一阶偏微分方程教程
第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解
，
由此
，
从而，
。
【End】
可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。
例2（扩散方程）假设水流静止，在 时间内，流经 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为 ：
，
所以，在时间段 内，通过 的污染物为
，
或写为
。
【end】
例2求解方程 。
解特征线方程 ，其解为 。所以，
，
或
。
【end】
例3（流方程的解）考虑一端具有稳定的流速的无限长管道的流，
解特征线方程 ，过 的特征线 。所以，
。
当 时，
；
当 时，
。
所以，方程的解为
。
【end】
第一章习题
1.对平面扩散方程 ，若 的值仅依赖于 和 ，证明：
。
而对空间扩散方程，若 的值仅依赖于 和 ，证明：
问题：建立 满足的方程。
解选定弦的一段 ，（此处 ），考虑其在时间段 内的运动情况。点 处的张力记为 。
沿水平方向合力为
；
沿垂直方向合力为
。
显然，水平方向合力为零（假设2：弦只在垂直方向有运动），即
。
垂直方向合力为
。
由牛顿第二运动定理，
，
因此
。
记 ，则得到标准的波动方程，
。
注：如果弦上有外力 作用，则
3） （弦的一端固定在弹性支承上）（Robin条件）
在高维空间，相应的边界条件为
1）Dirichlet条件： （ 是边界）
2）Neumann条件：
3）Robin条件：
第七章 一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
一阶偏微分方程的特征方程
一阶偏微分方程的特征方程（原创版）目录一、什么是特征方程二、特征方程与偏微分方程的关系三、如何使用特征方程求解偏微分方程四、特征方程在实际问题中的应用五、结论正文一、什么是特征方程特征方程是一种数学方程，它用于描述线性微分方程的特征根和特征向量。
在偏微分方程中，特征方程通常用于求解方程的通解。
对于一阶偏微分方程，特征方程的形式通常为：a(x, y) * u_x + b(x, y) * u_y + c(x, y) * u = 0其中，a(x, y)、b(x, y) 和 c(x, y) 是方程的系数，u_x 和 u_y 分别是 u 关于 x 和 y 的偏导数，u 是未知函数。
二、特征方程与偏微分方程的关系特征方程与偏微分方程的关系密切。
在求解偏微分方程时，我们首先需要找到特征方程的根，然后根据这些根构建特征向量，最后利用特征向量求解偏微分方程的通解。
具体来说，对于一阶偏微分方程，我们可以通过以下步骤求解：1.求特征方程的根：通过分离变量法或常数变易法等方法，将偏微分方程化为特征方程，并求解该方程的根。
2.构建特征向量：对于每个特征根，我们构造一个特征向量，使得该向量在偏微分方程的作用下发生变换。
3.求解通解：利用特征向量和特征根，我们可以求解偏微分方程的通解。
通常，通解的形式为：u(x, y) = C_1 * e^(r_1 * x) * (y - y_0)^(r_2) + C_2 * e^(r_3 * x) * (y - y_0)^(r_4)其中，C_1 和 C_2 是待定系数，r_1、r_2、r_3 和 r_4 是特征根，y_0 是特征向量的纵坐标。
三、如何使用特征方程求解偏微分方程在实际求解过程中，我们通常采用以下步骤：1.确定偏微分方程的类型：根据方程的系数和变量，判断方程是一阶还是高阶偏微分方程，是线性还是非线性偏微分方程。
2.求解特征方程：将偏微分方程化为特征方程，并求解该方程的根。
3.构建特征向量：对于每个特征根，我们构造一个特征向量，使得该向量在偏微分方程的作用下发生变换。
第七章一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
(2) µ0dx + µ1dy1 + · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。
【例1】 求方程组
的通积分。 【例2】 解方程组
dx xz
=
dy yz
=
dz xy
dx x
=
dy y
=
z
+
dz x2 + y2 + z2
7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
7.2.1 首次积分
定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组
