广东省深圳市部分学校2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
A． a b ab （ a 0 ， b 0 ） 2
C．
2ab ab
ab （ a 0 ， b 0 ）
B． a2 b2 2ab （ a 0 ， b 0 ）
D． a b a2 b2 （ a 0 ， b 0 ）
2
2
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
A．6
B． 5 2 6
C． 3 2 2
D．3
8．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据， 通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示
图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF AB ，设 AC a ， BC b ，则该图形可以完成
0 x
0
，因此是同一函数；
对于 C： f (x) x 1与 g(x) x2 1 (x 1)(x 1) x 1 ，（ x 1 ），
x 1
x 1
定义域不同，因此不是同一函数；
对于 D： f (x) x2 1 与 g(t) t 2 1 ，
定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．
5
10．CD A． 2 是有理数 2 2 2 为有理数，不正确． B． x A B x A 反之不成立， 因此“ x A B ”是 x A ”的充分不必要条件，不正确． C．由 x 3 x2 2x 3 0 ，反之不成立，
求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分）
9．下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A． f (x) x 与 g(x) x2
B．
f
(x)
|
x x
|
与
g(x)
1, x 1,
0 x0
C． f (x) x 1与 g(x) x2 1 x 1
D． f (x) x2 1 与 g(t) t 2 1
S {z z 6m 1, m Z} {z z 3 (2m) 1, m Z}，表示被 6 整除余 1 的集合；
故M P，S Þ P，S Þ M ．
12．AD
a 1， b 1， a b 2 ab ，当 a b 时取等号
1 ab (a b) ab 2 ab ，解得 ab 2 1，
A B {x 0 x 2}；
（2）选择① A B 作为已知条件． A B ， a 1 0 或 a 2 ，
因此：“ x2 2x 3 0 ”是“ x 3 ”的必要条件，正确． D．“ 1 1” x 1或 x 0 ，因此正确．
x 11．ABC M {x x 3k 2, k Z}表示被 3 整除余 1 的数的集合；
P y | y 3n 1, n Z 表示被 3 整除余 1 的数的集合；
22．已知 f (x) 是定义在 [2, 2] 上的奇函数，且 f (2) 3 若对任意的 m， n [2, 2] ， m n 0 ，都有 f (m) f (n) 0 ． mn （1）若 f (2a 1) f (a) 0 ，求实数 a 的取值范围；
（2）若不等式 f (x) (5 2a)t 1对任意 x [2, 2] 和 a [1, 2]都恒成立，求实数 t 的取值范围.
CF
a b 2 2
CF OF , a b a 2 b2 （ a,b 0 ）．
2
2
9．BD 对于 A： f (x) x 与 g(x) | x |的对应关系不同，因此不是同一函数；
对于
B：
f
(x)
|
x x
|
1, x 1,
0 x0
与
g(x)
1, x 1,
x x
3 2
0 0
，定义域是
[3,
2)
(2,
)
．
6
14．-4
2
y f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x) x 3 ，
2
则 f (8) f (8) 83 4 ． 15．{x x 3}
在 R 上的偶函数 f (x) 在[0, ) 上是增函数在 (, 0) 递减，
又 f (3) f (3) 0 ，不等式 (x 3) f (x) 0 讨论如下：
高一数学参考答案、提示及评分细则
1．D 2．B 3．D 4．A 根据题意考虑当向高为 H 的容器中注水为高为 H 一半时，注水量 V 与水深 h 的函数关系．
如图所示，此时注水量 V 与容器容积关系是 V<容器的容积的一半．A 选项符合题意．
5．B f (x) 是 R 上的奇函数，且 f (x) 是单调函数， f (1) 1 ， 2
________．
16．不等式 x2 3 ax a 对一切 3 x 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10 分）已知集合 A {x a x a 1}， B {x x 1 1}． （1）若 a 1 ，求 A B ；
表述正确的有（ ）
A． S Þ P
B． S Þ M
C． P M
D． P Þ S
2
12．设 a 1， b 1，且 ab (a b) 1，那么（ ）
A． a b 有最小值 2( 2 1)
B． a b 有最大值 ( 2 1)2
C．ab 有最大值 5 2 2
D．ab 有最小值 3 2 2
19．（12 分）已知二次函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) 4x 8 ， f (0) 0 ．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）设 g(x) kx 1 f (x) ，若 F (x) g(x) 在区间[1, 2] 上是增两数，求实数的取值范围． 20．已知命题：“ x0 R ，使得 x02 mx0 2m 5 0 ”为假命题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若函数 f (x)
x
3
x
1
2
，则
f
(x)
的定义域是________．
2
14．已知 y f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x) x 3 ，则 f (8) 的值是________．
15．定义在 R 上的偶函数 f (x) 在[0, ) 上是增函数，又 f (3) 0 ，则不等式 (x 3) f (x) 0 的解集为
当 x 3 时， f (x) 0 f (3) ，显然不成立；
当 x 3 时， f (x) 0 f (3) ，所以 x 3 ， 综上， x 3 ．或者图象法：可得 x 3 ．
16． a 3 x2 3 ax a 对一切 3 x 4 恒成立，
a x2 3 在 x [3, 4] 恒成立， x 1
所以实数 a 的值是： a 1 ．
7．C 由 (a,b) 是不等式 kx2 x 1 0 的解集，
所以 a，b 是方程 kx2 x 1 0 的两个实数根，
所以 a b 1 ， ab 1 ，且 k 0 ；
k
k
所以 a b ab ，且 a 0 ， b 0 ；
即 1 1 1； ab
A．
f
1 2
f
(2)
B．
f
1 2
f
(2)
C．
f
1 2
f
(2)
D．
f
1 2
1
6．设函数
f
(x)
1
2 1
x
x 1, x ,x0
0
，若
f
(a)
a ，则实数
a
的值为（
）
A． 1
B．-1
C．-2 或-1
D． 1或-2
1
7．已知关于 x 的一元二次不等式 kx2 x 1 0 的解集为 (a,b) ，则 2a b 的最小值是（ ）
所以
2a
b
(2a
b)
1 a
1 b
3 2a b 3 2 2a b 3 2 2 ，
ba
ba
当且仅当 b 2a 时“=”成立；
所以 2a b 的最小值为 3 2 2 ．
8．D
由图形可知： OF 1 AB a b ， OC a b ．
2
2
2
在 RtOCF 中，由勾股定理可得：
y
1
3
x3
80x2
540x,
x
[120,14)
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 200
1 2
x2
200x
8000,
x
[144,
,
500)
元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当 x [200,300] 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每
月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
D． y | x 2 |
A． ac2 bc2
B． a2 b2
C． 1 1 ab
D． 2a 2b
4．如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么
容器的形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 是单调函数，且 f (x) 是单调函数， f (1) 1 ，则（ ） 2
令
g(x)
x2 3 x 1
，
x [3, 4] ，即 a
g (x)min
，
而 g(x) x2 3 (x 1)2 2(x 1) 2 (x 1) 2 2 在 x [3, 4] 单调递增，
2020-2021学年广东省深圳实验学校高中部高二下学期第一阶段考试数学试题 word版
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市南头中学2020-2021学年度第一学期期中考试试题
南头中学2020-2021学年度第一学期期中考试高一 物理命题人：陈晨旭 审核人：姜作高（满分：100分 考试时间：75分钟）第I 卷（选择题）一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．A 、B 、C 三物体同时出发做直线运动，它们的运动情况如图所示。
在20s 内，它们的平均速率的关系正确的是（ ）A ．ABC v v v >=B ．A BC v v v ==C ．A C B v v v >>D ．A B C v v v =>2．两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶速度均为v ，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停下时，后车以与前车相同的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为x ，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为（ ）A ．xB ．2xC ．3xD ．4x3．下列各图中所有接触面都是光滑的，P 、Q 两球之间不存在弹力的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．一辆汽车起步后在10s 内速度达到80km/h ，一列火车起步后达到这个速度需要60s 。
两车的上述过程均可看作是匀变速直线运动，则关于该过程下列说法正确的是（ ） A ．两车通过的位移相同B ．火车的加速度大C ．汽车的加速度大D ．汽车通过的位移大5．一质点做匀加速直线运动时，速度变化△v 时发生位移x 1，紧接着速度变化同样的△v 时发生位移x 2，则该质点的加速度为（ ）A ．221()v x x ∆- B ．21211()v x x ⎛⎫∆+ ⎪⎝⎭ C ．221()2v x x ∆- D ．21211()v x x ⎛⎫∆- ⎪⎝⎭ 6．下列说法正确的是( ) A ．木块放在桌面上受到一个向上的弹力，这是由于木块发生微小形变而产生的 B ．滑动摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反C ．由磁铁间存在相互作用可知：力可以离开物体而单独存在D ．质量均匀分布、形状规则的物体的重心可能在物体上，也可能在物体外二、多选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷含答案
