
112131
::1:
2
u u u≈；
122232
::1:0:1
u u u≈-；
132333
::1:
2
u u u≈；
令
3
1
u=，得到系统的振型为：
0 1
-1 0.618 1
1
1.618
1 1
4.2 按定义求如图T—4.2所示三自由度扭转系统的刚度矩阵和质量矩阵。

4.3 求如图T—4.3所示三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。

质量只能沿铅垂方向运动。

4.4 求如图T—4.4所示三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。

质量只能沿铅垂方向运动。

4.5 如图T—4.5所示系统，两个圆盘的半径均为r，设I1=I2=I，k1=k2=k，k3=3k，求系统的固有频率和振型。

4.6 如图T—4.6所示系统，质量m1=m2=m被限制在图平面内运动。

求系统的固有频率和振型。

4.7 如图T—4.7所示系统，求出系统的全部固有频率和振型。

4.8 设图T—4.4中质量4m上使用有铅垂力F cosw t，试求各个
质量的振幅。

4.9 试讨论动力吸振器吸振的频率范围，要求主系统的振幅X≤F0／k。

4.10 讨论动力吸振器中有阻尼元件时的吸振效果和吸振的频率范围。

并与无阻尼元件时的吸振效果和吸振的频率范围对比。

4.11 证明：对系统的任一位移{x }，Rayleigh 商
}
]{[}{}]{[}{)(x M x x K x x R T T
=
满足
221)(n x R ωω≤≤
这里，[K ]和[M ]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和n ω分别为系统的最低和最高固有频率。

证明：对振动系统的任意位移{x},由展开定理，{x}可按n 个彼此正交的正规化固有振型展开：
()
1
{}{}[]{}n
i i
i x c u
u c ==
=∑
其中：[u]为振型矩阵，{c}为展开系数构成的列向量：
12{}{,,...,}
T
n c c c c =
所以：
{}[]{}{}[][][]{}(){}[]{}
{}[][][]{}
T
T T
T T
T
x K x c u K u c R x x M x c u M u c =
=
由于：212
100[][][]0000100[][][]0000T
T
n u M u u K u ωω⎧⎡⎤
⎪⎢⎥=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪
⎣⎦⎨
⎡⎤⎪
⎢⎥=⎪⎢⎥
⎪⎢⎥⎪⎣⎦
⎩
因此：2
1
200{}0
0{}00{}[][][]{}(){}[][][]{}
100{}0
0{}00
1T T T
n T
T
T
c c c u K u c R x c u M u c c c ωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦=
=
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
222222
11222
2
2
12......n n
n
c c c c c c ωωω+++=
+++
由于：22212...n ωωω≤≤≤
所以：
22221
1
1
221
1
()n
n
i
n
i
i i n n
i
i
i i c
c
R x c
c
ω
ω
====≤≤
∑∑∑∑
也就是：221)(n x R ωω≤≤
证明完毕。