[学习]椭圆型方程的有限差分法
有限差分法的步骤
有限差分法的步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊有限差分法的那些事儿。
有限差分法啊，就像是搭积木一样，一步步地构建出我们想要的结果。
首先呢，要确定问题的定义域，这就好比是给搭积木找个合适的场地。
你得清楚知道在哪个范围里玩这个游戏。
然后就是划分网格啦，这就像是把场地划分成一格一格的，让每个部分都有自己的位置。
网格分得越细，就好像积木的格子越小，能呈现的细节就越多，但也别太细啦，不然可就复杂得让人头疼咯。
接下来，要对微分方程进行离散化。
啥叫离散化呢？就好比把连续的东西切成一段一段的，这样就好处理啦。
把那些复杂的微分方程转化成一个个可以计算的小式子，这可不简单呐！再之后呢，就是建立差分格式啦。
这就像是给每个小格子都定好规则，让它们知道该怎么表现。
不同的差分格式就像是不同的玩法，各有各的特点。
建立好差分格式后，就得开始计算啦！把各种数值代进去，就像摆弄那些积木一样，看看能得出啥结果。
这计算的过程可不能马虎，一个小错误可能就会让整个结果都不对啦。
计算出结果后，还得检查检查呢，看看合不合理，就像检查搭好的积木稳不稳一样。
要是有问题，还得重新调整，重新再来一遍。
你说这有限差分法是不是挺有意思的？虽然过程有点复杂，但只要一步一步慢慢来，总能搞明白的呀。
它就像是一个神秘的魔法，能把那些看似无解的问题给解开。
咱想想啊，要是没有有限差分法，那好多科学问题可咋解决呀？那些复杂的物理现象、工程问题，不都得靠它来帮忙嘛。
所以说呀，学会有限差分法，那可真是太有用啦！咱可得好好研究研究，把这个厉害的工具掌握好，让它为我们服务呀！这有限差分法的步骤，咱可不能小瞧咯，每个步骤都得认真对待，这样才能得出准确的结果呀，你们说是不是呢？。
椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
第五章 椭圆型方程的差分方法
数学模型解的存在性解的唯一性解的稳定性解的一些性质解的表达式}适定性数值解存储量计算时间区域方程定解条件回顾：问题的离散第5章椭圆型方程的差分方法§1-3Poisson方程一.区域矩形圆环离散(差分法):网格剖分矩形区域i i i i二.差分格式224412(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)2. 九点差分格式x x2222222h2222121222221212三. 边界条件的处理(矩形区域)xy0(,)i x y I 10(,)x y +J+1(,)i x y )j y(注:四. 差分格式的性质:111 .i i i i i i +-解的存在唯一性与边界条件无关0000002(11002. (,)x y i i i ii ih ji i j h u u x y +→→+−−−→差分方程解的收敛性2||||||2h h hji h h jjji i h i D D D u D D a u u u a D x ∂⋃∂≤+∆插入引理：设是定义在上的函数，那么有max max max 其中为矩形区域的方向的边长.x.3差分格式的稳定性五. 极坐标下的差分格式22+x y注：r∂r(,)i j r θθπR六. 一般区域DDyO x第一类边界条件：T QP δyh第三类边界条件：PQQPnnPQ Q PnnPQR1θu u ux y n u ux y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2θQRT PS注：没有统一的近似，只要合理就好。
§4变系数方程abxy 矩形区域iP1Q 3Q 2Q 3N4Q 2N4N1N,i jD+-i i i i i i 11。
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
有限差分法解方程
有限差分法（Finite Difference Method）是一种数值方法，用于求解偏微分方程（PDEs）的近似解。
这种方法通过将连续的微分方程离散化，将其转化为一系列代数方程，从而在计算机上进行求解。
有限差分法特别适用于求解具有固定边界条件和初始条件的偏微分方程。
以下是有限差分法求解偏微分方程的基本步骤：1. 网格划分：首先，将问题的连续域划分为离散的网格点。
对于二维问题，这通常涉及到在空间和时间上进行网格划分，形成网格点的集合。
2. 离散化：使用差分公式将微分方程中的导数替换为差分。
例如，一阶导数可以用前向差分或后向差分近似，而二阶导数可以用中心差分近似。
3. 构建差分方程：在每个网格点上应用差分公式，将微分方程转化为代数方程。
对于边界条件，也需要进行相应的离散化处理。
4. 求解线性方程组：差分方程通常会导致一个线性方程组。
对于大型问题，这可能需要使用迭代方法或直接求解器来找到解。
5. 稳定性分析：在求解过程中，需要确保数值解的稳定性。
这涉及到对时间步长和空间步长的选择，以满足CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件。
6. 迭代求解：对于时间依赖的问题，如热传导或波传播，可以通过时间步进方法（如显式或隐式方法）来迭代求解。
7. 结果分析：最后，分析数值解以验证其准确性，并与解析解（如果存在）进行比较。
有限差分法在处理规则区域和简单边界条件的问题时非常有效。
然而，对于具有复杂几何形状或边界条件的问题，可能需要更高级的数值方法，如有限元方法（FEM）或边界元方法（BEM）。
在实际应用中，有限差分法通常与计算机软件结合使用，如MATLAB、Python的SciPy库等，以便于高效地处理大规模问题。
椭圆型方程的有限差分法