2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共5页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=-，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A.2- B.143-C.73D.2【答案】C 【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2.P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A.11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则 쳌䁠쳌䁠，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3.已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A.333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.333,,244⎛⎫⎪⎝⎭C.333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()4,2,2【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）A.3B.C.3 D.255【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为255EG n d n ⋅=== ，故选：D ．5.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b=，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A.1132a b c++ B.1162a b c-++C.1132a b c-+D.1162a b c--+【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a =-+-=--+.故选：D6.在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A.12B.13C.512D.712【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D7.已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）A.5B.6C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】计算出2322b t a -=+≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以()()222211322t t b t t a ++=-=-++当0t =时，等号成立，故b a -.故选：C.8.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A.23π9B.π18C.π27D.π54【答案】B 【解析】【分析】设1PF CF ==，易知233PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，22sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知233PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠==⋅=⋅⋅，解得233PC =，22sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得26r =，34381V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，2812627π=.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A.13DB =B.向量AE 与1AC uuu r所成角的余弦值为5C.平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D.点D 到平面AEF 的距离为82121【答案】BCD 【解析】【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知， 쳌䁠쳌䁠,()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB ==A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =-，所以111·15cos ,5AE AC AE AC AE AC ==，故选项B 正确；()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =- ，记()4,1,2n =-，则0,0AE AF n n ==，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ⋂=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =-垂直于平面AEF ，故选项C 正确；쳌䁠쳌䁠，所以点D 到平面AEF的距离·21DA n d n ===，故选项D 正确；故选：BCD10.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A.当1λ=时，点P 在棱1BB 上B.当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C.当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D.当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由1CP BP BC BB μ==-即可判断；对于B ，由[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈ 和11//B C 平面ABC 即可判断；对于C ，分别取BC 和11B C 的中点D 和E ，由BP BD =+1BB μ 即1DP BB μ=即可判断；对于D ，先求证1A E ⊥平面11BB C C ，接着即可求证1B P ⊥平面1A EB ，进而即可求证1A B ⊥平面1AB P .【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB μμ=-=∈，又11CC BB =，所以1CP CC μ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122CG AB AA =+ B.直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C.点1C 到直线CQ 的距离是53D.异面直线CQ 与BD 所成角的余弦值为36【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111DC B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ mθ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=-- ，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅ ，D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为______时，使1⊥MN AB ．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知11310,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813.四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为______.【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅ 即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅ ，故答案为：23.14.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为_______.【答案】117m【解析】【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠=，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠=．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =，所以5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG ==在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ===，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】（1）66（2）当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，最小值为105【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA ，利用向量法可得sin θ=，可求正弦值的最小值.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·6cos ,6·DA n DA n DA n=== ，所以平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值为66；【小问2详解】设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =- ，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ=== 令4[2,4]m t -=∈，则sin θ====当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为105.16.如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．（1）求BN 的长；（2）求11cos ,BA CB 的值．（3）求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】（1（2）10（3）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N ，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【小问1详解】如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴222(10)(01)(10)3BN =-+-+- ；【小问2详解】依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅ ，16BA = 15CB = 所以1111130cos ,1065BA CB BA CB BA CB ⋅===⨯⋅ ；【小问3详解】证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuuu r ，()11,0,1C N =-uuur ，()1,1,1BN =- ，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17.如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；（2）在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【解析】【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤ ，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【小问1详解】取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，5AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，䁠쳌䁠쳌 ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =-- ，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 쳌h쳌 ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =- ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,3m PB m PB m PBθ⋅==== ，所以cos 3θ==，所以2tan 2θ=，所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值.【小问2详解】在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤ ，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==- ，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=--- ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18.如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；（2）若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为1313？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析（2）存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【解析】【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【小问1详解】折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .【小问2详解】存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())()3,3,2,0,3,2,0,0,1,0,3,2,3P D B N PB --=()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤，则(()(),0,,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n =，()(),DQ DN =-= ，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以121213cos 13n n n n θ⋅==⋅ ，解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为1313.19.