圆内接正多边形和圆
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。
本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并会运用这些性质解决一些简单问题。
教材通过引入正多边形和圆的关系，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形的性质，对正多边形的对称性、边角关系等有了一定的了解。
但学生对圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。
2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。
3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质。
2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和合作学习法。
通过提出问题，引导学生观察、思考和讨论，从而得出结论。
同时，通过案例分析和合作学习，让学生在实践中掌握圆内接正多边形的性质。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的圆内接正多边形图片，如足球、奖杯等，引导学生关注这些现象，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们与圆有什么关系？”2.呈现（10分钟）呈现圆内接正多边形的定义，并通过动画展示圆内接正多边形的形成过程。
同时，引导学生观察和总结圆内接正多边形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接正多边形，观察并记录其性质。
然后，各组汇报讨论结果，师生共同总结圆内接正多边形的性质。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接正多边形的性质解决问题。
教师及时给予解答和指导，确保学生掌握所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如设计一个圆内接正多边形的图案，让学生思考如何应用圆内接正多边形的性质解决问题。
九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形 正多边形和圆有什么关系素材
学必求其心得，业必贵于专精
正多边形和圆有什么关系？
答案：
解：把圆分成n（n≥3）等份（1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的圆内接正n边形；(2）经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点炎顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；（3）每个正n边形都有一个内切圆和一个外接圆，它们是同心圆.
【举一反三】
典题:如图24.3-1,⊙O的内接等腰△ABC，AB=AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BE=BC，
求证：五边形AEBCD是正五边形.
思路导引：由等腰三角形的性质，得两底角相等。
又BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，从而说明圆周角相等，相等的圆周角所对和弧相等，从而说明A、B、C、D、E是圆的五等分点，所以五边形AEBCE是正五边形。
标准答案：证明:∵AB=AC，
∴五边形AEBCD是正五边形。
圆内接正多边形
把 一 个圆 n 等 分 （ n ≥ 3 ） ， 依 次 连 （3）依次连接这六个点，就得到了这个圆的内接正六边形。
小结、（1）图中正六边形ABCDEF的中心角
接各分点，我们就可以作出一个圆内 把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形。
借助尺规作出圆内接正四边形
为了减少累积误差，通常像右图那样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E
径 ； ∠ A O B 是 这 个 正 五 边 形 的 中 心 角 ； 定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
如图3－35，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；
OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边 ∴ △COD为等边三角形
OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距。 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．
圆内接正多边形课 件
1.了解圆内接多边形的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心 角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多 边形．
圆内接正多边形 用尺规作一个已知圆的内接正六边形
了解圆内接多边形的有关概念.
什么定数量义关：系？顶为什点么都？ 在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。这个圆叫做该 在了R解t△圆正C内O多接G多中边边，形O形C的=的有4，关C外概G=念接2. 圆。
解：连接 OC、OD ∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ∠COD= 360 =60° 6
∴ △COD为等边三角形 ∴ CD=OC=4 在Rt△COG中，OC=4，CG=2 ∴ OG= 2 3 ∴正六边形ABCDE的中心角为60， 边长为4，边心距为 2 3 。
《圆内接正多边形》圆
圆内接正多边形的面积与周长的关系
面积与周长的关系
分析圆内接正多边形的面 积与周长的关系，如面积 与周长的比值、面积与周 长的变化规律等。
面积与半径的关系
分析圆内接正多边形的面 积与半径的关系，如面积 与半径的函数关系、面积 与半径的变化规律等。
周长与半径的关系
分析圆内接正多边形的周 长与半径的关系，如周长 与半径的函数关系、周长 与半径的变化规律等。
对称性在构造复杂图形中的应用
02
在构造复杂图形时，可以利用圆内接正多边形的对称性，快速
确定图形的形状和位置。
对称性在解决几何问题中的应用
03
在解决几何问题时，可以利用圆内接正多边形的对称性，寻找
解题思路和简化计算过程。
05
圆内接正多边形的作图方法
利用尺规作图法作圆内接正多边形
定义
尺规作图法是指使用直尺和圆规等基本作图工具进行作图 的方法。
所有顶点都在给定圆上。
外接圆的半径R与边心距r的关系为R = r + d/2 。
圆内接正多边形的分类
01
02
03
等边圆内接多边形
每个内角都相等的圆内接 正多边形。
等腰圆内接多边形
每条边的长度都相等的圆 内接正多边形。
正方形
特殊的等边等腰圆内接正 四边形，具有特殊的性质 和用途。
02
圆内接正多边形的面积与周长
步骤
首先使用直尺确定圆心和半径，然后使用圆规在圆上截取 等长的弧线，依次连接各弧线的端点即可得到圆内接正多 边形。
特点
尺规作图法是一种基本的作图方法，具有简单、直观的特 点，但只能作出有限的几种圆内接正多边形，如正三角形 、正方形、正六边形等。
利用几何变换法过平移、旋转、对称等几何变换手段进行作图的方法
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
圆内接正多边形
圆内接正多边形学习目标:1理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。
1学习过程：1、复习回顾正n边形的有关计算公式：每个内角二 __________ ，每个外角= _____________2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页，回答下列问题(1) __________ 都在同一个圆上的正多边形叫做____________ ，这个圆叫做该正多边形的(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的______ ，正n边形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的如上图，五边形ABCDE是。
0的_______________ ,。
0是五边形ABCDE的 ______ 圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径， _________ 是正五边形ABCDE的中心角，中心角是____ 度，OM丄BC,垂足为M , ________ 是正五边形ABCDE的边心距。
(3)利用尺规作一个已知圆的内接正多边形以圆内接正六边形为例：由于正六边形的中心角为______ ，因此它的边长和外接圆的半径R ______ ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。
作法如下：(1)0 O的任意一条直径AD如图(1)(2)分别以A、D为圆心，以。
0的半径R为半径作弧，与。
0相交于B F 和C, E则A, B, C, D, E, F是。
0的六等分点。
(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA便得到正六边形ABCDE,F ffl (2)I勺⑵如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径0C=4, 0G丄BC,垂足为G,求正六边形的中心角、边长和边心距当堂训练:1、正六边形的边心距为2,则该正六边形的边长是_____________2、中心角为30度的圆内接正n边形的n为____________ 。
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 北师大下册数学课件
Image
12/10/2021
第四十五页，共四十五页。
第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
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【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
第四十四页，共四十五页。
内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
第四页，共四十五页。
这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
《圆内接正多边形》圆PPT教学课件
【检查评价】
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
布置作业： 1、教科书习题3.10第1题，第2题，第3题．（必做题） 2、教科书习题3.10第4题，第5题．（选做题）
谢谢观看！
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系； 2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；(重点) 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （难点） 4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
知识讲解
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正 多边形的中心.
追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗？
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【讲授新知】
追问2：你会用用圆规和直尺来作一个已知圆的内接正方形吗？你是怎么做的？ 与同伴交流．
【| 下册
学生练习1：课本98页随堂练习． 学生练习2：用等分圆周的方法画出下列图案．
__各__边__相__等___，___各__角__也__相__等__的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边
形.
合作探究
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
H
A
D
E
0
B
C
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正多边形和圆
教学目标：
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．
教学重点：
正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．
教学难点：
对定理的理解以及定理的证明方法．
教学活动设计：
（一）观察、分析、归纳：
观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并可以提问学生问题．
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
（四）多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
（五）初步应用
P157练习
1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?
2．求证：正五边形的对角线相等．
（六）小结：
知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力（七）作业教材P172习题A组2、3．
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