dy1 dx
dy2 dx
= f1(x, y1, y2, · · · , yn), = f2(x, y1, y2, · · · , yn),
x2,
·
·
·
,
xn)
∂u ∂xi
=
0
(7.3)
则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程
n j=1
bj
(x1,பைடு நூலகம்
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
5
7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。
二元一阶偏微分方程求解
二元一阶偏微分方程求解摘要：一、引言1.介绍二元一阶偏微分方程的概念2.求解二元一阶偏微分方程的重要性二、二元一阶偏微分方程的基本概念1.定义及符号说明2.分类及特点三、二元一阶偏微分方程的求解方法1.分离变量法2.矩方法3.有限元法4.其他求解方法四、各类求解方法的优缺点及适用范围1.分离变量法的优缺点及适用范围2.矩方法的优缺点及适用范围3.有限元法的优缺点及适用范围4.其他求解方法的优缺点及适用范围五、二元一阶偏微分方程求解的应用1.物理领域应用2.工程领域应用3.生物学领域应用4.其他领域应用六、总结1.回顾二元一阶偏微分方程求解的重要性和方法2.展望二元一阶偏微分方程求解的未来研究方向正文：一、引言二元一阶偏微分方程是数学领域中一类重要的偏微分方程，广泛应用于物理、工程、生物学等领域。
求解二元一阶偏微分方程有助于我们更好地理解这些领域的现象和规律。
本文将介绍二元一阶偏微分方程的基本概念以及求解方法，并分析各类方法的优缺点及适用范围。
二、二元一阶偏微分方程的基本概念二元一阶偏微分方程是一个包含两个自变量的一阶偏微分方程，通常表示为：u/x + v/y = f(x, y)其中，u(x, y) 和v(x, y) 是待求解的函数，x 和y 是二元变量，f(x, y) 是已知函数。
根据f(x, y) 的不同形式，二元一阶偏微分方程可以分为多种类型，各类方程具有不同的特点。
三、二元一阶偏微分方程的求解方法1.分离变量法分离变量法是将二元一阶偏微分方程分解为两个独立的一阶偏微分方程，分别求解。
该方法适用于特定类型的二元一阶偏微分方程，如线性、椭圆型和具有特定对称性的方程。
2.矩方法矩方法是利用矩的性质将二元一阶偏微分方程转化为关于矩的一阶偏微分方程，进而求解。
该方法适用于各种类型的二元一阶偏微分方程，但计算量较大。
3.有限元法有限元法是将二元一阶偏微分方程的求解区域划分为有限个单元，用插值函数近似表示待求解函数。
matlab求解最简单的一阶偏微分方程
matlab求解最简单的一阶偏微分方程一、引言在科学和工程领域，偏微分方程是非常重要的数学工具，用于描述各种现象和过程。
而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，可以用来求解各种复杂的偏微分方程。
本文将以MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程为主题，探讨其基本原理、数值求解方法以及具体实现过程。
二、一阶偏微分方程的基本原理一阶偏微分方程是指只含有一个未知函数的偏导数的微分方程。
最简单的一阶偏微分方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) \]其中，\(u(x, t)\) 是未知函数，\(F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x})\) 是给定的函数。
一阶偏微分方程可以描述很多实际问题，比如热传导、扩散等。
在MATLAB中，我们可以使用数值方法求解这类方程。
三、数值求解方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。
其基本思想是用离散的方式来逼近偏导数，然后将偏微分方程转化为代数方程组。
在MATLAB中，我们可以使用内置的求解器来求解离散化后的代数方程组。
2. 特征线法特征线法是另一种常用的数值求解方法，它利用特征线方程的特点来求解偏微分方程。
这种方法在求解一维情况下的偏微分方程时特别有效，可以提高求解的效率和精度。
四、MATLAB求解过程在MATLAB中，我们可以使用`pdepe`函数来求解一阶偏微分方程。
该函数可以针对特定的方程和边界条件，利用有限差分法进行离散化求解。