如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；（3）若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM ⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）158（3）455【解析】【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【小问1详解】由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,3,0,1,3,0,0,0,1,0,3,0B C D P G -，所以()()()3,1,3,3,0,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PC λλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()3,0AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅=，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；【小问2详解】由上可知()()()1,3,13,1,33,1DP PF DF λλλλλλ+==+-=+-- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则2030n BP x z n PC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1x =，则32,3z y ==，31,23n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则2223sin cos ,4325655653n DF n DF n DF αλλλλ⋅===⋅-+⋅-+ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值158；【小问3详解】设()(]()3,0,0,12,3BM tBC t t t AM AB BM t t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()233,1CH CA AH t x tx x =+=---- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 945155f t f CH ≥=-⇒=.。
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷含答案
选择题．本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的 四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．1．如图，阴影部分表示的集合是 ( )A 、B ∩[CU (A ∪C)] B 、(A ∪B)∪(B ∪C)C 、(A ∪C)∩( CUB)D 、[CU (A ∩C)]∪B 2．全集 U={1,2,3,4,5}，A={1,5}，B CUA,那么集合 B 的个数是〔 〕 A 、5 B. 6C. 7D. 83．假设函数)(x f 在区间(),a b 上是减函数，在区间(),b c 上也是减函数，那么函数)(x f在区间(),a c 上〔 〕[来源:Z|xx|]A 、必是减函数B 、必是增函数C 、是增函数或是减函数D 、无法确定增减性4．如果集合A={x|ax2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，那么a 的值是 〔 〕A 、0B 、0 或1C 、1D 、不能确定5．函数()11)(0--=x x f ( )A 、是奇函数B 、是偶函数C 、既是是奇函数，又是偶函数D 、既不是是奇函数，又不是偶函数 6．要得到y ＝3×(13)x 的图像，只需将函数y ＝(13)x 的图像( )A 、向左平移3个单位B 、向右平移3个单位C 、向左平移1个单位D 、向右平移1个单位7．有关方程345x x x+=的根的情况的四种说法中，正确的选项是〔 〕A 、只有一个有理数根B 、只有一个无理数根C 、共有两个实数根D 、没有实数根8．指数函数xx x x d y ,c y ,b y ,a y ====在同一坐标系内的图象如下图，那么a 、b 、c 、d 的大小顺序是〔 〕A 、c d a b <<<B 、c d b a <<<[来源:学科网]C 、d c a b <<<D 、d a c b <<<9．设)(x f 是奇函数，且在(0，＋∞)内递增， 又0)3(=-f ，那么0)(<⋅x f x 的解集是( ) A 、{x|x<－3，或0<x<3} B 、{x|－3<x<0，或x>3} C 、{x|x<－3，或x>3} D 、{x|－3<x<0，或0<x<3}10．函数22,(1)(),()(,)(21)36,(1)x ax x f x f x a x a x ⎧-+≤=-∞+∞⎨--+>⎩若在上是增函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A 、1(,1]2B 、1(,)2+∞C 、[1,)+∞D 、[2.)+∞二．填空题．本大题共4小题，每题5分，计20分．请把答案填在答题卷的相应位置的横线上．11．计算：25.0log 10log 255+= ；214964-⎪⎭⎫ ⎝⎛+32827⎪⎭⎫ ⎝⎛= ．12．函数f(x)＝⎩⎨⎧4x －4，x≤1，x2－4x ＋3，x>1的图像和函数g(x)＝log2x 的图像共有____个交点．13．0＜a ＜1, 0＜b ＜1，假设1)3(log <-x b a，那么x 的取值范围是 ．14．集合M={a |65a ∈N ，且a ∈Z}，用列举法表示集合 M= ．三．解答题．本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卷的指定区域内．15．〔12分〕函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B 〔5，2〕， 〔1〕求函数)(x f 的解析式及定义域；〔2〕求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷213)14(f f 的值． [来源:学+科+网] 16．〔12分〕假设}06ax |x {B },06x 5x |x {A 2=-==+-=，且A B A = ， 求由实数a 组成的集合M ． 17 〔14分〕函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数18．(14分) 函数122)12()(+-+=x x a x f ．(1) 是否存在实数a 使得f(x)为奇函数？假设存在，求出a 的值并证明；假设不存在，说明理由；w(2) 在(1)的条件下判断f(x)的单调性，并用定义加以证明． 版权所有：高考资源网(www.k s 5 )19．(14分)根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系如下图，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示．(1) 根据图像，写出该产品每件销售价格P 与时间t 的函数解析式； (2) 在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q)的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式； (3) 在这30天内，哪一天的日销售金额最大？ (日销售金额＝每件产品销售价格×日销售量) 20.〔14分〕 函数2|1|(),04x m f x m x +-=>-，满足(2)2f =-，(1) 求实数m 的值；(2) 判断()y f x =在区间(,1]m -∞-上的单调性，并用单调性定义证明；(3) 假设关于x 的方程()f x kx =有三个不同实数解，求实数k 的取值范围.参考答案题 号 1234567[来源:学科网ZXXK]8910答 案 A CDBDDAADD11．2；258． 12．3 13．(3 , 4) 14．{1,2,3,4}-。
广东省莞佛深部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.样本数据1，1，5，7，8，8，9，10，10，11的平均数和第40百分位数分别为（）A.7，7B.7，7.5C.7.5，7D.7.5，7.52.已知集合{}205A x x =<<，{}Z 12B x x =∈-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2- B.{}0,1,2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2,3-3.若12i z z-=-，则z =（）A.1i2+ B.1i 2+-C.1i 2- D.1i2-+4.已知向量()1,1a = ，(),b x y =，若()4a b a ⊥- ，()//b b a + ，则2x y +为（）A.12B.8C.9D.4-5.已知α、3π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos αβαβ-=+，则sin 2α=（）A.12-B.1C.0D.1-6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（）A.B.C.D.7.已知函数为3211,1()3e ln(2),1x x ax x x f x x x +⎧++<-⎪=⎨⎪++≥-⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.7[1,]3B.7(,]3-∞ C.[]71,3- D.(,1]-∞8.函数π()|cos |)6f x x x =-在13π[0,]6上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知变量X 服从正态分布()20,X N ~σ，当σ变大时，则（）A.11(22P X -<<变小 B.11()22P X -<<变大C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移10.已知命题p ：对于正数a ，b ，[)00,x ∞∀∈+使()00e 1x bx a ++⋅>．若p 为假命题，则（）A.e 1b a ⋅> B.1eab ≤C.1a b +≤D.224e ab ≤11.函数()f x 的定义域为R ，若(1)()()f x y f x f y m ++=+-，且(0)f n =，,Z m n ∈，n m >则（）A.(1)f m -=- B.()f x 无最小值C.401()860820i f i n m==-∑ D.()f x 的图象关于点(2,2)m n --中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线:l y kx =是曲线()1ex f x +=和()ln g x x a =+的公切线，则实数a =______．13.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且2cos a B c a =-．当3c ab+取最小值时，则A =______．14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．奖品一个健身背包一盒蛋白粉概率3414则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______．三、解答题：本题共5小题，共77分．15.如图，在直角三角形POA 中，PO AO ⊥，24PO AO ==，将POA 绕边PO 旋转到POB 的位置，使2π3AOB ∠=，得到圆锥的一部分，点C 为 AB上的点，且 14AC AB =．（1）在A 上是否存在一点D ，使得直线OA 与平面PCD 平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由；（2）设直线OC 与平面PAB 所成的角为θ，求sin θ的值．16.已知数列{}n a 满足()121221333334n nn n a a a +-⋅++++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，求证：4121nn nT n n <<++．17.已知O 为坐标原点，点2在椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>上，过左焦点1F 和上顶点A 的直线1l 与椭圆相交于点A ，B ．记A ，B 的中点为M ，有12OM k =-．过上顶点A 的直线2l 与椭圆相交于点C （C 点异于B 点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）求ABC V 面积的最大值，18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为13，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为16．记比赛结束．．．．时甲乙两人的答题总次数为()2n n ≥．（1）求p ；（2）求在4n =的情况下，甲晋级的概率；（3）由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率．19.函数()ln f x x =，2()2g x x x m =--+．（1）若e m =，求函数()()()F x f x g x =-在1[,2]2的最小值；（2）若2()()(2)e x f x g x x x +≤--在(0,](1)x t t ∈>上恒成立时，实数m 的取值范围中的最小值为ln 2，求实数t 的值．高三数学注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】3【13题答案】【答案】π4【14题答案】【答案】37384三、解答题：本题共5小题，共77分．【15题答案】【答案】（1）存在，3AD AB =；（2）17.【16题答案】【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）2212x y +=；（2）2323+.【18题答案】【答案】（1）12（2）1 5（3）17 216【19题答案】【答案】（1）e4ln2-+；（2）2.。