第4章 椭圆型方程的有限差分法§ 2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。
, d / du 、 du 上 , Lu=- (p )+r +qu=f,a<x<b, dx dx dxu(a)= a ,u(b)=如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得解：考虑在［a,b ］内任一小区间［x ⑴，x (2)］，将上式在此区间上积分得 X ⑵d dU曲 d ；(p(x)d ；)dxW(x ⑴)W(x ⑵)x(2)dU(1) r ——dxxdx x ⑵dU 」 xr dxx (2) x (1) qudx X (2)X (1) qudxX (2)x (1)fdXX ⑵X (1) fdX其中，W(x) p吧特别地，取［X ⑴，X ⑵］为对偶单元［x i 1/2 , x i 1/2 ］，则W (x i 1/2)W(x i 1/2)x1/2dUr ——dxxi 1/2 qudxxi 1/ 2xi 1/ 2 fdx 。
Xi 1/ 2-J..将(1.2)改写成—dxW(x)再沿［x i 1/2, x i 1/2］积分，得U i U iX iW(x) dx , Xi 1p(x)矩形公式，得W 1/2a iU i U ih i a iNdx x1 p(x)］xi 1/ 2又qUdxXi 1/ 2h ih i2：d i U i , d ixi 1/ 2 x q(x)dxX1/2x1/2dU , r ——dx.U i 1 U i 1bi "T-2 h i h i 1x 1/2 xr(x)dxxi1/22ih i h i 1x1/ 2 f (x)dxxi 1/2(1.1) (1.2)利用中(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)将(1.3) ~ (1.5)代入1.1),即得微分方程的差分格式a iU i U i 1h*h i h i 1)d i U b^Ui21-(h i h i 1) i则逼近阶为O(h 2)。
第2章 地球物理中常用数值解法基本原理-有限差分法
等代入
U f x, y ,
2
x, y
Ui , j 1 2Uij Ui , j 1 h
2 2
hUij
Ui 1, j 2Uij Ui 1, j h
2 1
fij
2 截断误差为 O h
第二节 椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式
2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 U x , y U x , y 1 1 1 U xi , y j 5 i j i j 3 4 6 h h h O h 1 1 1 1 3 4 5 3! x 4! x 5! x 2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 1 U xi , y j 3 1 U xi , y j 4 1 U xi , y j 5 6 h h h O h 1 1 1 1 3! x3 4! x 4 5! x 5
如果两个节点满足
i1 i2 j1 j2 1 ，称其为相邻节点。
非正则内点
正则内点——邻点都在区域内；
第二节 椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式 对正则内点，
U xx , U yy
U xi , y j x U xi , y j x
2
特征方程
2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
2 a12 a11a22 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关
于
右
端
稳
定
，
如
果
存在
与
网
格I
及
h
右
端f h
(
fh
(
xi
)
fi )
无 关 的 正 常 数M和h0， 使
vh
M
fh
,
R
当0 h h0 ,
(1.17)
其中
fh
R
是
右
端f
的
h
某
一
范
数
，
它
可
以
和 相
同
，
也 可 以 不 同 ，vh( xi ) vi , i 1,2, , N 1.
不
等
式(1.17)表
首 先 取N 1个 节 点 ：
a x0 x1 xi xN b, 将 区 间I [a, b]分 成N个 小 区 间 ：
Ii : xi1 x xi , i 1,2, N .
于 是 得 到 区 间I的 一 个 网 格 剖 分 ， 记hi xi xi1 ,
称h
max i
hi为
u( xi1 ) u( xi1 )
hi hi1
du [ dx ]i
hi
hi1 2
d 2u [ dx2 ]i
o(h2
),
(2.3)
其 中[ ]i 表 示 括 号 内 函 数xi点 取 值 。
p(
x
i
1 2
)
u(
xi
)
u( hi
xi
1
)
[p
du
dx
]
i
1 2
hi 2 24
[p
d 3u
dx3
] i
Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi ,(1.6)
式 中qi q( xi ), fi f ( xi ).称Ri (u)为 差 分 方 程(1.6)的 截
断误差。
截 断 误 差 Ri (u) Lhu( xi ) [Lu]i (1.7) 所 以Ri (u)是 用 差 分 算 子Lh代 替 微 分 算 子L所 引 起 的 截 断 误 差(，1.6)式 关 于h的 阶 为0(h2 ).
数uh ( xi ) ui称 为I（h 相 应 的Ih )上 的 网 函 数.