下面给出一个具体的例子来说明如何使用MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程。
假设我们要求解如下的一维热传导方程：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]其中，\(\alpha\) 是热传导系数。
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
一阶偏微分方程的特征方程
一阶偏微分方程的特征方程摘要：一、引言二、一阶偏微分方程的特征方程的概念和求解方法1.特征方程的定义2.求解特征方程的步骤三、特征方程在偏微分方程求解中的应用1.特征方程与通解的关系2.特征方程在求解偏微分方程中的优势四、结论正文：一、引言偏微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、生物等多个领域中都有着广泛的应用。
在求解偏微分方程时，特征方程是一个非常重要的工具。
本文将从一阶偏微分方程的特征方程出发，详细介绍特征方程的概念、求解方法以及在偏微分方程求解中的应用。
二、一阶偏微分方程的特征方程的概念和求解方法1.特征方程的定义特征方程是指在求解偏微分方程时，通过变量代换，将偏微分方程化为一个关于特征变量的代数方程。
这个代数方程称为特征方程。
特征方程的解称为特征根，特征根的个数决定了偏微分方程的解的个数。
2.求解特征方程的步骤求解特征方程的一般步骤如下：（1）根据偏微分方程的原始形式，确定特征方程的形式。
（2）进行变量代换，将偏微分方程中的变量替换为特征变量。
（3）将替换后的偏微分方程化为关于特征变量的代数方程。
（4）解出特征方程，得到特征根。
（5）根据特征根的个数和性质，确定偏微分方程的解的个数和性质。
三、特征方程在偏微分方程求解中的应用1.特征方程与通解的关系在求解偏微分方程时，特征方程和通解有着密切的关系。
通解是指偏微分方程在一定条件下的解，而特征方程则是求解通解的一种方法。
对于一阶偏微分方程，特征方程的解即为通解。
2.特征方程在求解偏微分方程中的优势特征方程在求解偏微分方程中具有以下优势：（1）特征方程可以将复杂的偏微分方程化为简单的代数方程，降低了求解的难度。
（2）通过特征方程，可以直接得到偏微分方程的解的个数和性质，为后续求解提供了重要信息。
（3）特征方程适用于各种类型的偏微分方程，具有较强的通用性。
四、结论一阶偏微分方程的特征方程是一种求解偏微分方程的有效方法，通过特征方程，可以简化偏微分方程的求解过程，提高求解效率。
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一阶偏微分方程教程
一、基本概念
偏微分方程是指含有多个变量的、涉及未知函数及其偏导数的方程。
一阶偏微分方程是指未知函数的最高阶导数出现在一阶的偏微分方程。
通常用变量x、y表示自变量，用u表示未知函数。
一般形式的一阶偏微分方程为：
F(x,y,u,u_x,u_y)=0
其中，u_x和u_y分别表示u对x和y的偏导数。
二、解法
解一阶偏微分方程的方法主要有特征线法、分离变量法和变换法。
1.特征线法：对于形如P(x,y)u_x+Q(x,y)u_y=R(x,y)的一阶偏微分方程，通过假设u=M(x,y)使得PdM=QdN，解得一条特征线，然后再由特征线的参数表示来求解原偏微分方程。
2.分离变量法：对于形如F(x,y,u)u_x+G(x,y,u)u_y=H(x,y,u)的一阶偏微分方程，可以将原方程化简为两个单变量的常微分方程，再分别求解。
3.变换法：通过引入新的变量或者函数进行变量替换，将原方程转化为另一种形式，使得新形式的方程具有更易求解的性质。
三、应用
1.热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律。
它是一个偏微分方程，通过求解热传导方程，可以分析物体的温度变化，从而设计合适的散热装置。
2.波动方程：波动方程描述了机械波在介质中的传播规律。
通过求解波动方程，可以研究地震波、声波等的传播特性，为地震预测和声学设计提供理论基础。
3.稳定性分析：稳定性分析是工程和经济学中一个重要的问题，通过求解偏微分方程，可以研究系统的稳定性，并优化系统的运行。
总结：
一阶偏微分方程是数学中重要的研究对象，本教程介绍了一阶偏微分方程的基本概念、解法和应用。
掌握解一阶偏微分方程的方法，对于研究自然界的现象和优化工程设计具有重要意义。
最后，希望读者通过学习本教程可以深入了解一阶偏微分方程，并能够独立解决相关问题。