2020-2021学年广东省深圳市高一(下)期末数学模拟练习试卷(一)
2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学模拟练习试卷（一）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设集合P={x∈Z|（x+1）（x-4）≤0}，Q={x|y=lgx}，则（）A.P⊆QB.P∩Q=[-1，4]C.P∪Q=PD.P∩Q={1，2，3，4}2.（单选题，5分）复数z=-2+i，则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）已知某校高一、高二、高三年级的学生数分别为600，720，840，为调查学生对餐厅的满意度，拟采用分层抽样随机抽取一个容量为108的样本，则高二年级应抽取的学生数为（）A.30B.36C.42D.484.（单选题，5分）设向量a⃗=(2，3)，b⃗⃗=(4，−2)，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则实数λ=（）A.-10B.10C.-2D.25.（单选题，5分）已知点P(−1，√3)在角φ的终边上，若要得到函数y=sin（2x+φ）（0≤φ＜2π）的图象，则需将函数y=sin2x的图象（）个单位长度A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移2π3D.向右平移2π个单位长度3=2，则tan2x=（）6.（单选题，5分）若sinx−cosxsinx+cosxA. 43B. −43C. 34D. −347.（单选题，5分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则下列结论不一定成立的为（）A.a b＜1B.b a＜1C.log a b+log b a≥2D.log a b-log b a≥28.（单选题，5分）已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为（）A.12πB.9πC.8πD.6π9.（多选题，5分）下列说法正确的为（）A.若x∈R，则“x2＜1”是“x＜1”充分不必要条件B.若x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”充分不必要条件C.若命题p的否定为真命题，则命题p必为假命题D.命题“∃x0∈R，使得x02＜2x0-1”的否定为“∀x∈R，x2＞2x-1”10.（多选题，5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．若分别以AE，AF，EF为折痕，将该正方形折成一个四面体Ω（使B，C，D三点重合），则下列结论正确的为（）A.Ω的表面积为2B.Ω的体积为13C.Ω的外接球半径为√62D.Ω的外接球半径为√5211.（多选题，5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（）A.实数ω有且仅有一个值B.实数φ可取两个不同的值C.f（x）的单调递增区间为(kπ−π3，kπ+π6)(k∈Z)D.若f（x1）=f（x2）(π6＜x1＜x2＜π)，则f(x1+x2)=√312.（多选题，5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f(x)={ex+3，x＜−1，e x−1，−1≤x＜0，（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅），函数g（x）=f（af（x）），则下列结论正确的为（）A.∀x∈[-1，0]，f（x）+f（x2）≤0恒成立B.当k∈N*时，方程f（x）+kx=0有唯一实数解C.当a=1时，函数g（x）的零点个数为7D.∃a∈R，使得函数g（x）恰有9个零点13.（填空题，5分）函数f(x)=ln(x+1)+√3x−1上的定义域为 ___ ．14.（填空题，5分）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并绘制成如下的频率分布直方图．由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为 ___ ．）15.（填空题，5分）进行垃圾分类收集可减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，考试有且仅有两道试题．已知甲同学答对每道题的概率均为p ，乙同学答对每道题的概率均为q ，且在考试中每人各题的答题结果互不影响．若甲，乙同时答对第一题的概率为 12 ，且恰有一人答对第二题的概率为 512 ，则p+q=___ ．16.（填空题，5分）设函数 f (x )=asin (x +π6)+√3bsin (x −π3) （a ＞0），若∀x∈R ，|f （x ）|≤|f （0）|，则 1a −2b 的最小值为 ___ ．17.（问答题，10分）已知i 为虚数单位，m∈R ，复数z 1=m+mi ，z 2=2m+2i ，z=z 1z 2． （1）若z 是纯虚数，求实数m 的值； （2）若|z|≤4，求|z 1-z 2|的取值范围．18.（问答题，12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB || CD ， |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ， ∠BAD =π3，E 是BC 边的中点．（1）试用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19.（问答题，12分）随着电子产品的盛行，近年来青少年的眼睛健康不容忽视．某地欲举行中学生“用眼卫生健康知识竞赛”活动，规定每所学校均由3名学生组成代表队参加团体赛．某校为了选拔出代表队成员，共有120名学生参加了校内选拔赛，其竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频数12 24 42 b a频率0.1 0.2 0.35 c 0.05 （1）求竞赛成绩的频率分布表中a，b，c的值，并计算这120名学生的竞赛成绩平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知竞赛成绩不低于90分的学生中男、女人数之比为1：2，若从竞赛成绩不低于90分的学生中随机选取3人组成代表队，求代表队中女生人数多于男生人数的概率．20.（问答题，12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−ca+b +sinBsinA+sinC=0．（1）求C；（2）设点E，F是边AB（除端点外）上的动点，且AE＜AF．若a=b=1，且∠ECF=π3，记∠ACE=θ，试用θ表示△CEF的面积S，并求S的最小值．21.（问答题，12分）如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB=2AD，点E为AB的中点，将△ADE沿折痕DE折成△PDE．（1）若点M为PC的中点，证明：BM || 平面PDE；（2）若二面角D-PE-C为直二面角，求直线PC与平面DEC所成的角的正弦值．22.（问答题，12分）设函数g（x）的定义域为D，若x0∈D，且g（x0）=kx0（k∈Z），则称实数x0为g（x）的“k级好点”．已知函数f（x）=ln（e x+a）．（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅）（1）当a∈R时，讨论f（x）的“2级好点”个数；（2）若实数m为f（x）的“-1级好点”，证明：e2m+e−2m+m2＞(a+1)m+1．22020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学模拟练习试卷（一）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设集合P={x∈Z|（x+1）（x-4）≤0}，Q={x|y=lgx}，则（）A.P⊆QB.P∩Q=[-1，4]C.P∪Q=PD.P∩Q={1，2，3，4}【正确答案】：D【解析】：由已知分别求出集合P，Q，对应各个选项即可求解．【解答】：解：由已知可得P={x∈Z|-1≤x≤4}={-1，0，1，2，3，4}，Q={x|x＞0}，所以P∩Q={1，2，3，4}，故选：D．【点评】：本题考查了集合间的包含关系，涉及到一元二次不等式的解法，属于基础题．2.（单选题，5分）复数z=-2+i，则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：C【解析】：根据复数共轭的定义以及复数的几何意义，即可得到结论．【解答】：解：∵z=-2+i，∴它的共轭复数z =-2-i，对应的坐标为（-2，-1）位于第三象限，故选：C．【点评】：本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的概念，比较基础．3.（单选题，5分）已知某校高一、高二、高三年级的学生数分别为600，720，840，为调查学生对餐厅的满意度，拟采用分层抽样随机抽取一个容量为108的样本，则高二年级应抽取的学生数为（）A.30B.36C.42D.48【正确答案】：B【解析】：根据题意，先计算三个年级的学生总数，由分层抽样的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意，高一、高二、高三年级的学生数分别为600，720，840，共有600+720+840=2160人，拟采用分层抽样随机抽取一个容量为108的样本，×108=36，则高二年级应抽取的学生数为7202160故选：B．【点评】：本题考查分层抽样方法的应用，注意分层抽样的定义，属于基础题．4.（单选题，5分）设向量a⃗=(2，3)，b⃗⃗=(4，−2)，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则实数λ=（）A.-10B.10C.-2D.2【正确答案】：A【解析】：根据题意，求出λ a⃗ + b⃗⃗的坐标，由数量积的计算公式可得(λa⃗+b⃗⃗)•b⃗⃗ =4（2λ+4）-2（3λ-2）=2λ+20=0，解可得λ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，向量a⃗=(2，3)，b⃗⃗=(4，−2)，则λ a⃗ + b⃗⃗ =（2λ+4，3λ-2），若(λa⃗+b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则(λa⃗+b⃗⃗)•b⃗⃗ =4（2λ+4）-2（3λ-2）=2λ+20=0，解可得λ=-10，故选：A．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.（单选题，5分）已知点P(−1，√3)在角φ的终边上，若要得到函数y=sin（2x+φ）（0≤φ＜2π）的图象，则需将函数y=sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移2π3个单位长度D.向右平移2π3个单位长度【正确答案】：A【解析】：由题意可得φ为第二象限角，利用任意角的三角函数的定义可求tanφ，结合范0≤φ＜2π，可求φ的值，进而根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】：解：因为点P(−1，√3)在角φ的终边上，可得φ为第二象限角，所以tanφ=- √3，因为0≤φ＜2π，所以φ= 2π3，所以若要得到函数y=sin（2x+ 2π3）=sin2（x+ π3）的图象，则需将函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度即可得解．故选：A．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，考查了函数思想，属于基础题．6.（单选题，5分）若sinx−cosxsinx+cosx=2，则tan2x=（）A. 43B. −43C. 34D. −34【正确答案】：C【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanx的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．【解答】：解：因为sinx−cosxsinx+cosx=2，所以tanx−1tanx+1=2，解得tanx=-3，则tan2x= 2tanx1−tan2x = 34．故选：C．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.