我
们
对I
上
h
的
网
函
数
引
进
范
数
uh
c
max
1i N 1
ui
,
(1.10)
N 1
uh
2 0
hui2 ,
i 1
(1.11)
uh
2
1
uh
2
0
uh
2 1
,
(1.12)
于 是
uh
2 1
N h( ui
i 1
ui1 ), h
(1.13)
明
，
解v
连
h
续
依
赖
右
端f h，
即
右
端
变 化 小 时 解 的 变 化 也 小。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
若 边 值 问 题 的 解u充 分 光 滑 ， 差 分 方 程
按 满 足 相 容 条 件 ， 且 关 于右 端 稳 定 ， R
则 差 分 解uh按 收 敛 到 边 值 问 题 的 解 ，且
化 是 不 合 适 的 。 但 “ 热流 量 ”W ( x)恒 连 续,
故 将(2.15)改 写 成
du W ( x) , dx p( x)
在 沿[ xi1 , xi ]积 分 ， 得
ui ui1
xi W ( x) dx, xi1 p( x)
利
用
中
矩
形
公
式
，
得
W
i
1
2
ai
ui
ui1 hi
1 微分方程离散(差分方程）
现 在 将 方 程(1.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对 充 分光 滑
的 解u， 由Taylor展 式 可 得
u( xi1 ) 2u( xi ) u( xi1 ) h2
[d
2u( x) dx2 ]i
h2 h2u( x)
[ 12
dx2
]
o(h3
),(1.3)
第四章椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
§2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考 虑 二 阶 常 微 分 方 程 的边 值 问 题
Lu
d 2u dx2
qu
f
u(a) , u(b)
a x b, (1.1) (1.2)
)
u(
xi 1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi
相 减 ， 得 Lh (u( xi ) ui ) Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则 误 差 函 数eh ( xi ) ei满 足 下 列 差 分 方 程 ；
hi
2 hi1
[
p(
x
i
1
)
2
u( xi1 ) u( xi ) hi 1
p(
x
i
1 2
)
u(
xi
)
u( hi
xi
1
)
hi
2 hi1
([ p
du
dx
]
i
1 2
[p
du
dx
]
i
1 2
)
hi1 12
hi
[p
d 3u dx3 ]i
o(h2 ),
[d dx
(
p
du dx )]i
hi1 4
hi
d2 [ dx 2
(
p
du dx )]i
hi1 12
hi
[
p
d 3u dx3 )]i
o(h2 ),
(2.6)
令p
i
1
p(
x
i
1
),
ri
r( xi ),qi
q( xi ),
fi
f (xi ),
2
2
则 由(2.3),(2.6)知,边 值 问 题 的 解u( x)满 足 方 程 ：
Lhu( xi
)
hi
2 hi1
u(a) , u(b)
(2.2)
其 中p C 1[a, b], p( x) pmin 0, r, q, f C[a, b],
, 为 给 定 常 数 。
我 们 将 介 绍 差 分 格 式 的三 种 方 法 ： 直 接 差 分 法 、 积 分 插 值法 和 变 分 差 分 法 。
2.1直接差分化
此 格 式 称 为 中 心 差 分 格式 。
注意:
方 程(1.8)的 个 数 等 于 网 格 内 点x1 ,
x2 ,
,
x
N
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
以I
表
示
网
格
内
点x1
,
x2 ,
,
x
N
的
1
集
合
，I表
示
网
格
内
点
和 界 点x0 a, xN b的 集 合 。 定 义 在I（h 相 应 的Ih )上 的 函
hi
ri hi1
[ui 1
ui1 ]
qi ui
fi
i 1, , N 1,
u0 , uN ,
(2.10)
(2.9)
2.2 积分插值法
考虑守恒型微分方程：
Lu d ( p du) q( x)u f ( x). dx dx
(2.13)
如 果 把 它 看 作 是 分 布 在一 根 杆 上 的 稳 定 温 度 场方
)]i
1 [
12
p
d 3u dx3 ]i
1 2
[r
d 2u dx2 ]i
o(h2
),
(2.8)
为 差 分 算 子Lh的 截 断 误 差 ， 舍 去Ri (u)便 得 逼 近 边 值 问
题(2.1),(2.2)的 差 分方 程 。
Lhui
hi
2
hi 1
[
p
i
1 2
ui1 ui hi 1
p
i
1
2
ui
ui1 ] hi
[
p( xi 1 2
)
u( xi1 ) u( xi hi 1
)
p(
x
i
1
)
2
u( xi ) u( xi1 )] hi
hi
ri hi1
[u( xi1 )
u( xi1 )]
qi u( xi
)
fi Ri (u)
(2.7)
其中
1 d 2 du
Ri
(u)
( hi 1
hi
)( 4
[ dx 2
(
p
dx
定义1.2
称 差 分 解uh收 敛 到 边 值 问 题 的 解u， 如 果 当h充 分 时 ， (1.8), (1.9)的 解uh存 在 ， 且 按 某 一 范 数 有
lim
h0
uh