椭圆型方程的有限差分法

第4章 椭圆型方程的有限差分法§2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。

d du du Lu=-(p)+r +qu=f,a<x<b,dx dx dx u(a)=α,u(b)=β.⎧⎪⎨⎪⎩ 解：考虑在[a,b]内任一小区间(1)(2)[,]x x，将上式在此区间上积分得(2)(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)-(())x x x x x x x x d du dup x dx r dx qudx f dx dx dx dx++=⎰⎰⎰⎰ 或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)()()x x x x x x du W x W x r dx qudx f dx dx-++=⎰⎰⎰（1.1） 其中，()()duW x p x dx=（1.2）特别地，取(1)(2)[,]x x为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+，则1/21/21/21/21/21/21/21/2()()i i i i i i x x x i i x x x duW x W x rdx qudx f dx dx+++----+-++=⎰⎰⎰。

将（1.2）改写成()()du W x dx p x =，再沿1/21/2[,]i i x x -+积分，得11()()i i x i i x W x u u dx p x ---=⎰，利用中矩形公式，得1111/21,[]()ii x i i i ii x i iu u dx W a a h h p x -----≈=⎰（1.3）又1/21/21/21/2112,()2i i i i x x i i i i i x x i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈=+⎰⎰ （1.4）1/21/21/21/21112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du rdx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰⎰ （1.5）1/21/212()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=+⎰（1.6）将（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式1111111111()()222i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u u u u u a a h h d u b h h h h ϕ+-+-++++⎡⎤-----+++=+⎢⎥⎣⎦。

如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得1/21/2(),(),(),().i i i i ii i i i i a p p x di q q x bi r r x f f x ϕ--==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪==⎩▌2、导出10111000101()()022u u h ha d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。

解：1011011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰， 1200012()x x d qdx q q a h ===⎰，1200012()x x fdx f f a h ϕ===⎰ 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---，10110000101231110110001012111100010()()()22()()()()2()()()22()[()()]()()()222h u u h hL u a p q u f h h u a h u a u a O h u h h p a q u f h h h h p a u a u a O h q u f αααααα-=-+-+-+'''+++-=-+-+-+'''=-+++-+-+2111000000()()()()()()222h h h hR u L u x Lu x p a u a q u f O h ''=-=-+++则逼近阶为2()O h 。

▌§3 矩形网的差分格式1、 用积分插值法构造逼近方程 ()[()()]k u k k f x x y y∂∂∂∂-∇∇=-+=∂∂∂∂ （*）的第一边值问题的五点差分格式，这里min (,)0k k x y k =≥>解：考虑xy 平面上一有界区域G ，其边界Γ为分段光滑曲线，且满足第一边值条件：(,)|(,),(,)u x y x y x y G αΓ=∈∂取定沿x 轴和y 轴方向上的步长12h h 和，并作对偶剖分。

记1/211()2i x i h -=- ，1/221()2j y j h -=-,作两族与坐标轴平行的直线1/21/2,,0,1,...i i x x i j --==±和y=y ，其交点属于G 内部者为对偶剖分的内点，直线与边界Γ的交点为对偶剖分的界点。

对于任一正则内点(,)i j x y ，考虑对偶剖分的网点：1/21/2(,)i j A x y --，1/21/2(,)i j B x y +-，1/21/2(,)i j C x y ++，1/21/2(,)i j D x y -+，用ABCDA 表示以A,B,C,D 为顶点的矩形，其内部区域记为ij G ，于ij G 上对（*）积分。

1/21/21/21/21/21/2(,)(,)(,)(,)(,)i i y i i i i ABCDA y u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y dy x x x x +-++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰利用中矩形公式有1/21/21/21/22(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h x x x x ++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰ 类似地有1/21/21/21/21(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h y y y y ++--⎛⎫⎡⎤∂∂∂∂≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰ 此外有12(,)(,)iji j G f x y dxdy f x y h h ≈⎰⎰将上面的积分近似式中出现的偏导数用差商代替，代入（*）式，并同时除以12h h ，就得到（*）式的差分方程：1/2,1,1/2,,1,,1/2,1,1/2,,1221211[()()][()()]i j i j ij i j i j i j i j i j ij i j i j i j ij k u u k u u k u u k u u f h h ++--++----------=▌2、 用差分法求解边值问题222221,1,1,5,100,1u k u x y k u x y ⎧-∆+=-+<⎪=⎨=+=⎪⎩。

解：令cos ,sin x r y r θθ==，则整个xy 平面变成r θ平面上的半带形域{01,02}r θπ≤≤≤≤，从而(,)u x y 满足的上述边值问题转化为极坐标形式下(,)u r θ满足的边值问题就可转化为22,22111(,)1,(,)(0,1)(0,2)|0r r u u u r k u r r G r r r r u θθθπθ=⎧⎡⎤∂∂∂⎛⎫-∆=-++=-∈=⨯⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎨⎣⎦⎪=⎩首先关于区域G 分别取等步长1/,2/r h N h M θπ==进行网格划分，令1,0,1,2,,1,0,1,,1i r j r ih i N jh j M θθ=+=-==-这样就在半带形区域上形成了网格节点(,)j j r θ，再对变量r 的取值范围(0,1)作对偶剖分1211(),0,1,2,,12r i ri h i N +=++=-。

作中心差分得：11221111222211221,1,11(,)(,)221,(,)(,)(,),()111()j j i i i j j j i i r j ij r j iji i rrr ri j ij i i i i r r r r i iu u u u u u r rr rr h r h r u r r u r u u r r r r r r h r r r r θθθθθ-++--+-++++----∂∂⎡⎤⎡⎤≈≈⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎧⎫-++∂∂∂∂⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤≈-≈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭1,22,1,12222(,)211iji jr i j ij i j ir u h u u u u r r h θθθ-+--+⎡⎤∂≈⎢⎥∂⎣⎦ 代入到原边值问题中，则得到差分方程：111122221,1,,1,122220()2111,(1,2,,1;1,2,,1),(0,1,2,,)0,(0,1,2,,)i j ij i j i i i i i j ij i j ij i r i i iM Nj r u r r u r u u u u k u r h r h i N j M u u i N u j M θ+-++--+--++⎡⎤-+-++=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=-====。