（单选题，5分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则下列结论不一定成立的为（）A.a b＜1B.b a＜1C.log a b+log b a≥2D.log a b-log b a≥2【正确答案】：D【解析】：由a＞0，b＞0，且a+b=1知0＜a＜1，0＜b＜1，又得log a b＞0且log b a＞0，根据函数单调性可判断AB；根据基本不等式可判断C，举例a=b= 12可判断D．【解答】：解：由a＞0，b＞0，且a+b=1知0＜a＜1，0＜b＜1，又得log a b＞0且log b a＞0，∴a b＜a0=1，b a＜b0=1，∴AB成立，不选AB；log a b+log b a=log a b+ 1log a b ≥2 √log a b•1log a b=2，当且仅当a=b= 12时，“=”成立，∴C对，不选C；当a=b= 12时，log a b-log b a=0，∴D错，选D．故选：D．【点评】：本题考查不等式与基本不等式，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．8.（单选题，5分）已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为（）A.12πB.9πC.8πD.6π【正确答案】：B【解析】：由题意，可得当球O的轴截面是圆锥的轴截面的内切圆时，内切球等体积最大，求出轴截面的内切圆的半径，进而求出球O表面积的最大值．【解答】：解：设圆锥的轴截面为等腰△SAB，则球O的面积最大时，球O的轴截面是△SAB 的内切圆，所以S△SAB= 12AB•SO′= 12SA+SB+AB）•r，解得r= 32，所以球O的表面积的最大值为4πr2=4 π×94=9π．故选：B．【点评】：本题考查圆锥的内切球的半径的求法及球的体积公式，属于基础题．9.（多选题，5分）下列说法正确的为（）A.若x∈R，则“x2＜1”是“x＜1”充分不必要条件B.若x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”充分不必要条件C.若命题p的否定为真命题，则命题p必为假命题D.命题“∃x0∈R，使得x02＜2x0-1”的否定为“∀x∈R，x2＞2x-1”【正确答案】：AC【解析】：直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，真值表的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：若“x2＜1”整理出-1＜x＜1，故{x|-1＜x＜1}⊂{x|x＜1}，故“x2＜1”是“x ＜1”充分不必要条件，故A正确；对于B：若“x2＜1”整理出-1＜x＜1，故{x|-1＜x＜1}⊂{x|x＜1}，故“x2＜1”是“x＜1”充分不必要条件，则“x＜1”是“x2＜1”必要不充分条件，故B错误；对于C：若命题p的否定为真命题，则命题p必为假命题，故C正确；对于D：命题“∃x0∈R，使得x02＜2x0-1”的否定为“∀x∈R，x2≥2x-1”故D错误．【点评】：本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，真值表，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．若分别以AE，AF，EF为折痕，将该正方形折成一个四面体Ω（使B，C，D三点重合），则下列结论正确的为（）A.Ω的表面积为2B.Ω的体积为13C.Ω的外接球半径为√62D.Ω的外接球半径为√52【正确答案】：BC【解析】：利用Ω的表面积即为正方形的面积，即可判断选项A，由翻折前后不变的量，得到翻折后的三棱锥，求解体积即可判断选项B，利用Ω的外接球即为以PA，PE，PF为长、宽、高的长方体的外接球，求解半径即可判断选项C，D．【解答】：解：对于A，由题意可知，Ω的表面积即为正方形的面积，所以Ω的表面积为2×2=4，故选项A错误；对于B，翻折前，AE=AF= √5，EF= √2，AB=AD=2，BE=EC=DF=1，翻折后，AP=2，EP=PF=1，AE=AF= √5，EF= √2，且AP⊥PF，AP⊥PE，PE⊥PF，则AP⊥平面PEF，所以Ω的体积为13×12×1×1×2 = 13，故选项B正确；Ω的外接球即为以PA，PE，PF为长、宽、高的长方体的外接球，则Ω的外接球的直径为2R= √12+12+22=√6，所以Ω的外接球半径为√62，故选项C正确，选项D错误．【点评】：本题考查了翻折问题，棱锥的体积公式的应用，表面积的求解以及外接球的理解，解题的关键是弄起翻折前后不变的量，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.（多选题，5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（）A.实数ω有且仅有一个值B.实数φ可取两个不同的值C.f（x）的单调递增区间为(kπ−π3，kπ+π6)(k∈Z)D.若f（x1）=f（x2）(π6＜x1＜x2＜π)，则f(x1+x2)=√3【正确答案】：AD【解析】：先由图解函数f（x）解析式，再利用单调性、对称性等性质判断选项是否正确．【解答】：解：由图知，A=2，f（0）= √3，即2sinφ= √3，sinφ= √32，∴φ= π3+2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ= π3．ω与周期T有关，又π3−0 =2π32π•T = 13T，∴T=π，∴ω=2．∴f（x）=2sin（2x+ π3）．A，因为周期一定，所以ω确定，且ω=2．故A对．B，∵（0，√3）是单调递增区间上的值，∴φ只能等于π3+2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ= π3．即只有一个值，故B错．C，∵f（x）=2sin（2x+ π3），∴满足2x+ π3∈[2kπ- π2，2kπ+ π2]，k∈Z时，f（x）单调递增，解得x∈[kπ- 5π12，kπ+ π12]，k∈Z，故C错；D，∵f（x1）=f（x2），且π6＜x1＜x2＜π，∴x1，x2关于x= 7π12对称，∴x1+x2=2× 7π12= 7π6，∴f（x1+x2）=2sin（2× 7π6 + π3）=2sin 8π3=2sin 2π3= √3．故D对．故选：AD．【点评】：该题考查正弦函数的图象及单调性、对称性等性质，属于中等题型．12.（多选题，5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f(x)={ex+3，x＜−1，e x−1，−1≤x＜0，（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅），函数g（x）=f（af（x）），则下列结论正确的为（）A.∀x∈[-1，0]，f（x）+f（x2）≤0恒成立B.当k∈N*时，方程f（x）+kx=0有唯一实数解C.当a=1时，函数g（x）的零点个数为7D.∃a∈R，使得函数g（x）恰有9个零点【正确答案】：AD【解析】：根据题意作出f（x）的图象，结合图象，逐个判断每个选项，即可得出答案．【解答】：解：根据题意作出f（x）的图象：对于A ：由图可知f （x ）在（-1，1）上单调递增， 因为x∈[-1，0]，则x 2∈[0，1]， 又f （x ）=-f （-x ），且-x∈[0，1]， 且-x≥x 2，所以f （-x ）≥f （x 2）， 即-f （x ）≥f （x 2），所以f （x ）+f （x 2）≤0，故A 正确；对于B ：当k∈N*时，方程f （x ）+kx=0的根为f （x ）=-kx 的根， 即y=f （x ）与y=-kx 的交点的横坐标，结合图象可得交点可能有1个或三个，故B 错误； 对于C ：a=1时，g （x ）=f （f （x ）），令g （x ）=0，结合图象可得f （x ）=0或f （x ）=- 3e 或f （x ）= 3e ， 当f （x ）=0时，x=0或- 3e 或 3e ， 当f （x ）=- 3e 时，x 有唯一的解， 当f （x ）= 3e 时，x 有唯一的解，综上，当a=1时，g （x ）的零点有5个，故C 错误； 对于D ：令g （x ）=f （af （x ））=0， 得af （x ）=0或af （x ）=- 3e 或af （x ）= 3e ， 当a≠0时，f （x ）=0或f （x ）=- 3ae或f （x ）= 3ae， 当f （x ）=0时，x=0或- 3e 或 3e ，若e-3＜- 3ae ＜0时，f （x ）=- 3ae 有3个解，f （x ）= 3ae 有3个解， 综上，存在a∈R ，使得g （x ）恰有9个交点，故D 正确． 故选：AD ．【点评】：本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 13.（填空题，5分）函数 f (x )=ln (x +1)+√3x−1 上的定义域为 ___ ． 【正确答案】：[1]（0，3]【解析】：根据题意，由函数的解析式可得 {x +1＞03x −1≥0 ，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=ln (x +1)+√3x−1 ， 必有 {x +1＞03x−1≥0，解可得0＜x≤3，即函数的定义域为（0，3]； 故答案为：（0，3]．【点评】：本题考查函数定义域的计算，涉及不等式的解法，属于基础题．14.（填空题，5分）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并绘制成如下的频率分布直方图．由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为 ___ ． ）【正确答案】：[1]82【解析】：根据题意，高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即成绩从低到高的第60×75%=45位同学，分别求出前4组小矩形对应的人数，前5组小矩形对应的人数，再按比例确定高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即可求解．【解答】：解：高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即成绩从低到高的第60×75%=45位同学，∵前4组的小矩形的面积和为0.01+0.15×2+0.03=0.07， 又∵样本的容量为60，∴前4组的小矩形对应的学生人数为60×0.07=42，∵前5组的小矩形的面积和为0.01+0.15×2+0.03+0.25=0.95， 又∵样本的容量为60，∴前5组的小矩形对应的学生人数为60×0.95=57， ∵分数在[80，90）的人数为0.025×10×60=15，∴此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为80+10×45−4215=82．故答案为：82．【点评】：本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，以及百分位数的应用，属于基础题．15.（填空题，5分）进行垃圾分类收集可减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，考试有且仅有两道试题．已知甲同学答对每道题的概率均为p，乙同学答对每道题的概率均为q，且在考试中每人各题的答题结果互不影响．若甲，乙同时答对第一题的概率为12，且恰有一人答对第二题的概率为512，则p+q=___ ．【正确答案】：[1] 1712【解析】：利用相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可求解．【解答】：解：由题意，得{pq=12p(1−q)+q(1−p)=512，解得p+q= 1712．故答案为：1712．【点评】：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．16.（填空题，5分）设函数f(x)=asin(x+π6)+√3bsin(x−π3)（a＞0），若∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，则1a−2b的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] 2√2【解析】：先利用诱导公式以及辅助角公式化简f（x）的解析式，然后由已知条件，得到f （0）为函数f（x）的最值，求出φ的值，由tanφ求出a与b的关系，然后由基本不等式求解最值即可．【解答】：解：函数f(x)=asin(x+π6)+√3bsin(x−π3)= asin(x+π6)−√3bcos(x+π6)= √a2+3b2sin(x+π6−φ)，其中tanφ=√3ba，a＞0，因为∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，所以f（0）为函数f（x）的最值，则有0+π6−φ=π2+kπ，k∈Z，故φ=−π3−kπ，k∈Z，所以tanφ=tan(−π3−kπ)=tan(−π3)=−√3，故√3ba=−√3，所以b=-a，a＞0，故1a −2b = 1a+2a≥2√1a•2a = 2√2，当且仅当1a =2a，即a= √22时取等号，所以1a−2b的最小值为2√2．故答案为：2√2．【点评】：本题考查了诱导公式以及辅助角公式的应用，三角函数最值的应用以及特殊角的三角函数值的运用，基本不等式求解最值的运用，考查了逻辑推理能力、化简运算能力与转化化归能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知i为虚数单位，m∈R，复数z1=m+mi，z2=2m+2i，z=z1z2．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若|z|≤4，求|z1-z2|的取值范围．【正确答案】：【解析】：z=z1z2=（m+mi）（2m+2i）=2m2-2m+（2m2+2m）i．（1）由2m2-2m=0且2m2+2m≠0可解决此问题；（2）|z|≤4⇔|z|2≤42可求得m范围，然后可求得|z1-z2|的取值范围．【解答】：解：z=z1z2=（m+mi）（2m+2i）=2m2-2m+（2m2+2m）i．（1）∵z是纯虚数，∴2m2-2m=0且2m2+2m≠0，解得m=1；（2）|z|≤4⇔|z|2≤42，可得（2m2-2m）2+（2m2+2m）2≤16，解得-1≤m≤1．∴|z1-z2|=|-m+（m-2）i|= √(−m)2+(m−2)2 = √2m2−4m+4 = √2(m−1)2+2，∵-1≤m≤1，∴0≤（m-1）2≤4，∴0≤2（m-1）2≤8，∴2≤2（m-1）2+2≤10，∴ √2(m −1)2+2 ∈[ √2 ， √10 ]， ∴|z 1-z 2|∈[ √2 ， √10 ]．【点评】：本题考查复数代数形式、复数的模、不等式的解法，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB || CD ， |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ， ∠BAD =π3，E 是BC 边的中点．（1）试用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据向量的线性运算求解；（2）把 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 都用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，进而可求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：（1）因为AB || CD ，且 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ，则 DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为E 是BC 边的中点，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．（2） EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为 AD =AB−DC2cosπ3=1 ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−316AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2= 14×12+12⋅1⋅2⋅cos60°−316×22=−14．【点评】：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查数学抽象和直观想象的核心素养，属于基础题．19.（问答题，12分）随着电子产品的盛行，近年来青少年的眼睛健康不容忽视．某地欲举行中学生“用眼卫生健康知识竞赛”活动，规定每所学校均由3名学生组成代表队参加团体赛．某校为了选拔出代表队成员，共有120名学生参加了校内选拔赛，其竞赛成绩的频率分布表如下：差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知竞赛成绩不低于90分的学生中男、女人数之比为1：2，若从竞赛成绩不低于90分的学生中随机选取3人组成代表队，求代表队中女生人数多于男生人数的概率．【正确答案】：【解析】：（1）利用频数的计算公式求a，b，由频率之和为1求b，利用平均数以及方差的计算公式求解平均数与方差即可；（2）先分别求出6人中，男生和女生的人数，然后用分类计数原理以及古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：（1）由题意可知，a=120×0.05=6，c=1-（0.1+0.2+0.35+0.05）=0.3，b=120×0.3=36，这120名学生的竞赛成绩平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+0.05×95=75，方差为0.1×202+0.2×102+0.35×02+0.3×102+0.05×202=110；（2）竞赛成绩不低于90分的学生共有120×0.05=6人，因为竞赛成绩不低于90分的学生中男、女人数之比为1：2，故抽取的6人中有男生2人，女生4人，则抽取3人组成代表队，女生人数大于男生人数有2种抽法，① 女生2人，男生1人，则概率为P=C42C21C63 = 35；② 女生3人，则概率为P′=C43C62 = 15．故所求概率为35+15= 45．【点评】：本题考查了频率分布表的应用，频率之和为1的应用，频率、频数、样本容量之间关系的运用，古典概型概率公式的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．20.（问答题，12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−ca+b +sinBsinA+sinC=0．（1）求C；（2）设点E，F是边AB（除端点外）上的动点，且AE＜AF．若a=b=1，且∠ECF=π3，记∠ACE=θ，试用θ表示△CEF的面积S，并求S的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理将角化为边，由余弦定理的变形式求解即可得到答案；（2）利用正弦定理分别求出CE，CF，由三角形的面积公式表示出S，再利用三角恒等变换进行化简变形，然后由三角函数的性质求解最值即可．【解答】：解：（1）因为a−ca+b +sinBsinA+sinC=0，由正弦定理可得，a−ca+b +ba+c=0，化简整理可得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理的变形式可得，cosC=a 2+b2−c22ab=−12，又0＜C＜π，故C=2π3；（2）因为a=b=1，所以△ABC为等腰三角形，则A=B=π−C2=π6，作出图象如图所示，因为∠ACE=θ，则∠AEC=π-A-∠ACE= 5π6−θ，由正弦定理可得，ACsin∠AEC =CEsinA=1sin(5π6−θ)，所以CE=12sin(5π6−θ)，因为∠FCB=C-∠ECF-∠ACE= π3−θ，则∠CFB= π2+θ，由正弦定理可得，BCsin∠CFB =CFsinB=1sin(π2+θ)，所以CF=12sin(π2+θ)，故△CEF的面积S= 12•CE•CF•sin∠ECF= √316×1cosθsin(π6+θ)= √316×112cos2θ+√32sinθcosθ，= √316×114(cos2θ+1)+√34sin2θ= √316×112sin(2θ+π6)+14= √38sin(2θ+π6)+4，所以当2θ+π6=π2，即θ=π6时，S取得最小值为√312．【点评】：本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角恒等变换的应用，三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB=2AD，点E为AB的中点，将△ADE沿折痕DE折成△PDE．（1）若点M为PC的中点，证明：BM || 平面PDE；（2）若二面角D-PE-C为直二面角，求直线PC与平面DEC所成的角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取PD中点N，证明四边形MNEB为平行四边形，证出NE || BM，利用线面平行判定即可；（2）没有平面DEC的垂线，所以等体积转化，求出点P到面DEC的距离h，求解．利用线面角的正弦值为ℎPC【解答】：解：（1）如图，取PD中点为N，连接NM，NE，∵M，N分别为PC，PD的中点，∴MN || DC，MN= 1DC，2AB，∵E为AB的中点，∴EB= 12∵四边形ABCD为矩形，∴AB || CD，AB=CD，∴MN || BE，MN=BE，∴四边形MNEB为平行四边形，∴NE || BM，∵NE⊂平面PED，BM⊄平面PED，∴BM || 平面PDE．（2）如图，由二面角D-PE-C为直二面角，可知平面DPE⊥平面CPE，∵平面DPE∩平面CPE=PE，DP⊥PE，DP⊂平面DPE，∴DP⊥平面CPE，∵PC⊂平面CPE，∴DP⊥PC，∵DC=2，PD=1，∴ PC=√22−12=√3，∵PE=1，EC= √12+12=√2，∴PC2=PE2+EC2，∴PE⊥EC，∵DE= √12+12=√2，EC= √12+12=√2，DC=2，∴DC2=DE2+EC2，∴DE⊥EC，设点P到平面DEC的距离为h，由题可知，V P-DCE=V D-PCE，即13•S DEC•ℎ=13•S PEC•DP，即13×12×DE×EC×ℎ=13×12×EC×PE×DP，即13×12×√2×√2×ℎ=13×12×√2×1×1，解得ℎ=√22，∴直线PC与平面DEC所成的角的正弦值为ℎPC =√22√3= √66．【点评】：本题考查线面平行的证明和线面成角，属于中档题．22.（问答题，12分）设函数g（x）的定义域为D，若x0∈D，且g（x0）=kx0（k∈Z），则称实数x0为g（x）的“k级好点”．已知函数f（x）=ln（e x+a）．（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅）（1）当a∈R时，讨论f（x）的“2级好点”个数；（2）若实数m为f（x）的“-1级好点”，证明：e2m+e−2m+m22＞(a+1)m+1．【正确答案】：【解析】：（1）利用“k级好点”的概念，将问题转化为函数零点个数问题，然后根据零点的个数确定f（x）的“2级好点”个数即可；（2）根据条件，可知e2m+e−2m+m22＞(a+1)m+1等价于证明a2+2+m22＞(a+1)m+1成立，利用分析法和放缩法证明不等式即可．【解答】：解：（1）f（x）的“2级好点”个数等价于方程“f（x）=2x”的解的个数，即讨论方程ln（e x+a）=2x的解的个数．方程ln（e x+a）=2x等价于a=e2x-e x，令t=e x，等价于讨论方程a=t2-t在（0，+∞）上的解的个数．作出函数y=t2-t，t∈（0，+∞）的图象，}∪[0，+∞)时，有1个“2级好点”；根据图象，可知当a∈{−14时，没有“2级好点”；当a＜−14当a∈(−1，0)时，有2个“2级好点”；4（2）由条件有f（m）=-m，即ln（e m+a）=-m，a=e-m-e m，所以e2m+e-2m=a2+2；＞(a+1)m+1成立，等价于证明（a-m）2+a2-2m+2＞0；故等价于证明a2+2+m22因为a2-2m+2=e2m+e-2m-2m，又由不等式e x＞x，可得a2-2m+2＞0；又（a-m）2≥0，所以（a-m）2+a2-2m+2＞0成立，故原不等式成立．【点评】：本题以新概念为背景进行命题，重点考查函数零点、分析法证明不等式，属中档题．。
广东省深圳实验学校2020-2021学年第一学期高一期中考试数学试卷
2020~2021学年广东深圳实验学校高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1.方程组2219x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）. A.(4,5)B.(5,4)-C.{(5,4)}-D.{(4,5)}-2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A.1,x y y x== B.33,y x y x ==C.211,1y x x y x =-⨯+=-D.2||,()y x y x ==3.图中阴影部分所表示的集合是（ ）.A.[]C ()U A C B ⋂⋃B.()()A B B C ⋃⋃⋃C.()()C U A C B ⋃⋂D.[]C ()U B A C ⋂⋃4.已知0.60.70.20.8,0.8, 1.2a b c ===，则, , a b c 三者的大小关系是（）．A.b d c >>B.c a b >>C.a b c >>D.c b a >>5.已知函数(2)y f x =+定义域是[3,2]-，则(21)y f x =-的定义域是（）. A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[1,4]-C.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值若(),()x g x ϕ都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在(0,)+∞上有最大值6，则()f x 在(,0)-∞上有（）． A.最小值6-B.最大值6-C.最小值2-D.最大值2-7.函数2()(31)4f x x a x a =+++在[],1-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）．A.1a ≤-B.1a ≥-C.1a >-D.1a <-8.若不等式20ax bc c ++>的解集是1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则20cx bx a ++<的解集是（）．A.1 (,2),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭B.1,(2,)2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,2⎛⎫-⎪⎝⎭9.对于函数31()31xxf x-=+，下列描述正确的选项是（）．A.减函数且值域为(1,1)- B.增函数且值域为(1,1)-C. 减函数且值域为(,1)-∞ D.增函数且值域为(,1)-∞10.若集合{}2|(2)210A x k x kx=+++=有且仅有1个真子集，则实数k的值是（）．A.2-B.1-或2C.1-或2±D.1-或2-11.已知()f x函数是定义在()()3,00,3-⋃上的奇函数，当103x<<时，()f x 的图象如右图所示，则不等式()?0f x x->的解集是（）．A.(1,0)(1,3)-⋃ B.(3,1)(1,3)--⋃C.(1,0)(0,1)-⋃ D.(3,1)(0,1)--⋃12. 已知映射:f A B→，其中A B==R，对应法则221:2x xf x y+⎛⎫→= ⎪⎝⎭，若对实数m B∈，在集合A 中存在元素与之对应，则m的取值范围是（）．A.02m<≤ B.2m≥ C.3m> D.2m≤二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13.若函数2(2)2f x x x+=-，则()3f=．14.某班有学生45人，其中体育爱好者33人，音乐爱好者24人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为．15.函数31y x x=--得值域为．16.已知(3)1,1(),1xa x xf xa x-+<⎧=⎨≥⎩，满足对任意，都有成立，那么12x x≠，都有()()1212f x f xx x->-成立，那么a的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共计70分）17.解决下列问题：（1）求值：0.75202312018(2)816-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．（2）已知14x x-+=，求33x x -+的值．18.盐田港与深汕港相距约100km ，在两地连线之间距盐田港x km 处拟再建一核电机组专给两港供电，为保证港区安全，核电机组距两港距离均不得少于10km ，已知供电费用与供电距离的平方以及供电量之积成正比，比例系数0.25k =．若盐田港供电量为20亿度月，深汕港为10亿度/月． （1）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并写出其定义域． （2）核电机组建在距盐田港多远，才能使供电费用最小． 19.已知集合2{|514}A x y x x ==--，2{|416}B y y x ==-+-，{|121}C x m x m =+≤≤-.（1）求A B ⋂.（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围．20. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，1()21x f x +=+．（1）求()f x 的解析式．（2）在所给的坐标系内画出函数()f x 的图象，（不需列表），并直接找出方程()f x m =没有实根时，实数m 的取值范围．21.已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x ，对任意(),0,a b ∈+∞均有，且()()a f f a f b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x <．（1）求()1f 的值，（2）判断()f x 的单调性并予以证明．（3）若()31f =-，解不等式()212f x -≥-．22.已知函数2()(2),(1)2f x x a x b f =+++-=-，且对于,()2x f x x ∈≥R 恒成立．（1）求函数()f x 的解析式． （2）设函数()()4f x g x x=-． ①证明：函数()g x 在[]1,+∞上是增函数．②是否存在正实数,m n ，且m n <，当m x n ≤≤时函数()g x 的值域为113,3m n ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 若存在，求出,m n 的值，若不存在，则说明理由．。
2020-2021学年深圳红岭中学高一上学期期中数学模拟试卷及答案解析
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵函数 y＝x2+2x 的图象为开口方向朝上，以 x＝﹣1 为对称轴的抛物线
当 x＝﹣1 时，函数取最小时﹣1
若 y＝x2+2x＝3，则 x＝﹣3，或 x＝1
而函数 y＝x2+2x 在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，
则
或
则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为
21．已知 p：x2﹣7x+10＜0，q：（x﹣m）（x﹣3m）＜0，其中 m＞0．若 q 是 p 的必要不充分 条件，求实数 m 的取值范围．
22．已知函数 f（x）＝x2+（2a﹣1）x﹣3． （1）当 a＝2，x∈[﹣2，3]时，求函数 f（x）的值域． （2）若函数 f（x）在[﹣1，3]上单调递增，求实数 a 的取值范围．
2020-2021 学年深圳红岭中学高一上学期期中数学模拟试卷
一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1．已知集合 U＝{0，1，2，3，4}，集合 A＝{1，2}，B＝{2，3}，则 A∪（∁UB）＝（ ）
A．{1}
B．{0，2，4}
C．{1，2，3}
D．{0，1，2，4}
2．若命题“∃x0∈R，x （a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数 a 的取值范围是
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A．9
B．8
C．6
【解答】解：f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
D．4
∴
0，
∴b ，
∵f（x）＜c 的解集为（m，m+4）， ∴f（x）﹣c＝0 的根为 m，m+4，
芝华中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段考 数学试题(含答案)
芝华中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若集合A ={x |-1≤x ≤2,x ∈N},集合B ={2,3},则A ∪B 等于 ( )A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}2.若命题p :∃x ∈R,x 2+2x +1≤0,则命题p 的否定为 ( )A .∃x ∈R,x 2+2x +1>0B .∃x ∈R,x 2+2x +1<0 C .∀x ∈R,x 2+2x +1≤0 D .∀x ∈R,x 2+2x +1>03．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 4.若p :0232<+-x x q :2x >1,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．若集合A ＝{x |(1-2x)(x －3)>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}6.若集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A.{-1}B.{0}C.{-1,0} D .{-1,0,1}7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处8.在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A ．{a |3<a <4}B ．{a |－2<a <－1或3<a <4}C ．{a |3<a ≤4}D ．{a |－2≤a <－1或3<a ≤4}二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若集合A ={x |x 2-2x =0},则有 ( )A.⌀⊆AB.-2∈AC.{0,2}⊆AD.A ⊆{y |y <3}10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( )A ．ab 有最大值14 B.a ＋b 有最小值 2 C.1a ＋1b 有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值2211．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )A ．0B ．1 或2 C.3D ．412.若不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )A ．b ＜0且c ＞0B ．a －b ＋c ＞0C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |－2＜x ＜1}三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是14．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ⋂B ∅≠则a ＝ .15.已知p :4x -m <0,q :-2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的取值范围为16.某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．四、解答题：共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)已知A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求A B ，∁R (A ∩B )，18.（12分）解下列不等式： （1）32-2-<+x x ； （2）0122≤+-x x19.（12分）已知关于x 的不等式a x 2+b x ＋4>0．若不等式的解集是{x|-4<x<1}求a,b 的值；20.(12分)已知命题p :3a <m <4a (a >0),命题q :1<m <23,且q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.21.(12分)已知集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0,a ∈R}. (1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来;22某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于()A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}解析:由题意知,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},又因为集合B={2,3},所以A ∪B={0,1,2,3}.答案:B2.若命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则命题p的否定为()A.∃x∈R,x2+2x+1>0B.∃x∈R,x2+2x+1<0C.∀x∈R,x2+2x+1≤0D.∀x∈R,x2+2x+1>0解析:由命题p“∃x∈R,x2+2x+1≤0”得命题p的否定为:∀x∈R,x2+2x+1>0.答案:D3．下列不等式中正确的是( D )A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥2 3解析：a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．4.若p :0232<+-x x q :2x >1,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:由题意,得p :1<x <2,q :x >,所以p ⇒q ,q ⇒/p ,所以p 是q 的充分不必要条件. 答案:A5．若集合A ＝{x |(1-2x)(x －3)>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [∵(2x-1)(x －3)<0，∴12<x <3， 又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]6.若集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A.{-1}B.{0}C.{-1,0} D .{-1,0,1}解析:阴影部分可表示为A ∩(∁R B ),因为∁R B ={x |x <1}, 所以A ∩(∁R B )={-1,0}. 答案:C7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x (k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．8.在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( D )A ．{a |3<a <4}B ．{a |－2<a <－1或3<a <4}C ．{a |3<a ≤4}D ．{a |－2≤a <－1或3<a ≤4}解析：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1.故a ∈{a |－2≤a <－1或3<a ≤4}．二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若集合A ={x |x 2-2x =0},则有 ( ) A.⌀⊆AB.-2∈AC.{0,2}⊆AD.A ⊆{y |y <3}答案:ACD10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14 B.a ＋b 有最小值 2 C.1a ＋1b 有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22AC [∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab≤1 4，∴ab有最大值14，∴选项A正确；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋(a＋b)2＝2，∴0＜a＋b≤ 2. ∴B错误；1 a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，∴1a＋1b有最小值4，∴C正确；a2＋b2≥2ab,2ab≤12，∴a2＋b2的最小值不是22，∴D错误．故选AC.]11．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为( )A．0 B．1 或2 C.3 D．4ABD[x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1,4}．当a＝0时，A＝{0,2}，B＝{1,4}，A∪B＝{0,1,2,4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1,2}，B ＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2,4}，B＝{1,4}，A∪B ＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0,1,2,4}．]12.若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )A．b＜0且c＞0B．a－b＋c＞0C．a＋b＋c＞0D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}ABD[对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝b a，－1×2＝ca，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，＝a－b＋c＞0，所以B正确；对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D ，因为对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，设其两根为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1x 2＝ca ＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |－2＜x ＜1}，所以D 正确．]三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是 [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 （a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1时，即a ＝2时取等号．故选314．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ⋂B ∅≠则a ＝ . 解析：由题意可知⎩⎨⎧a 2＝a ≠1，a ≠－1，解得a ＝0.15.已知p :4x -m <0,q :-2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的取值范围为解析:因为p :4x -m <0,即p :x <,且q :-2≤x ≤2,p 是q 的一个必要不充分条件,所以{x |-2≤x ≤2}⫋,故>2,即m >8.答案:m >816.某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.答案：{t |3≤t ≤5}四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)已知A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求A B ，∁R (A ∩B )，18.（12分）解下列不等式：（1）32-2-<+x x ；（2）0122≤+-x x19.已知关于x 的不等式a x 2+b x ＋4>0．若不等式的解集是{x|-4<x<1}求a,b 的值； 解法一：把x=-4，x=1带入一元二次方程a x 2+b x ＋4=0得044b -16a 04b a {=+=++，解得a= -1,b= -3.解法二：根与系数的关系a b-14-a 414-{=+=⨯解得a= -1,b= -320.(12分)已知命题p :3a <m <4a (a >0),命题q :1<m <23,且q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解:因为q 是p 的必要不充分条件,所以p ⇒q ,q ⇒/p ,从而有或解得≤a ≤.所以实数a 的取值范围是≤a ≤.21.(12分)已知集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0,a ∈R}.(1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来;解:(1)若A 是空集,则方程ax 2-3x +2=0无解,当a=0时不符合题意，当a 0时Δ=9-8a <0,即a >89. (2)若A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0有且只有一个实根,当a =0时方程为一元一次方程,满足条件.当a ≠0,此时Δ=9-8a =0,解得:a =.89 所以a =0或a =. 若a =0,则有A =, 若a =,则有A =.22某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件商品的定价为m 元；依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－m －251×0.2m ≥25×8，整理，得m 2－65m ＋1 000≤0，解得25≤m ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元．(2)设明年的销售量为a 万件．依题意，当x ＞25时，ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，即当x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15，因为150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，所以a ≥10.2. 所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元．。
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试英语试卷 含答案
深圳高级中学（集团）2020－2021学年第一学期期中测试高二英语本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第7页，第Ⅱ卷第7至第9页。
全卷满分150分：第Ⅰ卷95分；第Ⅱ卷55分。
考试时间120分钟。
第I卷选择题部分一、单项选择（共20小题；每小题1.5分，满分30分）请从各题所给的A、B、C、D四个选项中，选出一个最佳选项。
st month,part of southeast Asia was struck by floods,from_____effects people are still suffering.A.thatB.whoseC.thoseD.which2.University authorities should consider the students’request_____the university canteen provide more choicesof food for students to make.A.thatB.whenC.whichD.where3.She usually took a walk along the riverside_____her mother did before she went abroad.A.just likeB.just asC.the way likeD.which4.He was very angry and I can still remember the way_____he spoke to me.A.howB.thatC.whatD.which5.The old building,behind_____was a famous church,was_____we used to work.A.that;the placeB.it;the placeC.which;whereD.what;where6.I’d prefer_____if I didn’t have to get up early on Sunday.A.thatB.suchC.itD.which7.—Do you know_____Mr.Black’s address is?—He may live at No.18or No.19of Bridge Street.I’m not sure of_____.A.what;whichB.where;whichC.where;whatD.what;where8._____medicine works in a human body is a question_____not everyone can understand fully.A.How;thatB.That;whichC.What;whichD.What;that9.It was in the house_____he used to live_____the meeting was held.A.that;whereB.where;thatC.that;thatD.where;where10.You may arrive in Beijing early_____you mind taking the night train.A.thatB.thoughC.unlessD.if11.Among those presents_____an iPad that his father gave him for his birthday.A.have includedB.is includedC.has includedD.are included12._____a nice man_____that we all believed him.A.So;did he seemB.So;he seemedC.Such;he seemedD.Such;did he seemst term our maths teacher set so difficult a problem in the exam______none of us could work out.A.asB.thatC.forD.and14.Was it in1969_____the American astronaut succeeded_____landing on the moon?A.when;onB.that;onC.when;inD.that;in15.When I got back home,I saw a message pinned to the door_____“Sorry to miss you;will call later.”A.readB.readsC.to readD.reading16.The fish_____bad,the children left much of it untouched.A.tastedB.tastingC.tastesD.was tasted17._____in thought,he almost knocked into the big tree in front of him.A.LosingB.Having lostC.LostD.To lose18.A Cambodian boy has become famous on the Internet.When_____about how he picked up so many languages,he said he learned them from other tourists.A.askedB.askingC.being askedD.having asked19.He was disappointed to find his suggestions_____.A.being turned downB.to turn downC.to be turned downD.turned down20.—Where should I send my application?—The personnel office is the place_____.A.to send itB.sent it toC.to send it toD.for sending it二、阅读理解（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2.5分,满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。